（人教版）2023-2024学年九年级数学上册 22.2 二次函数与一元二次方程 期中专项复习
一、选择题
1．（2023九上·成都开学考）设，下表列出了与的6对对应值：
根据表格能够发现一元二次方程的一个解的大致范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：由表格数据可知函数值y随自变量x的增大而增大，且当-1
【分析】二次函数与一元二次方程的联系，由二次函数的性质（增减性），对照表格里的数据易知y随x的增大而增大，又x=1时，y=-1；x=2时，y=5；所以可以判断当y=0时（-1<0<5），对应自变量x的大致范围。
2．（2023九上·福州开学考）已知、是一元二次方程的两个不相等的实数根，、是一元二次方程的两个不相等的实数根，其中若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：如图：
由题意可知：函数y=x2+3x-n和y=x2-3x-n在y轴上的交点为（0，-n）.
∵，
∴OB =OC =AB =CD ，
∵两条抛物线的对称轴分别为：x=、x=，
∴OB =OC =AB =CD==3，
∴x2=3，则C（3，0），
把点C代入解析式y=x2+3x-n可得n=18.
故答案为：D.
【分析】将两个方程转化为两个二次函数，由二次函数的图象特点求出相关点C的坐标，然后将点C的坐标代入解析式y=x2+3x-n计算即可求解.
3．（2023九上·福州开学考）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在、之间不包含端点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点为（1，k），
∴y=a(x-1)2+k，
∵抛物线与x轴相交于点A（-1，0），
∴0=a(-1-1)2+k，则a=，
∴y=(x-1)2+k=x2+x+k，
∵抛物线与y轴的交点在（0，2）和（0，3）之间，
∴2＜k＜3，解得：＜k＜4.
故答案为：C .
【分析】由题意可设抛物线的顶点式为：y=a(x-1)2+k，把点A的坐标代入解析式可将a用含k的代数式表示出来，然后根据抛物线与y轴的交点在（0，2）和（0，3）之间可得关于k的不等式组，解之可求解.
4．（2022九上·渝中开学考）如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为（ ）
A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m
【答案】C
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：根据题意， 小朱本次投掷实心球的成绩是y=0时，x的值，
解得x1=8 x2=-2（不符实际，舍去）
故答案为：C
【分析】抛实心球的曲线是二次函数图象最常用的实例，以人的站立点为原点建立直角坐标系，实心球落地点是x轴上的点，纵坐标为0.
5．（2023九上·宿城期末）若二次函数的图象经过点，则方程的解为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵，
∴二次函数的图象的对称轴方程为直线，
∵二次函数的图象经过点，
∴二次函数图象与x轴的另一个交点坐标为，
∴方程解为，
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x=1，结合对称性可得图象与x轴的另一个交点坐标为（3，0），接下来根据二次函数图象与x轴交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解进行解答.
6．（2023九上·义乌期末）已知，关于x的一元二次方程的解为，则下列结论正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：根据题意，关于x的一元二次方程(x+1)(x-2)-m=0的解为x1，x2，
可以看作二次函数y=(x+1)(x-2)的图象与直线y=m的交点的横坐标，
二次函数y=(x+1)(x-2)与x轴的交点为（-1，0）与（2，0），
又因为m＞0，x1＜x2，画出函数图象如下：
由图象可知.
故答案为：A.
【分析】 关于x的一元二次方程(x+1)(x-2)-m=0的解为x1，x2，可以看作二次函数y=(x+1)(x-2)的图象与直线y=m的交点的横坐标，二次函数y=(x+1)(x-2)与x轴的交点为（-1，0）与（2，0），
又因为m＞0，x1＜x2，故画出图象，利用图象即可直接得出答案.
