明确目标 确定方向
1.掌握平抛运动的特点和性质.
2.理解斜抛运动和类平抛运动规律
3.能用平抛运动解决实际问题
【知识回归】 回归课本 夯实基础
第一部分基础知识梳理
一平抛运动
1.定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动。
2.性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
3.研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动；
(2)竖直方向：自由落体运动。
4.基本规律
以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向。
(1)位移关系
(2)速度关系
二、斜抛运动
1.定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。
2.性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
3.研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动；
(2)竖直方向：匀变速直线运动。
4.基本规律(以斜上抛运动为例，如图所示)
(1)水平方向：v0x＝v0cos__θ，F合x＝0；
(2)竖直方向：v0y＝v0sin__θ，F合y＝mg。
三、类平抛运动问题分析
类平抛运动问题分析
1．受力特点
物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。
2．运动特点
在初速度v0方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝。
第二部分重难点辨析
一、平抛运动的有用的结论
1．飞行时间
t＝，飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。
2．水平射程
x＝v0t＝v0即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关。
3．落地速度
，以θ表示落地时速度与x轴正方向间的夹角，有tan θ＝＝，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关。
4．速度改变量
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示。
5．两个重要推论
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图甲中A点和B点所示。
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α，如图乙所示。
二斜面上的平抛规律
1垂直斜面：
如图所示
方法：分解速度
vx＝v0
vy＝gt
tan θ＝＝
可求得t＝
2顺着斜面的平抛运动
如图所示
方法：分解位移
x＝v0t
y＝gt2
tan θ＝
可求得t＝
3对着竖直墙壁的平抛运动
如图所示，水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移相同。运动时间为t＝。
4半圆内的平抛运动
如图所示，由半径和几何
关系制约时间t：h＝gt2
R±＝v0t
联立两方程可求t。
【典例分析】 精选例题 提高素养
【例1】．2022年北京冬奥会高山滑雪项目是从高山上向山下以滑雪板、滑雪鞋、固定器和滑雪杖为主要用具的竞技运动。如图为某次训练中，运动员（可视为质点）从水平平台上以20m/s的速度冲向夹角为的倾斜雪道面，落点仍在该斜面上，忽略空气阻力，重力加速度取，则运动员距雪道面的最远距离约为（ ）
A．5.1m B．10.2m C．14.1m D．21.1m
例1【答案】C
【详解】把运动员在某时刻的速度分解为沿斜面方向和垂直于斜面方向，垂直于斜面方向的分速度
同理将加速度也分解为沿斜面和垂直于斜面方向，其中垂直于斜面方向的加速度
