2023-2024学年鲁教五四新版九年级上册数学期中复习试卷
一.选择题(共10小题,满分40分,每小题4分)
1.在平面直角坐标系xOy中,已知点P(1,2),点P与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为α(0°<α<90°),那么tanα的值是( )
A.2 B. C. D.
2.如图是由几个小正方体组成的一个几何体,这个几何体从正面看到的平面图形是( )
A. B.
C. D.
3.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(﹣1,0),与y轴的交点B在(0,﹣2)和(0,﹣1)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=1.下列结论:①abc>0;②4a+2b+c>0;③4ac﹣b2<﹣4a;④<a<;⑤b>c.其中正确结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.如图,点A在y=﹣(x<0)的图象上,AB∥x轴交反比例函数y=(x>0)的图象于点B,AC⊥x轴,垂足为点C,连接OB,四边形ACOB的面积等于,则k的值为( )
A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2
5.图1所示的是永川区神女湖的神女雕像,它从2010年3月开始铸造,远远望去甚是伟岸壮观.其侧面示意图如图2所示.在B处测得圣像顶A的仰角为52.8°,在点E处测得圣像顶A的仰角为63.4°.已知AC⊥BC于点C,EG⊥BC于点G,EF∥BC,BG=30米,FC=19米,求圣像的高度AF(结果保留整数:sin52.8°≈0.80,cos52.8°≈0.60,tan52.8°≈1.32,sin63.4°≈0.89,cos63.4°≈0.45,tan63.4°≈2.00)( )
A.60 B.61 C.62 D.63
6.如图,我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图象称为“果园”,已知点A,B,C,D分别是“果园”与坐标轴的交点,抛物线的解析式为y=x2﹣4x﹣5,AB为半圆是直径,则这个“果园”被y轴截得的弦CD的长为( )
A.8 B.5 C.5+ D.5﹣
7.将双曲线y=向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到的新双曲线与直线y=kx﹣2﹣k(k>0)相交于两点,其中一个点的横坐标为a,另一个点的纵坐标为b,则(a﹣1)(b+2)的值为( )
A.﹣4 B.﹣3 C.4 D.9
8.加工爆米花时,爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率y与加工时间x(单位:min)满足函数表达式y=﹣0.2x2+1.4x﹣2,则最佳加工时间为( )min.
A.2 B.5 C.2或5 D.3.5
9.如图,在平面直角坐标系中,反比例函数(x>0)的图象和矩形ABCD在第一象限,AD平行于x轴,且AB=2,AD=4,点A的坐标为(2,6).将矩形向下平移,若矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上,则矩形的平移距离a的值为( )
A.a=2.5 B.a=3 C.a=2 D.a=3.5
10.我们定义一种新函数:形如y=|ax2+bx+c|(a≠0且b2﹣4ac>0)的函数叫做“绝对值“函数.小明同学画出了“绝对值”函数y=|x2﹣4x﹣5|的图象(如图所示),并写出下列五个结论:
①图象与坐标轴的交点为(﹣1,0),(5,0)和(0,5);
②图象具有对称性,对称轴是直线x=2;
③当﹣1≤x≤2或x≥5时,函数值y随x的增大而减小;
④当x≤﹣1或x≥5时,函数的最小值是9;
⑤当y=x+b与y=|x2﹣4x﹣5|的图象恰好有3个公共点时b=1或
其中结论正确的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
二.填空题(共5小题,满分20分,每小题4分)
11.如图1,一长方体容器,长、宽均为2,高为6,里面盛有水,水面高为4,若沿底面一棱进行旋转倾斜,倾斜后的长方体容器的主视图如图2所示,倾斜容器使水恰好流出,则CD= .
12.如图,将反比例函数y=(k>0)的图象向左平移2个单位长度后记为图象c,c与y轴相交于点A,点P为x轴上一点,点A关于点P的对称点B在图象c上,以线段AB为边作等边△ABC,顶点C恰好在反比例函数y=﹣(x>0)的图象上,则k= .
13.如图,锐角三角形ABC中,已知AB=10cm,BC=9cm,△ABC的面积为27cm2,则tanB的值为 .
14.若抛物线y=ax2+bx+c的系数a,b,c满足a﹣b+c=0,则这条抛物线必经过点 .
15.如图,点A在反比例函数y=(x>0)的图象上,AC⊥x轴,垂足为C,B在OC延长线上,∠CAB=30°,直线CD⊥AB,CD与AB和y轴交点分别为D,E,连接BE,△BCE的面积为1,则k的值是 .
