高三一轮复习课时跟踪检测—带电粒子在有界磁场中的运动
1.如图所示，在直角三角形 abc 区域（含边界）内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 B，∠a＝60°，∠b＝90°，边长ab＝L，一个粒子源在b点将质量为 m、电荷量为q的带负电粒子以大小和方向不同的速度射入磁场，在磁场中运动时间最长的粒子中，速度的最大值是（不计粒子重力及粒子间的相互作用）（ ）
A. B. C. D.
2.（多选）如图所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B的匀强磁场，磁场方向分别垂直于纸面向外和向里，AD、AC边界的夹角∠DAC＝30°，边界AC与边界MN平行，Ⅱ区域宽度为d，质量为m、电荷量为＋q的粒子可在边界AD上的不同点射入，入射速度垂直AD且垂直磁场，若入射速度大小为，不计粒子重力，则（ ）
A.粒子在磁场中运动的半径为
B.粒子在距A点0.5d处射入，不会进入Ⅱ区域
C.粒子在距A点1.5d处射入，在Ⅰ区域内运动的时间为
D.能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为
3.（2020·全国卷Ⅰ）一匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为（ ）
A. B. C. D.
4.（多选）如图所示，挡板MN位于水平面x轴上，在第一、二象限y≤L区域存在磁感应强度为B的矩形匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外。在MN上O点放置了粒子发射源，能向第二象限各个方向发射速度大小为v0＝的带正电同种粒子，已知粒子质量为m、电荷量为q，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，粒子打到挡板上时均被挡板吸收，以下说法正确的是（ ）
A.所有粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径均为
B.粒子在磁场中运动的最长时间为
C.所有粒子运动的区域面积为πL2
D.所有粒子运动的区域面积为
5.（多选）如图所示，在坐标系的y轴右侧存在有理想边界的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场的宽度为d，磁场方向垂直于xOy平面向里。一个质量为m、电荷量为－q（q＞0）的带电粒子，从原点O射入磁场，速度方向与x轴正方向成30°角，粒子恰好不从右边界射出，经磁场偏转后从y轴的某点离开磁场，忽略粒子重力。关于该粒子在磁场中运动情况，下面说法正确的是（ ）
A.它的轨道半径为d
B.它进入磁场时的速度为
C.它在磁场中运动的时间为
D.它的运动轨迹与y轴交点的纵坐标为d
6.（多选）如图所示，直角三角形ABC区域内有磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场，置于A点的粒子源能沿AC方向向磁场内同时发射比荷相同但速率不同的带正电粒子。已知刚好从B点射出磁场的粒子在磁场中的运动时间为t，∠CAB＝30°，AB＝L，不计粒子间的相互作用及重力，以下说法正确的是（ ）
A.粒子的比荷为
B.从AB边不同位置射出磁场的粒子，运动时间不同
C.从AB边中点射出磁场的粒子的速率为
D.从BC边射出的粒子（不含B点），在磁场中的运动时间将大于t
7.如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B＝0.30 T。磁场内有一块足够大的平面感光板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离l＝32 cm处，有一个点状的α粒子放射源S，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是v＝3.0×106 m/s。已知α粒子的电荷量与质量之比＝5.0×107 C/kg。若只考虑在纸平面内运动的α粒子，则感光板ab上被α粒子打中区域的长度是多少？（不计粒子的重力）
8.（2020·浙江7月选考）某种离子诊断测量简化装置如图所示。竖直平面内存在边界为矩形EFGH、方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。探测板CD平行于HG水平放置，能沿竖直方向缓慢移动且接地。a、b、c三束宽度不计、间距相等的离子束中的离子均以相同速度持续从边界EH水平射入磁场，b束中的离子在磁场中沿半径为R的四分之一圆弧运动后从下边界HG竖直向下射出，并打在探测板的右边缘D点。已知每束每秒射入磁场的离子数均为N，离子束间的距离均为0.6R，探测板CD的宽度为0.5R，离子质量均为m、电荷量均为q，不计重力及离子间的相互作用。
（1）求离子速度v的大小及c束中的离子射出磁场边界HG时与H点的距离s
（2）求探测到三束离子时探测板与边界HG的最大距离Lmax
（3）若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的竖直分量F与板到HG距离L的关系。
9.如图所示，在直角坐标系xOy内，OP射线（O为顶点）与y轴夹角为45°，OP与y轴所围区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。在y轴上的N点有一个粒子源，向y轴右侧与y轴正方向夹角90°范围内发射速度不同、带负电的同种粒子，粒子的质量为m、电荷量为q，ON间距离为d。不计粒子的重力和粒子之间的作用力。
（1）一个粒子在磁场中运动周期后穿过OP射线，并垂直通过x轴，求粒子穿过x轴的位置坐标。
