考点03 实数
【考点梳理】
实数的分类
算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么正数x叫做a的算术平方根，记作。0的算术平方根为0。即。
3.平方根：一般地，如果一个数x的平方根等于a，即x2=a，那么数x就叫做a的平方根。
4.平方根的性质：正数有两个平方根（一正一负）它们互为相反数；0只有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根。
5. 立方根定义：如果，那么
6. 立方根的性质：正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数
7. 实数a的相反数是－a；一个正实数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0
8. 实数和数轴上的点一一对应；有序实数对与平面内的点成一一对应关系
【窗口导航】
【题型导航】
题型一：实数的概念和分类 1
题型二：实数与数轴 3
题型三：无理数的估算 5
题型四：平方根 7
题型五：立方根 8
【题型演练】
一、单选题 15
二、填空题 22
题型一：实数的概念和分类
1．（2023·新疆·模拟预测）在0，，9，，，中，负数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据正数前面加上负号的数是负数判断即可．
【详解】解：在0，，9，，，中负数有共两个
故选∶B．
【点睛】本题考查了负数的定义，熟练掌握负数的定义是解答本题的关键．
2．（2023春·江西·七年级统考期末）在实数，，，中，无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据无理数的概念即可求解．
【详解】A、是一个负整数，不是无理数；
B、是一个正分数，不是无理数；
C、是一个开方开不尽的数，是无理数；
D、是一个有限小数，不是无理数；
故选：C．
【点睛】此题考查了无理数的知识，解题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数；②无限不循环小数；③含有的数．
3．（2023秋·全国·八年级专题练习）小赫制作了如图所示的实数分类导图，下列选项能按序正确填入两个空格的是（ ）
A．； B．； C．； D．；
【答案】A
【分析】根据实数的分类判断各项，即可得到答案．
【详解】解：A．是负整数，是负无理数，故A选项符合题意；
B．是正整数，是负无理数，故B选项不符合题意；
C．是负整数，是负整数，故C选项不符合题意；
D．是正整数，是负整数，故D选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了实数的分类，掌握基本概念是解题的关键．
4．（2023秋·全国·七年级专题练习）下列四个选项，其中的数不是分数的选项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依据实数的分类方法进行判断即可．
【详解】A、是分数，不符合题意，
B、是分数，不符合题意，
C、是无理数，不是分数，符合题意，
D、是分数，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是实数，掌握实数的相关概念和分类方法是解题的关键．
题型二：实数与数轴
5．（2023·江苏·统考中考真题）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据实数在数轴上的位置，判断实数的大小关系，即可得出结论．
【详解】解：由图可知，，，
A、，错误；
B、，错误；
C、，错误；
D、，正确；
故选D．
【点睛】本题考查利用数轴比较实数的大小关系．正确的识图，掌握数轴上的数从左到右依次增大，是解题的关键．
6．（2023·山东济南·校联考一模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据图示，可得，，据此逐项判断即可．
【详解】解：根据图示，可得，，
，，
，
，
选项A符合题意；
，，
，，
，
选项B不符合题意；
，，
，
选项C不符合题意；
，，
，
选项D不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，绝对值的含义和求法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
7．（2023春·广西钦州·八年级校考期末）如图，在数轴上点A表示的实数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用勾股定理求出，再加上点B表示的数可得结果．
【详解】解：由题意得：，
数轴上点表示的实数是：，
故选：B．
【点睛】本题考查了实数与数轴，勾股定理，熟练运用勾股定理求出相应线段的长度是解题的关键．
8．（2023·山西大同·校联考模拟预测）如图，在数轴上点A表示的数是2，点C表示的数是，，，以点A为圆心，的长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由勾股定理得，再由作图得，然后由点D在原点的左侧即可得出答案．
【详解】解：∵数轴上点A对应的数是2，点C对应的数是，
∴，
∵，
由勾股定理得：，
∵以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点D，