三.解答题(共8小题,满分60分)
16.如图,已知A(0,4),B(﹣2,0),将△ABO向右平移3个单位,得到△A′B′O′,顶点A′恰好在反比例函数y=(x>0)图象上.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)将△A′B′O′继续向右平移4个单位,得到△A″B″O″,求△A″B″O″的两边分别与反比例函数图象的交点P、Q的坐标.
17.被誉为“中原第一高楼”的郑州会展宾馆(俗称“大玉米”)坐落在风景如画的如意湖畔,是来郑州观光的游客留影的最佳景点,学完了三角函数知识后,刘明和王华同学决定用自己学到的知识测量“大玉米”的高度,他们制订了测量方案,并利用课余时间完成了实地测量,测量项目及结果如下表.
项目 内容
课题 测量郑州会展宾馆的高度
测量示意图 如图,在E点用测倾器DE测得楼顶B的仰角是α,前进一段距离到达C点用测倾器CF测得楼顶B的仰角是β,且点A、B、C、D、E、F均在同一竖直平面内
测量数据 ∠α的度数 ∠β的度数 EC的长度 测倾器DE,CF的高度
40° 45° 53米 1.5米
… …
请你帮助该小组根据上表中的测量数据,求出郑州会展宾馆的高度
(参考数据:sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84,结果保留整数)
18.已知抛物线和x轴交于(﹣2,0)、(4,0)两点,且顶点为(1,9).求它的解析式.
19.如图,在路灯下,小明的身高如图中线段AB所示,他在地面上的影子如图中线段AC所示.
(1)请你通过画图确定灯泡所在的位置.
(2)如果小明的身高AB=1.6m,他的影子长AC=1.4m,且他到路灯的距离AD=2.1m,求灯泡的高.
20.如图,一次函数y=kx+b的图象交反比例函数y=的图象于A(2,﹣4),B(a,﹣1)两点.
(1)求反比例函数与一次函数解析式.
(2)连接OA,OB,求△OAB的面积.
(3)根据图象直接回答:当x为何值时,一次函数的值大于反比例函数的值?
21.综合与实践活动中,要利用测角仪测量塔的高度,如图,塔AB前有一座高为DE的观景台,已知CD=6m,∠DCE=30°,点E,C,A在同一条水平直线上.某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°,在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°.
(1)求DE的长;
(2)设塔AB的高度为h(单位:m);
①用含有h的式子表示线段EA的长(结果保留根号);
②求塔AB的高度(tan27°取0.5,取1.7,结果取整数).
22.在平面直角坐标系xOy中,点P绕点T(t,0)旋转180°得到点Q,我们称点Q是点P的“影射点”.
(1)若t=3,则点P1(0,0)的“影射点”Q1的坐标是 ;点P2(﹣2,﹣1)的“影射点”Q2的坐标是 ;
(2)若点P在一次函数y=﹣2x+6的图象上,其“影射点”Q在一次函数y=﹣2x﹣2的图象上,则t的值是 ;
(3)如图,已知点Q是点P(2,2)的“影射点”,点R是反比例函数y=﹣(x<0)图象上一点,若△PQR是以PR为直角边的等腰直角三角形,求t的值.
23.如图,抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交点A、B,与y轴交于点C.
①在抛物线对称轴上是否存在一点P,使△BCP为等腰三角形,如果存在,求出P点坐标;
②抛物线上有一动点N,y轴上有一动点M,当△ONM是以∠ONM为直角的等腰直角三角形时,求N点坐标.
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题,满分40分,每小题4分)
1.解:如图,过P点作PA⊥x轴于A,则∠POA=α,
∵点P的坐标为(1,2),
∴OA=1,PA=2,
∴tan∠POA===2,
即tanα=2.
故选:A.
2.解:从正面看第一层是两个小正方形,第二层在左边位置一个小正方形,故C符合题意,
故选:C.
3.解:①∵函数开口方向向上,
∴a>0;
∵对称轴在y轴右侧,
∴ab异号,
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴,
∴c<0,
∴abc>0,
故①正确;
②当x=2时,y=4a+2b+c<0,故②错误;
③∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴的交点在(0,﹣1)的下方,对称轴在y轴右侧,a>0,
∴<﹣1,
∵a>0,
∴4ac﹣b2<﹣4a,
∴③成立,
④∵图象与y轴的交点B在(0,﹣2)和(0,﹣1)之间,
∴﹣2<c<﹣1,
∵x1x2==﹣3,
∴c=﹣3a,
∴﹣2<﹣3a<﹣1,
∴<a<;
故④正确;
⑤∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(﹣1,0),
∴a﹣b+c=0,
∴a=b﹣c,
∵a>0,
∴b﹣c>0,即b>c;
故⑤正确;
综上所述,正确的有①③④⑤,
故答案为:D.
