2023-2024学年河南省郑州重点中学八年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，数轴上点表示的数可能是( )
A. B. C. D.
2.下列各式正确的是( )
A. B. C. D.
3.如图，在数轴上作正方形网格，以原点为圆心，阴影正方形边长为半径的圆弧交数轴正半轴于点，则点在数轴上表示的数为( )
A.
B.
C.
D.
4.如图是由单位长度均为的小正方形组成的网格，，，，都是网格线的交点，由其中任意三个点连接而成的三角形是直角三角形的个数为( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
5.若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.如图，输入，则输出的数为( )
A. B. C. D.
7.下列各图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的每个正方形中的数及字母表示所在正方形的面积，其中的值恰好等于的是( )
A. B. C. D.
8.九章算术中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈一丈尺，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
9.如图，在四边形中，，，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
10.已知是斜边长为的等腰直角三角形，以的斜边为直角边，画第二个等腰，再以的斜边为直角边，画第三个等腰，，依此类推，第个等腰直角三角形的斜边长是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11.请写一个小于零的无理数______ 写出一个即可．
12.计算： ．
13.如图，每个小正方形的边长为，先把中间的正方形剪下来，再将得到的两个长方形沿图中虚线剪开得到个直角三角形，将剪下的小正方形和个直角三角形无缝拼接在一起可以得到一个大正方形，大正方形的边长是 ．
14.如图是某小区健身中心的平面图，活动区是面积为的长方形，休息区是直角三角形，请你求出半圆形餐饮区的面积是______ 平方米．
15.如图，在中，，，，动点从点出发，沿射线以的速度移动，设运动的时间为，当______时，为直角三角形．
三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）
16.张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
请你分别观察、、与之间的关系，并用含自然数 的代数式表示；
猜想：以、、为边的三角形是否为直角三角形？请证明你的猜想．
四、解答题（本大题共7小题，共65.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
如图是单位长度为的正方形网格．
在图中画出一条长度的平方为的线段；
在图中画出一个以格点为顶点，面积为的正方形．
19.本小题分
如图，一个长方体形的木柜放在墙角处与墙面和地面均没有缝隙，有一只蚂蚁从柜角处沿着木柜表面爬到柜角处
请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；
当，时，求蚂蚁爬过的最短路径长的平方．
20.本小题分
在算式“”中，“”表示被开方数，“”表示“”“”“”“”中的某一个运算符号．
当“”表示“”时，运算结果为，求“”表示的数．
如果“”表示的是中所求的数，请通过计算说明当“”表示哪一种运算符号时，算式的结果最大．
21.本小题分
年是第七届全国文明城市创建周期的第一年，某小区在创城工作过程中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知，，，，技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离，便快速确定了．
请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定的依据；
若平均每平方米空地的绿化费用为元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
22.本小题分
如图是超市的儿童玩具购物车，图为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，求点到的距离．结果保留整数
23.本小题分
定义：如图，点，把线段分割成，，，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点．
已知，把线段分割成，，，若，，，则点，是线段的勾股分割点吗？请说明理由．
已知点，是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由被开方数越大，其算术平方根越大，得
，
即，
故选：．
根据被开方数越大，其算术平方根越大，可得答案．
本题考查了实数与数轴，利用被开方数越大，其算术平方根越大得出是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：，故该项选项不正确，不符合题意；
B.，故该项选项不正确，不符合题意；
C.，故该项选项不正确，不符合题意；
D.，故该项选项正确，符合题意；
故选：．
根据平方根与立方根的定义进行解题即可．
本题考查的是立方根、平方根和算术平方根的性质，熟记性质是解题的关键．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
由勾股定理求出的长即可求解．
【解答】
解：由勾股定理得，，
以原点为圆心，阴影正方形边长为半径的圆弧交数轴正半轴于点，
，
点在数轴上表示的数为，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：连接，，，，
由勾股定理得：，，，，
，
，，，，
和是直角三角形，和不是直角三角形，
即直角三角形有个，
故选：．
根据勾股定理求出各个边的平方，再根据求出的结果得出，，，，再根据勾股定理的逆定理得出答案即可．
本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．
根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．
【解答】
解：由题意知，
解得
6.【答案】
【解析】解：时，，
，再输入，
，
输出的数是．
故选：．
把代入程序进行计算即可．
本题考查的是算术平方根，根据题意弄懂输入程序是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：每个正方形中的数及字母表示所在正方形的面积，每个正方形中的数字以及字母表示所在正方形的边长的平方，
：由勾股定理得：，故A不符合题意；
：，故B符合题意；