当沿垂直斜面方向分速度为零时，运动员距离斜面最远，则有
故选C。
【例2】．．从高处的点A先后水平抛出两个小球1和2，球1与地面碰撞一次后，恰好越过位于水平地面上高为h的竖直挡板，然后落在水平地面上的D点，碰前碰后的速度水平方向不变，竖直方向等大反向。球2恰好越过挡板也落在D点，忽略空气阻力。挡板的高度h为（ ）
A． B． C． D．
例2【答案】B
【详解】A．设1、2球的初速度分别为、，从抛出到落到D点运动的时间分别为、则对两球在水平方向有
依题意
所以
又因两球飞过竖直挡板前的水平位移相同，而速度的水平分量的关系为
故它们飞过挡板前的运动时间满足
设球1从第一次落地到飞至挡板顶端所用的时间为t，则上述关系可写为
球1第一次落地时速度的竖直分量为
到达挡板顶端时速度的竖直分量为
两者满足
联立方程并代入数据可得
故选B。
【例3】．树上的苹果成熟了，站在地面上的小孩抛掷石子击落苹果。如图所示，已知小孩抛出石子的位置离地高为1.25m，与苹果的水平距离为1.2m。石子与苹果的飞行轨迹在同一竖直面内，取，不计空气阻力，（）。
（1）小孩斜向上抛出第一颗石子，石子到达最高点时恰好击中树上离地2.05m高的一个苹果，求：
①速度大小
②石子被抛出时的速度与水平方向的夹角；
（2）若（1）问中被击中的苹果自由落下，小孩看到苹果开始下落后，经过短暂的反应时间，将第二颗石子水平抛出，为了能在落地前击中苹果，求反应时间的最大值。
例3【答案】（1）①，②方向与水平成53°；（2）
【详解】（1）假设速度大小v，方向与水平成角，石子上升
得
所用时间
水平方向速度为
由勾股定理得抛出时的速度
方向与水平成53°斜向上。
（2）方法一：设反应时间为，石子抛出后运动的时间为，
由
得
因为石子抛出后运动的时间，所以反应时间
即最大的反应时间趋向0.4s。
方法二：石子抛出的初速度越大，石子和苹果相遇的位置越高，允许的反应时间越长，
相遇的位置高度不断接近抛出点高度，反应时间趋向。
【例4】10．如图所示，直角坐标系的轴水平向右、y轴竖直向下，一挡板的曲线形状满足方程，现从坐标原点以速率竖直向上抛出小球甲，经过时间返回到坐标原点，再从坐标原点以速率水平向右抛出小球乙，经过一段时间落到挡板上，不计空气阻力，重力加速度g取，则为（ ）
A．1：1 B．1：2 C．1：4 D．1：6
例4【答案】C
【详解】由竖直上抛运动的规律可得
由平抛运动的规律
结合
综合可得
则有
选项C正确，ABD错误。
故选C。
【巩固练习】 举一反三 提高能力
1．“飞镖”是一项深受人们喜爱的运动，镖靶如图所示，一同学练习投镖，若他每次出手都是将飞镖水平投出，飞镖在空中运动可视为平抛运动，设飞镖射出时离地高度为h，飞镖射出时离镖靶水平距离s，飞镖射出速度为，某次飞镖投在了靶心的正下方某处，该同学下次打靶时做出调整只改变一个量，可让飞镖投中靶心的是（ ）
A．适当减小h B．适当减小 C．适当增大s D．适当增大
1【答案】D
【详解】根据平抛运动规律有
，
解得
由题意可知要让飞镖投中靶心，必须减小h，就要适当减小s或适当增大。
故选D。
2．如图所示为某同学拍摄的空中的水柱照片，在照片上取高度差为的A、B两点，已知A、B两点的切线方向与竖直方向的夹角为、，照片缩小的比例尺为1∶40，不计空气阻力，重力加速度取。下列说法正确的是（ ）
A．水流的水平分速度为 B．B点水流的速度大小为
C．水流从A点到B点的时间为 D．A点到B点的距离为
2【答案】D
【详解】A．设水流的水平分速度为，A、B两点的竖直分速度为
，
由，其中，解得
故A错误；
B．B点水流的速度为
故B错误；
C．水流从A点到B点的时间为
故C错误；
D．从A点到B点的水平距离为
则A点到B点的距离为
故D正确。
故选D。
3．如图，在一个足够长的斜面上，有很多个台阶，每一个台阶高均为，宽均为，从上到下将台阶标记为第1、第2、第3……号台阶。现在从第一号台阶末端沿水平方向抛出一个小球，抛出的初速度为，小球在空中运动的轨迹平面与过抛出点的台阶纵切面在同一个竖直平面内，不计空气阻力，小球第一次将落在第n号台阶上。则（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
