2023-2024学年上海市重点中学高三（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题（本大题共4小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要
2.设，是正实数，以下不等式；；；恒成立的序号为( )
A. B. C. D.
3.设是定义在上的函数，若存在两个不等实数，，使得，则称函数具有性质，那么下列函数：；；；，具有性质的函数的个数为( )
A. B. C. D.
4.已知，，若对任意实数均有，则满足条件的有序实数对的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 无数个
二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）
5.已知，，则 ______ ．
6.复数在复平面的第二象限内，则实数的取值范围是______ ．
7.函数的定义域为______ ．
8.已知，则______．
9.二项式的展开式中常数项为______．
10.点、都在同一个指数函数的图像上，则 ______ ．
11.将半径为的半圆形纸片卷成一个无盖的圆锥筒，则该圆锥筒的高为______ ．
12.已知数列的前项和为，且满足，，则______．
13.为抛物线上一点，其中，为抛物线焦点，直线方程为，，为垂足，则 ______ ．
14.已知一组数据分别是，，，，，，，若这组数据的平均数与众数之和等于中位数的倍、则 ______ ．
15.黎曼函数是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，黎曼函数定义在上，其定义为：当，若函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则 ______ ．
16.定义：如果函数在区间上存在，，且满足，，则称函数是区间上的一个双中值函数．已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是______．
三、解答题（本大题共5小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知等差数列的前项和为，，．
求数列的通项公式；
若，求的值．
18.本小题分
在正三棱柱中，，，求：
异面直线与所成角的大小；
四棱锥的体积．
19.本小题分
已知函数．
若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；
在中，角，，对应的边分别为，，，若将的图像向左平移个单位得到函数的图像，且，，，求的值．
20.本小题分
某公园有一块如图所示的区域，该场地由线段、、及曲线段围成经测量，，米，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，点到、的距离都是米，现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中点在线段或曲线段上，点、分别在线段、上，且该游乐场最短边长不低于米设米，游乐场的面积为平方米．
试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程；
求面积关于的函数解析式；
试确定点的位置，使得游乐场的面积最大结果精确到米
21.本小题分
已知函数．
求函数在处的切线方程；
若对任意的，恒成立，求的取值范围；
当时，设函数，对于任意的，试确定函数的零点个数，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意，由可以推出，
反之，由不能推出，
故“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
根据充分必要条件的概念，对两个条件进行正反论证，可得答案．
本题主要考查不等式的性质、充要条件的判断及其应用等知识，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：对于，当时，，，不等式的两边相等，
因此，不等式不恒成立，故错误；
对于，因为、圴为正数，所以且，
可知，可得恒成立，故正确；
对于，由基本不等式，得，
即不等式恒成立，故正确；
对于，故，
当时，，所以不成立，故错误．
综上所述，其中不等式恒成立的序号为．
故选：．
根据题意，利用基本不等式与绝对值不等式的性质，对各项依次加以判断，即可得到本题的答案．
本题主要考查不等式的性质、运用基本不等式求函数的最值、命题真假的判断等知识，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：：因为函数是奇函数，可找关于原点对称的点，比如，存在；
：假设存在，，使得，即，得，矛盾，故不存在；
：函数为偶函数，，令，，则，存在．
故选：．
根据题意，找出存在的点，如果找不出则需证明．
本题考查学生的理解能力，以及证明，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：，，任意实数均有，
当时，任意实数均有，且，
，时，符合题意；
任意实数均有，即，
，，
当且仅当任意实数均有，则，
当时，，则，解得，，
，，符合题意；
当时，，
，解得，，
又，，符合题意，
综上所述，满足条件的有序实数对为，，，共有个，
故选：．
根据，可分类讨论，时，结合正弦函数的图象与性质，即可得出答案．
本题考查正弦函数的图象与性质和函数恒成立问题，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：，，
．
故答案为：
找出与的公共元素，即可确定出交集．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：在复平面的第二象限内，
则，解得，
故实数的取值范围是．
故答案为：．
根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
7.【答案】，
【解析】解：要使原函数有意义，则，即，
解得或．
函数的定义域为，．
故答案为：，．
由根式内部的代数式大于等于，求解分式不等式得答案．
本题考查函数的定义域及其求法，考查分式不等式的解法，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：，
