第三章 一元一次方程 章末测试卷(一)
一.选择题(共10小题)
1.下列方程为一元一次方程的是( )
A.y+3=0 B.x+2y=3 C.1+1=2 D.
2.方程3x=﹣6的解是( )
A.x=﹣2 B.x=﹣6 C.x=2 D.x=﹣12
3.把方程x=﹣1变形为x=﹣2的依据是( )
A.分数的基本性质 B.等式的性质1
C.等式的性质2 D.倒数的定义
4.已知方程(m﹣3)x|m|﹣2+4=7是关于x的一元一次方程,则m的值是( )
A.2 B.﹣3 C.±3 D.1
5.若代数式x+7的值为1,则x的值为( )
A.6 B.﹣6 C.8 D.﹣8
6.下列说法正确的是( )
A.如果ac=bc,那么a=b B.如果a=b,那么a+2=b﹣2
C.如果a=b,那么ac=bc D.如果a2=b2,那么a=b
7.解方程,去分母后正确的结果是( )
A.4x﹣2﹣3+9x=1 B.4x﹣2﹣3﹣9x=1
C.4x﹣2﹣3+9x=6 D.4x﹣2﹣3﹣9x=6
8.若x=1是方程2x+m﹣6=0的解,则m的值是( )
A.﹣4 B.4 C.﹣8 D.8
9.程大位《算法统宗》:一百馒头一百僧,大僧三个更无争,小僧三人分一个,大小和尚得几丁,意思是:有100个和尚分100个馒头,如果大和尚1人分3个,小和尚3人分一个,正好分完.试问大、小和尚各多少人?设大和尚有x人,依题意列方程得( )
A.3x+=100 B.3x﹣=100
C. D.
10.已知关于x的方程有非负整数解,则整数a
的所有可能的取值的和为( )
A.﹣6 B.﹣7 C.﹣14 D.﹣19
二.填空题(共6小题)
11.若2a3x+1与的和是单项式,则x的值为 .
12.方程2x=﹣10的解为x= .
13.如果x=1是关于x的方程x﹣2m=9的解,则m的值为 .
14.某种商品标价为130元.若以标价的8折出售,仍可获利14元,则该商品的进价为 .
15.a、b都是正整数,设a b表示从a起b个连续正整数的和.例如2 3=2+3+4;5 4=5+6+7+8.已知x 5=2023,则x= .
16.整理一批图书,由一个人做要40小时完成.现在计划由一部分人先做4小时,再增加2人和他们一起做8小时,完成这项工作.假设这些人的工作效率相同,具体应先安排 人工作.
三.解答题(共9小题)
17.解下列方程:
(1)5x﹣1=4x﹣3;
(2).
18.铜仁十中计划购买一批A型和B型课桌凳,经招标,购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用30元,且购买5套A型和6套B型课桌凳共需1940元.求购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需多少元?
19.下面是小明同学解一元一次方程的过程,请认真阅读并完成相应任务.
解方程:.
解: ,得3x﹣(x﹣2)=6.第一步
去括号,得3x﹣x+2=6.第二步
移项,得3x﹣x=6+2.第三步
合并同类项,得2x=8.第四步
方程两边同除以2,得x=4.第五步
(1)以上求解步骤中,第一步进行的是 ,这一步的依据是 ;
(2)以上求解步骤中,第 步开始出现错误,具体的错误是 ;
(3)请写出正确解方程的过程.
20.客车和货车分别从甲乙两站同时相向开出,5小时后相遇,相遇后两车仍按原速度前进,当他们相距196千米时,客车行了全程的,货车行了全程的80%.
(1)全程是多少千米?
(2)货车行完全程需要多少小时?
21.已知关于x的方程(|k|﹣3)x2﹣(k﹣3)x+2m+1=0是一元一次方程.
(1)求k的值;
(2)若已知方程与方程3x﹣2=4﹣5x+2x的解互为相反数,求m的值.
22.一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶,用了2小时;从乙码头返回甲码头逆流行驶,用了2.5小时.已知水流的速度是3千米/时,求船在静水中的平均速度.
