考点06 因式分解
【考点梳理】
1.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式
分解因式的一般方法：1. 提公共因式法；2. 运用公式法；3.十字相乘法
分解因式的步骤：(1)先看各项有没有公因式，若有，则先提取公因式;
(2)再看能否使用公式法;
(3)十字相乘法可对二次三项式试一试；
(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积，否则不是因式分解;
(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.
方法一：分组分解法
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式.后两项可提取公因式.前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．这种分解因式的方法叫分组分解法．
例如：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．
方法二：十字相乘法
一般地，在分解形如关于x的二次三项式时，二次项系数a分解成与的积，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；常数项c分解成与的积，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，把，，，按如图4所示方式排列，当且仅当（一次项系数）时，可分解因式．即．
我们把这种分解因式的方法叫做十字相乘法．
【窗口导航】
【题型导航】
题型一：因式分解的定义 2
角度1：判断是否是因素分解 2
角度2：求解因式分解的参数 3
题型二：提公因式法分解因式 4
题型三：公式法分解因式 6
角度1：平方差分解因素 6
角度2：完全平方差分解因式 7
题型四：十字相乘法 8
题型五：分组分解法 9
题型六：因式分解的综合应用 10
【题型演练】
一、单选题 15
二、填空题 19
三、解答题 21
题型一：因式分解的定义
角度1：判断是否是因素分解
1．（2023·湖南邵阳·统考一模）下列因式分解正确的一项是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据因式分解的定义进行判断即可．
【详解】解：A、不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
B、符合因式分解的定义，且因式分解正确，故本选项符合题意；
C、，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
D、，原因式分解错误，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义及因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的定义，提公因式法、平方差公式和完全平方公式．
2．（2023·山东·统考中考真题）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据因式分解的概念可进行排除选项．
【详解】解：A、，属于整式的乘法，故不符合题意；
B、，不符合几个整式乘积的形式，不是因式分解；故不符合题意；
C、，属于因式分解，故符合题意；
D、因为，所以因式分解错误，故不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的概念是解题的关键．
3．（2023春·山东聊城·七年级校联考期末）下列从左到右是因式分解且正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据因式分解的定义以及因式分解的方法进行判断即可．
【详解】解：A中，错误，故不符合要求；
B中，不是因式分解，错误，故不符合要求；
C中，不是因式分解，错误，故不符合要求；
D中，正确，故符合要求．
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，公式法、提公因式法进行因式分解．解题的关键在于熟练掌握因式分解的定义与方法．
4．（2023·江苏徐州·模拟预测）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据因式分解的定义解答即可．
【详解】解：A．不是将多项式化成整式乘积的形式，故A选项不符合题意；
B．是将多项式化成整式乘积的形式，故B选项符合题意；
C．不是将多项式化成整式乘积的形式，故C选项不符合题意；
D．不是将多项式化成整式乘积的形式，故D选项不符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分解因式的定义，掌握定义是解题的关键．即把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做分解因式．
角度2：求解因式分解的参数
5．（2023·上海·模拟预测）如果把二次三项式分解因式得，那么常数的值是（ ）
A．3 B．-3 C．2 D．-2
【答案】B
【分析】将因式分解的结果用多项式乘法的展开，其结果与二次三项式比较即可求解．
【详解】解：∵
∴
故
故选B
【点睛】本题考查了因式分解，多项式的乘法运算，掌握多项式乘法与因式分解的关系是解题的关键．
6．（2023·山东临沂·统考一模）若多项式可因式分解成，其中、均为整数，则的值是 ．
【答案】
【分析】根据因式分解的结果，进行多项式的乘法运算，进而即可求解．
【详解】解：∵，且为整数，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解与多项式的乘法的关系，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键．
7．（2023·内蒙古包头·模拟预测）已知多项式 分解因式为 ，则bc的值为 ．
【答案】24
【分析】利用整式的乘法去括号合并同类项后，对比各项系数相等即可．
【详解】∵ 分解因式为