．
故答案为：
原式利用诱导公式化简，将的值代入计算即可求出值．
此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：展开式的通项公式为，
令，解得，
所以展开式的常数项为，
故答案为：．
求出展开式的通项公式，然后令的指数为，进而可以求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：设这个指数函数为，
过点，则有，，
，函数过点，
则有．
故答案为：．
将点代入指数函数得，再将点代入，可得．
本题考查指数函数，对数函数的性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：如图，圆是圆锥图的侧面展开图，
，则扇形弧长，
设圆锥度面圆周长为，则，
解得，
则在中，高．
故答案为：．
根据扇形弧长公式和勾股定理能求出该圆锥筒的高．
本题考查圆锥的结构特征、性质、扇形弧长公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：，，
，
解得，，
，
故数列为等差数列，
故，
故答案为：．
由题意得，从而确定，再求数列的前项和即可．
本题考查了等差数列的性质，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：由抛物线可得焦点，准线方程为，
由题意可得，，
．
故答案为：．
由题意可得，，可求．
本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力，属中档题．
14.【答案】或或
【解析】解：由题意得，这组数据的平均数为：
，众数是，
若，则中位数为，由题意有，解得；
若，则中位数是，此时，解得；
若，则中位数是，此时，解得；
综上所述，的值为或或．
故答案为：或或．
根据平均数和众数的概念求出平均数和众数，再分情况讨论得到中位数，根据题设列方程可求解．
本题考查平均数、中位数和众数的概念，属基础题．
15.【答案】
【解析】解：，
函数是定义在上的奇函数，且，
，，
，
当时，，
则．
故答案为：．
根据条件可得，再由时，，得到，由此能求出结果．
本题考查函数值的求法，函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：函数，则，
因为函数是区间上的双中值函数，所以，
则，，
由题意可知，方程在区间上有两个不相等的实数解，
即在区间上有两个不相等的实数解，
令，
则函数的图象在区间上与轴有两个不同的交点，
所以，解得，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
求出，利用题中给出的定义可得，从而得到方程在区间上有两个不相等的实数解，构造函数，然后利用一元二次方程根的分布，列出不等式组，求解即可．
本题考查了函数的新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于中档题．
17.【答案】解：设等差数列的公差为，由，，
得
解得，，
所以；
因为，
所以，
因为，所以，
即，所以．
【解析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解；
由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
18.【答案】解：
正三棱柱，，
是异面直线与所成角，
在中，，，
，
，
异面直线与所成角大小为．
正三棱柱中，，，
，
，
，
四棱锥的体积．
【解析】本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查四棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．
由，知是异面直线与所成角，由此能求出异面直线与所成角大小．
四棱锥的体积，由此能求出结果．
19.【答案】解：
，
时，，
则，
不等式等价于，
不等式对任意恒成立，
，解得：，
故的取值范围为．
由题意得，
，
，
由，得，
，，
，，
，
，
，
．
【解析】由题意及三角恒等变换化简函数，由的取值范围求的取值范围，进而由恒成立问题求解；
先有三角函数图象的平移得到，再结合已知条件求，进而解三角形即可得结论．
本题是三角函数的图像与性质和解三角形的综合问题，考查二倍角公式，诱导公式，辅助角公式．
20.【答案】解：以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，，
设曲线段所在抛物线的方程为，
由题意可知，点和在此抛物线上，
故，，
所以曲线段的方程为：；
由题意，线段的方程为：
当点在曲线段上时，，
当点在线段上时，，
所以，
当时，，
令，得，舍去，
当时，；当时，，
因此当时，是极大值，也是最大值．
当时，，
当时，是最大值．
因为，
所以时，取得最大值，此时，
所以当点在曲线段上且其到的距离约为米时，游乐场的面积最大．
【解析】以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，设曲线段所在抛物线的方程为，代点求解即可；
根据题意，分点在曲线段上和点在线段上两种情况讨论，写出分段函数解析式即可；
根据题意，分别计算和的最大值，比较即可．
本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：，则，，
函数在处的切线方程为，即；
，
对任意的，恒成立，即，即恒成立，
设，则，
令，解得，令，解得，
在上单调递减，在上单调递增，
，
实数的取值范围为；
当时，，
令，则，显然，则，即，
令，则，
由于，，则当且时，，当时，，
函数在，上单调递减，在上单调递增，且，
作出函数的图象如下图所示，
由图象可知，当时，函数与直线仅有一个交点，即函数仅有一个零点．
【解析】对函数求导，求得，，再由点斜式得到答案；
问题可转化为在上恒成立，设，利用导数求出函数的最小值即可；
根据题意化简可得，令，利用导数作出函数的大致图象，结合图象即可得出结论．
本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查分离变量思想，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
第1页，共1页
