2023-2024学年河北省石家庄重点中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题（本大题共14小题，共38.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.给出下列方程：为常数；；；；其中一定是一元二次方程的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.如图，已知，：：，，那么的长为( )
A.
B.
C.
D.
3.若反比例函数的图象在第二、四象限，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.下列各组种的四条线段成比例的是( )
A. 、、、 B. 、、、
C. 、、、 D. 、、、
5.在中，，已知，若将各边都扩大倍，则的值为( )
A. B. C. D.
6.如果，那么下列比例式中正确的是( )
A. B. C. D.
7.某校积极鼓励学生参加志愿者活动，表列出了随机抽取的名学生一周参与志愿者活动的时间情况：
参与志愿者活动的时间小时
参与志愿者活动的人数人
根据表中数据，下列说法中不正确的是( )
A. 表中的值为 B. 这组数据的众数是人
C. 这组数据的中位数是小时 D. 这组数据的平均数是小时
8.共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为，则所列方程正确的为( )
A. B.
C. D.
9.关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是( )
A. B. 且 C. D. 且
10.如图，在中，，直尺的一边与重合，另一边分别交，于点，点，，、处的读数分别为，，，，若直尺宽，则的长为( )
A. B. C. D.
11.如图，河堤的横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度是( )
A.
B.
C.
D.
12.如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把放大，则点的对应点的坐标是( )
A.
B. 或
C.
D. 或
13.如图，中，，，将沿图示剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )
A. B.
C. D.
14.如图，直线轴于点，且与反比例函数及的图象分别交于点，，连接，，已知的值为，则的面积为( )
A.
B.
C.
D.
二、解答题（本大题共7小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.本小题分
解方程：
；
．
16.本小题分
为了倡导“全民阅读”，某校为调査了解学生家庭藏书情况，随机抽取本校部分学生进行调查，并绘制成统计图表如下：
类别 家庭藏书本 学生人数
根据以上信息，解答下列问题
共抽样调查了______名学生，______；
在扇形统计图中，“”对应扇形的圆心角为______；
若该校有名学生，请估计全校学生中家庭藏书超过本的人数．
17.本小题分
如图，已知，和相交于点，，，是上一点，：：．
求的长；
如果的面积为，求的面积．
18.本小题分
如图，要建一个面积为的长方形仓库，仓库的一边靠墙墙长，并在与墙平行的一边上开一道宽的门，现在可用的材料为长的木板，求仓库的长和宽．
19.本小题分
为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时海里的速度向正东方航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行小时到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上
求的度数；
已知在灯塔的周围海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
20.本小题分
“保护生态环境，建设绿色社会”已经从理念变为人们的行动，某化工厂年月的利润为万元．设年月为第个月，第个月的利润为万元．由于排污超标，该厂决定从年月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从月到月，与成反比例．到月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加万元如图．
分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后，与之间对应的函数关系式．
治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到年月的水平？
当月利润少于万元时为该厂资金紧张期，则该厂资金紧张期共有几个月？
21.本小题分
如图，在中，，，动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动．过点作的垂线交射线于点，当点不和点重合时，作点关于的对称点设点的运动时间为秒．
______；
求的长．用含的代数式表示
取的中点．
连结、，当点在边上，且时，求的长．
连结，当时，直接写出的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：当时，为常数不是一元二次方程；
是分式方程，不是一元二次方程；
是一元二次方程；
，
整理得：，是一元二次方程；
，
整理得：，是一元一次方程，不是一元二次方程，
即一元二次方程有个．
故选：．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程叫一元二次方程是解此题的关键．
2.【答案】
【解析】解：，：：，
，
，
，
解得：，
故选：．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：反比例函数的图象在第二、四象限，
，
解得：．
故选：．
直接利用反比例函数的性质得出的取值范围，进而得出答案．
此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的图象分布特点是解题关键．
4.【答案】
【解析】解：，所以四条线段不成比例，故A选项不符合题意；
B.，所以四条线段不成比例，故B选项不符合题意；
C.，所以四条线段成比例，故C选项符合题意；
D.，所以四条线段不成比例，故D选项不符合题意．
故选：．
根据比例线段的定义和比例的性质，利用每组数中最大和最小数的积与另两个数之积是否相等进行判断．
本题考查成比例线段的概念，关键是理解比例线段的定义，两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
5.【答案】
【解析】解：设，，，