∴
∴ ，
∴
故答案是24
【点睛】本题考查多项式乘以多项式，以及多项式相等时对应各项系数相等，正确利用公式计算是关键．
8．（2023春·广西桂林·七年级校联考期末）若多项式可因式分解为，则 ．
【答案】1
【分析】将展开即可得到m，n，即可得到答案；
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：1；
【点睛】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是利用乘法法则将展开．
题型二：提公因式法分解因式
9．（2023·江苏淮安·校考二模）因式分解： ．
【答案】
【分析】利用提公因式法即可求解．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题考查利用提公因式法进行因式分解．掌握相关方法即可．
10．（2023·海南·统考中考真题）因式分解： ．
【答案】
【分析】利用提公因式法进行因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：
【点睛】此题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法进行因式分解．
11．（2023·湖北黄石·统考中考真题）因式分解： ．
【答案】
【分析】将整式变形含有公因式，提取即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式中的分解因式，提取公因式是常用的分解因式的方法，解题的关键是找到公因式．
12．（2023·江苏泰州·校考三模）若，则代数式的值是 ．
【答案】3
【分析】等式可变形为，再根据非负数的性质可求出，．将所求式子因式分解变形为，最后整体代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查完全平方公式，非负数的性质，因式分解，代数式求值等知识．根据完全平方公式将等式变形，结合非负数的性质求出和是解题关键．
题型三：公式法分解因式
角度1：平方差分解因素
13．（2023·河南驻马店·驻马店市第二初级中学校考二模）因式分解： ．
【答案】
【分析】利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】此题考查因式分解，解题关键是利用平方差公式进行分解．
14．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）分解因式：
（1） ；
（2） ．
【答案】
【分析】（1）利用平方差公式即可进行因式分解；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式即可进行因式分解．
【详解】解：（1）
（2）
故答案为：（1）；（2）
【点睛】本题考查提公因式法、公式法分解因式．根据式子特点选择合适的方法是解题关键．
15．（2023·云南昭通·统考二模）分解因式： ．
【答案】
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式的方法步骤，注意分解要彻底．
16．（2023·云南昆明·昆明市第三中学校考一模）因式分解： ．
【答案】
【分析】根据平方差公式因式分解即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握平方差公式因式分解是解题的关键．
角度2：完全平方差分解因式
17．（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）分解因式 ．
【答案】
【分析】先提取公因式，再根据完全平方公式，即可进行因式分解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了综合提公因式和公式法因式分解，解题的关键是正确找出公因式，熟练掌握完全平方公式．
18．（2023·江苏盐城·校考二模）因式分解： ．
【答案】
【分析】根据因式分解的一般步骤：一提公因式；二套公式；三检查即可解答．
【详解】解：∵，
故答案为．
【点睛】本题考查了因式分解的一般步骤：一提公因式；二套公式；三检查，掌握提公因式的一般步骤是解题的关键．
19．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）因式分解： ．
【答案】
【分析】首先提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．
【详解】解：
．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．
20．（2023·广东深圳·统考模拟预测）因式分解： ．
【答案】
【分析】先提公因式2m,再利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用公式法因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
题型四：十字相乘法
21．（2023·四川攀枝花·统考中考真题）以下因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用平方差公式，还可分解因式；利用十字相乘法，．
【详解】解：；故A不正确，不符合题意．
；故B正确，符合题意．
；故C，D不正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查因式分解，灵活掌握因式分解的方法是本题的关键．
22．（2023·浙江衢州·校考一模）分解因式：
【答案】
【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用十字相乘法继续分解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用提公因式法和十字相乘法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
23．（2023·山东淄博·统考一模）分解因式： ．
