2023-2024学年鲁教五四新版九年级上册数学期中复习试卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（1，2），点P与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为α（0°＜α＜90°），那么tanα的值是（ ）
A．2 B． C． D．
2．如图是由几个小正方体组成的一个几何体，这个几何体从正面看到的平面图形是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac﹣b2＜﹣4a；④＜a＜；⑤b＞c．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，点A在y＝﹣（x＜0）的图象上，AB∥x轴交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B，AC⊥x轴，垂足为点C，连接OB，四边形ACOB的面积等于，则k的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
5．图1所示的是永川区神女湖的神女雕像，它从2010年3月开始铸造，远远望去甚是伟岸壮观．其侧面示意图如图2所示．在B处测得圣像顶A的仰角为52.8°，在点E处测得圣像顶A的仰角为63.4°．已知AC⊥BC于点C，EG⊥BC于点G，EF∥BC，BG＝30米，FC＝19米，求圣像的高度AF（结果保留整数：sin52.8°≈0.80，cos52.8°≈0.60，tan52.8°≈1.32，sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00）（ ）
A．60 B．61 C．62 D．63
6．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图象称为“果园”，已知点A，B，C，D分别是“果园”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y＝x2﹣4x﹣5，AB为半圆是直径，则这个“果园”被y轴截得的弦CD的长为（ ）
A．8 B．5 C．5+ D．5﹣
7．将双曲线y＝向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，其中一个点的横坐标为a，另一个点的纵坐标为b，则（a﹣1）（b+2）的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．4 D．9
8．加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.4x﹣2，则最佳加工时间为（ ）min．
A．2 B．5 C．2或5 D．3.5
9．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（x＞0）的图象和矩形ABCD在第一象限，AD平行于x轴，且AB＝2，AD＝4，点A的坐标为（2，6）．将矩形向下平移，若矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，则矩形的平移距离a的值为（ ）
A．a＝2.5 B．a＝3 C．a＝2 D．a＝3.5
10．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0且b2﹣4ac＞0）的函数叫做“绝对值“函数．小明同学画出了“绝对值”函数y＝|x2﹣4x﹣5|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（5，0）和（0，5）；
②图象具有对称性，对称轴是直线x＝2；
③当﹣1≤x≤2或x≥5时，函数值y随x的增大而减小；
④当x≤﹣1或x≥5时，函数的最小值是9；
⑤当y＝x+b与y＝|x2﹣4x﹣5|的图象恰好有3个公共点时b＝1或
其中结论正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
11．如图1，一长方体容器，长、宽均为2，高为6，里面盛有水，水面高为4，若沿底面一棱进行旋转倾斜，倾斜后的长方体容器的主视图如图2所示，倾斜容器使水恰好流出，则CD＝ ．
12．如图，将反比例函数y＝（k＞0）的图象向左平移2个单位长度后记为图象c，c与y轴相交于点A，点P为x轴上一点，点A关于点P的对称点B在图象c上，以线段AB为边作等边△ABC，顶点C恰好在反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象上，则k＝ ．