23.甲,乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍.乒乓球拍每副定价40元,乒乓球每盒定价5元.而甲,乙两店的促销方案不同,甲店每买一副球拍赠送一盒乒乓球,乙店全部按定价的九折优惠.该班需球拍5副,乒乓球若干盒(不小于5盒).
(1)当购买乒乓球多少盒时,两种优惠办法付款一样?
(2)若购买15盒乒乓球时,请你去办这件事,你打算去哪一家商店购买?为什么?
24.某药店采购部于3月份和4月份从工厂定制一批印有药店商标的口罩.普通版和精美版的定制费每盒分别是1元和2元.若三月份定制普通版,四月份定制精美版共需定制费600元;若三月份定制精美版,四月份定制普通版共需定制费450元.该药店在3,4月份均将当月定制的口罩平均分给甲、乙两家分店销售,并统一规定每盒口罩的标价为30元.
(1)求3,4月各购进口罩多少盒.
(2)已知每盒口罩进价20元(含定制费),3月份两店按标价各卖出a盒后,做优惠促销活动:甲店剩余口罩按标价的八折全部出售;乙店剩余口罩先按标价的九折售出b盒后,再将余下口罩按标价七折全部售出,结果利润与甲店相同.
①填表,并用含a的代数式表示b.
原价部分总利润 优惠部分总利润
甲店 10a A
乙店 B C
②4月份,乙店计划将分到的口罩按标价出售n盒后(n≤
75),剩余口罩全部捐献给医院.且预计乙店3,4月份能从这两批口罩销售中获得的总利润为100元,求a,b,n可能的值.
25.如图,数轴上AB两点表示的数分别为a、b,且a、b满足|a+2|+(b﹣8)2=0,点P从点A出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,同时点Q从点B出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动.设运动时间为t秒(t>0).
(1)求AB的长;
(2)求当t为何值时,点P到原点的距离是点Q到原点距离的2倍,求t的值;
(3)当P,Q开始运动时,有一个动点C同时从该数轴上表示﹣4的点出发,以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左运动,若2PC+mQC的值不随时间t变化而变化,求常数m的值.
第三章 一元一次方程 章末测试卷(一)
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
1.下列方程为一元一次方程的是( )
A.y+3=0 B.x+2y=3 C.1+1=2 D.
【解答】解:A、是一元一次方程,本选项符合题意;
B、是二元一次方程,本选项不符合题意;
C、不是方程,本选项不符合题意;
D、不是整式方程,本选项不符合题意.
故选:A.
2.方程3x=﹣6的解是( )
A.x=﹣2 B.x=﹣6 C.x=2 D.x=﹣12
【解答】解:3x=﹣6
两边同时除以3,得
x=﹣2
故选:A.
3.把方程x=﹣1变形为x=﹣2的依据是( )
A.分数的基本性质 B.等式的性质1
C.等式的性质2 D.倒数的定义
【解答】解:把方程x=﹣1两边同乘以2得:x=﹣2,其依据是等式的性质2.
故选:C.
4.已知方程(m﹣3)x|m|﹣2+4=7是关于x的一元一次方程,则m的值是( )
A.2 B.﹣3 C.±3 D.1
【解答】解:由题意得:|m|﹣2=1且m﹣3≠0,
∴m=﹣3,
故选:B.
5.若代数式x+7的值为1,则x的值为( )
A.6 B.﹣6 C.8 D.﹣8
【解答】解:由题意可知:x+7=1,
∴x=﹣6,
故选:B.
6.下列说法正确的是( )
A.如果ac=bc,那么a=b B.如果a=b,那么a+2=b﹣2
C.如果a=b,那么ac=bc D.如果a2=b2,那么a=b
【解答】解:A.当c=0时,a不一定等于b,故该选项错误,不符合题意;
B.如果a=b,那么a+2=b+2,故该选项错误,不符合题意;
C.如果a=b,那么ac=bc,故该选项正确,符合题意;
D.如果a2=b2,那么a=±b,故该选项错误,不符合题意.
故选:C.
