2023-2024学年黑龙江省重点中学高三（上）第二次月考数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.设集合，，则( )
A. B.
C. ， D.
2.函数的零点所在区间为( )
A. B. C. D.
3.已知角的终边过点，则( )
A. B. C. D.
4.函数在区间上的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.已知为锐角，若，则( )
A. B. C. D.
6.等差数列的前项和为，，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.圣索菲亚教堂英语：坐落于中国黑龙江省，是一座始建于年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，被列为第四批全国重点文物保护单位其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点三点共线处测得楼顶教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，且，则实数的取值范围( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列说法正确的是( )
A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
B. 的最大值为
C. 的图象关于成中心对称
D. 的递减区间是
10.已知函数的图象为，以下说法中正确的是( )
A. 函数的最大值为
B. 图象关于中心对称
C. 函数在区间内是增函数
D. 函数图象上，横坐标伸长到原来的倍，向左平移可得到
11.已知向量，且，则下列选项正确的是( )
A.
B.
C. 向量与向量的夹角是
D. 向量在向量上的投影向量坐标是
12.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远若，，则下面结论正确的有( )
A. 若，则
B.
C. 若，则有最小值
D. 若，则的最小值为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知为虚数单位，复数满足，则______．
14.在等比数列中，如果，，那么 ______ ．
15.已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则 ______ ．
16.如图，在矩形中，，，，分别是和的中点，若是矩形内一点含边界，满足，且，则的最小值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
设数列是公比大于的等比数列，为数列的前项和，已知，且，，构成等差数列．
求数列的通项公式；
求数列的前项和．
18.本小题分
在中，内角，，的对边分别是，，，且满足．
求角；
若，求面积的最大值．
19.本小题分
已知向量，函数．
求函数的单调递增区间；
在中，、、分别是角、、的对边，且，，，求的周长．
20.本小题分
已知二次函数的图像过点和原点，对于任意，都有．
求函数的表达式；
设，若函数在上恒成立，求实数的最大值．
21.本小题分
已知函数的图象相邻对称轴之间的距离是，若将的图象向右移个单位，所得函数为奇函数．
求的解析式；
若函数的零点为，求；
若对任意，有解，求的取值范围．
22.本小题分
已知函数．
当时，求函数在上的单调递增区间；
当，若，恒有成立，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：或，，
，．
故选：．
根据一元二次不等式的解法和对数函数的单调求出集合，，然后进行并集的运算即可．
本题考查了一元二次不等式的解法，对数函数的单调性，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：在上是增函数
，，
，根据零点存在性定理，可得函数的零点所在区间为
故选：．
根据对数函数单调性和函数单调性的运算法则，可得在上是增函数，再通过计算、、的值，发现，即可得到零点所在区间．
本题给出含有对数的函数，求它的零点所在的区间，着重考查了基本初等函数的单调性和函数零点存在性定理等知识，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为角的终边过点，
所以，，
则．
故选：．
由已知利用任意角的三角函数的定义求解即可．
本题主要考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，关于原点对称，
，
所以函数为奇函数，故D错误；
因为，所以，所以，故A错误；
因为，所以，所以，故B错误．
故选：．
根据奇偶性排除，再取特值，排除．
本题主要考查了函数图象的变换，考查了函数奇偶性的判断，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：已知，
则，
又为锐角，
则，
则．
故选：．
由已知利用诱导公式可求的值，利用同角三角函数基本关系式可求，进而利用两角差的余弦公式即可求解的值．
本题考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，两角差的余弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为，，
则，
解得，
所以，
令，解得，
因为是等差数列，所以当，时，
，，当，时，，
所以的最大值为．
故选：．
由等差数列的通项公式求出，再结合通项公式判断的最大值．
本题考查了等差数列的前项和公式和的最值问题，熟练应用公式是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：由题意知，，，
所以，
在中，，
在中，由正弦定理得，
所以，
在中，
故选：．
在中，利用正弦定理得，再结合锐角三角函数的定义求得，，即可得解．
本题考查解三角形的实际应用，熟练掌握正弦定理，三角函数知识是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：令，定义域为，
，
所以为奇函数，
又．
当时，令，
则有，
因为，所以，
所以在上单调递增，
所以，
所以，所以在上单调递增，
又因为为奇函数，所以在上单调递增，
所以，
所以，
所以，即，解得，
即实数的取值范围是．
故选：．
令，判定函数的奇偶性与单调性，将不等式进行转化，即可求解的范围．
本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，由题意得，得，所以函数的定义域为，所以A正确；
对于，令，则，
因为，且在定义域内递减，
所以，所以的最小值为，所以B错误；
对于，因为，
所以是由反比例函数向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的，