【答案】
【分析】原式提取公因式，再利用十字相乘法分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了因式分解一提公因式法，十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
24．（2023·四川巴中·校考二模）因式分解： ．
【答案】
【分析】先提取公因式，然后利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了用提公因式法、十字相乘法分解因式，熟练掌握提公因式法、十字相乘法是解题的关键．
题型五：分组分解法
25．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）因式分解： ．
【答案】
【分析】先分组，然后根据提公因式法，因式分解即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
26．（2023·江西吉安·统考三模）分解因式：= ．
【答案】
【分析】先分组，然后根据提公因式法因式分解即可求解．
【详解】
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
27．（2023·安徽·九年级专题练习）分解因式： ．
【答案】
【分析】将多项式第一、二、四项结合，利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解—分组分解法，难点是采用两两分组还是三一分组．正确分组和公式的灵活运用是解题的关键．
28．（2023春·全国·七年级专题练习）分解因式： ．
【答案】
【分析】先把原式分组成，在提取公因式进行分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分组分解因式的方法是解题的关键．
题型六：因式分解的综合应用
29.（2023·浙江·模拟预测）方程的整数解的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】先把所给方程提取公因式，以及，进而整理为，进而判断整数解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵方程有整数解，
∴和也为整数，
∴或者，
解得：（不合題意，舍去），
∴方程的整数解为，
∴方程的整数解的个数为1．
故选：A．
【点睛】本题考查了判断二次方程的整数解问题；将原式进行提取公因式得出是解决本题的关键．
30．（2023·山西太原·山西实验中学校考模拟预测）若三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，则这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
【答案】D
【分析】将，进行因式分解，再进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或；
∴这个三角形一定是等腰三角形．
故选D．
【点睛】本题考查因式分解的应用．解题的关键是掌握分组法进行因式分解．
31．（2023·湖北宜昌·统考模拟预测）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用因式分解法产生的密码记忆方便，原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，于就可以把“”为一个六位数的密码对于多项式，取，，用上述方法和顺序产生的密码是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对多项式利用提公因式法分解因式，利用平方差公式分解因式，然后把数值代入计算即可确定出密码．
【详解】解：，
当，时，，，，
组成密码的数字应包括，，，
故选：D．
【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式、完全平方公式分解因式，立意新颖，熟记公式结构是解题的关键．
32．（2023·山东威海·统考二模）甲、乙两人在对进行因式分解时，甲看错了a，得到的结果为；乙看错了b，得到的结果为，则因式分解的正确结果为 ．
【答案】
【分析】根据因式分解的恒等性，根据确定b的值，根据题意，，确定正确的a值，后重新因式分解即可．
【详解】∵甲看错了a，得到的结果为；乙看错了b，得到的结果为，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的看错项问题，熟练掌握因式分解的意义是解题的关键．
33．（2023秋·重庆江北·九年级重庆十八中校考阶段练习）对任意一个四位数m，如果m各个数位上的数字都不为零且互不相同，满足个位与千位上的数字的和等于十位与百位上的数字和，那么称这个数为“同和数”，将一个“同和数”m的个位与千位两个数位上的数字对调后得到一个新的四位数，将m的十位与百位两个数位上的数字对调后得到另一个新四位数，记．若s，t都是“同和数”，其中，（，y，e，），且x，y，e，f都是正整数，规定：，用含“x，f”的代数式表示 ，当能被20整除时，k的所有取值之积为 ．
【答案】
【分析】由题意可知，，求得，，，由，，可知，根据能被20整除，可得，可得，，当，6，7，8时：，，，，即可求出k的所有取值之积．
【详解】解：∵若s，t都是“同和数”，其中，（，y，e，），且x，y，e，f都是正整数，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵能被20整除，
∴，则，即：
∴，，
∵各个数位上的数字都不为零且互不相同，
∴，
∴当，6，7，8时：，，，，
∴k的所有取值之积为：，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，阅读理解题目是本题的关键．
34．（2023·浙江·模拟预测）已知实数，求的值．
【答案】
【分析】根据，得出，进而将代数式因式分解，整体代入，即可求解．
【详解】解：∵
∴
∴
即
∴当时，