7.解方程,去分母后正确的结果是( )
A.4x﹣2﹣3+9x=1 B.4x﹣2﹣3﹣9x=1
C.4x﹣2﹣3+9x=6 D.4x﹣2﹣3﹣9x=6
【解答】解:,
去分母,方程两边同时乘6得:
2(2x﹣1)﹣3(1+3x)=6,
去括号得:
4x﹣2﹣3﹣9x=6,
故选:D.
8.若x=1是方程2x+m﹣6=0的解,则m的值是( )
A.﹣4 B.4 C.﹣8 D.8
【解答】解:根据题意,得
2×1+m﹣6=0,即﹣4+m=0,
解得m=4.
故选:B.
9.程大位《算法统宗》:一百馒头一百僧,大僧三个更无争,小僧三人分一个,大小和尚得几丁,意思是:有100个和尚分100个馒头,如果大和尚1人分3个,小和尚3人分一个,正好分完.试问大、小和尚各多少人?设大和尚有x人,依题意列方程得( )
A.3x+=100 B.3x﹣=100
C. D.
【解答】解:∵大、小和尚共100人,且大和尚有x人,
∴小和尚有(100﹣x)人.
根据题意得:3x+=100.
故选:A.
10.已知关于x的方程有非负整数解,则整数a的所有可能的取值的和为( )
A.﹣6 B.﹣7 C.﹣14 D.﹣19
【解答】解:,
去分母,得6x﹣(2﹣ax)=2x﹣6,
去括号,得6x﹣2+ax=2x﹣6,
移项、合并同类项,得(4+a)x=﹣4,
将系数化为1,得,
∵是非负整数解,
∴4+a取﹣1,﹣2,﹣4,
∴a=﹣5或﹣6,﹣8时,x的解都是非负整数,
则﹣5+(﹣6)+(﹣8)=﹣19,
故选:D.
二.填空题(共6小题)
11.若2a3x+1与的和是单项式,则x的值为 3 .
【解答】解:根据题意得:3x+1=2x+4,
解得:x=3.
故答案为:3.
12.方程2x=﹣10的解为x= ﹣5 .
【解答】解:方程2x=﹣10,
解得:x=﹣5,
故答案为:﹣5.
13.如果x=1是关于x的方程x﹣2m=9的解,则m的值为 ﹣4 .
【解答】解:∵x=1是关于x的方程x﹣2m=9的解,
∴1﹣2m=9,
解得:m=﹣4,
故答案为:﹣4.
14.某种商品标价为130元.若以标价的8折出售,仍可获利14元,则该商品的进价为 90元 .
【解答】解:设该商品的进价为x元,
由题意可得:130×0.8﹣x=14,
解得:x=90,
∴该商品的进价为90元,
故答案为:90元.
15.a、b都是正整数,设a b表示从a起b个连续正整数的和.例如2 3=2+3+4;5 4=5+6+7+8.已知x 5=2023,则x= 402.6 .
【解答】解:已知等式利用题中的新定义化简得:x+x+1+x+2+x+3+x+4=2023,
移项合并得:5x=2013,
解得:x=402.6,
故答案为:402.6.
16.整理一批图书,由一个人做要40小时完成.现在计划由一部分人先做4小时,再增加2人和他们一起做8小时,完成这项工作.假设这些人的工作效率相同,具体应先安排 2 人工作.
【解答】解:设具体应先安排x人工作,
根据题意得:,
即:x+2(x+2)=10,
解得:x=2.
故答案为:2.
三.解答题(共9小题)
17.解下列方程:
(1)5x﹣1=4x﹣3;
(2).
【解答】解:(1)5x﹣1=4x﹣3,
移项,得5x﹣4x=﹣3+1,
合并同类项,得x=﹣2;
(2),
去分母,得36x﹣3(3x﹣1)=2x,
去括号,得36x﹣9x+3=2x,
移项,得36x﹣9x﹣2x=﹣3,
合并同类项,得25x=﹣3,
系数化成1,得x=﹣.
18.铜仁十中计划购买一批A型和B型课桌凳,经招标,购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用30元,且购买5套A型和6套B型课桌凳共需1940元.求购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需多少元?