13．如图，锐角三角形ABC中，已知AB＝10cm，BC＝9cm，△ABC的面积为27cm2，则tanB的值为 ．
14．若抛物线y＝ax2+bx+c的系数a，b，c满足a﹣b+c＝0，则这条抛物线必经过点 ．
15．如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AC⊥x轴，垂足为C，B在OC延长线上，∠CAB＝30°，直线CD⊥AB，CD与AB和y轴交点分别为D，E，连接BE，△BCE的面积为1，则k的值是 ．
三．解答题（共8小题，满分60分）
16．如图，已知A（0，4），B（﹣2，0），将△ABO向右平移3个单位，得到△A′B′O′，顶点A′恰好在反比例函数y＝（x＞0）图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将△A′B′O′继续向右平移4个单位，得到△A″B″O″，求△A″B″O″的两边分别与反比例函数图象的交点P、Q的坐标．
17．被誉为“中原第一高楼”的郑州会展宾馆（俗称“大玉米”）坐落在风景如画的如意湖畔，是来郑州观光的游客留影的最佳景点，学完了三角函数知识后，刘明和王华同学决定用自己学到的知识测量“大玉米”的高度，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量项目及结果如下表．
项目 内容
课题 测量郑州会展宾馆的高度
测量示意图 如图，在E点用测倾器DE测得楼顶B的仰角是α，前进一段距离到达C点用测倾器CF测得楼顶B的仰角是β，且点A、B、C、D、E、F均在同一竖直平面内
测量数据 ∠α的度数 ∠β的度数 EC的长度 测倾器DE，CF的高度
40° 45° 53米 1.5米
… …
请你帮助该小组根据上表中的测量数据，求出郑州会展宾馆的高度
（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，结果保留整数）
18．已知抛物线和x轴交于（﹣2，0）、（4，0）两点，且顶点为（1，9）．求它的解析式．
19．如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示．
（1）请你通过画图确定灯泡所在的位置．
（2）如果小明的身高AB＝1.6m，他的影子长AC＝1.4m，且他到路灯的距离AD＝2.1m，求灯泡的高．
20．如图，一次函数y＝kx+b的图象交反比例函数y＝的图象于A（2，﹣4），B（a，﹣1）两点．
（1）求反比例函数与一次函数解析式．
（2）连接OA，OB，求△OAB的面积．
（3）根据图象直接回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
21．综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝6m，∠DCE＝30°，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．
（1）求DE的长；
（2）设塔AB的高度为h（单位：m）；
①用含有h的式子表示线段EA的长（结果保留根号）；
②求塔AB的高度（tan27°取0.5，取1.7，结果取整数）．
22．在平面直角坐标系xOy中，点P绕点T（t，0）旋转180°得到点Q，我们称点Q是点P的“影射点”．
（1）若t＝3，则点P1（0，0）的“影射点”Q1的坐标是 ；点P2（﹣2，﹣1）的“影射点”Q2的坐标是 ；
（2）若点P在一次函数y＝﹣2x+6的图象上，其“影射点”Q在一次函数y＝﹣2x﹣2的图象上，则t的值是 ；
（3）如图，已知点Q是点P（2，2）的“影射点”，点R是反比例函数y＝﹣（x＜0）图象上一点，若△PQR是以PR为直角边的等腰直角三角形，求t的值．
23．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交点A、B，与y轴交于点C．
①在抛物线对称轴上是否存在一点P，使△BCP为等腰三角形，如果存在，求出P点坐标；
②抛物线上有一动点N，y轴上有一动点M，当△ONM是以∠ONM为直角的等腰直角三角形时，求N点坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．解：如图，过P点作PA⊥x轴于A，则∠POA＝α，
∵点P的坐标为（1，2），