7．（2023九上·赵县期末）如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是（ ）
A．-1
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】∵抛物线对称轴为直线x＝2，且抛物线与x轴交于（5，0），
∴抛物线与x轴另一交点坐标为（﹣1，0），
∴不等式ax2+bx+c＜0的解集是x＜﹣1或x＞5
故答案为：D
【分析】由抛物线的对称性及抛物线与x轴交点可得抛物线与x轴的另一交点坐标，进而求解
8．（2023九上·大冶期末）二次函数（a，c为常数且）经过，且，下列结论：①；②；③若关于x的方程有整数解，则符合条件的p的值有3个；④当时，二次函数的最大值为c，则.其中一定正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
把代入得，，
则，
∴，
∵，
，
故①正确；
∵，
∴，
∴ ，
，
故②正确；
∵二次函数（a，c为常数且）经过，且对称轴 ，
根据轴对称的性质可知抛物线必过，如图，
∵关于x的方程（）可化为：，
方程的整数解有，，0，
当时，，
当时，，
当时，，
∴或
故符合条件的p值有两个，③不正确；
当时，，即函数与y轴交点为，
∵抛物线的对称轴为，
∴函数经过，
∵当时，二次函数的最大值为c，
∴或，
∵，
∴，
故④正确，
综上所述，①②④正确.
故答案为：C.
【分析】利用a的取值范围可得到3a的取值范围，将点（1，m）代入函数解析式，可推出m-c=3a，可推出m＜c，由此可推出c的取值范围，可对①作出判断；利用3a+c=m，可得到3a+c＜0，据此可得到，可对②作出判断；利用二次函数的解析式，可得到抛物线的对称轴，利用二次函数的对称性可知抛物线必过（-3，m），画出二次函数的图象，作出直线y=p，根据方程的整数解有三个，可知方程的整数解有，，0，分别将x=-2，-1，0代入方程，可得到符合条件的p值有两个，可对③作出判断；当x=0时，可得到y的值，可得到抛物线与y轴的坐标，利用抛物线的对称轴可知图象经过点（-2，c），利用已知当时，二次函数的最大值为c，可得到a=-4，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
9．（2022九上·浑南期末）二次函数的图像经过点，，则关于x的方程的根是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】因为二次函数的图像经过点，，
所以方程的根是，，
故答案为：D．
【分析】利用二次函数与一元二次方程的关系可得二次函数与x轴的交点坐标即是一元二次方程的解。
10．（2022九上·将乐期中）由下表估算一元二次方程x2+12x＝15的一个根的范围，正确的是（ ）
x 1.0 1.1 1.2 1.3
x2+12x 13 14.41 15.84 17.29
A．1.0＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2
C．1.2＜x＜1.3 D．14.41＜x＜15.84
【答案】B
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：，
一元二次方程的一个根的范围为.
故答案为：B.
【分析】由表格中的数据可得当x=1.1时，x2+12x=14.41；当x=1.2时，x2+12x=15.84，据此不难得到方程x2+12x=15的一个解的范围.
二、填空题
11．二次函数是常数，的自变量与函数值的部分对应值如下表：
当时，与其对应的函数值有下列结论：；和是关于的方程的两个根；则所有正确结论的序号为 ．
【答案】①②
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：当x＝0时，y＝c＝﹣2，当x＝1时，y＝a+b+c＝﹣2，
∴a+b＝0，抛物线对称轴为直线，
∵当时，其对应的函数值y＞0，
∴在对称轴左侧，y随x增大而减小，
∴二次函数开口向上
∴a＞0，b＜0．
∴abc＞0．①结论符合题意
∵x＝﹣2时，y＝t，
∴﹣2是关于x的程ax2+bx+c＝t的根．
∵对称轴为直线，
∴﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根．故②正确；
∵b＝﹣a，c＝﹣2，
∴二次函数解析式：y＝ax2﹣ax﹣2，
∵当时，与其对应的函数值y＞0．
∴，
∴；
∵当x＝﹣1和x＝2时的函数值分别为m和n，
∴m＝n＝2a﹣2，
∴；故③错误，
故答案为：①②.
【分析】用待定系数法将点（0，﹣2），（1，﹣2）代入解析式求出c＝﹣2，a+b＝0，再结合二次函数图象与已知信息当时，y＞0得出a＞0，进而判断①结论；根据表格数值x＝﹣2时，y＝t结合二次函数对称轴由二次函数的轴对称性进而判断②结论；利用待定系数法将点（﹣1，m），（2，n）代入解析式得出m+n＝4（a﹣1），结合a的范围，判断③结论．
12．（2023九上·兴化期末）已知二次函数 的图象如图所示，则一元二次方程的解是 .