∴，
∵点D在原点的左侧，
∴点D表示的数为：，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理、实数与数轴等知识，由勾股定理求出的长是解题的关键．
题型三：无理数的估算
9．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考二模）估计的值应在（ ）
A．7与8之间 B．8与9之间 C．9与10之间 D．10与11之间
【答案】C
【分析】先根据二次根式的运算法则进行计算，然后再估算无理数的大小即可．
【详解】解：，
∵，
∴，即．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算、无理数的大小估算等知识点，正确掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．
10．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，数轴上，，，，五个点分别表示数1，2，3，4，5，则表示数的点应在（ ）
A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上
【答案】C
【分析】根据判断即可．
【详解】，
，
由于数轴上，，，，五个点分别表示数1，2，3，4，5，
的点应在线段上，
故选：C．
【点睛】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算的方法是解题的关键．
11．（2023·河北沧州·校考模拟预测）关于，下列说法不正确的是（ ）
A．是最简二次根式 B．是无理数
C．整数部分是2 D．一定能够在数轴上找到表示的点
【答案】A
【分析】根据最简二次根式、无理数、实数与数轴进行判断．
【详解】解：A．，不是最简二次根式，选项符合题意；
B．，是无理数，则是无理数，选项不符合题意；
C．因为，则，所以的整数部分是2，选项不符合题意；
D．数轴上的点与实数是一一对应的关系，则一定能够在数轴上找到表示的点，选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了二次根式、无理数、实数与数轴，熟练掌握相关知识是解题的关键．
12．（2023秋·全国·八年级专题练习）若的整数部分为，则的算术平方根的值最接近整数（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】先估算出的值的范围，从而求出，然后再估算出的值的范围，即可解答．
【详解】∵，
∴，
∴的整数部分为7，
∴，
∴m的算术平方根为，
∵，
∴，
∴的值最接近整数3，
故选：B．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．
题型四：平方根
13．（2023·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】各式利用平方根、立方根定义计算即可求出值，即可判断．
【详解】解：A、，本选项不符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了立方根，平方根以及算术平方根，熟练掌握各自的性质是解题的关键．
14．（2023·河北沧州·校考模拟预测）与结果不相同的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先计算立方根，再计算有理数的除法得到结果，再利用负整数指数幂、零次幂、算术平方根的性质计算出结果，比较即可．
【详解】解：．
A、，故选项A的计算结果与结果相同；
B、，故选项B的计算结果与结果相同；
C、，故选项C的计算结果与结果不相同；
D、，故选项D的计算结果与结果相同．
故选：C．
【点睛】本题考查了立方根，负整数指数幂、零次幂、算术平方根，正确计算是解题的关键．
15．（2023秋·九年级课时练习）若关于的方程是一元二次方程，则的值是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】根据题意列方程即可求解；
【详解】解：∵是一元二次方程，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，掌握相关知识是解题的关键．
16．（2023秋·浙江·七年级专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是 B．没有立方根
C．的立方根是 D．的算术平方根是
【答案】D
【分析】根据平方根，立方根和算术平方根的定义即可求出答案．
【详解】解：、根据平方根的定义可知的平方根是，该选项不符合题意；
B、根据立方根的定义可知的立方根是，该选项不符合题意；
C、根据立方根的定义可知的立方根是，该选项不符合题意；
D、根据算术平方根的定义可知的算术平方根是，该选项符合题意；
故选：．
【点睛】本题考查平方根，立方根和算术平方根，解题的关键是熟练运用其定义，本题属于基础题型．
题型五：立方根
17．（2023春·七年级课时练习）已知，则的平方根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平方根和立方根的定义可以解答．
【详解】解：，
，
，
的平方根为．
故选：C．
【点睛】本题考查立方根和平方根，解题的关键是正确理解立方根和平方根的定义，本题属于基础题型．