∴OA＝1，PA＝2，
∴tan∠POA＝＝＝2，
即tanα＝2．
故选：A．
2．解：从正面看第一层是两个小正方形，第二层在左边位置一个小正方形，故C符合题意，
故选：C．
3．解：①∵函数开口方向向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧，
∴ab异号，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
②当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故②错误；
③∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴的交点在（0，﹣1）的下方，对称轴在y轴右侧，a＞0，
∴＜﹣1，
∵a＞0，
∴4ac﹣b2＜﹣4a，
∴③成立，
④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，
∴﹣2＜c＜﹣1，
∵x1x2＝＝﹣3，
∴c＝﹣3a，
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
∴＜a＜；
故④正确；
⑤∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴a＝b﹣c，
∵a＞0，
∴b﹣c＞0，即b＞c；
故⑤正确；
综上所述，正确的有①③④⑤，
故答案为：D．
4．解：设AB与y轴的交点为D．
∵点A在y＝﹣上，
∴四边形ACOD的面积为4．
∵四边形ACOB的面积为，
∴△OBD的面积为，
故k＝2×＝1．
故选：C．
5．解：在Rt△AEF中，∠AEF＝63.4°，
∴tan63.4°＝，
∴EF＝≈AF，
∵AC⊥BC于点C，EG⊥BC于点G，EF∥BC，
∴四边形EFCG是矩形，
∴CG＝EF＝AF，
∵BG＝30米，FC＝19米，
∴BC＝CG+BG＝AF+30，AC＝AF+FC＝AF+19，
在Rt△ABC中，∠ABC＝52.8°，
∴tan52.8°＝＝≈1.32，
解得：AF≈61（米），
故圣像的高度大约61米，
故选：B．
6．解：如图：连接CM，
当y＝0时，y＝x2﹣4x﹣5＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝5，
∴A（﹣1，0），B（5，0），
∴AB＝6，
又∵M为AB的中点，
∴M（2，0），
∴OM＝2，CM＝3，
∴CO＝＝＝，
当x＝0时，y＝﹣5，所以OD＝5，
∴CD＝5+，
故选：C．
7．解：∵一次函数y＝kx﹣2﹣k（k＞0），
∴当x＝1时，y＝﹣2，
∴一次函数的图象过定点P（1，﹣2），
∵P（1，﹣2）恰好是原点（0，0）向右平移1个单位长度，再向下平移平移2个单位长度得到的，
∴将双曲线y＝向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，
∴在平移前是关于原点对称的，平移前，这两个点的坐标分别为（a﹣1，），(，b+2),
∴a﹣1＝﹣，
∴（a﹣1）（b+2）＝﹣3，
故选：B．
8．解：根据题意：y＝﹣0.2x2+1.4x﹣2，
当x＝﹣＝﹣＝3.5时，y取得最大值，
则最佳加工时间为3.5min．
故选：D．
9．解：平移后只能A、C同时落在反比例函数图象上，
平移后A（2，6﹣a），C（6，4﹣a），
∴a＝2（6﹣a）＝6（4﹣a），
∴a＝3，
故选：B．
10．解：∵（﹣1，0），（5，0）和（0，5）满足函数y＝|x2﹣4x﹣5|，
∴结论①正确；
观察函数的图象可知：函数具有对称性，对称轴为直线，
故结论②正确；
∵函数与x轴的两个交点坐标为（﹣1，0），（5，0），且对称轴为直线x＝2，
∴当﹣1≤x≤2或x≥5时，函数值y随x值的增大而增大，
故结论③不正确；
∵当x＝﹣1或5时，y＝0，
∴当x≤﹣1或x≥5时，函数的最小值是0．
故结论④不正确；
∵函数y＝|x2﹣4x﹣5|与x轴的两个交点为（﹣1，0），（5，0），
又∵y＝x+b与y＝x平行，
∴当y＝x+b与y＝|x2﹣4x﹣5|的图象恰好有3个公共点时，有以下两种情况：
①y＝x+b经过点（﹣1，0），此时b＝1，
②当y＝x+b与函数y＝﹣（x2﹣4x+5）只有一个交点时，
则方程x+b＝﹣（x2﹣4x+5）有两个相等的实数根，
将x+b＝﹣（x2﹣4x+5）整理得：x2﹣3x+b﹣5＝0，
∴判别式Δ＝（﹣3）2﹣4（b﹣5）＝0，
解得：．
故结论⑤正确，