3【答案】C
【详解】如图作一条连接各端点的直线，只要小球越过该直线，则小球落到台阶上
设小球落到斜线上的时间t，水平
竖直
且
联立解得
相应的水平距离
则台阶数
知小球抛出后首先落到的台阶为第19级台阶。
故选C。
4．A、B、C、D四个小球分别从不同的高度以不同的初速度水平抛出。根据下表中的小球的瞬时速度与竖直方向之间的夹角最大的是（ ）
小球 A B C D
高度h/m 5 5 10 10
初速度 5 10 5 10
A．A B．B C．C D．D
4【答案】B
【详解】竖直方向，根据
可得
小球的瞬时速度与竖直方向之间的夹角
联立可得
可知初速度越大，高度越低，夹角越大。
故选B。
5．如图所示，、是倾角均为30°的两斜面，某同学（可看成质点）从斜面上A点分别以速度、、沿水平方向跳出，分别落在、、三点，落地时速度分别为、和。该同学受到的空气阻力忽略不计，已知重力加速度为，。下列说法正确的是（ ）
A．、的方向和方向间的夹角不同
B．、的方向和方向间的夹角相同
C．
D．
5【答案】D
【详解】AB．该同学落到斜面、上时位移与水平方向的夹角均为30°，由平抛运动推论可知，、的方向和方向间的夹角相同，同理可知，、的方向和方向间的夹角不同，故AB错误；
C．该同学落到、点时，竖直位移之比为1∶2，竖直方向有
可得在空中运动的时间之比为，又水平位移之比为1∶2，由
则
故C错误；
D．由题意可知，该同学落到B点和C点时在空中下落的高度相等，即在空中运动的时间相等，又
则
结合上述分析可得
故D正确。
故选D。
6．如图所示，在竖直平面内，离地一定高度的树上挂有一个苹果，地面上玩具手枪的枪口对准苹果。某时刻苹果从O点自由下落，同时玩具子弹也从枪口P以一定初速度射出，子弹运动一段时间后到达最高点Q，而苹果也下落到M点，最后子弹在N点“击中”苹果。若子弹和苹果都看成质点，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．子弹到达最高点的速度为0
B．PQ的竖直高度等于OM的距离
C．子弹“击中”苹果时竖直方向的分速度大于苹果下落的速度
D．子弹从P运动到Q的过程中速度变化量的方向始终竖直向上
6【答案】B
【详解】A．子弹做斜抛运动，在最高点速度为水平分速度不为零，故A错误；
B．某时刻苹果从O点自由下落，同时玩具子弹也从枪口P以一定初速度射出，所以运动时间相同，而苹果竖直方向初速度为零，自由落体，子弹竖直方向逆运动也是初速度为零，自由落体，所以PQ的竖直高度等于OM的距离，故B正确；
C．子弹“击中”苹果时竖直方向的分速度小于苹果下落的速度，因为在M、Q处，苹果竖直分速度大，而两者加速度相同，故C错误；
D．根据
可知，子弹从P运动到Q的过程中速度变化量的方向始终竖直向下，故D错误。
故选B。
7．2022年2月15日，苏翊鸣在北京冬奥会单板滑雪男子大跳台比赛中夺得冠军，成为首位赢得冬奥会单板滑雪金牌的中国运动员。大跳台主要由助滑道，起跳台和着陆坡组成，如图所示，运动员在助滑道下滑后在起跳台起跳，在空中做抛体运动后落在着陆坡上。某次比赛苏翊鸣在距离起跳点34m高处从静止下滑，在空中最高点时距起跳点12.8m，在空中飞跃的总时间为4s，已知起跳台斜面倾角为37°，苏翊鸣的质量为70kg，不考虑空气阻力，g取10m/s2，以下说法正确的是（ ）
A．起跳速度为16m/s B．在最高点速度为0
C．下滑过程机械能守恒 D．从下滑到着陆重力做功35000J
7【答案】D
【详解】C．下滑过程中需要克服阻力做功，所以机械能不守恒，故C错误；
B．运动员从起跳台跳出后做斜上抛运动，有
解得
，
所以运动员在最高点的速度为，故B错误；
A．起跳速度为
故A错误；
D．运动员从起跳台起跳到着陆竖直方向的位移为
所以从下滑到着陆重力做功为
故D正确。
故选D。
8从P点水平抛出一个小球，小球运动到A点和B点时，重力的瞬时功率之比为1∶2，若P、A连线与水平方向夹角为，A、B连线与水平方向夹角为，不计空气阻力，则为（ ）
A． B． C． D．
8【答案】B