18．（2023春·七年级课时练习）已知，若，则x的值约为（ ）
A．326000 B．3260 C．3.26 D．0.326
【答案】A
【分析】根据立方根的定义，得出与被开方数的倍数关系，即一个数的立方根扩大10倍，则被开方数就扩大到1000倍，可得答案．
【详解】解：∵68.82＝6.882×10，
∴x＝326×103＝326000，
故选：A．
【点睛】本题考查立方根，理解一个数扩大1000倍，则它的立方根扩大10倍是得出正确答案的关键．
19．（2023春·七年级课时练习）若互为相反数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据立方根的定义、整式的混合运算法则解题即可．
【详解】解：∵互为相反数，
∴
∴
∴
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题考查立方根、求代数式的值，熟练掌握立方根、整式的混合运算法则是解决问题的关键．
20．（2023春·七年级课时练习）已知：，则a＝（ ）
A．2360 B．－2360 C．23600 D．－23600
【答案】D
【分析】由立方根的定义进行判断，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴2.868向右移动1位，23.6应向右移动3位得23600，
考虑到符号，则＝－23600；
故选：D．
【点睛】本题考查了立方根的定义，解题的关键是掌握定义进行判断．
题型六：实数的运算
21．（2023·湖北宜昌·统考模拟预测）月日是国际数学日，当天李强和张明想玩个数学游戏：“在等号的左边添加适当的运算符号，使等式成立”，下列选项错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分别计算每一个选项式子的值，逐一判断即可解答．
【详解】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，实数的运算，负整数指数幂，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
22．（2023秋·八年级课时练习）有一个数值转换器，原理如下：当输入的时，输出的y等于（ ）
A． B．8 C．2 D．
【答案】A
【分析】根据程序进行计算即可．
【详解】解：输入时，取算术平方根为，是有理数，
输入时，取算术平方根为，是无理数，输出，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，根据程序设计进行计算是解题的关键．
23．（2023·山东菏泽·校考三模）对于实数和，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题中的新定义化简，转化为分式方程，解分式方程即可．
【详解】由题意化简：，
∴，解得：，
经检验：是原分式方程的解，
故选：．
【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
24．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）为了求的值，可令，则，因此，所以，仿照以上推理计算出的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，则，再将第二个等式与第一个等式左右两边相减求出的值即可求解．
【详解】解：令，
∴，
②减①，得：，
∴，
即．
故选：C．
【点睛】本题考查数字的变化类，有理数的混合运算，找到变化规律是解题的关键．
25．（2023·内蒙古·统考中考真题）观察下列各式：
，，，…
请利用你所发现的规律，计算： ．
【答案】/
【分析】直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案．
【详解】
，
故答案为：．
【点睛】本题考查数字变化规律，正确将原式变形是解题的关键．
26．（2023·辽宁朝阳·校考三模）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．如果我们规定一个新数“”使它满足（即有一个根为），并且进一步规定：一切实数可以与新数“ ”进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立．于是有：，，，……那么 ．
【答案】
【分析】根据所给的新定义找到规律即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
……
∴可以发现每4个运算为一个循环，结果为循环出现，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了新定义下的实数运算和数字类的规律探索，正确得出数字变化规律是解题关键．
27．（2023·浙江台州·统考二模）观察规律，，，…，运用你观察到的规律解决以下问题：
如图，分别过点作x轴的垂线，交的图像于点，交直线于点．则的值为 ．
【答案】
【分析】先求出的坐标，然后求出的长.运用观察到的规律求出的值，即可求出的值.
【详解】由，得
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了根据二次函数表达式求点的坐标，根据一次函数表达式求点的坐标，及平行于y轴的直线上的两点间的距离.观察规律，理解规律，并会正确应用是解题的关键.