4.解:设AB与y轴的交点为D.
∵点A在y=﹣上,
∴四边形ACOD的面积为4.
∵四边形ACOB的面积为,
∴△OBD的面积为,
故k=2×=1.
故选:C.
5.解:在Rt△AEF中,∠AEF=63.4°,
∴tan63.4°=,
∴EF=≈AF,
∵AC⊥BC于点C,EG⊥BC于点G,EF∥BC,
∴四边形EFCG是矩形,
∴CG=EF=AF,
∵BG=30米,FC=19米,
∴BC=CG+BG=AF+30,AC=AF+FC=AF+19,
在Rt△ABC中,∠ABC=52.8°,
∴tan52.8°==≈1.32,
解得:AF≈61(米),
故圣像的高度大约61米,
故选:B.
6.解:如图:连接CM,
当y=0时,y=x2﹣4x﹣5=0,
解得x1=﹣1,x2=5,
∴A(﹣1,0),B(5,0),
∴AB=6,
又∵M为AB的中点,
∴M(2,0),
∴OM=2,CM=3,
∴CO===,
当x=0时,y=﹣5,所以OD=5,
∴CD=5+,
故选:C.
7.解:∵一次函数y=kx﹣2﹣k(k>0),
∴当x=1时,y=﹣2,
∴一次函数的图象过定点P(1,﹣2),
∵P(1,﹣2)恰好是原点(0,0)向右平移1个单位长度,再向下平移平移2个单位长度得到的,
∴将双曲线y=向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到的新双曲线与直线y=kx﹣2﹣k(k>0)相交于两点,
∴在平移前是关于原点对称的,平移前,这两个点的坐标分别为(a﹣1,),(,b+2),
∴a﹣1=﹣,
∴(a﹣1)(b+2)=﹣3,
故选:B.
8.解:根据题意:y=﹣0.2x2+1.4x﹣2,
当x=﹣=﹣=3.5时,y取得最大值,
则最佳加工时间为3.5min.
故选:D.
9.解:平移后只能A、C同时落在反比例函数图象上,
平移后A(2,6﹣a),C(6,4﹣a),
∴a=2(6﹣a)=6(4﹣a),
∴a=3,
故选:B.
10.解:∵(﹣1,0),(5,0)和(0,5)满足函数y=|x2﹣4x﹣5|,
∴结论①正确;
观察函数的图象可知:函数具有对称性,对称轴为直线,
故结论②正确;
∵函数与x轴的两个交点坐标为(﹣1,0),(5,0),且对称轴为直线x=2,
∴当﹣1≤x≤2或x≥5时,函数值y随x值的增大而增大,
故结论③不正确;
∵当x=﹣1或5时,y=0,
∴当x≤﹣1或x≥5时,函数的最小值是0.
故结论④不正确;
∵函数y=|x2﹣4x﹣5|与x轴的两个交点为(﹣1,0),(5,0),
又∵y=x+b与y=x平行,
∴当y=x+b与y=|x2﹣4x﹣5|的图象恰好有3个公共点时,有以下两种情况:
①y=x+b经过点(﹣1,0),此时b=1,
②当y=x+b与函数y=﹣(x2﹣4x+5)只有一个交点时,
则方程x+b=﹣(x2﹣4x+5)有两个相等的实数根,
将x+b=﹣(x2﹣4x+5)整理得:x2﹣3x+b﹣5=0,
∴判别式Δ=(﹣3)2﹣4(b﹣5)=0,
解得:.
故结论⑤正确,
综上所述:正确的结论是①②⑤.
故选:B.
二.填空题(共5小题,满分20分,每小题4分)
11.解:如图所示:
设DE=x,则AD=6﹣x,
根据题意得( 6﹣x+6)×2×2=2×2×4,
解得:x=4,
∴DE=4,
∵∠E=90°,
由勾股定理得:CD===2,
故答案为:2.
12.解:如图,连接PC,过C作CH⊥x轴于H.
平移后的解析式为y=,可得,A(0,),P(﹣2,0),B(﹣4,﹣),
∴△ABC是等边三角形,PA=PB,
∴PC⊥AB,∠ACP=∠BCP=30°,
∴PC=PA,
∴∠APC=∠AOP=∠PHC=90°,
∴∠APO+∠CPH=90°,∠CPH+∠PCH=90°,
∴∠APO=∠PCH,
∴△AOP∽△PHC,
∴===,
∴PH=k,CH=2,
∴OH=k﹣2,
∴C(k﹣2,﹣2),
∵点C在y=﹣上,
∴﹣2(k﹣2)=﹣k,
解得k=2,
故答案为2.