【点睛】此题考查了因式分解的应用，首先把已知等式变形，然后因式分解把所求代数式分解因式，最后利用整体代值的方法即可解决问题．
35．（2023·河北唐山·统考二模）已知整式，整式．
(1)化简整式A，并将化简后的结果写成指数是3的幂的形式；
(2)若，将整式C分解因式：
(3)若m为整数，直接写出整式C能否被3整除．
【答案】(1)
(2)
(3)能
【分析】（1）去括号，根据合并同类型化简A，按要求写成指数是3的幂的形式，即可；
（2）按题意，求出C，再利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解即可；
（3）若m为整数，则为三个连续的整数，必有一个是3的倍数，即可解答．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：由题得，
（3）解：能，理由如下：
若m为整数，
则为三个连续的整数，
故其中必有一个是3的倍数，所以整式C能否被3整除．
【点睛】本题考查了整式的加减混合运算，因式分解，熟练计算得出正确结果是解题的关键．
36．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）观察下面的等式：
(1)写出的结果．
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
(3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【答案】(1)
(2)
(3)【分析】（1）根据题干的规律求解即可；
（2）根据题干的规律求解即可；
（3）将因式分解，展开化简求解即可．
【详解】（1）；
（2）；
（3）
．
【点睛】此题考查数字的变化规律，因式分解，整式乘法的混合运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中的变化规律．
【题型演练】
一、单选题
1．（2023·河南南阳·校考三模）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘法法则、积的乘方法则、平方差公式和合并同类项法则逐项判断即得答案.
【详解】解：A、，故本选项计算错误；
B、，故本选项计算错误；
C、，故本选项计算正确；
D、不能合并同类项，故本选项计算错误；
故选：C.
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、平方差公式和合并同类项等知识，属于基础题型，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.
2．（2023·广东佛山·校考三模）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义依次分析各项即可．
【详解】解：A. ，是多项式的乘法，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
C. 是因式分解，故该选项正确，符合题意；
D. ，等式的右边不是多项式的积的系数，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】解答本题的关键是熟练掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
3．（2023·河北唐山·统考二模）计算（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据乘法公式，二次根式的性质即可求解．
【详解】解：，
选项，，符合题意；
选项，，不符合题意；
选项，，不符合题意；
选项，，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查运用乘法公式化简二次根式，掌握乘法公式的运用，二次根式的化简方法是解题的关键．
4．（2023·湖南衡阳·统考三模）若，，则的值为（ ）
A． B．21 C． D．10
【答案】B
【分析】把因式分解后，利用整体代入即可求得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了用平方差公式因式分解和求值，熟练掌握是解题的关键．
5．（2023·浙江杭州·统考中考真题）分解因式：（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平方差公式分解即可．
【详解】．
故选：A．
【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
6．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）计算：（ ）
A． B． C．5 D．a
【答案】D
【分析】分子分解因式，再约分得到结果．
【详解】解：
，
故选：D．
【点睛】本题考查了约分，掌握提公因式法分解因式是解题的关键．
7．（2023·河北保定·统考模拟预测）因式分解“”得，则“？”是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】用完全平方公式展开，根据对应项相等即可求出．
【详解】∵，
∴“？”是，
故选D．
【点睛】此题考查了完全平方公式，解题的关键是熟悉完全平方公式．
8．（2023·湖北宜昌·统考模拟预测）如图为某正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧都是正方形，它们的边长分别为，，其面积之和比其余面积阴影部分多平方米则主卧与客卧的周长差为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【分析】根据面积之差，利用完全平方公式可得的值，然后再利用正方形周长公式可得结果．
【详解】解：由题可得：，
，
或舍去，
主卧与客卧的周长差为：
米
故选：D．
【点睛】此题主要是考查了完全平方公式的运用，能够熟练掌握完全平方公式是解答此题的关键．
9．（2023·湖南益阳·统考中考真题）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用提公因式法，公式法对各项进行因式分解，即可求解．