28．（2023·山东济宁·统考二模）将数1个1，2个，3个，…，n个（n为正整数）顺次排成一列：1，，，记，，，，，，，，则 ．
【答案】
【分析】根据题意找到题中数字的规律，令，则，可得到前个数里面包含1个1，2个，3个，个，7个，运用有理数的加法计算即可得到答案．
【详解】解：令，则，
前个数里面包含1个1，2个，3个，个，7个，
，
故填：．
【点睛】本题考查了列代数式，有理数四则混合运算，与有理数有关的规律探究，解题的关键在于找到题中数字规律．
【题型演练】
一、单选题
1．（2023·辽宁阜新·阜新实验中学校考二模）下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】整数和分数统称为有理数，无理数即无限不循环小数，据此即可得出答案．
【详解】解：A．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B．是无理数，故本选项符合题意；
C．，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D．是循环小数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
2．（2023·福建宁德·校考模拟预测）在实数，π，0，中，最小的数是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】A
【分析】正数0负数，据此进行判断即可．
【详解】解：由题意可得：，
则最小的数是，
故选：A．
【点睛】本题考查实数的大小比较，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
3．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）下列各数是有理数的是（ ）
A．π B． C． D．tan60°
【答案】B
【分析】根据特殊角的三角函数值，二次根式的性质化简，根据实数的分类，即可求解．
【详解】解：是无理数，是有理数，是无理数，是无理数，
故选：B．
【点睛】本题考查了实数的分类，特殊角的三角函数值，二次根式的性质化简，熟练掌握以上知识是解题的关键．
4．（2023·山东威海·统考一模）下列实数中，有理数是（ ）．
A． B．
C． D．（相邻两个6之间8的个数逐次加1）
【答案】C
【分析】整数是有理数，据此判断即可．
【详解】，是无理数；，是无理数；（相邻两个6之间8的个数逐次加1）是无理数，
是有理数，
故选：C．
【点睛】本题考查无理数，涉及实数的分类，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
5．（2023·浙江·统考中考真题）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对应的点在数轴上的位置，利用不等式的性质逐一判断即可．
【详解】解：由数轴得：，，
故选项A不符合题意；
∵，∴，故选项B不符合题意；
∵，，∴，故选项C不符合题意；
∵，，∴，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是实数与数轴，绝对值的概念，不等式的性质，掌握以上知识是解题的关键．
6．（2023·山东济南·统考中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得，然后根据数的乘法和加法法则以及不等式的性质进行判断即可.
【详解】解：由题意可得：，所以，
∴，
观察四个选项可知：只有选项D的结论是正确的；
故选：D.
【点睛】本题考查了实数与数轴以及不等式的性质，正确理解题意、得出是解题的关键.
7．（2023·江苏扬州·校考三模）实数，，0，中最大的数是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】解：根据实数比较大小的方法，可得，
故在实数，，0，中最大的数是．
故选∶D．
【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
8．（2023·湖南益阳·统考中考真题）四个实数，0，2，中，最大的数是（ ）
A． B．0 C．2 D．
【答案】C
【分析】根据实数的大小比较法则，即可求解．
【详解】解：∵，
∴最大的数是2．
故选：C
【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键．
9．（2023·安徽合肥·统考模拟预测）设n为正整数，且，则n的值为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
【答案】A
【分析】通过运用算术平方根的定义进行估算进行求解．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∴n的值是14，
故选：A．
【点睛】此题考查了无理数估算的应用能力，关键是能准确理解并运用算术平方根知识进行正确地求解．
10．（2023·江苏宿迁·统考二模）与最接近的整数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】先运用算术平方根知识估算出的值，再计算出此题结果．
【详解】解：，
，
，
与最接近的整数是9，
故选：B．
【点睛】此题考查了无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用算术平方根知识进行求解．
11．（2023·全国·八年级假期作业）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（ ）
A．6 B． C． D．1
【答案】D
【分析】首先根据的整数部分可确定a的值，进而确定b的值，然后将a与b的值代入计算即可得到所求代数式的值．
【详解】解：∵，
∴的整数部分，
∴小数部分，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分a与小数部分b的值是解题关键．
12．（2023·安徽滁州·校考一模）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（ ）
A．6 B． C．12 D．
【答案】A
【分析】首先根据的整数部分可确定的值，进而确定的值，然后将与的值代入计算即可得到所求代数式的值．