【答案】，
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：由图象可知，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为1，对称轴为，根据二次函数图象的对称性，可知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，
二次函数的图象与x轴的交点即为一元二次方程的解
∴一元二次方程的解为，，
故答案为：，.
【分析】根据对称性可得二次函数图象与x轴的另一个交点坐标为(-3，0)，然后根据二次函数图象与x轴交点的横坐标即为对应的一元二次方程的根进行解答.
13．（2023九上·崇左期末）抛物线如图所示，利用图象可得方程的近似解为 （精确到0.1）.
【答案】0.3或1.7
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴的两个交点分别是、，
又∵抛物线与x轴的两个交点，就是方程的两个根，
∴方程的两个近似根是0.3 或1.7.
故答案为：0.3或1.7.
【分析】根据二次函数图象与x轴交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解进行解答.
14．（2023九上·长顺期末）二次函数的部分图象如图所示，则方程的根为 ．
【答案】x=-1或x=3
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：根据二次函数解析式可得对称轴为直线x=1，由图象可得与x轴的一个交点为（3，0），则另一个交点为（-1，0），
∴方程ax2-2ax-m=0的解为x=-1或x=3.
故答案为：x=-1或x=3.
【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴，由图象可得与x轴的一个交点的坐标，然后根据对称性求出另一个交点的坐标，进而可得方程的解.
15．（2022九上·新昌月考）抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
… -3 -2 0 1 3 5 …
… 7 0 -8 -9 -5 7 …
则方程的解是 .
【答案】，
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：根据表格所列数据可知抛物线的对称轴为，
∵当时，，
∴方程的另外一根应该满足：，且，
∴
故答案为：，
【分析】根据表格中的数据可得抛物线过点（-3，7）、（5，7），则对称轴为直线x=1，根据对称性可得抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），据此不难得到一元二次方程的解.
三、解答题
16．（2022九上·北京市开学考）已知点为二次函数图像上的点，求代数式的值．
【答案】解：∵点在二次函数图像上
∴
∴
∵
把代入得
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】由点A在抛物线上，把点A（a，2）代入抛物线解析式可得关于a的等式，化简所求代数式然后对比得到的a的等式，发现隐含的倍数关系，求解。
17．（2022九上·平桂期末）若二次函数的对称轴为直线，求关于x的方程的解.
【答案】解：∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
解得.
将代入中，得：，
解得，.
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】利用二次函数的对称轴公式
即可算出b的值，将求得的b代入方程，用因式分解法解关于x的一元二次方程即可.
18．（2020九上·邗江月考）已知二次函数 试证明：不论m取何值，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点
【答案】证明：由题意，知二次函数对应的方程 的判别式为 .
因为 ，所以 ，即 ，
所以不论m取何值，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】要证明二次函数y＝ x2＋（m 2）x＋m＋1的图象与x轴始终有两个交点，只需证明关于x的方程0＝ x2＋（m 2）x＋m＋1的根的判别式是正数即可．
19．（2020九上·台州月考）由数形结合思想知：解方程可以看成是求两个函数交点的横坐标。例如：解方程2x+3=-x-6可看成是求直线y=2x+3和直线y=-x-6的交点横坐标。利用这一思想方法，借助函数图象，判断方程： 的实数根有几个。
【答案】解：∵|x2-4x+3|=1
∴x2-4x+3=1或x2-4x+3=-1
即x2-4x+2=0或x2-4x+4=0
解得：，，x3=2
∴此方程的实数解有3个.