【详解】解：A、，故本选项正确，符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．
10．（2023·广东珠海·统考一模）多项式因式分解的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先提取公因式，然后按照平方差公式因式分解即可得到答案．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】本题考查了提公因式法和平方差公式法进行因式分解，掌握提取公因式法、平方差公式是解题的关键．
11．（2023·河北·统考中考真题）若k为任意整数，则的值总能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
【答案】B
【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式．
【详解】解：
，
能被3整除，
∴的值总能被3整除，
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式为通过因式分解，可以把多项式分解成若干个整式乘积的形式．
12．（2023春·河南三门峡·八年级统考开学考试）已知，，则的值是（ ）
A． B．6 C． D．1
【答案】A
【分析】先将因式分解，再把，代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了因式分解，求代数式的值，解题的关键是正确找出各项的公因式进行因式分解．
二、填空题
13．（2023·江苏扬州·校考模拟预测）因式分解： ．
【答案】
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行分解即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查因式分解，解答的关键是掌握因式分解的方法．
14．（2023·黑龙江绥化·模拟预测）因式分解 ．
【答案】
【分析】直接提取公因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法、公式法分解因式，综合运用提公因式法和公式法分解因式是解题关键．
15．（2023·安徽亳州·校联考一模）因式分解： ．
【答案】
【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解，掌握提公因式法和公式法分解因式是解题关键．
16．（2023·江苏泰州·校考二模）因式分解： ．
【答案】
【分析】先提公因式然后再用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
17．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）分解因式： ．
【答案】
【分析】原式提取，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
18．（2023·江苏盐城·校联考二模）因式分解： ．
【答案】/
【分析】先提取公因式2，再利用完全平方公式继续分解即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
19．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）把多项式因式分解，最后结果为 ．
【答案】
【分析】先提，然后根据完全平方公式因式分解，即可求解．
【详解】解：原式．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
20．（2023·安徽合肥·统考模拟预测）因式分解： ．
【答案】
【分析】直接提取公因式2，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用完全平方公式分解因式是解题关键．
21．（2023·广东广州·广东华侨中学校考模拟预测）因式分解： ．
【答案】
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：原式
故答案为：．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
三、解答题
22．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十中学校考二模）数学学习中常见互逆运算，例如加法和减法互为逆运算，乘法和除法互为逆运算，分解因式和整式乘法也是互逆运算．请回答下列问题：
(1)是因式分解的_________（在括号内写序号）；
(2)小红是一名密码编译爱好者，在她的密码手册中，有这样一条信息：分别对应下列六个字：四、爱、学、中、我、十．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是哪四个字？
【答案】(1)②③
(2)我爱四十
【分析】（1）根据因式分解的定义即可求解；
（2）观察式子特点，首先提取公因式将待求式变形，接下来根据平方差公式进行分解因式，将结果与已知中所表示的意义相结合即可解答本题．
【详解】（1）解：②③
（2）解：提取公因式，利用平方差公式得：，
所以对应的四个字可能是“我爱四十”．
【点睛】本题主要考查了因式分解法的应用，掌握公式法分解因式是解题的关键．
23．（2023·陕西西安·校考三模）因式分解：
【答案】
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
24．（2023·河南郑州·郑州外国语中学校考二模）若一个整数能表示成，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，因为，再如，是整数），所以也是“完美数”．
(1)请你再写一个小于10的“完美数”，并判断41是否为“完美数”；
(2)已知，是整数，为常数）要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由；