【详解】∵，
∴，
∴的整数部分，
∴小数部分，
∴．
故选：．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是解题关键．
13．（2023·山东德州·统考二模）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据立方根的定义，二次根式的化简，以及乘方运算法则，依次计算各个选项即可．
【详解】解：A、，故A正确，符合题意；
B、，故B不正确，不符合题意；
C、，故C不正确，不符合题意；
D、，故D不正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了立方根的计算，二次根式的化简，乘方的运算，解题的关键是掌握相关定义和运算法则．
14．（2023·山东日照·统考二模）下列说法正确的个数有（ ）
①二次根式有意义，则．②关于的方程有两个实数根，则．③三角形内心是三角形三条内角平分线的交点．④甲、乙两人各进行了次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，则乙的射击成绩比甲稳定．⑤的算术平方根是．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据二次根式与分式有意义的条件即可判断①，根据一元二次方程根的判别式的意义，即可判断②，根据三角形的内心的定义判断③，根据方差的意义判断④，根据算术平方根的定义即可判断⑤．
【详解】解：①二次根式有意义，则，故①不正确，不符合题意；
②关于的方程有两个实数根，则，则，故②正确，符合题意；
③三角形内心是三角形三条内角平分线的交点，故③正确，符合题意；
④甲、乙两人各进行了次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，则乙的射击成绩比甲稳定，故④正确，符合题意；
⑤，则的算术平方根是2，故⑤不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式与分式有意义的条件，一元二次方程根的判别式的意义，三角形的内心的定义，方差的意义，算术平方根的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
15．（2023·河北沧州·校考模拟预测）若，对于的值，下列说法正确的是（ ）
A．是无理数 B．数轴上不存在一个点与之对应
C．有两个平方根 D．精确到为
【答案】C
【分析】将代入求出数值，逐个判断即可得到答案；
【详解】解：将代入得，
，
是有理数，故A选项错误，不符合题意，
数轴上的点与数字一一对应，故B错误，不符合题意，
一个正数有两个平方根，一正一负，互为相反数，故C正确，符合题意，
精确到为，故D错误，不符合题意，
故选C；
【点睛】本题考查求分式值及平方根定义，精确度，实数分类，解题的关键是正确计算出分式的值．
16．（2023·辽宁朝阳·校联考三模）在下列各数中：，，，，，，（相邻两个之间的的个数逐次加），其中无理数的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可．
【详解】解：，在中，，，，，，，（相邻两个之间的的个数逐次加），
，，，是有理数，，，，（相邻两个之间的的个数逐次加），是无理数，共4个，
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．
17．（2023·广东佛山·校考二模）在， ， ，π、2023这五个数中，无理数的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】根据无理数的定义：“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可．
【详解】解：在， ， ，π、2023中，
，，2023是有理数，，π，是无理数，共2个，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义以及立方根，熟记无理数的概念是解题的关键．
18．（2023·广东东莞·校联考二模）在，，，，这五个数中，无理数的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可．
【详解】解：在，，，，中，
，，是有理数，，，，是无理数，共2个，
故选：A．
【点睛】本题考查了无理数，求一个数的立方根，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．
19．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考二模）已知，对多项式任意添加绝对值（不可添加为单个字母的绝对值或绝对值中含有绝对值的情况）后仍只含加减法运算，称这种操作为“添绝对值操作”，例如：，等，下列结论正确的个数是（ ）
①至少存在一种“添绝对值操作”，使化简其结果与原多项式相等；
②存在某种“添绝对值操作”，使其结果与原多项式之和为0；
③若只添加一个绝对值，则所有可能的化简结果共有8种．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据绝对值的意义求解．
【详解】解：①，
故①正确；
②，
则，添绝对值变为16，则之和为0，
故②正确；
③，
可得：的符号不变，、、、的符号会发生变化，
列举法得到化简后的结果为：，，，，，，，，共八种，
故③正确，
综上，正确的有①②③海，共3个，
故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值的化简、相反数的定义，理解新定义及绝对值是的意义是解题关键．
20．（2023·河南驻马店·统考一模）对于实数a，b定义运算“”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】B
【分析】先根据新定义得到关于x的方程，再根据一元二次方程根的判别式进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴可化为，
∵，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根的判别式，准确理解题意，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