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【分析】利用绝对值的意义可将方程转化为x2-4x+3=1或x2-4x+3=-1，再分别求出方程的解。
四、综合题
20．（2022九上·鹤岗期中）如图，抛物线经过，两点，与x轴交于另一点B，连接，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平行于x轴的直线与抛物线分别交于点D，E，求线段的长．
【答案】（1）解：将代入得：
，解得：，
则抛物线的表达式为：，
将点A的坐标代入上式得，，
解得：，
故抛物线的表达式为：
（2）解：∵平行于x轴的直线与抛物线分别交于点D、E，
∴，
解得或，
∴，，
∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）将点A、C的坐标代入，求出a、b的值即可；
（2）将代入可得，求出x的值，即可得到点D、E的坐标，最后求出DE的长即可。
21．（2022九上·广州期中）已知关于的方程．
（1）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根；
（2）求证：二次函数的图象与轴有两个交点．
【答案】（1）解：把代入得，
解得，
原方程为，
，
．
（2）证明：令，则，
，
二次函数图象与轴有2个交点．
【知识点】一元二次方程的根；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）将代入方程求出，可得方程，再求出方程的根即可；
（2）利用根的判别式求解即可。
22．（2022九上·汉阴月考）已知二次函数．
… －4 －3 －2 －1 0 1 2 …
… －6 －1 ____ 3 2 ____ －6 …
（1）填写表，并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（2）根据表格结合函数图象，直接写出方程的近似解（指出在哪两个连续整数之间即可）．
【答案】（1）解：由，令，，
令，
填表如下：
… －4 －3 －2 －1 0 1 2 …
… －6 －1 2 3 2 －1 －6 …
所画图象如图：
（2）解：由图象可知，方程的两个近似根分别在之间和之间．
【知识点】描点法画函数图象；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【分析】（1）分别令x=-2、x=1，求出y的值，然后利用描点、连线即可画出函数的图象；
（2）根据二次函数图象与x轴交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解进行判断.
23．（2022九上·博白月考）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，与轴交于点，线段轴，交该抛物线于另一点．
（1）求点的坐标及直线的解析式；
（2）当二次函数的自变量满足时，此函数的最大值为，最小值为，且，求的值；
（3）平移抛物线，使其顶点始终在直线上移动，当平移后的抛物线与射线只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：，
顶点，
令，则，
，
轴，
，
设直线解析式为，
，
解得，
（2）解：抛物线的对称轴为直线，
①当时，
时，，
时，，
，
解得舍；
②当，即，
时，，
时，，
，
解得舍；
③当，即，
时，，
时，，
，
解得或舍；
④当，即，
时，，
时，，
，
解得舍或，
综上所述：的值或；
（3）解：或
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：（3）设直线的解析式为，
，
解得，
，
如图1，当抛物线向左平移个单位，则向上平移个单位，
平移后的抛物线解析式为，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
联立方程组，
整理得，
当时，，
解得，
此时抛物线的顶点为
②如图2，当抛物线向右平移个单位，则向下平移个单位，
平移后的抛物线解析式为，
当抛物线经过点时，，
解得舍或，
此时抛物线的顶点坐标为，此时平移后的抛物线与射线只有一个公共点，
当抛物线的顶点为时，平移后的抛物线与射线有两个公共点，
综上所述：或．
【分析】（1）求出A、B、C三点坐标，再用待定系数法求直线AC的解析式即可；
（2）由题意可分四种情况讨论：①当m＞1时，根据p q＝2可得关于m的方程，解方程可求解；②当m＋2＜1，即m＜ 1，根据p q＝2可得关于m的方程，解方程可求解；③当m≤1≤m＋1，即0≤m≤1，根据p q＝2可得关于m的方程，解方程可求解；④当m＋1＜1≤m＋2，即 1≤m＜0，根据p q＝2可得关于m的方程，解方程可求解；
（3）分两种情况讨论：①当抛物线向左平移h个单位，则向上平移h个单位，平移后的抛物线解析式为y＝（x 1＋h）2 4＋h，求出直线BA的解析式为y＝x 5，将抛物线和直线BA的解析式联立解方程组，根据抛物线和直线BA只有一个公共点可得Δ=b2-4ac＝0，解方程可求得h的值，可得此时抛物线的顶点坐标，此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；②当抛物线向右平移k个单位，则向下平移k个单位，平移后的抛物线解析式为y＝（x 1 k）2 4 k，当抛物线经过点B时，可得此时抛物线的顶点坐标，此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；结合抛物线的顶点和平移后的抛物线与射线BA有两个公共点可求解．
（人教版）2023-2024学年九年级数学上册 22.2 二次函数与一元二次方程 期中专项复习
一、选择题
1．（2023九上·成都开学考）设，下表列出了与的6对对应值：