【详解】由题知，小球运动到A点和B点时，重力的瞬时功率之比为1∶2，则有
= = ，v = gt，v = g2t
由上式可知，t = t，则
tanα = ，tanθ = ，x = vt = x，y = gt2，y = gt × t + gt2
代入数据有
=
故选B。
9．二战时盟军对敌人大坝的攻击所用的沃利斯跳弹利用了打水漂的原理。将打水漂的每一次弹跳简化为一块石片斜抛运动，石片每次与水作用后水平方向的速度大小保留0.8倍且方向不变竖直方向速度反向并保留原竖直方向速度大小的0.96倍，且石片入水时的速度与水平方向间的夹角超过，石片就会沉入水中。某人从距水面高处以的速度水平抛出石片，不计空气阻力，取，，重力加速度，则石片可以大致形成的水漂个数为（石片能从水面跳出一次计一个水漂）（ ）
A．7 B．10 C．11 D．21
9【答案】C
【详解】根据平抛运动，可知石块第一次入水时的速度
竖直方向由
节得
形成第一个水漂后出水，根据题意
经过n次水漂后
此时当
即
即
整理有
解得
完成11个水漂，第12次落水时不能形成水漂，沉入水中。
故选C。
多选10．极限运动员想驾驶摩托车以30 m/s的水平初速度做飞越河谷表演，河谷的尺寸如图所示。关于摩托车能否越过该河谷的说法正确的是（ ）
A．由于摩托车质量较大，空气阻力影响较小，摩托车的运动可以看做平抛运动
B．根据图中的尺寸，摩托车能够飞跃河谷
C．根据图中的尺寸，摩托车不能飞跃河谷
D．根据图中的尺寸，不能完全确定摩托车是否能飞跃河谷
10【答案】AC
【详解】A．由于摩托车质量较大，空气阻力影响较小，摩托车只受重力作用，其运动可以看做平抛运动，故A正确；
BCD．假设可以飞跃河谷的最小速度为，根据平抛运动规律有
解得
>30 m/s
则摩托车不能飞跃河谷，故BD错误，C正确；
故选AC。
多选11．2023年WTT世界乒联新加坡大满贯赛于3月19日晩落下帷幕，中国乒乓队再次创造了包揽5金的辉煌，孙颖莎成就了三冠王。如图所示，球网位于球台的中间位置，球台的左、右边界分别记为、，边界中点正上方处为点。某次孙颖莎将球从点垂直于水平向右击出，恰好经过网上边沿的点后落在球台上点，不计空气阻力。已知网高为，、之间的距离为，重力加速度为。以下说法正确的是（ ）
A．乒乓球被击出时的初速度大小为
B．球的落点与击出点之间的水平距离为
C．球在落点处的速度方向与水平方向夹角的正切值为
D．若只限定在b点水平击出，球的初速度只有不大于，才会落在对方台面上
11【答案】AB
【详解】AB．设乒乓球被击出时的初速度大小为，乒乓球被击出后做平抛运动，恰好经过网上边沿的点，设所用时间为，则有
解得
设球整个落在球台上的时间为，落点与击出点之间的水平距离为，则有
解得
故AB正确；
C．球在竖直方向做自由落体运动，这在落点处竖直方向的速度为，落点处速度方向与水平方向的夹角为，则有
解得
故C错误；
D．若保持击球高度不变，且垂直MN击打乒乓球，要想球落在对方界内，要既不能出界，又不能触网，则平抛运动的速度为
但若只限定在b点水平击出，则水平位移的最大值应该是点与P或Q的连线，明显大于，因此最大速度应该大于，而平抛运动的最小速度为
故D错误。
故选AB。
多选12．如图所示为滑雪运动赛道的简化示意图，甲、乙两运动员分别从AB曲面（可视为光滑）上的M、N两点（图中未画出）由静止滑下，到达B点后，分别以速度v1、v2水平飞出。甲经t1后落到斜坡滑道上C点，乙经t2后落到斜坡滑道上D点。已知O在B的正下方，斜坡滑道OD足够长且倾角为，不计空气阻力，两运动员均可视为质点。下列说法正确的是（ ）
A．M点的高度低于N点的高度
B．甲、乙分别落在C、D两点时的速度方向与OD间的夹角相等
C．若测得OC＝CD，一定有
D．若测得2BC＞BD，则有可能OC＝CD
12【答案】ACD
【详解】A．乙落在斜面的位置更远，故乙从B点出射速度更大，则下滑的初位置更高，A正确；
B．设两运动员落到斜面上的速度方向与水平面夹角分别为、，位移方向和水平方向的夹角分别为、，则有
根据平抛运动推论：速度与水平方向夹角和位移与水平方向夹角关系满足
可得
又因为
，
所以可得
B错误；
