浙教版八年级上册 第2章 特殊三角形 常考题型检测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图，下列图片是我校初二年级班徽设计比赛的四幅作品，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，则∠A＝（ ）
A．60° B．30° C．50° D．40°
3．等腰三角形的一边等于5，一边等于12，则它的周长是（ ）
A．22 B．29 C．22或29 D．17
4．如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（ ）
A．∠BAC＝∠BAD B．AC＝AD或BC＝BD
C．AC＝AD且BC＝BD D．以上都不正确
5．对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．∠1＝∠2＝45° B．∠1＝50°，∠2＝50°
C．∠1＝50°，∠2＝40° D．∠1＝40°，∠2＝40°
6．下列说法正确的是（ ）
A．有两条边不相等的三角形不是等腰三角形
B．有两个内角不相等的三角形不是等腰三角形
C．有两个内角分别是40°和110°的三角形是等腰三角形
D．如果三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形
7．如图，OC＝CD＝DE，若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
8．在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：5：6，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝∠C 中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，一个梯子AB长2米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.2米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.4米，求梯子顶端A下落了（ ）
A．0.4米 B．0.5米 C．0.6米 D．0.7米
10．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（ ）
A．1+ B．2+ C．5﹣ D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，若∠A＝60°，∠B＝80°，则∠F＝ ．
12．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 ．
13．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为5，4，4，9，则最大的正方形G的面积为 ．
14．如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形有 个．
15．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，AB在数轴上，以点A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M．若点A在数轴上表示的数为﹣1，则点M表示的数为 ．
16．若等腰三角形一个内角的度数为50°，则它的顶角的度数是 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）已知：如图，点E、F在线段BD上，AF⊥BD，CE⊥BD，AD＝CB，DE＝BF，求证：AF＝CE．
18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB的中点，E是边AC上一点，连接BE，DE，且DE⊥AB．若∠A＝46°，求∠CBE的度数．
19．（8分）已知：如图，△ABC中，D是AB中点，DE⊥AC垂足为E，DF⊥BC垂足为F，且ED＝FD，求证：△ABC是等腰三角形．
20．（8分）已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b．
（1）如果a＝7，b＝24，求c；
（2）如果a＝12，c＝13，求b．
21．（8分）如图是一块四边形绿地的示意图，其中AB＝24，BC＝15，CD＝20，DA＝7，∠C＝90°．求此绿地ABCD的面积．
22．（8分）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示平面直角坐标系，原点O及△ABC的顶点都在格点上．
（1）在图中作出△DEF，使得△DEF与△ABC关于x轴对称，其中点A、B、C的对应点分别为D、E、F．
（2）求△DEF的面积．
23．（12分）如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E．
（1）求证：∠DAC＝∠BCE；
（2）如果AC＝BC．
①求证：CD＝BE；
②若设△ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；
（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
答案与试题
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图，下列图片是我校初二年级班徽设计比赛的四幅作品，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念解答即可．
【解答】解：B，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，则∠A＝（ ）
A．60° B．30° C．50° D．40°
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠A+∠B＝90°，再代入∠B的度数可得∠A的度数．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠B＝40°，
∴∠A＝50°，
故选：C．
【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，两个锐角互余．
3．等腰三角形的一边等于5，一边等于12，则它的周长是（ ）
A．22 B．29 C．22或29 D．17
【分析】分别从若5为底边长，12为腰长与若12为底边长，5为腰长去分析求解即可求得答案．
【解答】解：若5为底边长，12为腰长，
∵12+5＞12，
∴能组成三角形，
∴此时它的周长是：12+12+5＝29；
若12为底边长，5为腰长，
∵5+5＜12，
∴不能组成三角形，故舍去．
∴它的周长是29．
故选：B．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系．注意分类讨论思想的应用．
4．如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（ ）