根据表格能够发现一元二次方程的一个解的大致范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·福州开学考）已知、是一元二次方程的两个不相等的实数根，、是一元二次方程的两个不相等的实数根，其中若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·福州开学考）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在、之间不包含端点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022九上·渝中开学考）如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为（ ）
A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m
5．（2023九上·宿城期末）若二次函数的图象经过点，则方程的解为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023九上·义乌期末）已知，关于x的一元二次方程的解为，则下列结论正确的是( )
A． B．
C． D．
7．（2023九上·赵县期末）如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是（ ）
A．-1
8．（2023九上·大冶期末）二次函数（a，c为常数且）经过，且，下列结论：①；②；③若关于x的方程有整数解，则符合条件的p的值有3个；④当时，二次函数的最大值为c，则.其中一定正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2022九上·浑南期末）二次函数的图像经过点，，则关于x的方程的根是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．（2022九上·将乐期中）由下表估算一元二次方程x2+12x＝15的一个根的范围，正确的是（ ）
x 1.0 1.1 1.2 1.3
x2+12x 13 14.41 15.84 17.29
A．1.0＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2
C．1.2＜x＜1.3 D．14.41＜x＜15.84
二、填空题
11．二次函数是常数，的自变量与函数值的部分对应值如下表：
当时，与其对应的函数值有下列结论：；和是关于的方程的两个根；则所有正确结论的序号为 ．
12．（2023九上·兴化期末）已知二次函数 的图象如图所示，则一元二次方程的解是 .
13．（2023九上·崇左期末）抛物线如图所示，利用图象可得方程的近似解为 （精确到0.1）.
14．（2023九上·长顺期末）二次函数的部分图象如图所示，则方程的根为 ．
15．（2022九上·新昌月考）抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
… -3 -2 0 1 3 5 …
… 7 0 -8 -9 -5 7 …
则方程的解是 .
三、解答题
16．（2022九上·北京市开学考）已知点为二次函数图像上的点，求代数式的值．
17．（2022九上·平桂期末）若二次函数的对称轴为直线，求关于x的方程的解.
18．（2020九上·邗江月考）已知二次函数 试证明：不论m取何值，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点
19．（2020九上·台州月考）由数形结合思想知：解方程可以看成是求两个函数交点的横坐标。例如：解方程2x+3=-x-6可看成是求直线y=2x+3和直线y=-x-6的交点横坐标。利用这一思想方法，借助函数图象，判断方程： 的实数根有几个。
四、综合题
20．（2022九上·鹤岗期中）如图，抛物线经过，两点，与x轴交于另一点B，连接，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平行于x轴的直线与抛物线分别交于点D，E，求线段的长．
21．（2022九上·广州期中）已知关于的方程．
（1）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根；
（2）求证：二次函数的图象与轴有两个交点．
22．（2022九上·汉阴月考）已知二次函数．
… －4 －3 －2 －1 0 1 2 …
… －6 －1 ____ 3 2 ____ －6 …
（1）填写表，并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（2）根据表格结合函数图象，直接写出方程的近似解（指出在哪两个连续整数之间即可）．
23．（2022九上·博白月考）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，与轴交于点，线段轴，交该抛物线于另一点．
（1）求点的坐标及直线的解析式；
（2）当二次函数的自变量满足时，此函数的最大值为，最小值为，且，求的值；
（3）平移抛物线，使其顶点始终在直线上移动，当平移后的抛物线与射线只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为，请直接写出的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：由表格数据可知函数值y随自变量x的增大而增大，且当-1
【分析】二次函数与一元二次方程的联系，由二次函数的性质（增减性），对照表格里的数据易知y随x的增大而增大，又x=1时，y=-1；x=2时，y=5；所以可以判断当y=0时（-1<0<5），对应自变量x的大致范围。
2．【答案】D
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：如图：
由题意可知：函数y=x2+3x-n和y=x2-3x-n在y轴上的交点为（0，-n）.