C．设OB间的距离为h0，OC和CD的高度差均为h，两次平抛运动的时间分别为和，竖直方向做自由落体运动，有
,
两式相比可得
所以可得
C正确；
D．假设，设人从B点水平抛出落在C点时，水平位移为x，则落在D点时的平位移为2x，则可得
，
由选项B分析可知
得
所以BC与BD间的距离关系满足
D正确。
故选ACD。
多选13．如图所示，一同学在A点将篮球斜向上抛出，速度大小为，与水平方向所成的角度为，篮球垂直打在竖直篮板上的S点反向弹出后，落在B点速度大小为，与水平方向的夹角为（未标出），已知篮球从A点到S点的时间为，从S点到B点的时间为，A、B、O点在一条水平线上，且，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
13【答案】AD
【详解】A．由题意可知，篮球从A到S过程中用逆向思维可看成从S到A的平抛运动，与从S到B的平抛运动高度相同，则
故A正确；
B．由题意可知，即从S到B过程中平抛运动的位移与水平方向的夹角为，由平抛运动规律可知，落地时的速度方向与水平方向夹角正切值等于位移与水平方向夹角正切值的2倍，所以
故B错误；
C．由平抛运动规律可得
、
则
故C错误；
D．由于两次的时间相同，则
则
且
联立解得
故D正确。
故选AD。
多选14．如图在同一竖直平面内将两个完全相同的小球从不同的位置沿水平方向抛出，抛出点分别为A点和B点（图中未画出），初速度分别为vA和vB，并且vA＞vB，经过一段时间的运动后，两个小球同时垂直落到斜面上的同一个位置O点，不计空气阻力，则（ ）
A．两个小球的运动时间一定不同
B．两个小球落到斜面上时的动能可能相同
C．AO连线与水平方向的夹角一定与斜面的倾角相同
D．AO连线与水平方向的夹角一定和BO连线与水平方向的夹角相同
14【答案】AD
【详解】A．根据平行四边形法则和几何关系，以速度平抛垂直落到斜面上，竖直方向的分速度为
又
则
由于
vA＞vB
则
tA＞tB
故A正确；
B．根据平行四边形法则和几何关系，以速度平抛垂直落到斜面上，落到斜面上的速度
由于
vA＞vB
则
vtA＞vtB
动能
则两个小球落到斜面上时的动能不同，故B错误；
CD．根据平行四边形法则和几何关系，以速度平抛垂直落到斜面上，设抛出点与落到斜面上的点的连线与水平方向的夹角为，则
②
联立①②得
可知AO连线与水平方向的夹角一定和BO连线与水平方向的夹角相同，AO连线与水平方向的夹角一定与斜面的倾角不同，故C错误，D正确。
故选AD。
多选15．跳台滑雪是北京2022年冬奥会的比赛项目之一，某次训练过程简化为如图所示，运动员从一定高度处以一定的初速度水平飞出，在空中运动t0时间后，落在倾角为30°的斜坡上，速度方向恰好沿斜坡向下，又经时间t0到达坡底。若不计摩擦与空气阻力，则整个运动过程中运动员沿水平、竖直方向的分速度v、v随运动时间t的变化情况为（ ）
A． B．
C． D．
15【答案】AD
【详解】运动员从一定高度处水平飞出后，在第1个t0时间内做平抛运动，其水平方向的分速度不变，竖直方向的分速度
vy=gt
均匀增大，加速度为g，且
可得
落到斜坡上后，运动员在第2个t0时间内做匀加速直线运动，加速度为
沿水平方向的分加速度为
水平方向末速度
沿竖直方向的分加速度为
由此可知，运动员在竖直方向第1个t0时间内的加速度是第2个t0时间内加速度的4倍。故AD正确，BC错误。
故选AD。
16．如图所示，一倾角为30°的山坡上从A点由静止开始滚下一个地雷（阻力不计），为不使它在山脚下造成危害，在A点发射一发炮弹使之在山坡上击中地雷引爆，当炮弹水平发射时地雷已滚下2s时间，。为击中地雷，求：
（1）炮弹的初速度应为多大？
（2）地雷从滚下到被引爆这一过程位移大小为多少？
16【答案】（1）；（2）40m
【详解】（1）设炮弹飞行时间为 t，由平抛可知
对地雷受力分析，由牛顿第二运动定律可得
则地雷沿斜面向下的距离
由几何关系
联立解得
由斜面上的平抛运动可知，当炮弹落到斜面上时，位移偏转角为，即
解得
（2）由（1）可知，地雷沿斜面向下的距离明确目标 确定方向
1.掌握平抛运动的特点和性质.