21．（2023·河南信阳·统考一模）定义新运算：，例如，则方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
【答案】C
【分析】先根据定义得到关于x的一元二次方程，然后计算一元二次方程的判别式即可得解．
【详解】方程化为，
一元二次方程化为一般式为，
，
方程没有实数根．
故选：C．
【点睛】本题考查新定义下的方程应用，熟练掌握所给定义的应用、一元二次方程根的判别式的计算及应用是解题关键．
二、填空题
22．（2023秋·全国·八年级专题练习）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过x的最大整数，例如．则的结果为 ．
【答案】
【分析】先估算出的范围，再根据题意列出计算式解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查无理数的估算以及新定义的实数运算，关键是理解的意义．
23．（2023·山东菏泽·校考三模）对于实数P，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，，现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作后变为2．类比上述操作：对36只需进行 次操作后变为2
【答案】3
【分析】理解题中新定义运算的规则，对36进行运算即可．
【详解】解：由题意可得：
故答案为：3
【点睛】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是理解新定义运算以及掌握二次根式的性质．
24．（2023·湖南常德·统考模拟预测）如果两个无理数的积是有理数，那么称这两个无理数为一对伙伴数，如与是一对伙伴数，与是一对伙伴数．若两个无理数、是一对伙伴数，则下列四个结论：①与一定是一对伙伴数；②与一定是一对伙伴数；③与一定是一对伙伴数；④与可能是一对伙伴数．其中正确结论的序号为 ．
【答案】①②④
【分析】根据两个无理数为一对伙伴数的概念对每个结论中的两个数先判断是否是无理数，然后再计算结果，判断结果是否是有理数，即可得出答案．
【详解】解： 、是两个无理数数，
∴与是无理数，
∵两个无理数、是一对伙伴数,
是一个有理数，
是一个有理数，
与一定是一对伙伴数，故结论正确；
两个无理数、是一对伙伴数，
是一个有理数
是一个有理数，故结论正确；
两个无理数、是一对伙伴数，
与一定是无理数，但不一定是有理数，故结论不正确；
两个无理数、是一对伙伴数，
与一定是无理数，
，
当时，是有理数，故结论正确，
其中正确结论的序号为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了实数的概论和运算的应用，利用题目中给的新定义去推理计算是解题的关键．
25．（2023·湖南娄底·统考二模）如果一个数的平方等于，记作，这个数叫做虚数单位．形如（，为有理数）的数叫复数，其中叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．如：，,请利用以前学习过的有关知识将化简成的形式为（即化为分母中不含i的形式） ．
【答案】
【分析】利用平方差公式和完全平方公式再根据题中的新定义进行计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考了新定义运算，读懂题意，掌握平方差公式和完全平方公式是解答本题的关键．
26．（2023·湖南岳阳·统考一模）观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是 ．
【答案】0
【分析】由已知可得的尾数1，7，9，3循环，则的结果的个位数字与的个位数字相同，即可求解．
【详解】解：，，，，，，…，
的尾数1，7，9，3循环，
的个位数字是0，
0，1，…，2023，一共有2024个数，
，
的结果的个位数字与的个位数字相同，
的结果的个位数字是0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查数的尾数特征，能够通过所给数的特点，确定尾数的循环规律是解题的关键．
27．（2023·宁夏银川·校考一模）定义运算“★”：，关于x的方程恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先根据题意得出一元二次方程，然后根据根的判别式得出，求出t的取值范围即可．
【详解】解：∵，
∴可变为：，
整理得：，
∵关于x的方程恰好有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
28．（2023春·全国·九年级专题练习）若一个四位数的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数之和为150，则称这个四位数为“圆梦数”．若一个四位数（其中，且均为整数）为“圆梦数”，则 ；定义，若能被19整除，且存在整数使得，则满足条件的的值为 ．
【答案】 14 7278
【分析】第一问，利用圆梦数的定义以及各字母的范围，结合两位数的表示方法和整数的性质，即可求解．
第二问，利用整数整除的性质，合理变形作穷举法分析讨论，最后得出满足条件的M的值．
【详解】根据题意得，，
变形得，，为10的倍数．
∵，
∴，
因为10的倍数，故．
∴，可求得．
∵能被19整除，
所以可设（N为正整数）．
又，将变形得：
，
即，
∴，
∵19与3互质，
∴必是19的整数倍．
∵，a、b均为正整数，
∴，即，
因是19的整数倍，故或．
以下分两种情况讨论：
㈠当时， ，
由得，符合条件的a、b只有或，
当时，，但95不能表示成的形式，舍弃．
当时， ，因，故符合题意．
㈡当时，， 符合条件的a、b有或或，
以上三组数据分别代入中，结果均为负值，
因此均不符合题意，舍弃．
综合㈠、㈡可知，符合题意的只有．
依据题意可知
，
因此，满足条件的M值只有．
【点睛】本题考查了实数的新定义问题，正确理解新定义是解题的关键
()
考点03 实数
【考点梳理】
实数的分类
算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么正数x叫做a的算术平方根，记作。0的算术平方根为0。即。
3.平方根：一般地，如果一个数x的平方根等于a，即x2=a，那么数x就叫做a的平方根。
