2023-2024学年安徽省阜阳重点中学高一（上）第一次调研数学试卷（10月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知，，则的非空子集的个数为( )
A. B. C. D.
3.下列各组函数相等的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5.若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是( )
A. B. C. D.
6.已知函数，则函数的解析式是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
7.设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是( )
A. B.
C. D.
8.函数，若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列说法正确的是( )
A. 函数值域中的每一个数在定义域中都有数与之对应
B. 函数的定义域和值域一定是无限集合
C. 对于任何一个函数，如果不同，那么的值也不同
D. 表示当时，函数的值，这是一个常量
10.如果，，那么下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
11.设集合，，且，则正实数的取值可以为( )
A. B. C. D.
12.已知函数的定义域为，对任意实数，满足：，且，当时，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. 为奇函数 D. 为上的减函数
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.集合用列举法表示为______ ．
14.函数的定义域是______．
15.某社团有的社员至少参加了，，三项活动中的一项，得知参加活动的有人，参加活动的有人，参加活动的有人，数据如图，则图中 ______ ； ______ ； ______ ．
16.若定义在上的函数，则称为函数对于函数，下列结论中正确的是______ 填序号即可．
函数为奇函数；
对于任意，都有；
对于任意两数，，都有；
对于任意，都有．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知全集，，．
若，求；
若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知，求的最小值；
已知，，且，求的最小值．
19.本小题分
已知函数，且．
证明：在区间上单调递减；
若对恒成立，求实数的取值范围．
20.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
求的解析式；
当时，求的最小值．
21.本小题分
如图，某大学将一矩形操场扩建成一个更大的矩形操场，要求在上，在上，且在上若米，米，设米．
要使矩形的面积大于平方米，求的取值范围；
当的长度是多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积．
22.本小题分
已知函数的定义域为，对任意的，，都有当时，，且．
求的值，并证明：当时，；
判断的单调性，并证明；
若，求不等式的解集．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为命题“，”，
所以其否定为：，．
故选：．
存在量词命题的否定，存在变任意，否定结论即可．
本题考查了全称命题，特称命题的转化，考查命题的否定，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：，，
，共个元素；
故的非空子集的个数为；
故选：．
化简求，再求子集的个数即可．
本题考查了集合的运算及子集的个数公式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：、、选项中的定义域为，而选项的定义域为，
B、选项中的定义域为，
所以、、选项中两个函数的定义域不一样，不是同一函数，故A、、选项都错误；
对于选项，定义域都为，解析式，值域都相同，D正确．
故选：．
根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可．
本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题目．
4.【答案】
【解析】解：不等式，即，由可推出，
反之，可能，则，所以不可以推出，
故“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
根据题意解不等式，得到，根据范围的大小关系得到答案．
本题主要考查了不等式的解法、充要条件的判断及其应用等知识，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：若“，”为真命题，
则或，则选项错误，
“，”为假命题，则，为真命题，则、选项错误，
则集合可以为，
故选：．
根据题意，若“，”为真命题，则或，则选项错误，“，”为假命题，则，为真命题，则、选项错误，从而可解．
本题主要考查全称命题、特称命题的应用，属于基础题．．
6.【答案】
【解析】解：，且，
所以，．
故选：．
利用配凑法求解析式即可．
本题考查了配凑法求函数解析式的方法，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为函数为偶函数，
所以，，
因为当时，是增函数，
又，
所以，即．
故选：．
根据函数为偶函数，得到，，再利用时，是增函数求解．
本题考查函数单调性与奇偶性的综合运用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为对任意，，都有成立，
所以是上的减函数，
则，
解得．
故选：．
确定函数在上单调递减，根据单调性得到不等式，解得答案．