2.理解斜抛运动和类平抛运动规律
3.能用平抛运动解决实际问题
【知识回归】 回归课本 夯实基础
第一部分基础知识梳理
一平抛运动
1.定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动。
2.性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
3.研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动；
(2)竖直方向：自由落体运动。
4.基本规律
以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向。
(1)位移关系
(2)速度关系
二、斜抛运动
1.定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。
2.性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
3.研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动；
(2)竖直方向：匀变速直线运动。
4.基本规律(以斜上抛运动为例，如图所示)
(1)水平方向：v0x＝v0cos__θ，F合x＝0；
(2)竖直方向：v0y＝v0sin__θ，F合y＝mg。
三、类平抛运动问题分析
类平抛运动问题分析
1．受力特点
物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。
2．运动特点
在初速度v0方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝。
第二部分重难点辨析
一、平抛运动的有用的结论
1．飞行时间
t＝，飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。
2．水平射程
x＝v0t＝v0即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关。
3．落地速度
，以θ表示落地时速度与x轴正方向间的夹角，有tan θ＝＝，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关。
4．速度改变量
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示。
5．两个重要推论
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图甲中A点和B点所示。
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α，如图乙所示。
二斜面上的平抛规律
1垂直斜面：
如图所示
方法：分解速度
vx＝v0
vy＝gt
tan θ＝＝
可求得t＝
2顺着斜面的平抛运动
如图所示
方法：分解位移
x＝v0t
y＝gt2
tan θ＝
可求得t＝
3对着竖直墙壁的平抛运动
如图所示，水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移相同。运动时间为t＝。
4半圆内的平抛运动
如图所示，由半径和几何
关系制约时间t：h＝gt2
R±＝v0t
联立两方程可求t。
【典例分析】 精选例题 提高素养
【例1】．2022年北京冬奥会高山滑雪项目是从高山上向山下以滑雪板、滑雪鞋、固定器和滑雪杖为主要用具的竞技运动。如图为某次训练中，运动员（可视为质点）从水平平台上以20m/s的速度冲向夹角为的倾斜雪道面，落点仍在该斜面上，忽略空气阻力，重力加速度取，则运动员距雪道面的最远距离约为（ ）
A．5.1m B．10.2m C．14.1m D．21.1m
【例2】．．从高处的点A先后水平抛出两个小球1和2，球1与地面碰撞一次后，恰好越过位于水平地面上高为h的竖直挡板，然后落在水平地面上的D点，碰前碰后的速度水平方向不变，竖直方向等大反向。球2恰好越过挡板也落在D点，忽略空气阻力。挡板的高度h为（ ）
