浙教数学 八年级上册
第3章 一元一次不等式
知识梳理
知识点一、不等式
1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.
特别说明：
（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示：
（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．
2. 不等式的性质：
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．
知识点二、一元一次不等式
1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，
特别说明：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．
2.解法：
解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
特别说明：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.
3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；
（2）设：设出适当的未知数；
（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；
（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；
（5）解：解出所列的不等式的解集；
（6）答：检验是否符合题意，写出答案.
特别说明：
列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.
知识点三、一元一次不等式组
关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.
特别说明：
（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.
（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.
（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.
（4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．
基础训练
一、单选题
1．若，则下列各不等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
3．下列方程或不等式的解法正确的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
4．已知关于x的方程的解是非负数，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．在数轴上表示不等式2x+6≥0的解集，正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．不等式的最大整数解为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．不等式组的解集是（ ）
A．﹣2＜x≤2 B．x＜﹣2 C．x≥2 D．无解
8．不等式组的解集为（ ）
A．无解 B． C． D．
9．若关于x的不等式的整数解共有3个，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知关于的不等式，可化为，试化简，正确的结果是（ ）．
A． B． C． D．1
二、填空题
11．用不等式表示“x 与 5 的差不大于 1”：_________．
12．若，则_______（填“>”或“<”）．
13．不等式组的解集为______________．
14．已知不等式组有三个整数解，则a的取值范围是_____．
15．某个关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，这个不等式的解集是_____．
16．世纪公园的门票是每人5元，一次购门票满40张，每张门票可少1元．若少于40人时，一个团队至少要有________人进公园，买40张门票反而合算．
17．我们定义，例如：，若字母x满足，则x的取值范围是__．
18．我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．类似地，适合二元一次不等式的一对未知数的值叫做这个二元一次不等式的一个解．对于二元一次不等式x＋2y≤8，它的正整数解有________个．
三、解答题
19．解不等式：．
20．解不等式组：．
21．已知不等式，若该不等式的最大整数解是方程2x-ax=2的解．求a的值．
22．解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
23．已知关于x的方程4x+2m﹣1＝2x+5的解是负数．
（1）求m的取值范围；
（2）解关于x的不等式x﹣1＞．
24．解不等式．
解：去分母，得．
……
（1）请完成上述解不等式的余下步骤：
（2）解题回顾：本题“去分母”这一步的变形依据是 （填“A”或“B”）
A．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
B．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
25．某校计划为教师购买甲、乙两种词典．已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元．
（1）求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？
（2）学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本，总费用不超过1600元，那么最多可购买甲种词典多少本？
26．如图，“开心”农场准备用的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为，宽为．
（1）当时，求的值；
（2）受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围．
参考答案：
1．D
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【详解】A、∵，
∴，故本选项不符合题意；
B、∵，
∴，故本选项不符合题意；
C、∵，
∴，故本选项不符合题意；
D、∵，
∴，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．
2．B
【分析】根据不等式的性质即可求解．
【详解】解：移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
故选：B．
【点睛】此题主要考查解不等式，解题的关键是熟知不等式的性质．
3．D
【分析】根据等式的基本性质和不等式的性质，可得答案．
【详解】A、由2x>-4，得x>-2；故错误；
B、由-x>5，得x<-5，故错误；
C、由-x=5，得x=-5；故错误；
D、由，得，故正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了等式的基本性质和不等式的性质，熟练掌握等式的基本性质和不等式的性质是解题的关键．
4．D
【分析】先解出方程的解，再列出不等式即可求解．
【详解】解：解方程得，，
∵方程的解是非负数，
，解得．
故选：D．
【点睛】此题主要考查不等式的应用，解题的关键是列出不等式进行求解．
5．C
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、系数化为1可得不等式的解集，然后利用大于向右画，小于向左画，有等号为实心圆点，无等号为空心圆点用数轴表示即可．
【详解】解：∵2x+6≥0，
∴2x≥﹣6，
则x≥﹣3，
表示在数轴上如C选项所示，
故选：C．
【点睛】本题主要考查用数轴表示不等式的解集，正确的解出不等式是解题的关键．
6．C
【分析】先移项、合并同类项后把x的系数化为1得到x＜4.5，然后找出此范围中的最大整数即可．
【详解】∵5x 3<3x+6，
∴5x-3x<6+3，
∴2x<9，
∴x<4.5，
则该不等式的最大整数解为4，
故选：C．
【点睛】本题考查不等式的解法及整数解的确定．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
7．A
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解不等式3(x﹣1)＞x﹣7，得：x＞﹣2，
解不等式2x+2≥3x，得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤2，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8．D
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式2 3x≥ 1，得：x≤1，
解不等式x 1≥ 2（x＋2），得：x≥ 1，
则不等式组的解集为 1≤x≤1，
故选：D．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9．D
【分析】本题可先求解不等式组的公共解集，继而按照整数解有3个确定参数范围．
【详解】解：，
∵不等式②的解集是，
∴不等式组的公共解集是，
∵关于的不等式的整数解共有3个，
又∵按照公共解集可判断三个整数分别为3，4，5，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查含参不等式组，求解公共解集时可将参数看做已知常数，按照常规思路求解即可．
10．B
【分析】由不等式的基本性质3可得a-1＜0，即a＜1，再利用绝对值的性质化简可得．
【详解】解：∵（a-1）x＞1可化为x＜，
∴a-1＜0，
解得a＜1，
则原式=1-a-（2-a）
=1-a-2+a
=-1，
故选：B．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
11．x5≤1．
【分析】“x与5的差”表示为x-5，“不大于1”即“≤1”，据此可得答案．
【详解】解：用不等式表示“x与5的差不大于1”为x-5≤1，
故答案为：x-5≤1．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．
12．>
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【详解】解：∵，
∴2a>2b，
∴>．
故答案为：>．
【点睛】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
13．
【分析】分别解不等式即可得到不等式组的解集.