13.解:过点A作AD⊥BC,垂足为D,
∵△ABC的面积为27cm2,BC=9cm,
∴BC AD=27,
∴AD=6,
在Rt△ABD中,AB=10cm,
∴BD===8(cm),
∴tanB===,
故答案为:.
14.解:当x=﹣1时,y=a﹣b+c=0,因此抛物线必过点(﹣1,0)
故答案为:(﹣1,0)
15.解:设A(n,m),则OC=n,AC=m,
∵AC⊥BC,∠CAB=30°,
∴∠ABC=60°,
∵CD⊥AB,
∴∠OCE=∠BCD=30°,
在Rt△ABC中,BC=AC=m,
在Rt△EOC中,OE=OC=n,
∵△BCE的面积为1,
∴S△BCE= OE BC=1,
∴ n m=1,
∴mn=6,
∵点A在反比例函数y=(x>0)的图象上,
∴k=mn=6.
故答案为6.
三.解答题(共8小题,满分60分)
16.解:(1)将△ABO向右平移3个单位,得到△A′B′O′,而A(0,4),B(﹣2,0),O(0,0)
∴A′(3,4),B′(1,0),O′(3,0),
又∵点A′(3,4)在反比例函数y=的图象上,
∴k=3×4=12,
∴反比例函数的关系式为y=;
(2)将△A′B′O′继续向右平移4个单位,得到△A″B″O″,
∴A″(7,4),B″(5,0),O″(7,0),
当x=7时,y=,
∴点Q(7,),
设直线A″B″的关系式为y=kx+b,则
,
解得,
∴直线A″B″的关系式为y=2x﹣10,
由2x﹣10=得,x=6或x=﹣1(舍去),
当x=6时,y=2×6﹣10=2,
∴点P(6,2),
答:P(6,2),Q(7,).
17.解:由题意可得:设BN=FN=x,
则tan40°==≈0.84,
解得:x=278.25,
故AB=278.25+1.5≈280(米),
答:郑州会展宾馆的高度为280米.
18.解:∵抛物线与x轴交于(﹣2,0)、(4,0)两点,
∴设抛物线解析式为y=a(x+2)(x﹣4)(a≠0),
把(1,9)代入y=a(x+2)(x﹣4),得a(1+2)(1﹣4)=9.
解得a=﹣1,所以此时抛物线解析式为y=﹣(x+2)(x﹣4)或y=﹣x2+2x+8.
19.(1)解:如图,点O为灯泡所在的位置,
线段FH为小明在灯光下形成的影子;
(2)解:由已知可得,=,
∴=,
∴OD=4m.
∴灯泡的高为4m.
20.解:(1)把A(2,﹣4)的坐标代入y=得:m=﹣8,
∴反比例函数的解析式是y=﹣;
把B(a,﹣1)的坐标代入y=﹣得:﹣1=﹣,
解得:a=8,
∴B点坐标为(8,﹣1),
把A(2,﹣4)、B(8,﹣1)的坐标代入y=kx+b,得:,
解得:,
∴一次函数解析式为y=x﹣5;
(2)设直线AB交x轴于C.
∵y=x﹣5,
∴当y=0时,x=10,
∴OC=10,
∴△AOB的面积=△AOC的面积﹣三角形BOC的面积
=×10×4﹣×10×1
=15;
(3)由图象知,当0<x<2或x>8时,一次函数的值大于反比例函数的值.
21.解:(1)由题意得:DE⊥EC,
在Rt△DEC中,CD=6m,∠DCE=30°,
∴DE=CD=3(m),
∴DE的长为3m;
(2)①由题意得:BA⊥EA,
在Rt△DEC中,DE=3m,∠DCE=30°,
∴CE=DE=3(m),
在Rt△ABC中,AB=hm,∠BCA=45°,
∴AC==h(m),
∴AE=EC+AC=(3+h)m,
∴线段EA的长为(3+h)m;
②过点D作DF⊥AB,垂足为F,
由题意得:DF=EA=(3+h)m,DE=FA=3m,
∵AB=hm,
∴BF=AB﹣AF=(h﹣3)m,
在Rt△BDF中,∠BDF=27°,
∴BF=DF tan27°≈0.5(3+h)m,
∴h﹣3=0.5(3+h),
解得:h=3+6≈11,
∴AB=11m,
∴塔AB的高度约为11m.