A． B． C． D．
【例3】．树上的苹果成熟了，站在地面上的小孩抛掷石子击落苹果。如图所示，已知小孩抛出石子的位置离地高为1.25m，与苹果的水平距离为1.2m。石子与苹果的飞行轨迹在同一竖直面内，取，不计空气阻力，（）。
（1）小孩斜向上抛出第一颗石子，石子到达最高点时恰好击中树上离地2.05m高的一个苹果，求：
①速度大小
②石子被抛出时的速度与水平方向的夹角；
（2）若（1）问中被击中的苹果自由落下，小孩看到苹果开始下落后，经过短暂的反应时间，将第二颗石子水平抛出，为了能在落地前击中苹果，求反应时间的最大值。
【例4】10．如图所示，直角坐标系的轴水平向右、y轴竖直向下，一挡板的曲线形状满足方程，现从坐标原点以速率竖直向上抛出小球甲，经过时间返回到坐标原点，再从坐标原点以速率水平向右抛出小球乙，经过一段时间落到挡板上，不计空气阻力，重力加速度g取，则为（ ）
A．1：1 B．1：2 C．1：4 D．1：6
【巩固练习】 举一反三 提高能力
1．“飞镖”是一项深受人们喜爱的运动，镖靶如图所示，一同学练习投镖，若他每次出手都是将飞镖水平投出，飞镖在空中运动可视为平抛运动，设飞镖射出时离地高度为h，飞镖射出时离镖靶水平距离s，飞镖射出速度为，某次飞镖投在了靶心的正下方某处，该同学下次打靶时做出调整只改变一个量，可让飞镖投中靶心的是（ ）
A．适当减小h B．适当减小 C．适当增大s D．适当增大
2．如图所示为某同学拍摄的空中的水柱照片，在照片上取高度差为的A、B两点，已知A、B两点的切线方向与竖直方向的夹角为、，照片缩小的比例尺为1∶40，不计空气阻力，重力加速度取。下列说法正确的是（ ）
A．水流的水平分速度为 B．B点水流的速度大小为
C．水流从A点到B点的时间为 D．A点到B点的距离为
3．如图，在一个足够长的斜面上，有很多个台阶，每一个台阶高均为，宽均为，从上到下将台阶标记为第1、第2、第3……号台阶。现在从第一号台阶末端沿水平方向抛出一个小球，抛出的初速度为，小球在空中运动的轨迹平面与过抛出点的台阶纵切面在同一个竖直平面内，不计空气阻力，小球第一次将落在第n号台阶上。则（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
4．A、B、C、D四个小球分别从不同的高度以不同的初速度水平抛出。根据下表中的小球的瞬时速度与竖直方向之间的夹角最大的是（ ）
小球 A B C D
高度h/m 5 5 10 10
初速度 5 10 5 10
A．A B．B C．C D．D
5．如图所示，、是倾角均为30°的两斜面，某同学（可看成质点）从斜面上A点分别以速度、、沿水平方向跳出，分别落在、、三点，落地时速度分别为、和。该同学受到的空气阻力忽略不计，已知重力加速度为，。下列说法正确的是（ ）
A．、的方向和方向间的夹角不同
B．、的方向和方向间的夹角相同
C．
D．
6．如图所示，在竖直平面内，离地一定高度的树上挂有一个苹果，地面上玩具手枪的枪口对准苹果。某时刻苹果从O点自由下落，同时玩具子弹也从枪口P以一定初速度射出，子弹运动一段时间后到达最高点Q，而苹果也下落到M点，最后子弹在N点“击中”苹果。若子弹和苹果都看成质点，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．子弹到达最高点的速度为0
B．PQ的竖直高度等于OM的距离
C．子弹“击中”苹果时竖直方向的分速度大于苹果下落的速度
D．子弹从P运动到Q的过程中速度变化量的方向始终竖直向上
7．2022年2月15日，苏翊鸣在北京冬奥会单板滑雪男子大跳台比赛中夺得冠军，成为首位赢得冬奥会单板滑雪金牌的中国运动员。大跳台主要由助滑道，起跳台和着陆坡组成，如图所示，运动员在助滑道下滑后在起跳台起跳，在空中做抛体运动后落在着陆坡上。某次比赛苏翊鸣在距离起跳点34m高处从静止下滑，在空中最高点时距起跳点12.8m，在空中飞跃的总时间为4s，已知起跳台斜面倾角为37°，苏翊鸣的质量为70kg，不考虑空气阻力，g取10m/s2，以下说法正确的是（ ）
A．起跳速度为16m/s B．在最高点速度为0
