2023秋人教版九年级数学上学期期中模拟试题
一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1.下列我国四家航空公司的logo图案，中心对称图形是（ ）
A． B． C． D．
2.把二次函数y＝3x2的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，
所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ）
A．y＝3（x+2）2+1 B．y＝3（x+2）2﹣1
C．y＝3（x﹣2）2﹣1 D．y＝3（x﹣2）2+1
3. 一元二次方程根的情况是（ ）
A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 无法确定
某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，
计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，
使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．65°
6．关于抛物线y＝﹣（x+1）2+2，下列说法错误的是（ ）
A．图象的开口向下
B．当x＞﹣1时，y随x的增大而减少
C．图象的顶点坐标是（﹣1，2）
D．图象与y轴的交点坐标为（0，2）
已知点，，在抛物线上，
则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转度得到，
当点的对应点恰好落在边上时，则的长为（ ）
A．1.6 B．1.8 C．2 D．2.6
9．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
竖直向上发射的小球的高度关于运动时间的函数表达式为，其图象如图所示，
若小球发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（ ）
A．第3秒 B．第3.5秒 C．第4秒 D．第4.5秒
11．某商家销售某种商品，当单价为10元时，每天能卖出200个．现在采用提高售价的方法来增加利润，已知商品单价每上涨1元，每天的销售量就少10个，则每天的销售金额最大为（ ）
A．2500元 B．2250元 C．2160元 D．2000元
12. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B，与y轴交于点C给出下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c＞0；⑨④3a+c＞0．其中正确的结论个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 一元二次方程x2+3x=0的解是_____．
如图，把绕点A逆时针旋转，得到，点恰好落在边AB上，
连接，则 ．
15. 一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是_____．
16．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间 s．
17.赵州桥的桥拱横截面是近似的抛物线形，其示意图如图所示，其解析式为y＝﹣x2．
当水面离桥拱顶的高度DO为4m时，水面宽度AB为____m．
18. 设抛物线，其中a为实数．
（1）若抛物线经过点，则______；
（2）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是______．
三．解答题（共8小题，共66分）
19 解下列方程
（1）（配方法）；
（2）（公式法）．
20．已知关于的方程．
（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；
（2）若该方程有一个根-1，求的值．
21.如图，点D是等腰直角△ABC斜边BC上一点（不与点B重合），连AD，
线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连CE，求证：BC⊥CE．
22. 已知二次函数．
（1）求出该二次函数图象的顶点坐标．
（2）填写下列表格：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 …
（3）在图中所示的坐标系中画出该二次函数的图象．
23. 已知二次函数的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
x … －1 0 2 4 …
y … －5 1 1 m …
求（1）这个二次函数的解析式；
（2）这个二次函数图象的顶点坐标及上表中m的值．
24．某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，
这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，
每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个．
（1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？
（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？
25．如图，点是内一点，把绕点顺时针方向旋转得到，若，，．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)求的度数．
26.如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，
抛物线的顶点为D点，点A的坐标为．
(1)求D点的坐标；
(2)连接，说明；
(3)若点P是直线下方抛物线上一动点，当点P位于何处时，的面积最大？求出此时点P的坐标．
2023秋人教版九年级数学上学期期中模拟试题（答案版）
一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1.下列我国四家航空公司的logo图案，中心对称图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
2.把二次函数y＝3x2的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，
所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ）
A．y＝3（x+2）2+1 B．y＝3（x+2）2﹣1
C．y＝3（x﹣2）2﹣1 D．y＝3（x﹣2）2+1
【答案】C
3. 一元二次方程根的情况是（ ）
A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 无法确定
【答案】B
某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，
计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，
