2023-2024学年第一学期九年级数学第一次作业调研
时间：120分钟 满分：120分
出卷人：张丽丽 审核人：孙宏
一、填空题（共12小题，共24分）
1． ． 2． ．3． ．4． ．
5． ． 6． ． 7． 度．8． °．
9． cm．10． °．11． ．12． ．
二、选择题（共6小题，共18分）
13．（ ） 14．（ ）15．（ ）16．（ ） 17．（ ）18．（ ）
三．解答题（共9小题，共78分）
19．解方程：（20分）
（1）4（x+1）2＝（直接开平方法）； （2）x2+4x+2＝0（配方法）；
（3）x（x﹣2）＝2﹣x（因式分解法）； （4）8x2+10x＝3（公式法）．
20．(6分)若一元二次方程x2﹣6x+8＝0．方程的两个根分别是等腰三角形的底边长和腰长，求该等腰三角形的周长．
21．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．
22．（6分）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系．
（1）过A，B，C三点的圆的圆心M坐标为 ．
（2）求⊙M的面积（结果保留π）．
23．（6分）《九章算术》标志中国古代数学形成了完整的体系．第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表述为：“如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．”请你解答这个问题．
24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证：∠BCO＝∠D；
（2）若CD＝4，OE＝1，求⊙O的半径．
25．（8分）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE．
（1）直线BE与⊙O相切吗？并说明理由；
（2）若CA＝2，CD＝4，求DE的长．
26．（9分）关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2+5＝0有两个实根x1，x2．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当m＝3时，若|x1|，|x2|恰好分别是一个直角三角形的两条直角边长，求这个直角三角形的斜边长c；
（3）若方程两实根x1，x2满足﹣x1﹣x2＝x1 x2，求m的值．
27．（11分）已知，如图：正方形ABCD，AB＝4，动点E以个单位每秒的速度从点A出发向终点C运动，同时动点F以2个单位每秒的速度从点B出发，沿射线BC向右运动．当点E到达点C时，点E、点F同时停止运动．连接EF，以EF为直径作⊙O，该圆与直线AC的另一个交点为点G．设运动时间为t．
（1）当点F在BC边上运动时，如图①，
①填空：FC＝ ，AE＝ ；（用含有t的代数式表示）
②连接DE，DF，求证：△DEF是等腰直角三角形；
（2）在运动的过程中，线段EG的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个定值；
（3）在运动的过程中，要使得圆心O始终在正方形ABCD的内部（不含边界），请直接写出点t的取值范围．
2023-2024学年第一学期九年级数学第一次作业调研
参考答案与试题解析
一、填空题（共12小题，共24分）
1． 1 ． 2． 5 ． 3． 6 ． 4． 7 ．
5．20 ． 6． 2019 ． 7． 100 度． 8． 120 °．
9． 8 cm． 10． 60° ． 11． x＝3或．12．①②③ ．
二、选择题（共6小题，共18分）
13．D．14．C．15．B．16．C．17．C．18．C．
三、解答题（共9小题，共78分）
19．解方程：（20分）
（1）x1＝﹣，x2＝﹣； （2）x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；
（3）x1＝2，x2＝﹣1； （4）x1＝，x2＝．
20．(6分)解：（1）x2﹣6x+8＝0，
（x﹣4）（x﹣2）＝0，
∴x﹣4＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝4，x2＝2；
（2）当等腰三角形的三边是2，2，4时，
∵2+2＝4，
∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；
②当等腰三角形的三边是2，4，4时，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+4+4＝10．
综上所述，等腰三角形的周长是10．
21．证明：∵Δ＝（m+2）2﹣4×2m
＝（m﹣2）2≥0，
∴不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）解：设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得1+t＝m+2①，1×t＝2m②，
②﹣①得﹣1＝m﹣2，
解得m＝1，
把m＝1代入②得t＝2，
所以m的值为1，方程的另一个根为2．
22．（6分）（1）过A，B，C三点的圆的圆心M坐标为 （1，﹣2） ．
（2）求⊙M的面积（结果保留π）．
圆的面积为10π．
23．（6分）解：如图，连接OC，
∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，
∴E为CD的中点，
又∵CD＝10寸，∴CE＝DE＝CD＝5寸，
设OC＝OB＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，