C．下滑过程机械能守恒 D．从下滑到着陆重力做功35000J
8从P点水平抛出一个小球，小球运动到A点和B点时，重力的瞬时功率之比为1∶2，若P、A连线与水平方向夹角为，A、B连线与水平方向夹角为，不计空气阻力，则为（ ）
A． B． C． D．
9．二战时盟军对敌人大坝的攻击所用的沃利斯跳弹利用了打水漂的原理。将打水漂的每一次弹跳简化为一块石片斜抛运动，石片每次与水作用后水平方向的速度大小保留0.8倍且方向不变竖直方向速度反向并保留原竖直方向速度大小的0.96倍，且石片入水时的速度与水平方向间的夹角超过，石片就会沉入水中。某人从距水面高处以的速度水平抛出石片，不计空气阻力，取，，重力加速度，则石片可以大致形成的水漂个数为（石片能从水面跳出一次计一个水漂）（ ）
A．7 B．10 C．11 D．21
多选10．极限运动员想驾驶摩托车以30 m/s的水平初速度做飞越河谷表演，河谷的尺寸如图所示。关于摩托车能否越过该河谷的说法正确的是（ ）
A．由于摩托车质量较大，空气阻力影响较小，摩托车的运动可以看做平抛运动
B．根据图中的尺寸，摩托车能够飞跃河谷
C．根据图中的尺寸，摩托车不能飞跃河谷
D．根据图中的尺寸，不能完全确定摩托车是否能飞跃河谷
多选11．2023年WTT世界乒联新加坡大满贯赛于3月19日晩落下帷幕，中国乒乓队再次创造了包揽5金的辉煌，孙颖莎成就了三冠王。如图所示，球网位于球台的中间位置，球台的左、右边界分别记为、，边界中点正上方处为点。某次孙颖莎将球从点垂直于水平向右击出，恰好经过网上边沿的点后落在球台上点，不计空气阻力。已知网高为，、之间的距离为，重力加速度为。以下说法正确的是（ ）
A．乒乓球被击出时的初速度大小为
B．球的落点与击出点之间的水平距离为
C．球在落点处的速度方向与水平方向夹角的正切值为
D．若只限定在b点水平击出，球的初速度只有不大于，才会落在对方台面上
多选12．如图所示为滑雪运动赛道的简化示意图，甲、乙两运动员分别从AB曲面（可视为光滑）上的M、N两点（图中未画出）由静止滑下，到达B点后，分别以速度v1、v2水平飞出。甲经t1后落到斜坡滑道上C点，乙经t2后落到斜坡滑道上D点。已知O在B的正下方，斜坡滑道OD足够长且倾角为，不计空气阻力，两运动员均可视为质点。下列说法正确的是（ ）
A．M点的高度低于N点的高度
B．甲、乙分别落在C、D两点时的速度方向与OD间的夹角相等
C．若测得OC＝CD，一定有
D．若测得2BC＞BD，则有可能OC＝CD
多选13．如图所示，一同学在A点将篮球斜向上抛出，速度大小为，与水平方向所成的角度为，篮球垂直打在竖直篮板上的S点反向弹出后，落在B点速度大小为，与水平方向的夹角为（未标出），已知篮球从A点到S点的时间为，从S点到B点的时间为，A、B、O点在一条水平线上，且，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
多选14．如图在同一竖直平面内将两个完全相同的小球从不同的位置沿水平方向抛出，抛出点分别为A点和B点（图中未画出），初速度分别为vA和vB，并且vA＞vB，经过一段时间的运动后，两个小球同时垂直落到斜面上的同一个位置O点，不计空气阻力，则（ ）
A．两个小球的运动时间一定不同
B．两个小球落到斜面上时的动能可能相同
C．AO连线与水平方向的夹角一定与斜面的倾角相同
D．AO连线与水平方向的夹角一定和BO连线与水平方向的夹角相同
多选15．跳台滑雪是北京2022年冬奥会的比赛项目之一，某次训练过程简化为如图所示，运动员从一定高度处以一定的初速度水平飞出，在空中运动t0时间后，落在倾角为30°的斜坡上，速度方向恰好沿斜坡向下，又经时间t0到达坡底。若不计摩擦与空气阻力，则整个运动过程中运动员沿水平、竖直方向的分速度v、v随运动时间t的变化情况为（ ）
A． B．
C． D．
16．如图所示，一倾角为30°的山坡上从A点由静止开始滚下一个地雷（阻力不计），为不使它在山脚下造成危害，在A点发射一发炮弹使之在山坡上击中地雷引爆，当炮弹水平发射时地雷已滚下2s时间，。为击中地雷，求：
（1）炮弹的初速度应为多大？
（2）地雷从滚下到被引爆这一过程位移大小为多少？