则扩大倍后三边长是，，，
，
扩大后．
故选：．
设，，，则扩大倍后三边长是，，，根据的定义代入求出即可．
本题考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握：若在中，，的对边是，的对边是，的对边是，则，，．
6.【答案】
【解析】解：，
，．
故选：．
利用比例的性质对各选项进行判断．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等是解决问题的关键．
7.【答案】
【解析】解：由题意看得，，故选项A不符合题意；
这组数据中出现的次数最多，故众数是，故选项B不符合题意；
这组数据的中位数是，故选项C符合题意；
这组数据的平均数是，故选项D不符合题意．
故选：．
用分别减去其它组的频数可得的值，再根据众数、中位数以及加权平均数的定义解答即可．
本题主要考查加权平均数、众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．
8.【答案】
【解析】解：由题意可得，
，
故选：．
根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题．
9.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
即：，
解得：，
关于的一元二次方程中，
则的取值范围是且．
故选：．
根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为．
本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．
10.【答案】
【解析】解：由题意得：，，
，
∽，
，即，
解得：，
故选：．
证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：迎水坡的坡度，
，
米，
在中，由勾股定理得，米，
故选：．
根据坡度的定义求出的长，再根据勾股定理求出的长即可．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度的定义是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：以原点为位似中心，相似比为，把放大，点的坐标为，
点的对应点的坐标为或，即或，
故选：．
根据位似变换的性质计算，得到答案．
本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
13.【答案】
【解析】解：、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、题目没有给出的值，因而无法判断对应边的比值，故本选项正确；
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．
故选：．
根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
14.【答案】
【解析】解：根据反比例函数的几何意义可知：的面积为，的面积为，
的面积为，
，
的面积为，
故选：．
根据反比例函数的几何意义得出的面积为，再根据即可得出．
本题主要考查反比例函数的几何意义，熟练利用反比例函数的几何意义计算三角形面积是解题的关键．
15.【答案】解：，
，
，
，
或，
，；
．
，
，
，
，
，
，．
【解析】先移项，再提取公因式，求出的值即可；
先移项，再把方程化为完全平方式的形式，求出的值即可．
本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法和配方法是解题的关键．
16.【答案】解：，；
；
人，
答：估计全校学生中家庭藏书超过本的人数约为人．
【解析】【分析】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
用组人数除以组所占的百分比就是抽样调查学生数；用总人数乘组占总人数的百分比即可求出值；
用组人数与总人数的比乘就是“”对应扇形的圆心角的度数；
用全校总人数乘家庭藏书超过本的人数与总人数的比即可．
【解答】
解：名，
名
故答案为，；
“”对应扇形的圆心角，
故答案为；
见答案．
17.【答案】解：，
，，
和同高，且：：，
，
．
，
，
，
．
，，
，
∽，
．
，
．
，
，
．
【解析】先根据：：得出：的值，再由平行线分线段成比例定理即可得出结论；
先根据，得出，故∽，再由相似三角形的性质即可得出结论．
本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
18.【答案】解：设仓库的垂直于墙的一边长为，依题意得：
，
解得：或，
当时，；
当时，；
答：仓库的长为时，宽是；仓库的长为时，宽是．
【解析】设仓库的垂直于墙的一边长为，而与墙平行的一边开一道宽的门，现有能围成长的木板，那么平行于墙的一边长为，而仓库的面积为，由此即可列出方程，解方程即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意本题有两个解．
19.【答案】解：由题意得，，，
，
由可知，
海里，
过点作于点，在中，
海里，
，
海监船继续向正东方向航行是安全的．
【解析】在中，求出、的度数即可解决问题；
作于求出的值即可判定；
本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．
20.【答案】解：当时，设，
将代入，得：，
；
当时，，
当时，；
在中，时，可得：，
解得：，
治污改造工程完工后经过个月，该厂月利润才能达到年月的水平；
在中，当时，可得，
在中，当时，可得，
解得：，
资金紧张期的有第、、、、这个月，
答：该厂资金紧张期共有个月．
【解析】待定系数法可得反比例函数解析式，求得时的函数值，再根据“改造后月利润第个月的利润超出的月份”可得答案；
求出中，时的值即可得；
分别在反比例函数和一次函数中求得时的值即可．
本题考查的是反比例函数的应用、一次函数的应用，正确求出一次函数、反比例函数的解析式是解题的关键．
21.【答案】
【解析】解：在中，，，，
．
故答案为：．
当时，．
当时，．
当时，，
，
，
，
解得，
此时．
如图中，当时，，此时．
在中，，
∽，
，
，
，，
，关于点对称，
，
，
，
，
如图中，当时，过点作于．
，
，，
，
，
，
，
，
，
经检验是分式方程的解，
综上所述，满足条件的的值为或．
利用勾股定理求解即可．
分两种情形：当时，当时，分别求解．
证明，由此构建方程，可得结论．
分两种情形：如图中，当时，，此时，由此构建方程，即可解决问题．如图中，当时，过点作于根据，构建方程，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
第1页，共1页