本题考查函数的单调性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，函数是一个数集与另一个数集间的特殊对应关系，所给出的对应是否可以确定为是的函数，主要是看其是否满足函数的三个特征，故A正确；
对于，函数的定义域和值域不一定是无限集合，也可以是有限集，但一定不是空集，如函数定义域为，值域为，故B错误；
对于，当不同时，函数的值可能相同，如函数，当和时，都为，故C错误；
对于，表示当时，函数的值是一个常量，故D正确．
故选：．
结合函数的定义，对各选项逐项分析作答即可．
本题主要考查了函数的概念，属于基础题．
10.【答案】
【解析】【分析】
根据不等式的性质逐项分析判断即可．
本题考查不等式的性质，属于基础题．
【解答】
解：对于，由于，，则，，
所以，选项A正确；
对于，由于，，则，，
则，则，选项B错误；
对于，由于，，则，选项C正确；
对于，由于，，则，，
所以，选项D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查含参数的交集运算问题，考查两条直线平行的应用，属于基础题．
集合是挖去一点的直线，集合是一条直线，交集为空集，则表示的直线过点或与平行．
【解答】
解：集合，，
因为，故将代入，
得，
解得舍或；
当时，可变形为，
当直线与平行时，
，解得或舍；
故当或时，符合题意．
故选BD．
12.【答案】
【解析】解：对选项A：取，则，故，正确；
对选项B：，，错误；
对选项C：，，为奇函数，正确；
对选项D：当时，，是上的减函数，正确，
故选：．
取代入计算得到A正确，计算，B错误，变换得到，C正确，根据函数单调性的定义得到D正确，得到答案．
本题主要考查抽象函数的性质，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
解方程，即可求出．
本题考查了集合的表示方法，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：要使函数的解析式有意义
自变量须满足
解得
即函数的定义域是
故答案为：
根据使函数的解析式有意义的原则，结合偶次根式的被开方数必须不小于，我们可以构造关于自变量的不等式组，解不等式组，可得答案．
本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，其中列出满足条件的不等式组，是解答本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：根据题意可得：，
可得：，，，
故答案为：，，．
根据题意列出对应的方程组，进而求解结论．
本题考查了集合的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：对于中，若是有理数，则是有理数，于是；
若是无理数，则是无理数，于是，所以函数为偶函数，
所以不正确；
对于中，若是有理数，则，可得；
若是无理数，则，可得，
因此对于任意，都有，所以正确；
对于中，取，，可得，
，此时，所以错误；
对于中，若是无理数，则是无理数，可得；
若是有理数，则是有理数，可得，
所以对于任意，都有，所以正确．
故答案为：．
根据函数的定义，分为有理数和无理数，以及函数的奇偶性的定义，进行化简、运算，可判定不正确，正确；正确，令，，分别求得和的值，可判定不正确．
本题考查函数的性质，考查分类讨论思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
17.【答案】解：，
若，，
所以；
因为“”是“”的充分条件，所以，
所以，
即实数的取值范围是．
【解析】根据补集、交集的概念运算即可；
先判断集合间的包含关系，再列出不等式即可．
本题考查补集、交集的概念以及集合间的包含关系，属于基础题．
18.【答案】解：，
当且仅当，即时等号成立
，
当且仅当，即，时等号成立．
【解析】变换，再利用均值不等式计算得到答案．
变换，展开利用均值不等式计算得到答案．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
19.【答案】解：证明：，解得，所以，
任取，则，
又，所以，，
所以，即，所以在区间上单调递减；
对恒成立，即对恒成立，
，故二次函数必与轴存在两个交点，
，只需要满足即可，解出，
因此实数的取值范围为．
【解析】代入数据计算，任取，计算得到证明．
变换得到对恒成立，得到，解得答案．
本题主要考查函数的单调性，属于中档题．
20.【答案】解：由于是定义在上的奇函数，且当时，．
则，
解得，
即当时，；
则当时，，，
故；
作出函数的大致图象如图所示：
当，即时，．
当，即时，；
当，即时，；
当，即时，；
综上，．
【解析】由奇函数的性质可得时的解析式，进而得出答案；
作出的图象，然后分类讨论即可．
本题考查函数奇偶性和函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：因为，，
所以，
又∽，
所以，
即，
所以，
所以，
即，
又，
则或，
即的取值范围是或；
由知，
当且仅当，即时等号成立，
故当的长度为米时，矩形的面积最小为平方米．
【解析】因为，，所以，然后求解即可；
由知，得解．
本题考查了基本不等式的应用，重点考查了阅读理解能力，属中档题．
22.【答案】解：令，则，又，所以．
证明：当时，，所以，
又，
所以，即．
在上单调递减．证明如下：
设，则，
又，所以，所以，
又当时，，当时，，，
所以，即，
所以在上单调递减．
因为，所以，
所以，即，
又在上单调递减，所以，
解得，所以不等式的解集为．
【解析】令，即可求出；根据题意，当时，，所以，再结合即可得到，进而得证；
利用单调性定义结合题意证明即可；
由，结合题意可得，再借助函数单调性解不等式即可．
本题主要考查抽象函数及其应用，函数的单调性与不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．
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