由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，
即（x﹣1）2+52＝x2， 解得x＝13， ∴AB＝26寸，
答：直径AB的长为26寸．
24．（6分）（1）证明：∵OC＝OB，
∴∠BCO＝∠B，∵，∴∠B＝∠D，∴∠BCO＝∠D；
解：∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，∴CE＝CD，
∵CD＝4，∴CE＝，
在Rt△OCE中，OC2＝CE2+OE2，
∵OE＝1， ∴，
解得：OC＝3（负数舍去），∴⊙O的半径为3．
25．（8分）∵CD切⊙O于D，∴OD⊥CE，
即∠EDO＝90°，∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，∵AD∥OE，
∴∠ODA＝∠DOE，∠OAD＝∠BOE，
∴∠DOE＝∠BOE，
在△DOE和△BOE中，
，
∴△DOE≌△BOE（SAS），∴∠EBO＝∠EDO＝90°，即OB⊥BE，∵OB过圆心O，∴直线BE与⊙O相切；
（2）设⊙O的半径为r，
在Rt△ODC中，由勾股定理得：OD2+CD2＝OC2，
42+r2＝（r+2）2，
解得：r＝3，
∵AD∥OE，
∴＝，
∵CD＝4，CA＝2，AO＝3，
∴＝，
解得：DE＝6，
答：DE的长是6．
26．（9分）解：（1）∵一元二次方程x2+2（m+1）x+m2+5＝0有两个实根x1，x2，
∴Δ＝[2（m+1）]2﹣4（m2+5）＝4m2+8m+4﹣4m2﹣20＝8m﹣16≥0，
解得：m≥2；
（2）当m＝3时，方程可化为x2+8x+14＝0，
∵x1+x2＝﹣8，x1 x2＝14，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（﹣8）2﹣2×14＝36，
所以斜边长6；
（3）﹣x1﹣x2＝﹣（x1+x2）＝x1 x2，
∴2（m+1）＝（m2+5），
∴m1＝1，m2＝2，
又∵m≥2，
∴m＝2．
得27．（11分）（1）当点F在BC边上运动时，如图①，
①填空：FC＝ 4﹣2t ，AE＝ t ；（用含有t的代数式表示）
②连接DE，DF，求证：△DEF是等腰直角三角形；
（2）在运动的过程中，线段EG的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个定值；
（3）在运动的过程中，要使得圆心O始终在正方形ABCD的内部（不含边界），请直接写出点t的取值范围．
【分析】（1）①CF＝BC﹣BF＝4﹣2t，进而得出结果；
②作EH⊥BC于H，交AD于G，证明△DGE≌△EHF，进一步得出结论；
（2）连接EF，FG，可计算出AC，CG的长，进而得出结论；
（3）计算出当圆心在CD上情形：当点O在CD上时，作EN⊥CD于N，可推出CF＝EN，进一步得出结果．
【解答】（1）①解：CF＝BC﹣BF＝4﹣2t，AE＝t，
故答案为：4﹣2t，t；
②证明：如图1，
作EH⊥BC于H，交AD于G，
∴∠DGE＝∠AGE＝∠BHE＝∠EHF＝90°，
∵四边形ABCD时正方形，∠B＝90°
∴∠DAE＝∠BAC＝45°，四边形ABHG是矩形，AB＝AD，
∴AG＝GE＝AE＝t，BH＝AG＝t，GH＝AB，
∵BF＝2t，
∴HF＝BF﹣BH＝t，EH＝GH﹣EG＝AB﹣t＝4﹣t，
∵DG＝AD﹣AG＝4﹣t，
∴EG＝FH＝t，DG＝EH，
∴△DGE≌△EHF（SAS），
∴DE＝EF，∠DEG＝∠EFH，
∵∠EFH+∠FEH＝90°，
∴∠FEH+∠DEG＝90°，
∴∠DEF＝90°，
∴△DEF时等腰直角三角形；
（2）解：如图2，
连接EF，FG，
∵EF是⊙O的直径，
∴∠CGF＝∠EGF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，AC＝AB＝4，
∴CG＝CF＝＝2﹣t，
∴EG＝AC﹣AE﹣CG＝4﹣t﹣（2﹣t）＝2，
当点F在BC的延长线上时，同样的方法求得：EG＝2，
综上所述：EG的长度不变，EG＝2；
（3）解：如图3，
当点O在CD上时，作EN⊥CD于N，
∵∠ENO＝∠FCO＝90°，∠EON＝∠COF，OE＝OF，
∴△EON≌△FOC（AAS），
∴EN＝CF，
∵EN＝CE＝（4﹣t）＝4﹣t，CF＝2t﹣4，
∴4﹣t＝2t﹣4，
∴t＝，
∴当0＜t＜时，点O在正方形ABCD的内部．2023-2024学年第一学期九年级数学第一次作业调研
时间：120分钟 满分：120分
一、填空题（共12小题，共24分）
1．若x＝1是方程mx2+2x﹣3＝0的根，则m的值为 ．
2．一元二次方程x2+3x+1＝0的根的判别式的值为 ．
3．若关于x的方程（a﹣2）x|4﹣a|+7x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值为 ．
4．若a，β是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根，则α﹣αβ+β的值为 ．
5．已知一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长 ．
6．若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2023﹣6a+2b的值为 ．
7．如图，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的切线，点A是切点，连接BC交⊙O于点D，连接OD，若∠C＝40°，则∠AOD＝ 度．
8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，BC＝2CD，则∠BAD的度数是 °．