A．∠BAC＝∠BAD B．AC＝AD或BC＝BD
C．AC＝AD且BC＝BD D．以上都不正确
【分析】根据“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，因图中已经有AB为公共边，再补充一对直角边相等的条件即可．
【解答】解：从图中可知AB为Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，也是公共边．
很据“HL”定理，证明Rt△ABC≌Rt△ABD，
还需补充一对直角边相等，
即AC＝AD或BC＝BD，
故选：B．
【点评】此题主要考查学生利用“HL”证明直角三角形全等这一知识点的理解和掌握，比较简单，属于基础题．
5．对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．∠1＝∠2＝45° B．∠1＝50°，∠2＝50°
C．∠1＝50°，∠2＝40° D．∠1＝40°，∠2＝40°
【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子．
【解答】解：A、满足条件，不满足结论，故A选项正确，符合题意；
B、不满足条件，也不满足结论，故B选项错误，不符合题意；
C、满足条件∠1+∠2＝90°，也满足结论∠1≠∠2，故C项错误，不符合题意；
D、不满足条件，也不满足结论，故D选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查命题的真假判断，正确记忆能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键．
6．下列说法正确的是（ ）
A．有两条边不相等的三角形不是等腰三角形
B．有两个内角不相等的三角形不是等腰三角形
C．有两个内角分别是40°和110°的三角形是等腰三角形
D．如果三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形
【分析】根据等腰三角形的定义判断即可．
【解答】解：A．错误，如三角形的三边长为2，2，3，有两条边不相等，但是等腰三角形，本选项不符合题意；
B．错误，如等腰直角三角形有两个内角不相等，但是等腰三角形，本选项不符合题意；
C．有两个内角分别是40°和110°的三角形，第三个内角是30°，不是等腰三角形，本选项不符合题意；
D．如图，BD、CE是△ABC的高，且BD＝CE，
在Rt△BCE与Rt△CBD中，BC＝CB，CE＝BD，
∴Rt△BCE≌Rt△CBD，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形，选项D说法正确，本选项符合题意．
故选D．
【点评】本题考查等腰三角形的破的和性质，解题的关键是理解题意，灵活应用所学知识解决问题．
7．如图，OC＝CD＝DE，若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
【分析】根据OC＝CD＝DE，可得∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，进一步根据三角形的外角性质可知∠BDE＝3∠ODC＝75°，即可求出∠ODC的度数，进而求出∠CDE的度数．
【解答】解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，
∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，
∴∠ODC＝25°，
∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°，
∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．
8．在下列条件中：
①∠A+∠B＝∠C，
②∠A：∠B：∠C＝1：5：6，
③∠A＝90°﹣∠B，
④∠A＝∠B＝∠C 中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据直角三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．
【解答】解：①因为∠A+∠B＝∠C，则2∠C＝180°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；
②因为∠A：∠B：∠C＝1：5：6，设∠A＝x，则x+5x+6x＝180，x＝15°，∠C＝15°×6＝90°，所以△ABC是直角三角形；
③因为∠A＝90°﹣∠B，所以∠A+∠B＝90°，则∠C＝180°﹣90°＝90°，所以△ABC是直角三角形；
④因为∠A＝∠B＝∠C，所以∠A＝∠B＝∠C＝60°，△ABC不是直角三角形；
能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个．
故选：C．
【点评】解答此题要用到三角形的内角和为180°，以及三角形的形状判定：若有一个内角为90°，则△ABC是直角三角形．
9．如图，一个梯子AB长2米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.2米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.4米，求梯子顶端A下落了（ ）
A．0.4米 B．0.5米 C．0.6米 D．0.7米
【分析】要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得AC和CE的长即可．
【解答】解：在Rt△ACB中，AC2＝AB2﹣BC2＝22﹣1.22＝2.56，
∴AC＝1.6米，
∵BD＝0.4米，
∴CD＝1.6米．
在Rt△ECD中，EC2＝ED2﹣CD2＝22﹣1.62＝1.44，
∴EC＝1.2米，
∴AE＝AC﹣EC＝1.6﹣1.2＝0.4（米）．
故选：A．
【点评】考查了勾股定理的应用，解答中此题中梯子的长度是不变的．熟练运用勾股定理是解答题目的关键．
10．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（ ）
A．1+ B．2+ C．5﹣ D．
【分析】先证明△BPG≌△BCG（ASA），得出PG＝CG．设OG＝PG＝CG＝x，则EG＝2x，FG＝x，再由勾股定理得出BC2＝（4+2）x2，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形EFGH为正方形，
∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°，
∵OG＝GP，
∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°，
∴∠PBG＝22.5°，
∵∠DBC＝45°，
∴∠GBC＝22.5°，
∴∠PBG＝∠GBC，
∵∠BGP＝∠BGC＝90°，
在△BPG和△BCG中，
，
∴△BPG≌△BCG（ASA），
∴PG＝CG．
设OG＝PG＝CG＝x，
∵O为EG，BD的交点，