：，故C不符合题意；
：，故D不符合题意；
故选：．
由正方形的性质和勾股定理分别对各个选项进行判断即可．
本题考查勾股定理和正方形的性质，熟练掌握勾股定理和正方形的性质是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：如图，设折断处离地面的高度为尺，则，，
在中，，即．
故选：．
根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为尺，再利用勾股定理列出方程即可．
本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．
9.【答案】
【解析】解：连接，
，，
，，
，，
，
是直角三角形，，
，
即的度数是．
故选：．
根据，，可以得到的度数，再根据勾股定理，可以求得的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，从而可以求得的度数．
本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10.【答案】
【解析】解：等腰直角三角形的斜边长为直角边长度的倍
第二个也就是的斜边长：；
第三个，直角边是第一个的斜边长，所以它的斜边长：；
第个，直角边是第个的斜边长，其斜边长为：．
故选B．
根据等腰直角三角形的斜边长为直角边长度的倍，可以发现个，直角边是第个的斜边长，即可求出斜边长．
此题主要考查学生对等腰直角三角形的理解和掌握，解答此题的关键是通过认真分析，根据等腰直角三角形的斜边长为直角边长度的倍，从中发现规律．此题有一定的拔高难度，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：小于零的无理数可以为：等，
故答案为：答案不唯一．
利用无理数的定义直接得出答案．
此题主要考查了估算无理数的大小，正确把握无理数的定义是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：．
故答案为：
分别根据立方根的定义与算术平方根的定义解答即可．
本题主要考查了立方根与算术平方根，熟记立方根的性质是解答本题的关键．
13.【答案】
【解析】解：根据已知，得到大正方形的面积为，
所以大正方形的边长是．
故答案为：．
由算术平方根的定义即可得出答案．
本题考查了剪纸问题和算术平方根，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
14.【答案】
【解析】解：长方形的面积为平方米，且米，
则米，
在中，为斜边，米，米，
米，
半圆形餐饮区的面积为平方米，
故答案为：．
根据长方形的面积和的长度可以计算的长度，在直角中，已知，可以计算出，即餐饮区半圆形的直径．
本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了矩形面积计算公式，本题中正确的根据勾股定理求是解题的关键．
15.【答案】或
【解析】解：在中，，，，
，
，
由题意知．
当为直角时，点与点重合，，即，；
当为直角时，，，，
在中，，
在中，，
即：，
解得：．
综上所述，当或时，为直角三角形．
故答案为：或．
当为直角三角形时，分两种情况：当为直角时，当为直角时，分别求出此时的值即可．
本题考查了勾股定理的应用，进行分类讨论是解题的关键．
16.【答案】解：由图表可以得出：
时，，，，
时，，，，
时，，，，
，，．
、、为边的三角形时：
，
，
，
以、、为边的三角形是直角三角形．
【解析】利用图表可以发现，，与的关系，与正好是，加减，即可得出答案；
利用完全平方公式计算出的值，以及的值，再利用勾股定理逆定理即可求出．
此题主要考查了勾股定理逆定理与数字的变化规律等知识，利用图表之间的变化得出、、与之间的关系是解决问题的关键．
17.【答案】解：
．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：如图所示，，
即为所求；
如图所示，正方形的边长为，则面积为．
【解析】根据勾股定理结合网格特点作图即可；
利用勾股定理作出以为边的正方形即可．
本题考查了勾股定理，是基础题，熟练掌握网格结构以及勾股定理的应用是解题的关键．
19.【答案】解：如图，
木柜的表面展开图是矩形或．
故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的或；
蚂蚁沿着木柜表面矩形爬过的路径的长是．
蚂蚁沿着木柜表面爬过的路径的长是．
，
故最短路径的长是．
蚂蚁爬过的最短路径长的平方为．
【解析】根据题意，先将长方体展开，再根据两点之间线段最短．
本题考查了作图应用设计作图，平民展开最短路径问题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．
20.【答案】解：设“”开平方表示的数为，则，
，
“”表示的数为；
依题意，原式为，
当“”表示“”时，，
当“”表示“”时，，
当“”表示“”时，，
当“”表示“”时，，
，，
当“”表示“”时，算式的结果最大．
【解析】设“”开平方表示的数为，根据二次根式的加减运算进行计算即可求解；
根据题意，分别计算当“”表示“”“”“”“”中的某一个运算符号时的算式，即可求解．
本题考查了二次根式的混合运算，无理数的大小比较，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
21.【答案】解：连接，
技术人员测量的是，两点之间的距离，
确定的依据是勾股定理逆定理；
，，，
，
．
，，
，
，
，
，
，
元，
答：绿化这片空地共需花费元．
【解析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理以及勾股定理逆定理是解题关键．
直接利用勾股定理逆定理分析得出答案；
直接利用勾股定理得出，进而利用勾股定理逆定理得出，再利用直角三角形面积求法得出答案．
22.【答案】解：过点作于点，则的长即点到的距离，
在中，，，，
，，
，
为直角三角形，即，
，
，即，
，
答：点到的距离约为．
【解析】本题考查了勾股定理的应用，三角形的面积公式，勾股定理的逆定理，正确的识别图形是解题的关键．
过点作于点，则的长即点到的距离，根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，即，根据三角形的面积公式即可得到结论．
23.【答案】解：是线段的勾股分割点，
理由如下：
，，，
，，，
，
以，，为边的三角形是一个直角三角形，
根据勾股分割点定义，，是线段的勾股分割点；
点，是线段的勾股分割点，且为直角边，有两种情况：
为斜边时，有，
设，则，
；
为斜边时，有，
设，则，
；
综上所述，的长为或．
【解析】是线段的勾股分割点，结合勾股分割点，由已知条件得到，，，从而根据，即可得证；
点，是线段的勾股分割点，且为直角边，分两种情况，利用勾股定理列方程求解即可得到答案．
本题考查新定义问题，读懂题意，按照勾股分割点定义，结合勾股定理求解是解决问题的关键．
第1页，共1页