使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．65°
【答案】C
6．关于抛物线y＝﹣（x+1）2+2，下列说法错误的是（ ）
A．图象的开口向下
B．当x＞﹣1时，y随x的增大而减少
C．图象的顶点坐标是（﹣1，2）
D．图象与y轴的交点坐标为（0，2）
【答案】D
已知点，，在抛物线上，
则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转度得到，
当点的对应点恰好落在边上时，则的长为（ ）
A．1.6 B．1.8 C．2 D．2.6
【答案】A
9．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
竖直向上发射的小球的高度关于运动时间的函数表达式为，其图象如图所示，
若小球发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（ ）
A．第3秒 B．第3.5秒 C．第4秒 D．第4.5秒
【答案】C
11．某商家销售某种商品，当单价为10元时，每天能卖出200个．现在采用提高售价的方法来增加利润，已知商品单价每上涨1元，每天的销售量就少10个，则每天的销售金额最大为（ ）
A．2500元 B．2250元 C．2160元 D．2000元
【答案】B
12. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B，与y轴交于点C给出下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c＞0；⑨④3a+c＞0．其中正确的结论个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 一元二次方程x2+3x=0的解是_____．
【答案】0，-3
如图，把绕点A逆时针旋转，得到，点恰好落在边AB上，
连接，则 ．
【答案】
15. 一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是_____．
【答案】98
16．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间 s．
【答案】2
17.赵州桥的桥拱横截面是近似的抛物线形，其示意图如图所示，其解析式为y＝﹣x2．
当水面离桥拱顶的高度DO为4m时，水面宽度AB为____m．
【答案】20
18. 设抛物线，其中a为实数．
（1）若抛物线经过点，则______；
（2）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是______．
【答案】 （1）. 0 （2）. 2
三．解答题（共8小题，共66分）
19 解下列方程
（1）（配方法）；
（2）（公式法）．
解：(1)
，
，即，
∴，
∴；
(2)，
∵，
∴，
∴
20．已知关于的方程．
（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；
（2）若该方程有一个根-1，求的值．
解：（1）证明：
所以方程有两个不相等的实数根．
把代入原方程，
得
解得．
21.如图，点D是等腰直角△ABC斜边BC上一点（不与点B重合），连AD，
线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连CE，求证：BC⊥CE．
证明：∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠B=∠ACB=45°，
∵线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，
∴∠ACE=∠B=45°，
∴∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，即∠BCE=90°，
∴BD⊥CE．
22. 已知二次函数．
（1）求出该二次函数图象的顶点坐标．
（2）填写下列表格：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 …
（3）在图中所示的坐标系中画出该二次函数的图象．
解：（1），
∴二次函数顶点坐标为；
（2）当时，；
当时，；
当时，；
故答案为：，0，3．
（3）如图：
23. 已知二次函数的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
x … －1 0 2 4 …
y … －5 1 1 m …
求：
（1）这个二次函数的解析式；
（2）这个二次函数图象的顶点坐标及上表中m的值．
解：（1）依题意，得
，
解得，
∴二次函数的解析式为：；
（2）当时，，
由，故其顶点坐标为．
24．某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个．
（1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？
（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？
解:（1）由题意可得，y=100-2（x-60）=-2x+220；
（2）由题意可得，
（-2x+220）（x-40）=2400，
解得，，，
∴当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元．
答：当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元．
（3）设该网店每星期的销售利润为w元，由题意可得
w=（-2x+220）（x-40）=，
当时，w有最大值，最大值为2450，
∴当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．
25．如图，点是内一点，把绕点顺时针方向旋转得到，若，，．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)求的度数．
解：（1）结论：为直角三角形．
证明：根据图形的旋转不变性，可得，
∴，，，，
∵，
∴和均为等边三角形，
∴，，
∵，
∴；
∴为直角三角形．
（2）∵，
∴，
∵为直角三角形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
故，
∵
∴．
26.如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，
抛物线的顶点为D点，点A的坐标为．
(1)求D点的坐标；
(2)连接，说明；
(3)若点P是直线下方抛物线上一动点，当点P位于何处时，的面积最大？求出此时点P的坐标．
解：（1）将代入，
则，
解得：，
，
；
（2）连接，如图，
∵，
令，则，即，
∵，，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴；
（3）如图，过点P作轴，垂足为R，与交于点Q，
设的解析式为，将，代入，
得，解得：，
∴的解析式为，
设，则，
∴，
∴的面积为，
∵点P在下方，
∴，
∴当时，的面积最大，
此时，．