（2）经磁场偏转后，穿过OP射线的粒子中，在磁场中运动时间最长的粒子的速度为多少？运动时间为多少？
（3）若所有粒子的速度为第（2）问所求，欲使所有粒子经磁场偏转后，都平行于y轴负方向离开磁场，求磁场区域的最小面积，并画出磁场区域，计算结果用R表示，R为粒子在磁场中运动的轨道半径。
参考答案：
【题号】1
【答案】D
【详解】
由左手定则和题意知，沿ba方向射入的粒子在三角形磁场区域内运动半个圆周时，运动时间最长，速度最大时的轨迹恰与ac相切，轨迹如图所示
由几何关系可得最大半径r＝ab·tan 30°＝L
由洛伦兹力提供向心力得qvmB＝m
从而求得最大速度vm＝，选项A、B、C错误，D正确。
【题号】2
【答案】CD
【详解】
带电粒子在磁场中的运动半径r＝＝d，选项A错误
设从某处E进入磁场的粒子，其轨迹恰好与AC相切（如图所示）
则E点距A点的距离为2d－d＝d，粒子在距A点0.5d处射入，会进入Ⅱ区域，选项B错误
粒子在距A点1.5d处射入，不会进入Ⅱ区域，在Ⅰ区域内的轨迹为半圆
运动的时间为t＝＝，选项C正确
进入Ⅱ区域的粒子，弦长最短的运动时间最短，且最短弦长为d，对应圆心角为60°
最短时间为tmin＝＝，选项D正确。
【题号】3
【答案】C
【详解】
带电粒子在匀强磁场中运动，运动轨迹如图所示
由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，解得r＝
运动时间t＝＝，θ为带电粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角，粒子在磁场中运动时间由轨迹所对圆心角决定。
采用放缩法，粒子垂直ac射入磁场，则轨迹圆圆心必在直线ac上，将粒子的轨迹半径从零开始逐渐放大。
当r≤0.5R（R为的半径）和r≥1.5R时，粒子从ac、bd区域射出磁场，运动时间等于半个周期。
当0.5R＜r＜1.5R时，粒子从弧ab上射出，轨迹半径从0.5R逐渐增大，粒子射出位置从a点沿弧向右移动，轨迹所对圆心角从π逐渐增大。
当轨迹半径等于R时，轨迹所对圆心角最大，再增大轨迹半径，轨迹所对圆心角减小。因此轨迹半径等于R时，所对圆心角最大
为θmax＝π＋＝，粒子最长运动时间为。
综上，选项C正确。
【题号】4
【答案】AC
【详解】
由洛伦兹力提供向心力有qBv0＝m
代入数据解得r＝，所以A正确
粒子在磁场中运动的最长时间为t＝T＝，所以B错误
所有粒子运动的区域面积为图中阴影部分面积
由几何关系有S＝πr2＋π（2r）2＝πL2，所以C正确，D错误。
【题号】5
【答案】AB
【详解】
粒子运动轨迹如图所示，r＋rsin 30°＝d
解得粒子运动轨道半径为r＝d，故A正确
由qvB＝m，r＝d
联立解得粒子进入磁场时的速度为v＝＝，故B正确
由T＝＝，根据轨迹图由几何关系知t＝T
解得粒子在磁场中运动的时间为t＝，故C错误
粒子运动轨迹与y轴交点的纵坐标为
y＝－2rcos 30°＝－d，故D错误。
【题号】6
【答案】AC
【详解】
刚好从B点射出磁场的粒子在磁场中的运动轨迹如图所示。
由几何关系可得，轨迹所对圆心角为60°
所用时间为，所以t＝×，＝，故A正确
画出不同粒子在磁场中的运动轨迹，由几何关系可得，从AB边不同位置射出磁场的粒子运动的圆心角相同，所以从AB边不同位置射出磁场的粒子在磁场中运动时间相同，故B错误
由几何关系可得，从AB边中点射出磁场的粒子的轨迹半径
r＝，r＝，＝
解得v＝，故C正确
如果BC边右侧存在同样的磁场，粒子从BC边射出后运动到AB边延长线上时轨迹所对圆心角为60°，所用时间为t，所以从BC边出射的粒子运动时间应小于t，故D错误。
【题号】7
【答案】40cm
【详解】
α粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，用R表示轨迹半径，
有qvB＝m，
由此得R＝20 cm，
由于2R＞l＞R，朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S，可知，某一圆轨迹在图中N左侧与ab相切，
则此切点P1就是α粒子能打中的左侧最远点
再考虑N的右侧，任何α粒子在运动中离S的距离不可能超过2R，以2R为半径、S为圆心作圆，交ab于N右侧的P2点，此即右侧能打到的最远点
粒子运动轨迹如图所示。
根据几何关系可得
NP1＝＝16 cm
NP2＝＝24 cm
所求长度为P1P2＝NP1＋NP2＝16 cm＋24 cm＝40 cm。
【题号】8
【答案】（1），0.8R；（2）R；（3）见解析
【详解】
（1）由洛伦兹力提供向心力有qvB＝
解得v＝
由几何关系得OO'＝0.6R
s＝＝0.8R。
（2）a、c束中的离子从同一点Q射出，由几何知识可得α＝β
tan α＝
Lmax＝R。
（3）a或c束中每个离子动量的竖直分量
pz＝pcos α＝0.8qBR
当0＜L≤R时，
F1＝Np＋2Npz＝2.6NqBR
当R＜L≤0.4R时，
F2＝Np＋Npz＝1.8NqBR
当L＞0.4R时，
F3＝Np＝NqBR。
【题号】9
【答案】（1）；（2）；；（3）R2
【详解】
（1）由于粒子在磁场中运动周期，即偏转120°角后垂直通过x轴，则粒子的入射方向与＋y方向成60°射入，轨迹如图所示。
根据几何关系有x＝R1＋R1cos 60°，d＝R1sin 60°＋xtan 45°，
得x＝。
（2）由qvB＝，得R2＝，
沿y轴正方向射入并且与OP射线相切的粒子在磁场中运动的时间最长
根据几何关系有R2＝dtan，得R2＝（－1）d
所以v＝，
根据T＝和t＝T，
得t＝。
（3）根据磁发散原理要使所有粒子经磁场偏转后均平行于y轴负方向射出，则要求磁场圆的半径与粒子做匀速圆周运动的半径R相等。所以过N点以R为半径作一个圆，且与OP相切，磁场区域如图所示
根据几何知识可得S＝πR2＋＝R2。