(3)如果数m，n都是“完美数”，试说明也是“完美数”．
【答案】(1)8，不是
(2)，理由见解析
(3)见解析
【分析】（1）利用“完美数”的定义可得；
（2）利用配方法，将配成完美数，可求的值，
（3）根据完全平方公式，可证明是“完美数”．
【详解】（1），
是完美数，
，
是完美数；
（2），
时，是完美数；
（3）设，，，，，为整数），
是完美数．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键．
25．（2023·河北石家庄·校考二模）已知，．
(1)化简整式，并求时的值；
(2)若．
①将因式分解；
②若为整数，直接写出整式能否被16整除．
【答案】(1)，
(2)①，②能
【分析】（1）去括号，合并同类项化简，后代入求值．
（2）①运用先提取公因式，再套用公式分解即可．
②分为偶数和奇数分类证明即可．
【详解】（1）
．
当时原式．
（2）①当，时，
．
②能，理由如下：
当为偶数时，设（k是整数），
则，
故整式能被16整除．
当为奇数时，设（k是整数），
则，
故整式能被16整除．
综上所述，整式能被16整除．
【点睛】本题考查了去括号，整式的加减，因式分解，整除，熟练掌握去括号，整式的加减，因式分解是解题的关键．
26．（2023·陕西西安·统考三模）如果一个正整数能表示为两个连续非负偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：，．
(1)请你将20表示为两个连续非负偶数的平方差形式： ；
(2)试证明“神秘数”能被4整除．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据“神秘数”的定义，只需看能否把20写成两个连续偶数的平方差即可判断；
（2）运用平方差公式进行计算，进而判断即可．
【详解】（1）根据“神秘数”的定义可把20写成，
∴，
故答案为：．
（2）设两个连续的偶数分别为，，则由题意得：
“神秘数”
，
∴“神秘数”能被4整除．
【点睛】此题主要考查了平方差公式的应用，此题是一道新定义题目，熟练记忆平方差公式是解题关键．
27．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考模拟预测）（1）计算：
（2）因式分解：．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据二次根式的性质，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值计算即可求解；
（2）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有项，可采用平方差公式继续分解．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，特殊角三角函数值的实数混合运算，熟练掌握特殊角三角函数值的实数混合运算法则及因式分解的方法是解决问题的关键．
28．（2023·广东广州·统考中考真题）已知，代数式：，，．
(1)因式分解A；
(2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可；
（2）将选取的代数式组成分式，分子分母进行因式分解，再约分即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：①当选择A、B时：
，
；
②当选择A、C时：
，
；
③当选择B、C时：
，
．
【点睛】本题主要考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是掌握因式分解的方法和步骤，以及分式化简的方法．
29．（2023·浙江·模拟预测）已知，求的值．
【答案】
【分析】设，解方程组，进而因式分解代数式，将代入，即可求解．
【详解】设，
则方程组为
解得：
∴
【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，因式分解的应用，换元法解方程组是解题的关键．
30．（2023·浙江·模拟预测）如图，P为等边内一点，、、的长为正整数，且，设，n为大于5的实数，满足，求的面积．
【答案】
【分析】由可得，则，可得，结合正整数条件可得：，把绕顺时针旋转得， 可得，，，证明，可得，过作于，可得，，则，利用勾股定理可得，从而可得答案.
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵n为大于5的实数，
∴，而，
∴，解得：，
∵，，
∴，即，
∵，、、的长为正整数，
∴，解得：，
∵为等边三角形，
∴，，
把绕顺时针旋转得，
∴，，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
过作于，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴等边的面积为：.
【点睛】本题考查的是非负数的性质，因式分解的应用，二元一次方程组的解法，旋转的性质，勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，等边三角形的性质，二次根式的混合运算，本题难度较大，对学生要求高.
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考点06 因式分解
【考点梳理】
1.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式
分解因式的一般方法：1. 提公共因式法；2. 运用公式法；3.十字相乘法
分解因式的步骤：
(1)先看各项有没有公因式，若有，则先提取公因式;
(2)再看能否使用公式法;
(3)十字相乘法可对二次三项式试一试；
(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积，否则不是因式分解;
(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.