9．如图，在⊙O中的半径OA＝5cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长度为 cm．
第7题 第8题 第9题 第10题
10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），P（﹣1，0），⊙P过原点O，且与x轴交于另一点D，AB为⊙P的切线，B为切点，BC是⊙P的直径，则∠BCD的度数为 °．
11．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表示a、b中的较大值，如：Max{1，3}＝3，按照这个规定，方程Max{1，x}＝x2﹣6的解为 ．
12．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若方程有一根x＝﹣1，则b﹣a﹣c＝0； ②若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
③若方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的两个根是x1＝2，x2＝5，那么方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝1，x2＝4；
④若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立．
其中正确的是 ．（填序号）
二、选择题（共6小题，共18分）
13．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x﹣1＝0 B．x﹣y＝0 C． D．x2﹣1＝0
14．关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k＜1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k＜1且k≠0
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝130°，则∠BOD的度数为（ ）
A．50° B．100° C．130° D．150°
16．如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC＝5，∠BAC＝∠D．则AB的长为（ ）
A．5 B．10 C．5 D．10
17．⊙O半径为5，弦AB∥CD，AB＝6，CD＝8，则AB与CD间的距离为（ ）
A．1 B．7 C．1或7 D．3或4
18．矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）
A．点B，C均在圆P外 B．点B在圆P外，点C在圆P内
C．点B在圆P内，点C在圆P外 D．点B，C均在圆P内
第15题 第16题 第18题
三．解答题（共9小题，共78分）
19．解方程：（20分）
（1）4（x+1）2＝（直接开平方法）； （2）x2+4x+2＝0（配方法）；
（3）x（x﹣2）＝2﹣x（因式分解法）； （4）8x2+10x＝3（公式法）．
20．(6分)若一元二次方程x2﹣6x+8＝0．方程的两个根分别是等腰三角形的底边长和腰长，求该等腰三角形的周长．
21．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．
22．（6分）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系．
（1）过A，B，C三点的圆的圆心M坐标为 ．
（2）求⊙M的面积（结果保留π）．
23．（6分）《九章算术》标志中国古代数学形成了完整的体系．第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表述为：“如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．”请你解答这个问题．
24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证：∠BCO＝∠D；
（2）若CD＝4，OE＝1，求⊙O的半径．
25．（8分）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE．
（1）直线BE与⊙O相切吗？并说明理由；
（2）若CA＝2，CD＝4，求DE的长．
26．（9分）关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2+5＝0有两个实根x1，x2．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当m＝3时，若|x1|，|x2|恰好分别是一个直角三角形的两条直角边长，求这个直角三角形的斜边长c；
（3）若方程两实根x1，x2满足﹣x1﹣x2＝x1 x2，求m的值．
27．（11分）已知，如图：正方形ABCD，AB＝4，动点E以个单位每秒的速度从点A出发向终点C运动，同时动点F以2个单位每秒的速度从点B出发，沿射线BC向右运动．当点E到达点C时，点E、点F同时停止运动．连接EF，以EF为直径作⊙O，该圆与直线AC的另一个交点为点G．设运动时间为t．
（1）当点F在BC边上运动时，如图①，
①填空：FC＝ ，AE＝ ；（用含有t的代数式表示）
②连接DE，DF，求证：△DEF是等腰直角三角形；
（2）在运动的过程中，线段EG的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个定值；
（3）在运动的过程中，要使得圆心O始终在正方形ABCD的内部（不含边界），请直接写出点t的取值范围．