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得： ，
∴原不等式组的解集为，
故答案为：.
【点睛】此题考查求不等式组的解集，正确解每个不等式求出不等式组的解集，熟记不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了.
14．4＜a≤5
【分析】根据题意，可以写出该不等式组的解集，再根据不等式整数解的个数，即可得到a的取值范围．
【详解】解：∵不等式组有三个整数解，
∴1＜x＜a，
∴4＜a≤5，
故答案为：4＜a≤5．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．
15．x≥﹣2
【分析】根据不等式的解集在数轴上的表示方法解答即可．
【详解】解：∵﹣2处是实心圆点，且折线向右，
∴x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
【点睛】本题考查了不等式的解集在数轴上的表示方法，一般的，不等式的解集在数轴上遵循“小于向左，大于向右；边界含于解集为实心点，不含于解集为空心点”．
16．33
【分析】先求出购买40张票，优惠后需要多少钱，然后再利用5x＞160时，求出买到的张数的取值范围再加上1即可．
【详解】解：设x人进公园，
若购满40张票则需要：40×（5-1）=40×4=160（元），
故5x＞160时，
解得：x＞32，
∴当有32人时，购买32张票和40张票的价格相同，
则再多1人时买40张票较合算；
∴32+1=33（人）；
则至少要有33人去世纪公园，买40张票反而合算．
故答案为：33．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用，找到按5元的单价付款和4元单价付款的等量关系是解决本题的关键．
17．
【分析】首先把所求的式子转化成一般的不等式的形式，然后解不等式组即可．
【详解】解：根据题意得：-1<3x-2x-2<3，
解得：1
18．12
【分析】先把作为常数，解不等式得，根据，是正整数，得，求出的正整数值，再分情况进行讨论即可．
【详解】解：，
，
，是正整数，
，
解得，即只能取1，2，3，
当时，，
正整数解为：，，，，，，
当时，，
正整数解为：，，，，
当时，，
正整数解为：，；
综上，它的正整数解有12个．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，求出的整数值是本题的关键．
19．
【分析】先去分母，再去括号，移项、合并同类项即可．
【详解】解：去分母，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
20．
【分析】分别解两个不等式得到和x＜7，然后根据大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解不等式，得：，
解不等式，得：x<7，
则不等式组的解集为．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
21．a=1
【分析】根据不等式6x-1＜5x+2，可以得到该不等式的解集，从而可以得到该不等式的最大整数解，然后将这个最大整数解代入方程2x-ax=2，即可得到a的值．
【详解】解：由不等式6x-1＜5x+2得，x＜3，
故不等式6x-1＜5x+2的最大整数解是2，
∵不等式6x-1＜5x+2的最大整数解是方程2x-ax=2的解，
∴2×2-2a=2，
解得，a=1，
即a的值是1．
【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解、一元一次方程的解、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确一元一次不等式的解法．
22．-2x<3，解集在数轴上表示见解析.
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【详解】解：
解不等式①，得x<3.
解不等式②，得x-2.
所以原不等式组的解集为-2x<3.