∵，
∴OB =OC =AB =CD ，
∵两条抛物线的对称轴分别为：x=、x=，
∴OB =OC =AB =CD==3，
∴x2=3，则C（3，0），
把点C代入解析式y=x2+3x-n可得n=18.
故答案为：D.
【分析】将两个方程转化为两个二次函数，由二次函数的图象特点求出相关点C的坐标，然后将点C的坐标代入解析式y=x2+3x-n计算即可求解.
3．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点为（1，k），
∴y=a(x-1)2+k，
∵抛物线与x轴相交于点A（-1，0），
∴0=a(-1-1)2+k，则a=，
∴y=(x-1)2+k=x2+x+k，
∵抛物线与y轴的交点在（0，2）和（0，3）之间，
∴2＜k＜3，解得：＜k＜4.
故答案为：C .
【分析】由题意可设抛物线的顶点式为：y=a(x-1)2+k，把点A的坐标代入解析式可将a用含k的代数式表示出来，然后根据抛物线与y轴的交点在（0，2）和（0，3）之间可得关于k的不等式组，解之可求解.
4．【答案】C
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：根据题意， 小朱本次投掷实心球的成绩是y=0时，x的值，
解得x1=8 x2=-2（不符实际，舍去）
故答案为：C
【分析】抛实心球的曲线是二次函数图象最常用的实例，以人的站立点为原点建立直角坐标系，实心球落地点是x轴上的点，纵坐标为0.
5．【答案】D
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵，
∴二次函数的图象的对称轴方程为直线，
∵二次函数的图象经过点，
∴二次函数图象与x轴的另一个交点坐标为，
∴方程解为，
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x=1，结合对称性可得图象与x轴的另一个交点坐标为（3，0），接下来根据二次函数图象与x轴交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解进行解答.
6．【答案】A
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：根据题意，关于x的一元二次方程(x+1)(x-2)-m=0的解为x1，x2，
可以看作二次函数y=(x+1)(x-2)的图象与直线y=m的交点的横坐标，
二次函数y=(x+1)(x-2)与x轴的交点为（-1，0）与（2，0），
又因为m＞0，x1＜x2，画出函数图象如下：
由图象可知.
故答案为：A.
【分析】 关于x的一元二次方程(x+1)(x-2)-m=0的解为x1，x2，可以看作二次函数y=(x+1)(x-2)的图象与直线y=m的交点的横坐标，二次函数y=(x+1)(x-2)与x轴的交点为（-1，0）与（2，0），
又因为m＞0，x1＜x2，故画出图象，利用图象即可直接得出答案.
7．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】∵抛物线对称轴为直线x＝2，且抛物线与x轴交于（5，0），
∴抛物线与x轴另一交点坐标为（﹣1，0），
∴不等式ax2+bx+c＜0的解集是x＜﹣1或x＞5
故答案为：D
【分析】由抛物线的对称性及抛物线与x轴交点可得抛物线与x轴的另一交点坐标，进而求解
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
把代入得，，
则，
∴，
∵，
，
故①正确；
∵，
∴，
∴ ，
，
故②正确；
∵二次函数（a，c为常数且）经过，且对称轴 ，
根据轴对称的性质可知抛物线必过，如图，
∵关于x的方程（）可化为：，
方程的整数解有，，0，
当时，，
当时，，
当时，，
∴或
故符合条件的p值有两个，③不正确；
当时，，即函数与y轴交点为，
∵抛物线的对称轴为，
∴函数经过，
∵当时，二次函数的最大值为c，
∴或，
∵，
∴，
故④正确，
综上所述，①②④正确.
故答案为：C.
【分析】利用a的取值范围可得到3a的取值范围，将点（1，m）代入函数解析式，可推出m-c=3a，可推出m＜c，由此可推出c的取值范围，可对①作出判断；利用3a+c=m，可得到3a+c＜0，据此可得到，可对②作出判断；利用二次函数的解析式，可得到抛物线的对称轴，利用二次函数的对称性可知抛物线必过（-3，m），画出二次函数的图象，作出直线y=p，根据方程的整数解有三个，可知方程的整数解有，，0，分别将x=-2，-1，0代入方程，可得到符合条件的p值有两个，可对③作出判断；当x=0时，可得到y的值，可得到抛物线与y轴的坐标，利用抛物线的对称轴可知图象经过点（-2，c），利用已知当时，二次函数的最大值为c，可得到a=-4，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
9．【答案】D
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】因为二次函数的图像经过点，，
所以方程的根是，，
故答案为：D．
【分析】利用二次函数与一元二次方程的关系可得二次函数与x轴的交点坐标即是一元二次方程的解。
10．【答案】B
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：，
一元二次方程的一个根的范围为.