∴EG＝2x，FG＝x，
∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，
∴BF＝CG＝x，
∴BG＝x+x，
∴BC2＝BG2+CG2＝x2（+1）2+x2＝（4+2）x2，
∴＝＝＝2+．
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，若∠A＝60°，∠B＝80°，则∠F＝ 40° ．
【分析】根据轴对称的性质与三角形的内角和等于180°可得．
【解答】解：∵△ABC与△DEF关于直线l对称，
∴∠A＝∠D＝60°，∠B＝∠E＝80°，
∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠E＝180°﹣60°﹣80°＝40°．
故答案为：40°．
【点评】本题考查轴对称的性质与三角形的内角和定理，解题的关键是掌握轴对称的性质与三角形的内角和．
12．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 两个角相等三角形是等腰三角形 ．
【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．
【解答】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，
所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”．
【点评】根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．
13．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为5，4，4，9，则最大的正方形G的面积为 22 ．
【分析】据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积．
【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为E的面积，C、D的面积和为F的面积，E、F的面积和为G的面积，
所以SE+SF＝SG，
即SG＝5+4+4+9＝22．
故答案为：22．
【点评】本题考查的是勾股定理，掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2是解题的关键．
14．如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形有 6 个．
【分析】根据三角形内角和分别计算出∠BAD、∠DAE、∠EAC、∠BAE、∠CAD的度数，再根据等角对等边可判断出等腰三角形的个数．
【解答】解：∵∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，
∴△ABC和△ADE是等腰三角形，
∵∠B＝36°，∠ADE＝72°，
∴∠BAD＝36°，
∴AD＝BD，
∴△ABD是等腰三角形，同理△AEC是等腰三角形，
∵∠ADE＝∠AED＝72°，
∴∠DAE＝36°，
∴∠CAD＝36°+36°＝72°，
∴∠CAD＝∠CDA＝72°，
∴△ADC是等腰三角形，
同理：△ABE是等腰三角形，
综上所述：等腰三角形有6个，
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是掌握等腰三角形的判定方法：等角对等边．
15．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，AB在数轴上，以点A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M．若点A在数轴上表示的数为﹣1，则点M表示的数为 ﹣1 ．
【分析】Rt△ABC中利用勾股定理求出AC，继而得出AM的长，结合数轴的知识可得出点M所表示的数．
【解答】解：由勾股定理得，AC＝＝＝，
∴AM＝，
∵点A所表示的数是﹣1，
∴点M所表示的数为﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题考查了勾股定理，实数与数轴，属于基础题，利用勾股定理求出AC的长度是解答本题的关键，难度一般．
16．若等腰三角形一个内角的度数为50°，则它的顶角的度数是 50°或80° ．
【分析】可知有两种情况（顶角是50°和底角是50°时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．
【解答】解：如图所示，△ABC中，AB＝AC．
有两种情况：
①顶角∠A＝50°；
②当底角是50°时，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝50°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°或80°．
故答案为：50°或80°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理的理解和掌握，能对有的问题正确地进行分类讨论是解答此题的关键．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）已知：如图，点E、F在线段BD上，AF⊥BD，CE⊥BD，AD＝CB，DE＝BF，求证：AF＝CE．
【分析】此题只要先证明△ADF≌△BCE即可，做题时要结合已知条件与全等的判定方法进行思考．
【解答】证明：∵DE＝BF，
∴DE+EF＝BF+EF；
∴DF＝BE；
在Rt△ADF和Rt△BCE中
，
∴Rt△ADF≌Rt△BCE（HL），
∴AF＝CE．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定及性质；由DE＝BF通过等量加等量和相等得DF＝BE在三角形全等的证明中经常用到，应注意掌握应用．
18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB的中点，E是边AC上一点，连接BE，DE，且DE⊥AB．若∠A＝46°，求∠CBE的度数．
【分析】根据等边对等角得到∠ABC＝∠ACB，再根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数，根据D是AB的中点，DE⊥AB得出DE是AB的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质得到AE＝BE，根据等边对等角得到∠A＝∠ABE＝∠46°，从而求出∠CBE的度数．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝46°，
∴∠ABC＝∠ACB＝67°，
∵D是AB的中点，DE⊥AB，
∴DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠A＝∠ABE＝∠46°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝67°﹣46°＝21°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟记等腰三角形的性质：等边对等角．