综上所述：正确的结论是①②⑤．
故选：B．
二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
11．解：如图所示：
设DE＝x，则AD＝6﹣x，
根据题意得（ 6﹣x+6）×2×2＝2×2×4，
解得：x＝4，
∴DE＝4，
∵∠E＝90°，
由勾股定理得：CD＝＝＝2，
故答案为：2．
12．解：如图，连接PC，过C作CH⊥x轴于H．
平移后的解析式为y＝，可得，A（0，），P（﹣2，0），B（﹣4，﹣），
∴△ABC是等边三角形，PA＝PB，
∴PC⊥AB，∠ACP＝∠BCP＝30°，
∴PC＝PA，
∴∠APC＝∠AOP＝∠PHC＝90°，
∴∠APO+∠CPH＝90°，∠CPH+∠PCH＝90°，
∴∠APO＝∠PCH，
∴△AOP∽△PHC，
∴＝＝＝，
∴PH＝k，CH＝2，
∴OH＝k﹣2，
∴C（k﹣2，﹣2），
∵点C在y＝﹣上，
∴﹣2（k﹣2）＝﹣k，
解得k＝2，
故答案为2．
13．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
∵△ABC的面积为27cm2，BC＝9cm，
∴BC AD＝27，
∴AD＝6，
在Rt△ABD中，AB＝10cm，
∴BD＝＝＝8（cm），
∴tanB＝＝＝，
故答案为：．
14．解：当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，因此抛物线必过点（﹣1，0）
故答案为：（﹣1，0）
15．解：设A（n，m），则OC＝n，AC＝m，
∵AC⊥BC，∠CAB＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠OCE＝∠BCD＝30°，
在Rt△ABC中，BC＝AC＝m，
在Rt△EOC中，OE＝OC＝n，
∵△BCE的面积为1，
∴S△BCE＝ OE BC＝1，
∴ n m＝1，
∴mn＝6，
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝mn＝6．
故答案为6．
三．解答题（共8小题，满分60分）
16．解：（1）将△ABO向右平移3个单位，得到△A′B′O′，而A（0，4），B（﹣2，0），O（0，0）
∴A′（3，4），B′（1，0），O′（3，0），
又∵点A′（3，4）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝3×4＝12，
∴反比例函数的关系式为y＝；
（2）将△A′B′O′继续向右平移4个单位，得到△A″B″O″，
∴A″（7，4），B″（5，0），O″（7，0），
当x＝7时，y＝，
∴点Q（7，），
设直线A″B″的关系式为y＝kx+b，则
，
解得，
∴直线A″B″的关系式为y＝2x﹣10，
由2x﹣10＝得，x＝6或x＝﹣1（舍去），
当x＝6时，y＝2×6﹣10＝2，
∴点P（6，2），
答：P（6，2），Q（7，）．
17．解：由题意可得：设BN＝FN＝x，
则tan40°＝＝≈0.84，
解得：x＝278.25，
故AB＝278.25+1.5≈280（米），
答：郑州会展宾馆的高度为280米．
18．解：∵抛物线与x轴交于（﹣2，0）、（4，0）两点，
∴设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣4）（a≠0），
把（1，9）代入y＝a（x+2）（x﹣4），得a（1+2）（1﹣4）＝9．
解得a＝﹣1，所以此时抛物线解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣4）或y＝﹣x2+2x+8．
19．（1）解：如图，点O为灯泡所在的位置，
线段FH为小明在灯光下形成的影子；
（2）解：由已知可得，＝，
∴＝，
∴OD＝4m．
∴灯泡的高为4m．
20．解：（1）把A（2，﹣4）的坐标代入y＝得：m＝﹣8，
∴反比例函数的解析式是y＝﹣；
把B（a，﹣1）的坐标代入y＝﹣得：﹣1＝﹣，
解得：a＝8，
∴B点坐标为（8，﹣1），
把A（2，﹣4）、B（8，﹣1）的坐标代入y＝kx+b，得：，
解得：，
∴一次函数解析式为y＝x﹣5；
（2）设直线AB交x轴于C．
∵y＝x﹣5，
∴当y＝0时，x＝10，
∴OC＝10，
∴△AOB的面积＝△AOC的面积﹣三角形BOC的面积
＝×10×4﹣×10×1
＝15；
（3）由图象知，当0＜x＜2或x＞8时，一次函数的值大于反比例函数的值．