故答案为：B.
【分析】由表格中的数据可得当x=1.1时，x2+12x=14.41；当x=1.2时，x2+12x=15.84，据此不难得到方程x2+12x=15的一个解的范围.
11．【答案】①②
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：当x＝0时，y＝c＝﹣2，当x＝1时，y＝a+b+c＝﹣2，
∴a+b＝0，抛物线对称轴为直线，
∵当时，其对应的函数值y＞0，
∴在对称轴左侧，y随x增大而减小，
∴二次函数开口向上
∴a＞0，b＜0．
∴abc＞0．①结论符合题意
∵x＝﹣2时，y＝t，
∴﹣2是关于x的程ax2+bx+c＝t的根．
∵对称轴为直线，
∴﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根．故②正确；
∵b＝﹣a，c＝﹣2，
∴二次函数解析式：y＝ax2﹣ax﹣2，
∵当时，与其对应的函数值y＞0．
∴，
∴；
∵当x＝﹣1和x＝2时的函数值分别为m和n，
∴m＝n＝2a﹣2，
∴；故③错误，
故答案为：①②.
【分析】用待定系数法将点（0，﹣2），（1，﹣2）代入解析式求出c＝﹣2，a+b＝0，再结合二次函数图象与已知信息当时，y＞0得出a＞0，进而判断①结论；根据表格数值x＝﹣2时，y＝t结合二次函数对称轴由二次函数的轴对称性进而判断②结论；利用待定系数法将点（﹣1，m），（2，n）代入解析式得出m+n＝4（a﹣1），结合a的范围，判断③结论．
12．【答案】，
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：由图象可知，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为1，对称轴为，根据二次函数图象的对称性，可知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，
二次函数的图象与x轴的交点即为一元二次方程的解
∴一元二次方程的解为，，
故答案为：，.
【分析】根据对称性可得二次函数图象与x轴的另一个交点坐标为(-3，0)，然后根据二次函数图象与x轴交点的横坐标即为对应的一元二次方程的根进行解答.
13．【答案】0.3或1.7
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴的两个交点分别是、，
又∵抛物线与x轴的两个交点，就是方程的两个根，
∴方程的两个近似根是0.3 或1.7.
故答案为：0.3或1.7.
【分析】根据二次函数图象与x轴交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解进行解答.
14．【答案】x=-1或x=3
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：根据二次函数解析式可得对称轴为直线x=1，由图象可得与x轴的一个交点为（3，0），则另一个交点为（-1，0），
∴方程ax2-2ax-m=0的解为x=-1或x=3.
故答案为：x=-1或x=3.
【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴，由图象可得与x轴的一个交点的坐标，然后根据对称性求出另一个交点的坐标，进而可得方程的解.
15．【答案】，
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：根据表格所列数据可知抛物线的对称轴为，
∵当时，，
∴方程的另外一根应该满足：，且，
∴
故答案为：，
【分析】根据表格中的数据可得抛物线过点（-3，7）、（5，7），则对称轴为直线x=1，根据对称性可得抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），据此不难得到一元二次方程的解.
16．【答案】解：∵点在二次函数图像上
∴
∴
∵
把代入得
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】由点A在抛物线上，把点A（a，2）代入抛物线解析式可得关于a的等式，化简所求代数式然后对比得到的a的等式，发现隐含的倍数关系，求解。
17．【答案】解：∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
解得.
将代入中，得：，
解得，.
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】利用二次函数的对称轴公式
即可算出b的值，将求得的b代入方程，用因式分解法解关于x的一元二次方程即可.
18．【答案】证明：由题意，知二次函数对应的方程 的判别式为 .