在数轴上表示如下：
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
23．（1）m＞3；（2）x＜
【分析】（1）首先要解这个关于x的方程，然后根据解是负数，就可以得到一个关于m的不等式，最后求出m的范围；
（2）本题是关于x的不等式，应先只把x看成未知数，根据m的取值范围求得x的解集．
【详解】解：（1）4x+2m﹣1＝2x+5，
4x-2x=5+1-2m，
2x=6-2m，
x＝3﹣m．
由题意得：3﹣m＜0，
解得m＞3；
（2）x﹣1＞，
去分母得：3(x﹣1)＞mx+1，
去括号得：3x﹣3＞mx+1，
移项，得：3x﹣mx＞1+3，
合并同类项，得：(3﹣m)x＞4，
因为m＞3，
所以3﹣m＜0，
所以x＜．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，以及一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解答本题的关键．
24．（1）余下步骤见解析；（2）A．
【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项的步骤进行补充即可；
（2）根据不等式的性质即可得．
【详解】（1）
去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得；
（2）不等式的性质：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
两边同乘以正数2，不等号的方向不变，即可得到
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式、不等式的性质，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．
25．（1）每本甲种词典的价格为70元，每本乙种词典的价格为50元；（2）学校最多可购买甲种词典5本
【分析】（1）设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元，根据“购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设学校购买甲种词典m本，则购买乙种词典（30-m）本，根据总价=单价×数量结合总费用不超过1600元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【详解】（1）设每本甲种词典的价格为元，每本乙种词典的价格为元，根据题意，得
解得
答：每本甲种词典的价格为70元，每本乙种词典的价格为50元．
（2）设学校计划购买甲种词典本，则购买乙种词典本，根据题意，得
解得
答：学校最多可购买甲种词典5本．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
26．（1）b=15；（2）
【分析】（1）根据等量关系“围栏的长度为50”可以列出代数式，再将a=20代入所列式子中求出b的值；
（2）由（1）可得a,b之间的关系式，用含有b的式子表示a,再结合，列出关于b的不等式组，接着不等式组即可求出b的取值范围.
【详解】解：（1）由题意，得，
当时，．
解得．
（2）∵，，
∴
解这个不等式组，得．
答：矩形花园宽的取值范围为．
【点睛】此题主要考查了列代数式，正确理解题意得出关系式是解题关键．还考查了解不等式组，难度不大.浙教数学 八年级上册
第3章 一元一次不等式
知识梳理
知识点一、不等式
1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.
特别说明：
（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示：
（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．
2. 不等式的性质：
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．
知识点二、一元一次不等式
1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，
特别说明：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．
2.解法：
解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
特别说明：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.
3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；
（2）设：设出适当的未知数；
（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；
（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；
（5）解：解出所列的不等式的解集；
（6）答：检验是否符合题意，写出答案.
特别说明：
列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.
知识点三、一元一次不等式组
关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.
特别说明：
（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.
（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.
（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.
（4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．
基础训练
一、单选题
1．若，则下列各不等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
3．下列方程或不等式的解法正确的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
4．已知关于x的方程的解是非负数，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．在数轴上表示不等式2x+6≥0的解集，正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．不等式的最大整数解为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．不等式组的解集是（ ）
A．﹣2＜x≤2 B．x＜﹣2 C．x≥2 D．无解
8．不等式组的解集为（ ）
A．无解 B． C． D．
9．若关于x的不等式的整数解共有3个，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知关于的不等式，可化为，试化简，正确的结果是（ ）．
A． B． C． D．1
二、填空题
11．用不等式表示“x 与 5 的差不大于 1”：_________．
12．若，则_______（填“>”或“<”）．
13．不等式组的解集为______________．
14．已知不等式组有三个整数解，则a的取值范围是_____．
15．某个关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，这个不等式的解集是_____．
16．世纪公园的门票是每人5元，一次购门票满40张，每张门票可少1元．若少于40人时，一个团队至少要有________人进公园，买40张门票反而合算．
17．我们定义，例如：，若字母x满足，则x的取值范围是__．
18．我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．类似地，适合二元一次不等式的一对未知数的值叫做这个二元一次不等式的一个解．对于二元一次不等式x＋2y≤8，它的正整数解有________个．
三、解答题
19．解不等式：．
20．解不等式组：．
21．已知不等式，若该不等式的最大整数解是方程2x-ax=2的解．求a的值．
22．解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
23．已知关于x的方程4x+2m﹣1＝2x+5的解是负数．
（1）求m的取值范围；
（2）解关于x的不等式x﹣1＞．
24．解不等式．
解：去分母，得．
……
（1）请完成上述解不等式的余下步骤：
（2）解题回顾：本题“去分母”这一步的变形依据是 （填“A”或“B”）
A．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
B．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
25．某校计划为教师购买甲、乙两种词典．已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元．
（1）求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？
（2）学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本，总费用不超过1600元，那么最多可购买甲种词典多少本？
26．如图，“开心”农场准备用的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为，宽为．
（1）当时，求的值；
（2）受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围．