21．解：（1）由题意得：DE⊥EC，
在Rt△DEC中，CD＝6m，∠DCE＝30°，
∴DE＝CD＝3（m），
∴DE的长为3m；
（2）①由题意得：BA⊥EA，
在Rt△DEC中，DE＝3m，∠DCE＝30°，
∴CE＝DE＝3（m），
在Rt△ABC中，AB＝hm，∠BCA＝45°，
∴AC＝＝h（m），
∴AE＝EC+AC＝（3+h）m，
∴线段EA的长为（3+h）m；
②过点D作DF⊥AB，垂足为F，
由题意得：DF＝EA＝（3+h）m，DE＝FA＝3m，
∵AB＝hm，
∴BF＝AB﹣AF＝（h﹣3）m，
在Rt△BDF中，∠BDF＝27°，
∴BF＝DF tan27°≈0.5（3+h）m，
∴h﹣3＝0.5（3+h），
解得：h＝3+6≈11，
∴AB＝11m，
∴塔AB的高度约为11m．
22．解：（ 1）设Q1的坐标是（a，b），Q2的坐标是（c，d），
∵P1（0，0），P2（﹣2，﹣1）绕点T（3，0）旋转180°，
∴P1T＝TQ1，P2T＝TQ2，
∴＝3，＝0，＝3，＝0，
∴a＝6，b＝0，c＝8，d＝1，
∴Q1（6，0），Q2（8，1），
故答案为：（6，0），（8，1）；
（2）根据定义，T是x轴上的点，设T（t，0），
点P在一次函数y＝﹣2x+6，令y＝0，得x＝3，则y＝﹣2x+6与x轴的交点为（3，0），
其“影射点“Q在一次函数y＝﹣2x﹣2，令y＝0，得x＝﹣1，则y＝﹣2x﹣2与x轴的交点为（﹣1，0），
∴t﹣（﹣1）＝3﹣t，
解得：t＝1，
故答案为：1；
（ 3 ） ①如图，当∠PRQ＝90°时，连接RT，分别过P，R向x轴作垂线，垂足为M，N，
∵TP＝TQ，PR＝RQ，
∴RT⊥PQ，RT＝TP，
∴∠RTP＝90°，
∴∠RTN+∠PTM＝90°，
∵∠PMT＝∠RNT＝90°，
∴∠PTM+∠TPM＝90°，
∴∠TPM＝∠RTN，
∴△RTN≌△TPM（AAS），
∴RN＝TM，NT＝MP，
∵P（2，2），
∴PM＝2，TM＝2﹣t，
..RN＝TM＝2﹣t，MN＝4﹣t，
∴R（t﹣2，2﹣t），
∵R在y＝﹣（x＜0）上，
∴（t﹣2）×（2﹣t）＝﹣6，
解得：t＝2﹣或t＝2+，
∵t﹣2＜0，
∴t＜2，
∴t＝2﹣；
②如图，当∠RPQ＝90°时，过点P作PS⊥x轴，分别过Q．R向PS作垂线，垂足为X，S，
∵∠RPQ＝90°，
∴∠1+∠QPX＝90°，
∵∠QPX+∠2＝90°，
∴∠1＝∠2，
∵PR＝PQ，∠S＝∠X，
∴△PRS≌△QPX（AAS），
∴SP＝QX，RS＝PX，
∵P（2，2），PT＝TQ，T（t，0），
∴Q（x，y），
∴＝t，＝0，
解得：x＝2t﹣2，y＝﹣2，
∴Q（2t﹣2，﹣2），
∴QX＝2﹣（2t﹣2）＝4﹣2t，PX＝2﹣（﹣2）＝4，
∴S（2，2+4﹣2t），即S（2，6﹣2t），
∴R（﹣2，6﹣2t），
∵R在y＝﹣（x＜0）上，﹣2×（6﹣2t）＝﹣6，
解得：t＝，
综上所述，t＝2﹣或．
23．解：①∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3，
当x＝0时，y＝﹣3，
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
设点P（1，p），
∴PB2＝（3﹣1）2+p2＝4+p2，
PC2＝（p+3）2+12＝p2+6p+10，
BC2＝32+32＝18，
Ⅰ当PB＝PC时，
4+p2＝p2+6p+10，
解得p＝﹣1，
∴P点坐标为（1，﹣1）；
Ⅱ当PB＝BC时，
4+p2＝18，
解得p＝±，
∴P点坐标为（1，﹣）或（1，）；
Ⅲ当PC＝BC时，
p2+6p+10＝18，
解得p＝﹣3±，
∴P点坐标为（1，﹣3+）或（1，﹣3﹣）；
综上所述，P点坐标为（1，﹣1）或（1，﹣）或（1，）或（1，﹣3+）或（1，﹣3﹣）；
②过点N分别作ND⊥x轴于D，NE⊥y轴于E，
∴四边形OEND是矩形，∠NDO＝∠NEM＝90°，
∴∠DNE＝90°，
∵△ONM是以∠ONM为直角的等腰直角三角形，
∴∠ONM＝90°，ON＝MN，
∴∠ONE+∠ENM＝∠ONE+∠DNO＝90°，
∴∠DNO＝∠ENM，
∴△NDO≌△NEM（AAS），
∴ND＝NE，
∵点N是抛物线y＝x2﹣2x﹣3上一动点，
∴设N点坐标为（x，x2﹣2x﹣3），
∴|x|＝|x2﹣2x﹣3|，
解得x＝或，
∴N点坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．