方法一：分组分解法
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式.后两项可提取公因式.前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．这种分解因式的方法叫分组分解法．
例如：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．
方法二：十字相乘法
一般地，在分解形如关于x的二次三项式时，二次项系数a分解成与的积，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；常数项c分解成与的积，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，把，，，按如图4所示方式排列，当且仅当（一次项系数）时，可分解因式．即．
我们把这种分解因式的方法叫做十字相乘法．
【窗口导航】
【题型导航】
题型一：因式分解的定义 2
角度1：判断是否是因素分解 2
角度2：求解因式分解的参数 3
题型二：提公因式法分解因式 4
题型三：公式法分解因式 6
角度1：平方差分解因素 6
角度2：完全平方差分解因式 7
题型四：十字相乘法 8
题型五：分组分解法 9
题型六：因式分解的综合应用 10
【题型演练】
一、单选题 15
二、填空题 19
三、解答题 21
题型一：因式分解的定义
角度1：判断是否是因素分解
1．（2023·湖南邵阳·统考一模）下列因式分解正确的一项是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·山东·统考中考真题）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023春·山东聊城·七年级校联考期末）下列从左到右是因式分解且正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·江苏徐州·模拟预测）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
角度2：求解因式分解的参数
5．（2023·上海·模拟预测）如果把二次三项式分解因式得，那么常数的值是（ ）
A．3 B．-3 C．2 D．-2
6．（2023·山东临沂·统考一模）若多项式可因式分解成，其中、均为整数，则的值是 ．
7．（2023·内蒙古包头·模拟预测）已知多项式 分解因式为 ，则bc的值为 ．
8．（2023春·广西桂林·七年级校联考期末）若多项式可因式分解为，则 ．
题型二：提公因式法分解因式
9．（2023·江苏淮安·校考二模）因式分解： ．
10．（2023·海南·统考中考真题）因式分解： ．
11．（2023·湖北黄石·统考中考真题）因式分解： ．
12．（2023·江苏泰州·校考三模）若，则代数式的值是 ．
题型三：公式法分解因式
角度1：平方差分解因素
13．（2023·河南驻马店·驻马店市第二初级中学校考二模）因式分解： ．
14．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）分解因式：
（1） ；
（2） ．
15．（2023·云南昭通·统考二模）分解因式： ．
16．（2023·云南昆明·昆明市第三中学校考一模）因式分解： ．
角度2：完全平方差分解因式
17．（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）分解因式 ．
18．（2023·江苏盐城·校考二模）因式分解： ．
19．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）因式分解： ．
20．（2023·广东深圳·统考模拟预测）因式分解： ．
题型四：十字相乘法
21．（2023·四川攀枝花·统考中考真题）以下因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
22．（2023·浙江衢州·校考一模）分解因式：
23．（2023·山东淄博·统考一模）分解因式： ．
24．（2023·四川巴中·校考二模）因式分解： ．
题型五：分组分解法
25．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）因式分解： ．
26．（2023·江西吉安·统考三模）分解因式：= ．
27．（2023·安徽·九年级专题练习）分解因式： ．
28．（2023春·全国·七年级专题练习）分解因式： ．
题型六：因式分解的综合应用
29.（2023·浙江·模拟预测）方程的整数解的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
30．（2023·山西太原·山西实验中学校考模拟预测）若三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，则这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
31．（2023·湖北宜昌·统考模拟预测）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用因式分解法产生的密码记忆方便，原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，于就可以把“”为一个六位数的密码对于多项式，取，，用上述方法和顺序产生的密码是（ ）
A． B． C． D．
32．（2023·山东威海·统考二模）甲、乙两人在对进行因式分解时，甲看错了a，得到的结果为；乙看错了b，得到的结果为，则因式分解的正确结果为 ．
33．（2023秋·重庆江北·九年级重庆十八中校考阶段练习）对任意一个四位数m，如果m各个数位上的数字都不为零且互不相同，满足个位与千位上的数字的和等于十位与百位上的数字和，那么称这个数为“同和数”，将一个“同和数”m的个位与千位两个数位上的数字对调后得到一个新的四位数，将m的十位与百位两个数位上的数字对调后得到另一个新四位数，记．若s，t都是“同和数”，其中，（，y，e，），且x，y，e，f都是正整数，规定：，用含“x，f”的代数式表示 ，当能被20整除时，k的所有取值之积为 ．