因为 ，所以 ，即 ，
所以不论m取何值，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】要证明二次函数y＝ x2＋（m 2）x＋m＋1的图象与x轴始终有两个交点，只需证明关于x的方程0＝ x2＋（m 2）x＋m＋1的根的判别式是正数即可．
19．【答案】解：∵|x2-4x+3|=1
∴x2-4x+3=1或x2-4x+3=-1
即x2-4x+2=0或x2-4x+4=0
解得：，，x3=2
∴此方程的实数解有3个.
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【分析】利用绝对值的意义可将方程转化为x2-4x+3=1或x2-4x+3=-1，再分别求出方程的解。
20．【答案】（1）解：将代入得：
，解得：，
则抛物线的表达式为：，
将点A的坐标代入上式得，，
解得：，
故抛物线的表达式为：
（2）解：∵平行于x轴的直线与抛物线分别交于点D、E，
∴，
解得或，
∴，，
∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）将点A、C的坐标代入，求出a、b的值即可；
（2）将代入可得，求出x的值，即可得到点D、E的坐标，最后求出DE的长即可。
21．【答案】（1）解：把代入得，
解得，
原方程为，
，
．
（2）证明：令，则，
，
二次函数图象与轴有2个交点．
【知识点】一元二次方程的根；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）将代入方程求出，可得方程，再求出方程的根即可；
（2）利用根的判别式求解即可。
22．【答案】（1）解：由，令，，
令，
填表如下：
… －4 －3 －2 －1 0 1 2 …
… －6 －1 2 3 2 －1 －6 …
所画图象如图：
（2）解：由图象可知，方程的两个近似根分别在之间和之间．
【知识点】描点法画函数图象；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【分析】（1）分别令x=-2、x=1，求出y的值，然后利用描点、连线即可画出函数的图象；
（2）根据二次函数图象与x轴交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解进行判断.
23．【答案】（1）解：，
顶点，
令，则，
，
轴，
，
设直线解析式为，
，
解得，
（2）解：抛物线的对称轴为直线，
①当时，
时，，
时，，
，
解得舍；
②当，即，
时，，
时，，
，
解得舍；
③当，即，
时，，
时，，
，
解得或舍；
④当，即，
时，，
时，，
，
解得舍或，
综上所述：的值或；
（3）解：或
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：（3）设直线的解析式为，
，
解得，
，
如图1，当抛物线向左平移个单位，则向上平移个单位，
平移后的抛物线解析式为，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
联立方程组，
整理得，
当时，，
解得，
此时抛物线的顶点为
②如图2，当抛物线向右平移个单位，则向下平移个单位，
平移后的抛物线解析式为，
当抛物线经过点时，，
解得舍或，
此时抛物线的顶点坐标为，此时平移后的抛物线与射线只有一个公共点，
当抛物线的顶点为时，平移后的抛物线与射线有两个公共点，
综上所述：或．
【分析】（1）求出A、B、C三点坐标，再用待定系数法求直线AC的解析式即可；
（2）由题意可分四种情况讨论：①当m＞1时，根据p q＝2可得关于m的方程，解方程可求解；②当m＋2＜1，即m＜ 1，根据p q＝2可得关于m的方程，解方程可求解；③当m≤1≤m＋1，即0≤m≤1，根据p q＝2可得关于m的方程，解方程可求解；④当m＋1＜1≤m＋2，即 1≤m＜0，根据p q＝2可得关于m的方程，解方程可求解；
（3）分两种情况讨论：①当抛物线向左平移h个单位，则向上平移h个单位，平移后的抛物线解析式为y＝（x 1＋h）2 4＋h，求出直线BA的解析式为y＝x 5，将抛物线和直线BA的解析式联立解方程组，根据抛物线和直线BA只有一个公共点可得Δ=b2-4ac＝0，解方程可求得h的值，可得此时抛物线的顶点坐标，此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；②当抛物线向右平移k个单位，则向下平移k个单位，平移后的抛物线解析式为y＝（x 1 k）2 4 k，当抛物线经过点B时，可得此时抛物线的顶点坐标，此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；结合抛物线的顶点和平移后的抛物线与射线BA有两个公共点可求解．