4.平方根的性质：正数有两个平方根（一正一负）它们互为相反数；0只有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根。
5. 立方根定义：如果，那么
6. 立方根的性质：正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数
7. 实数a的相反数是－a；一个正实数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0
8. 实数和数轴上的点一一对应；有序实数对与平面内的点成一一对应关系
【窗口导航】
【题型导航】
题型一：实数的概念和分类 1
题型二：实数与数轴 3
题型三：无理数的估算 5
题型四：平方根 7
题型五：立方根 8
【题型演练】
一、单选题 15
二、填空题 22
题型一：实数的概念和分类
1．（2023·新疆·模拟预测）在0，，9，，，中，负数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023春·江西·七年级统考期末）在实数，，，中，无理数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·全国·八年级专题练习）小赫制作了如图所示的实数分类导图，下列选项能按序正确填入两个空格的是（ ）
A．； B．； C．； D．；
4．（2023秋·全国·七年级专题练习）下列四个选项，其中的数不是分数的选项是（ ）
A． B． C． D．
题型二：实数与数轴
5．（2023·江苏·统考中考真题）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）．
A． B． C． D．
6．（2023·山东济南·校联考一模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·广西钦州·八年级校考期末）如图，在数轴上点A表示的实数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·山西大同·校联考模拟预测）如图，在数轴上点A表示的数是2，点C表示的数是，，，以点A为圆心，的长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（ ）
A． B． C． D．
题型三：无理数的估算
9．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考二模）估计的值应在（ ）
A．7与8之间 B．8与9之间 C．9与10之间 D．10与11之间
10．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，数轴上，，，，五个点分别表示数1，2，3，4，5，则表示数的点应在（ ）
A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上
11．（2023·河北沧州·校考模拟预测）关于，下列说法不正确的是（ ）
A．是最简二次根式 B．是无理数
C．整数部分是2 D．一定能够在数轴上找到表示的点
12．（2023秋·全国·八年级专题练习）若的整数部分为，则的算术平方根的值最接近整数（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
题型四：平方根
13．（2023·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·河北沧州·校考模拟预测）与结果不相同的是( )
A． B． C． D．
15．（2023秋·九年级课时练习）若关于的方程是一元二次方程，则的值是（ ）
A． B． C．3 D．
16．（2023秋·浙江·七年级专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是 B．没有立方根
C．的立方根是 D．的算术平方根是
题型五：立方根
17．（2023春·七年级课时练习）已知，则的平方根为（ ）
A． B． C． D．
18．（2023春·七年级课时练习）已知，若，则x的值约为（ ）
A．326000 B．3260 C．3.26 D．0.326
19．（2023春·七年级课时练习）若互为相反数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
20．（2023春·七年级课时练习）已知：，则a＝（ ）
A．2360 B．－2360 C．23600 D．－23600
题型六：实数的运算
21．（2023·湖北宜昌·统考模拟预测）月日是国际数学日，当天李强和张明想玩个数学游戏：“在等号的左边添加适当的运算符号，使等式成立”，下列选项错误的是（ ）
A． B．
C． D．
22．（2023秋·八年级课时练习）有一个数值转换器，原理如下：当输入的时，输出的y等于（ ）
A． B．8 C．2 D．
23．（2023·山东菏泽·校考三模）对于实数和，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（ ）
A． B． C． D．
24．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）为了求的值，可令，则，因此，所以，仿照以上推理计算出的值是（ ）
A． B． C． D．
25．（2023·内蒙古·统考中考真题）观察下列各式：
，，，…
请利用你所发现的规律，计算： ．
26．（2023·辽宁朝阳·校考三模）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．如果我们规定一个新数“”使它满足（即有一个根为），并且进一步规定：一切实数可以与新数“ ”进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立．于是有：，，，……那么 ．
27．（2023·浙江台州·统考二模）观察规律，，，…，运用你观察到的规律解决以下问题：
如图，分别过点作x轴的垂线，交的图像于点，交直线于点．则的值为 ．
28．（2023·山东济宁·统考二模）将数1个1，2个，3个，…，n个（n为正整数）顺次排成一列：1，，，记，，，，，，，，则 ．
【题型演练】
一、单选题