34．（2023·浙江·模拟预测）已知实数，求的值．
35．（2023·河北唐山·统考二模）已知整式，整式．
(1)化简整式A，并将化简后的结果写成指数是3的幂的形式；
(2)若，将整式C分解因式：
(3)若m为整数，直接写出整式C能否被3整除．
36．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）观察下面的等式：
(1)写出的结果．
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
(3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【题型演练】
一、单选题
1．（2023·河南南阳·校考三模）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·广东佛山·校考三模）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·河北唐山·统考二模）计算（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·湖南衡阳·统考三模）若，，则的值为（ ）
A． B．21 C． D．10
5．（2023·浙江杭州·统考中考真题）分解因式：（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）计算：（ ）
A． B． C．5 D．a
7．（2023·河北保定·统考模拟预测）因式分解“”得，则“？”是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·湖北宜昌·统考模拟预测）如图为某正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧都是正方形，它们的边长分别为，，其面积之和比其余面积阴影部分多平方米则主卧与客卧的周长差为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
9．（2023·湖南益阳·统考中考真题）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·广东珠海·统考一模）多项式因式分解的结果是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023·河北·统考中考真题）若k为任意整数，则的值总能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
12．（2023春·河南三门峡·八年级统考开学考试）已知，，则的值是（ ）
A． B．6 C． D．1
二、填空题
13．（2023·江苏扬州·校考模拟预测）因式分解： ．
14．（2023·黑龙江绥化·模拟预测）因式分解 ．
15．（2023·安徽亳州·校联考一模）因式分解： ．
16．（2023·江苏泰州·校考二模）因式分解： ．
17．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）分解因式： ．
18．（2023·江苏盐城·校联考二模）因式分解： ．
19．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）把多项式因式分解，最后结果为 ．
20．（2023·安徽合肥·统考模拟预测）因式分解： ．
21．（2023·广东广州·广东华侨中学校考模拟预测）因式分解： ．
三、解答题
22．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十中学校考二模）数学学习中常见互逆运算，例如加法和减法互为逆运算，乘法和除法互为逆运算，分解因式和整式乘法也是互逆运算．请回答下列问题：
(1)是因式分解的_________（在括号内写序号）；
(2)小红是一名密码编译爱好者，在她的密码手册中，有这样一条信息：分别对应下列六个字：四、爱、学、中、我、十．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是哪四个字？
23．（2023·陕西西安·校考三模）因式分解：
24．（2023·河南郑州·郑州外国语中学校考二模）若一个整数能表示成，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，因为，再如，是整数），所以也是“完美数”．
(1)请你再写一个小于10的“完美数”，并判断41是否为“完美数”；
(2)已知，是整数，为常数）要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由；
(3)如果数m，n都是“完美数”，试说明也是“完美数”．
25．（2023·河北石家庄·校考二模）已知，．
(1)化简整式，并求时的值；
(2)若．
①将因式分解；
②若为整数，直接写出整式能否被16整除．
26．（2023·陕西西安·统考三模）如果一个正整数能表示为两个连续非负偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：，．
(1)请你将20表示为两个连续非负偶数的平方差形式： ；
(2)试证明“神秘数”能被4整除．
27．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考模拟预测）（1）计算：
（2）因式分解：．
28．（2023·广东广州·统考中考真题）已知，代数式：，，．
(1)因式分解A；
(2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．
29．（2023·浙江·模拟预测）已知，求的值．
30．（2023·浙江·模拟预测）如图，P为等边内一点，、、的长为正整数，且，设，n为大于5的实数，满足，求的面积．
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