【解答】解:设一套A型课桌凳需x元,则一套B型课桌凳(x+30)元,根据题意得,
5x+6(x+30)=1940,
解得x=160,
所以x+30=190,
答:购买一套A型课桌凳需160元,一套B型课桌凳需190元.
19.下面是小明同学解一元一次方程的过程,请认真阅读并完成相应任务.
解方程:.
解: 去分母 ,得3x﹣(x﹣2)=6.第一步
去括号,得3x﹣x+2=6.第二步
移项,得3x﹣x=6+2.第三步
合并同类项,得2x=8.第四步
方程两边同除以2,得x=4.第五步
(1)以上求解步骤中,第一步进行的是 去分母 ,这一步的依据是
等式的基本性质2 ;
(2)以上求解步骤中,第 三 步开始出现错误,具体的错误是 移项时没有变号 ;
(3)请写出正确解方程的过程.
【解答】解:(1)以上求解步骤中,第一步进行的是去分母,这一步的依据是等式的基本性质2,
故答案为:去分母,等式的基本性质2;
(2)以上求解步骤中,第三步开始出现错误,具体的错误是移项时没有变号,
故答案为:三,移项时没有变号;
(3),
解:两边同乘6得:3x﹣(x﹣2)=6,
去括号得:3x﹣x+2=6,
移项得:3x﹣x=6﹣2,
合并同类项得:2x=4,
两边同除以2,得x=2.
20.客车和货车分别从甲乙两站同时相向开出,5小时后相遇,相遇后两车仍按原速度前进,当他们相距196千米时,客车行了全程的,货车行了全程的80%.
(1)全程是多少千米?
(2)货车行完全程需要多少小时?
【解答】解:(1)由题意可得,
196÷[80%﹣(1﹣)]
=196÷()
=196÷
=196×
=490(千米),
答:全程是490千米;
(2)由题意可得,
客车与货车的速度比是 :80%=3:4,
设客车速度为3x千米/小时,则货车速度为4x千米/小时,
则5(3x+4x)=490,
解得x=14,
∴3x=42,4x=56,
490÷56=(小时),
答:货车行完全程需要小时.
21.已知关于x的方程(|k|﹣3)x2﹣(k﹣3)x+2m+1=0是一元一次方程.
(1)求k的值;
(2)若已知方程与方程3x﹣2=4﹣5x+2x的解互为相反数,求m的值.
【解答】解:(1)∵(|k|﹣3)x2﹣(k﹣3)x+2m+1=0是一元一次方程,
∴|k|﹣3=0,k﹣3≠0,
∴k=﹣3;
(2)3x﹣2=4﹣5x+2x,
移项合并同类项得,6x=6,
解得x=1,
∵方程(|k|﹣3)x2﹣(k﹣3)x+2m+1=0与方程3x﹣2=4﹣5x+2x的解互为相反数,
∴6x+2m+1=0的解为x=﹣1,
∴m=.
22.一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶,用了2小时;从乙码头返回甲码头逆流行驶,用了2.5小时.已知水流的速度是3千米/时,求船在静水中的平均速度.
【解答】解:设船在静水中的平均速度为x千米/时,则顺流速度为(x+3)千米/时,逆流速度为(x﹣3)千米/时,
列方程得:2(x+3)=2.5(x﹣3),
解得:x=27.
答:船在静水中的平均速度为27千米/时.
23.甲,乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍.乒乓球拍每副定价40元,乒乓球每盒定价5元.而甲,乙两店的促销方案不同,甲店每买一副球拍赠送一盒乒乓球,乙店全部按定价的九折优惠.该班需球拍5副,乒乓球若干盒(不小于5盒).
(1)当购买乒乓球多少盒时,两种优惠办法付款一样?
(2)若购买15盒乒乓球时,请你去办这件事,你打算去哪一家商店购买?为什么?
【解答】解:(1)设购买x盒乒乓球时,两种优惠办法付款一样,
根据题意有:40×5+(x﹣5)×5=(40×5+5x)×0.9,
解得x=10.
所以,购买10盒乒乓球时,两种优惠办法付款一样.