19．（8分）已知：如图，△ABC中，D是AB中点，DE⊥AC垂足为E，DF⊥BC垂足为F，且ED＝FD，求证：△ABC是等腰三角形．
【分析】由D是AB中点可得AD＝BD，再证明Rt△ACD≌Rt△BCD可得∠A＝∠B，然后根据等角对等边可得AC＝BC即可证明结论．
【解答】证明：∵D是AB中点，
∴AD＝BD，
在Rt△ACD和Rt△BCD中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△BCD，
∴∠A＝∠B，
∴AC＝BC，即△ABC是等腰三角形．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定等知识点，证得Rt△ACD≌Rt△BCD是解答本题的关键．
20．（8分）已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b．
（1）如果a＝7，b＝24，求c；
（2）如果a＝12，c＝13，求b．
【分析】（1）利用勾股定理计算c＝；
（2）利用勾股定理计算b＝．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，
由勾股定理得：
c＝
＝
＝25；
（2）在Rt△ABC中，
由勾股定理得：
b＝
＝
＝5．
【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．注意勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
21．（8分）如图是一块四边形绿地的示意图，其中AB＝24，BC＝15，CD＝20，DA＝7，∠C＝90°．求此绿地ABCD的面积．
【分析】连接BD，先根据勾股定理求出BD的长，再由勾股定理的逆定理判定△ABD为直角三角形，则四边形ABCD的面积＝直角△BCD的面积+直角△ABD的面积．
【解答】解：连接BD．如图所示：
∵∠C＝90°，BC＝15cm，CD＝20cm，
∴BD＝＝＝25（cm）；
在△ABD中，
∵BD＝25cm，AB＝24cm，DA＝7cm，
∴242+72＝252，即AB2+AD2＝BD2，
∴△ABD是直角三角形．
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD
＝AB AD+BC CD
＝×24×7+×15×20
＝84+150
＝234（cm2）；
即绿地ABCD的面积为234cm2．
【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理的相关知识，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，正确分割四边形ABCD的面积是解题关键．
22．（8分）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示平面直角坐标系，原点O及△ABC的顶点都在格点上．
（1）在图中作出△DEF，使得△DEF与△ABC关于x轴对称，其中点A、B、C的对应点分别为D、E、F．
（2）求△DEF的面积．
【分析】（1）根据△DEE与△ABC关于x轴对称，即可得出△DEF；
（2）依据割补法进行计算，即可得到△DEF的面积．
【解答】解：（1）如图所示，△DEF即为所求；
（2）△DEF的面积＝5×5﹣×2×5﹣×2×3﹣×3×5＝25﹣5﹣3﹣7.5＝9.5．
【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并据此作出变换后的对称点．
23．（12分）如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E．
（1）求证：∠DAC＝∠BCE；
（2）如果AC＝BC．
①求证：CD＝BE；
②若设△ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．
【分析】（1）根据直角三角形的定义和垂直的定义，可以证明结论成立；
（2）①根据AAS可以证明结论成立；
②根据S梯形ADEB＝S△ADC+S△ACB+S△CEB，代入字母计算即可证明结论成立．
【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，AD⊥DE于点D，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，∠ADC+∠BCE＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE；
（2）①∵AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
由（1）知：∠DAC＝∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CD＝BE；
②由图可知：
S梯形ADEB＝S△ADC+S△ACB+S△CEB，
∴＝，
化简，得：a2+b2＝c2．
【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；
（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
【分析】（1）直接根据勾股定理求出BC的长度；
（2）当△ABP为直角三角形时，分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出此时的t值即可；
（3）当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣62＝64，
∴BC＝8（cm）；
（2）由题意知BP＝2tcm，
①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝8cm，即t＝4；
②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣8）cm，AC＝6cm，
在Rt△ACP中，
AP2＝62+（2t﹣8）2，
在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，
即：102+[62+（2t﹣8）2]＝（2t）2，
解得：t＝，
故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝；
（3）①当AB＝BP时，t＝5；
②当AB＝AP时，BP＝2BC＝16cm，t＝8；
③当BP＝AP时，AP＝BP＝2tcm，CP＝|2t﹣8|cm，AC＝6cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，
所以（2t）2＝62+（2t﹣8）2，
解得：t＝，
综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．
【点评】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．