1．（2023·辽宁阜新·阜新实验中学校考二模）下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·福建宁德·校考模拟预测）在实数，π，0，中，最小的数是（ ）
A． B．0 C． D．
3．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）下列各数是有理数的是（ ）
A．π B． C． D．tan60°
4．（2023·山东威海·统考一模）下列实数中，有理数是（ ）．
A． B．
C． D．（相邻两个6之间8的个数逐次加1）
5．（2023·浙江·统考中考真题）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·山东济南·统考中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·江苏扬州·校考三模）实数，，0，中最大的数是（ ）
A．0 B． C． D．
8．（2023·湖南益阳·统考中考真题）四个实数，0，2，中，最大的数是（ ）
A． B．0 C．2 D．
9．（2023·安徽合肥·统考模拟预测）设n为正整数，且，则n的值为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
10．（2023·江苏宿迁·统考二模）与最接近的整数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
11．（2023·全国·八年级假期作业）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（ ）
A．6 B． C． D．1
12．（2023·安徽滁州·校考一模）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（ ）
A．6 B． C．12 D．
13．（2023·山东德州·统考二模）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·山东日照·统考二模）下列说法正确的个数有（ ）
①二次根式有意义，则．②关于的方程有两个实数根，则．③三角形内心是三角形三条内角平分线的交点．④甲、乙两人各进行了次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，则乙的射击成绩比甲稳定．⑤的算术平方根是．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．（2023·河北沧州·校考模拟预测）若，对于的值，下列说法正确的是（ ）
A．是无理数 B．数轴上不存在一个点与之对应
C．有两个平方根 D．精确到为
16．（2023·辽宁朝阳·校联考三模）在下列各数中：，，，，，，（相邻两个之间的的个数逐次加），其中无理数的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
17．（2023·广东佛山·校考二模）在， ， ，π、2023这五个数中，无理数的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
18．（2023·广东东莞·校联考二模）在，，，，这五个数中，无理数的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
19．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考二模）已知，对多项式任意添加绝对值（不可添加为单个字母的绝对值或绝对值中含有绝对值的情况）后仍只含加减法运算，称这种操作为“添绝对值操作”，例如：，等，下列结论正确的个数是（ ）
①至少存在一种“添绝对值操作”，使化简其结果与原多项式相等；
②存在某种“添绝对值操作”，使其结果与原多项式之和为0；
③若只添加一个绝对值，则所有可能的化简结果共有8种．
A．0 B．1 C．2 D．3
20．（2023·河南驻马店·统考一模）对于实数a，b定义运算“”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
21．（2023·河南信阳·统考一模）定义新运算：，例如，则方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
二、填空题
22．（2023秋·全国·八年级专题练习）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过x的最大整数，例如．则的结果为 ．
23．（2023·山东菏泽·校考三模）对于实数P，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，，现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作后变为2．类比上述操作：对36只需进行 次操作后变为2
24．（2023·湖南常德·统考模拟预测）如果两个无理数的积是有理数，那么称这两个无理数为一对伙伴数，如与是一对伙伴数，与是一对伙伴数．若两个无理数、是一对伙伴数，则下列四个结论：①与一定是一对伙伴数；②与一定是一对伙伴数；③与一定是一对伙伴数；④与可能是一对伙伴数．其中正确结论的序号为 ．
25．（2023·湖南娄底·统考二模）如果一个数的平方等于，记作，这个数叫做虚数单位．形如（，为有理数）的数叫复数，其中叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．如：，,请利用以前学习过的有关知识将化简成的形式为（即化为分母中不含i的形式） ．
26．（2023·湖南岳阳·统考一模）观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是 ．
27．（2023·宁夏银川·校考一模）定义运算“★”：，关于x的方程恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是 ．
28．（2023春·全国·九年级专题练习）若一个四位数的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数之和为150，则称这个四位数为“圆梦数”．若一个四位数（其中，且均为整数）为“圆梦数”，则 ；定义，若能被19整除，且存在整数使得，则满足条件的的值为
()