(2)当购买球拍5副,15盒乒乓球时:甲店需付款40×5+(15﹣5)×5=250(元),
乙店需付款(40×5+15×5)×0.9=247.5(元).
因为247.5<250,
所以,购买球拍5副,15盒乒乓球时,去乙店较合算.
24.某药店采购部于3月份和4月份从工厂定制一批印有药店商标的口罩.普通版和精美版的定制费每盒分别是1元和2元.若三月份定制普通版,四月份定制精美版共需定制费600元;若三月份定制精美版,四月份定制普通版共需定制费450元.该药店在3,4月份均将当月定制的口罩平均分给甲、乙两家分店销售,并统一规定每盒口罩的标价为30元.
(1)求3,4月各购进口罩多少盒.
(2)已知每盒口罩进价20元(含定制费),3月份两店按标价各卖出a盒后,做优惠促销活动:甲店剩余口罩按标价的八折全部出售;乙店剩余口罩先按标价的九折售出b盒后,再将余下口罩按标价七折全部售出,结果利润与甲店相同.
①填表,并用含a的代数式表示b.
原价部分总利润 优惠部分总利润
甲店 10a A
乙店 B C
②4月份,乙店计划将分到的口罩按标价出售n盒后(n≤75),剩余口罩全部捐献给医院.且预计乙店3,4月份能从这两批口罩销售中获得的总利润为100元,求a,b,n可能的值.
【解答】解:(1)设3月购进x盒口罩,4月购进y盒口罩,
依题意得:,
解得:,
答:3月购进100盒口罩,4月购进250盒口罩.
(2)3月份两店分到的口罩100÷2=50(盒).
依题意得,乙店原价部分的利润为(30﹣20)a=10a(元),甲店优惠部分的总利润为(30×0.8﹣20)(50﹣a)=4(50﹣a)元,乙店优惠部分的总利润为(30×0.9﹣20)b+(30×0.7﹣20)(50﹣a﹣b)=(50+6b﹣a)(元).
∵两店的利润相同,
∴4(50﹣a)=50+6b﹣a,
∴.
故答案为①A:10a;B:4(50﹣a);C:(50+6b﹣a).
②4月乙店分到口罩250÷2=125(盒).
依题意得:10a+4(50﹣a)+(30﹣20)n﹣20(125﹣n)=100,
∴.
∵n≤75.
且∵a,b,n均为自然数,
∴a为10的整数倍,
∴或或.
答:a,b,n可能的值为30,10,74或40,5,72或50,0,70.
25.如图,数轴上AB两点表示的数分别为a、b,且a、b满足|a+2|+(b﹣8)2=0,点P从点A出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,同时点Q从点B出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动.设运动时间为t秒(t>0).
(1)求AB的长;
(2)求当t为何值时,点P到原点的距离是点Q到原点距离的2倍,求t的值;
(3)当P,Q开始运动时,有一个动点C同时从该数轴上表示﹣4的点出发,以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左运动,若2PC+mQC的值不随时间t变化而变化,求常数m的值.
【解答】解:(1)∵|a+2|+(b﹣8)2=0,
∴a+2=0,b﹣8=0,
∴a=﹣2,b=8,
∴AB=|b﹣a|=|8﹣(﹣2)|=10;
(2)当运动时间为t秒时,点P表示的数是3t﹣2,点Q表示的数是﹣2t+8,OP=|3t﹣2|,OQ=|﹣2t+8|,
根据题意得:|3t﹣2|=2|﹣2t+8|,
即3t﹣2=﹣4t+16或3t﹣2=4t﹣16,
解得:t=或t=14.
答:t的值为或14;
(3)当运动时间为t秒时,点P表示的数是3t﹣2,点Q表示的数是﹣2t+8,点C表示的数是﹣4t﹣4,PC=|﹣4t﹣4﹣(3t﹣2)|=7t+2,QC=|﹣4t﹣4﹣(﹣2t+8)=2t+12,
∴2PC+mQC=2(7t+2)+m(2t+12)=(14+2m)t+4+12m.
又∵2PC+mQC的值不随时间t变化而变化,
∴14+2m=0,
∴m=﹣7.
答:常数m的值为﹣7.
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