因为的对称中心为，
所以的对称中心为，所以C正确；
对于，由，得或，
所以函数的定义域为，
令，则，
因为在上单调递减，在上单调递增，且在上递单调增，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以D错误．
故选：．
对于，由求解判断；
对于，利用换元法根据指数函数的单调性分析判断；
对于，对函数变形后，利用反比例函数的对称性和函数图象变换规律分析判断；
对于，利用换元法分析判断．
本题考查了指数函数、对数函数的性质，也考查了复合函数的单调性、求抽象函数的定义域，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：
对于，当时，函数的最大值为，故A错误；
对于，因为，
所以图象不关于中心对称，故 B错误；
对于，当时，，
所以函数在区间内是增函数，故 C正确；
对于，函数图象上，横坐标伸长到原来的倍，
得到再向左平移可得到，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合三角函数的恒等变换公式，对化简，再结合正弦函数的性质，即可求解．
本题主要考查三角函数的恒等变换公式，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：因为，且，
所以，所以，所以，则，故A正确；
所以，所以，故B错误；
因为，且，所以，故C正确；
向量在向量上的投影向量坐标为，故D错误．
故选：．
由平面向量的相关知识和坐标运算逐一判断各选项即可．
本题考查平面向量的坐标运算，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：若，，
若，则，当且仅当且，即，时取等号，A正确；
因为，当且仅当时取等号，
所以，B错误；
因为，，，
所以，当且仅当时取等号，C正确；
若，则，则，
所以，当且仅当时取等号，
但，显然等号取不到，D错误．
故选：．
由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由，得，
故答案为：．
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：设等比数列公比为，，，
则，可得；
所以．
故答案为：．
先设等比数列公比为，再通过，求出，继而的值可求．
本题考查等比数列的通项公式的应用，属基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为是定义在上的奇函数，且满足，则，
所以，即，
所以函数是周期为的周期函数，且当时，，
则．
故答案为：．
推导出函数是周期为的周期函数，再结合函数的周期性和奇偶性可求得的值．
本题主要考查函数奇偶性与周期性的应用，函数的求值，考查运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：以点为原点，边所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则：
，，，设，
，，
，
，且，，
，
时，取最小值．
故答案为：．
可以点为原点，直线为轴，建立平面直角坐标系，然后可得出，，，并设，然后根据可得出，从而可得出，这样即可得出的最小值．
本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，向量坐标的加法、数乘和数量积的运算，考查了计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：由题意可得：，，解得，
，又，解得，，
．
，
．
，
．
【解析】利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：因为，
由正弦定理得，
又因为，
可得，
则，
即，
可得，
因为，
所以．
因为，且，
由余弦定理知，即，
可得，
又由，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以的面积，
即的面积的最大值为．
【解析】利用正弦定理化边为角，将等式化简即可得到，进而求得角的值；
由及余弦定理，结合重要不等式可求出的最大值，即可求出面积的最大值．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式以及三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
19.【答案】解：由题意可得：，
令，
得，
所以函数的单调递增区间是；
由知，，即，
因为，所以，
所以，解得，
由余弦定理有：，
即，
解得，
所以的周长为．
【解析】利用向量数量积的坐标表示，二倍角公式、辅助角公式求出并化简，再利用正弦函数单调性求解作答．
由求出，再利用余弦定理求解作答．
本题考查平面向量的数量积，三角恒等变换，三角函数的性质，解三角形等，属于中档题．
20.【答案】解：由题意得，所以，，，
因为对于任意，都有，即恒成立，
故，解得，
，
所以；
由得，
当时，不等式恒成立；
当时，，
令，则，
即，
当且仅当时，即时，实数取得最大值．
【解析】由题意得，得，从而恒成立，得，即可求解；
依题意可得，分和两种情况，当时，分离变量进行求解即可．
本题主要考查了待定系数法求解函数解析式，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，属于中档题．
21.【答案】解：知函数的图象相邻对称轴之间的
距离是，，．
若将的图象向右移个单位，所得函数为奇函数，
，，故．
由已知方程 的解为即，
所以．
，，，；
要是有解，即在上有解；；，
解得，所以，．
【解析】由题意利用正弦函数的图象和性质，函数的图象变换规律，求得的解析式．
由题意利用诱导公式，求得要求式子的值．
，利用正弦函数的定义域和值域，求得的范围，从而得到的范围．
本题主要考查函数的图象变换规律，诱导公式，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
22.【答案】解：由已知，
，
令，可得，
，又，
或，
函数在上的单调递增区间为和；
设，，
则．
设，又，
则，当且仅当且时取等号，
单调递增，即在上单调递增，
．
当时，，在上单调递增，
，不符合题意；
当时，，在上单调递减，
，符合题意；
当时，由于为一个单调递增的函数，
而，，
由零点存在性定理，必存在一个零点，使得，
从而在上单调递减，在上单调递增，
因此只需，，
，从而，
综上，的取值范围为，
因此．
设，则，
令，则，
在上单调递减，在上单调递增，
从而，
的最小值为．
【解析】求函数的导函数，解不等式可求函数的单调递增区间；
设，，根据条件求出的范围后，根据，可得的最小值．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于难题．
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