22.解:( 1)设Q1的坐标是(a,b),Q2的坐标是(c,d),
∵P1(0,0),P2(﹣2,﹣1)绕点T(3,0)旋转180°,
∴P1T=TQ1,P2T=TQ2,
∴=3,=0,=3,=0,
∴a=6,b=0,c=8,d=1,
∴Q1(6,0),Q2(8,1),
故答案为:(6,0),(8,1);
(2)根据定义,T是x轴上的点,设T(t,0),
点P在一次函数y=﹣2x+6,令y=0,得x=3,则y=﹣2x+6与x轴的交点为(3,0),
其“影射点“Q在一次函数y=﹣2x﹣2,令y=0,得x=﹣1,则y=﹣2x﹣2与x轴的交点为(﹣1,0),
∴t﹣(﹣1)=3﹣t,
解得:t=1,
故答案为:1;
( 3 ) ①如图,当∠PRQ=90°时,连接RT,分别过P,R向x轴作垂线,垂足为M,N,
∵TP=TQ,PR=RQ,
∴RT⊥PQ,RT=TP,
∴∠RTP=90°,
∴∠RTN+∠PTM=90°,
∵∠PMT=∠RNT=90°,
∴∠PTM+∠TPM=90°,
∴∠TPM=∠RTN,
∴△RTN≌△TPM(AAS),
∴RN=TM,NT=MP,
∵P(2,2),
∴PM=2,TM=2﹣t,
..RN=TM=2﹣t,MN=4﹣t,
∴R(t﹣2,2﹣t),
∵R在y=﹣(x<0)上,
∴(t﹣2)×(2﹣t)=﹣6,
解得:t=2﹣或t=2+,
∵t﹣2<0,
∴t<2,
∴t=2﹣;
②如图,当∠RPQ=90°时,过点P作PS⊥x轴,分别过Q.R向PS作垂线,垂足为X,S,
∵∠RPQ=90°,
∴∠1+∠QPX=90°,
∵∠QPX+∠2=90°,
∴∠1=∠2,
∵PR=PQ,∠S=∠X,
∴△PRS≌△QPX(AAS),
∴SP=QX,RS=PX,
∵P(2,2),PT=TQ,T(t,0),
∴Q(x,y),
∴=t,=0,
解得:x=2t﹣2,y=﹣2,
∴Q(2t﹣2,﹣2),
∴QX=2﹣(2t﹣2)=4﹣2t,PX=2﹣(﹣2)=4,
∴S(2,2+4﹣2t),即S(2,6﹣2t),
∴R(﹣2,6﹣2t),
∵R在y=﹣(x<0)上,﹣2×(6﹣2t)=﹣6,
解得:t=,
综上所述,t=2﹣或.
23.解:①∵抛物线y=x2﹣2x﹣3,
当x=0时,y=﹣3,
当y=0时,x2﹣2x﹣3=0,
解得x=﹣1或3,
∴A(﹣1,0),B(3,0),C(0,﹣3),
∴抛物线的对称轴为直线x=1,
设点P(1,p),
∴PB2=(3﹣1)2+p2=4+p2,
PC2=(p+3)2+12=p2+6p+10,
BC2=32+32=18,
Ⅰ当PB=PC时,
4+p2=p2+6p+10,
解得p=﹣1,
∴P点坐标为(1,﹣1);
Ⅱ当PB=BC时,
4+p2=18,
解得p=±,
∴P点坐标为(1,﹣)或(1,);
Ⅲ当PC=BC时,
p2+6p+10=18,
解得p=﹣3±,
∴P点坐标为(1,﹣3+)或(1,﹣3﹣);
综上所述,P点坐标为(1,﹣1)或(1,﹣)或(1,)或(1,﹣3+)或(1,﹣3﹣);
②过点N分别作ND⊥x轴于D,NE⊥y轴于E,
∴四边形OEND是矩形,∠NDO=∠NEM=90°,
∴∠DNE=90°,
∵△ONM是以∠ONM为直角的等腰直角三角形,
∴∠ONM=90°,ON=MN,
∴∠ONE+∠ENM=∠ONE+∠DNO=90°,
∴∠DNO=∠ENM,
∴△NDO≌△NEM(AAS),
∴ND=NE,
∵点N是抛物线y=x2﹣2x﹣3上一动点,
∴设N点坐标为(x,x2﹣2x﹣3),
∴|x|=|x2﹣2x﹣3|,
解得x=或,
∴N点坐标为(,)或(,)或(,)或(,).