专题2.5 有理数的乘方【题型梳理】
题型梳理
知识解析
【知识点1 有理数乘方的概念】
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．
即有：.
在中，叫做底数， n叫做指数.
【题型1 乘方的意义】
【例1】（﹣2）4表示的意义是（ ）
A．﹣2×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2） B．﹣2+（﹣2）+（﹣2）+（﹣2）
C．﹣2×4 D．2×2×2×2
【答案】A
【分析】根据乘方的定义进行判断即可.
【详解】解：（﹣2）4表示的意义是4个﹣2相乘，
即（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），
或﹣2×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），
故选A．
【点睛】本题主要考查有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数的乘方的定义，即：求n个相同因数积的运算，叫做乘方.
【变式1-1】如图，写成幂的形式 ．
【答案】
【分析】根据乘方的意义写出幂的形式即可．
【详解】解：m个2相乘写成幂的形式为，：n个3相加写成积的形式为，
故
答案为：
【点睛】本题考查了乘方的意义和乘法的意义，解题关键是明确乘方的意义，会熟练运用乘法意义把相同乘数的乘法写成幂的形式．
【变式1-2】若 k 为正整数，则的意义为（ ）
A．4 个 相加 B．3 个 相加 C．4 个 相乘 D．7 个 k 相乘
【答案】C
【分析】根据幂的乘方的含义即可解答．
【详解】解：根据幂的乘方的含义，可得表示4 个 相乘，
故选：C．
【点睛】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方的含义是解题的关键．
【变式1-3】阅读理解：根据乘方的意义，可得：22×23＝（2×2）×（2×2×2）＝25．请你试一试，完成以下题目：
（1）a3 a4＝（a a a） （a a a a）＝ ；
（2）归纳、概括：am an＝ ；
（3）如果xm＝4，xn＝9，运用以上的结论，计算：xm+n＝ ．
【答案】 a7 am+n 36
【分析】（1）根据题意，乘方的意义，7个a相乘可以写成a7即可解决；
（2）根据题意，总结规律，可以知道是几个相同的数相乘，指数相加即可解决；
（3）运用以上的结论，可以知道：xm+n＝xm xn，即可解决问题．
【详解】解：（1）根据材料规律可得a3 a4＝（a a a） （a a a a）＝a7；
（2）归纳、概括：am an＝=am+n；
（3）如果xm＝4，xn＝9，运用以上的结论，计算：xm+n＝xm xn＝4×9＝36．
故答案为：a7，am+n，36．
【点睛】本题主要考查了有理数的乘方的认识，能够读懂乘方的意义并且能够仿照例题写出答案是解决本题的关键．
【知识点2 有理数乘方的运算】
（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
（3）0的任何正整数次幂都是0；
（4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．
【题型2 乘方运算的符号规律】
【例2】计算（-2）11+（-2）10的值是（ ）
A．-2 B．（-2）21 C．0 D．-210
【答案】D
【分析】根据负数的乘方，偶数次方结果为正，奇数次方结果为负，可以对（-2）11+（-2）10进行化简，可以得到-211+210，在利用乘法分配律，即可得出答案．
【详解】解：∵（-2）11+（-2）10=-211+210
∴-2×210+210=210×（-2+1）=-210
故选D．
【点睛】本题主要考查了有理数的乘方，能够正确的运算出结果以及熟练利用乘法分配律是解决本题的关键．
【变式2-1】若，则 ．
【答案】1
【分析】先根据绝对值和平方的非负性求出x和y的值，再根据有理数的乘方运算计算出结果．
【详解】解：∵，
∴，，即，，
∴．
故答案是：1．
【点睛】本题考查绝对值和平方的非负性，有理数的乘方运算，解题的关键是掌握绝对值和平方的非负性．
【变式2-2】下列各组数中，数值相等的一组是（ ）
A．32和23 B．（﹣2）3和﹣23
C．﹣32和（﹣3）2 D．﹣（2×3）2和﹣2×32
【答案】B
【分析】根据乘方的定义逐一计算判断即可，注意符号．
【详解】解：A．32＝9，23＝8，故选项A不符合题意；
B．（﹣2）3＝﹣8，﹣23＝﹣8，故选项B符合题意；
C．﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，故选项C不符合题意；
D．﹣（2×3）2＝﹣36，﹣2×32＝﹣2×9＝﹣18，故选项D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查乘方的定义，根据乘方的定义准确计算是解题的关键．
【变式2-3】若x是有理数，则x2＋1一定（ ）
A．大于1 B．小于1 C．不小于1 D．不大于1
【答案】C
【分析】根据偶数次幂的非负性，即可求解．
【详解】∵x2≥0，
∴x2＋1≥1，
故选C．
【点睛】本题主要考查偶数次幂的非负性，掌握偶数次幂的非负性是解题的关键．
【知识点3 含乘方的混合运算】
有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
【题型3 根据乘方运算判断整除问题】
【例3】阅读理解题，阅读材料：设正整数可以写成
，（其中，）
若能被整除，则也能被整除，
反之，若能被整除，则也能被整除。
比如：①，因为，能被整除，所以能被整除
②
因为，能被整除，所以能被整除
③
因为，能被整除，所以能被整除
（1）按照上面提供的方法，试判断能否被整除，并写出过程；
（2）若位正整数能被整除，试求的值.
【答案】（1）能被整除，过程见解析；（2）m=7
【分析】（1）由题意按照题干的方法，将代入判断能否被整除，并写出过程即可；
（2）分析正整数能被整除，可知也能被整除以此进行分析运算即可.
【详解】解：（1）由题意可得：
又能被整除
能被整除
（2）能被整除
且
也能被整除
即：
能被整除，其中，且是整数
【点睛】本题为材料阅读题型，考查有理数的运算相关，理解材料并根据材料方法进行代入分析是解题的关键.
【变式3-1】试说明能被30整除．
【答案】理由见解析．
【分析】先利用有理数的乘方的逆运算将进行变形，再提取公因子，由此即可得出答案．
【详解】
则
因为是整数
所以能被30整除．
【点睛】本题考查了有理数的乘方的逆运算、乘法的分配律，掌握有理数的乘方的逆运算是解题关键．
【变式3-2】当自然数的个位数分别为0，1，2，…，9时，的个位数如表所示：
个位数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
个位数 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1
个位数 0 1 8 7 4 5 6 3 2 9
个位数 0 1 6 1 6 5 6 1 6 1
······
在10，11，12，13这四个数中，当 时，和数能被5整除．
【答案】10、11、13
【分析】根据表格中的规律，分别求出2001、2002、2003、2004这几个数的个位在n=10、11、12、13时的值，通过判断这4个数字的个位数字和是否是0或5来判断是否能被5整除
【详解】根据表格中的规律，可得下表：
n个位数 10 11 12 13
个位数 1 1 1 1
个位数 4 8 6 2
个位数 9 7 1 3
个位数 6 4 6 4
个位数的和的个位数 0 0 4 0
由表格知道，当n=10、11、13时，的个位数字都是0，能够被5整除
故答案为：10、11、13
【点睛】本题考查了归纳总结的能力，解题关键是利用乘方的规律来确定个位数字，求出结果的个位数字之和判断是否能够被5整除.
【变式3-3】阅读下列材料，回答问题：
材料一：在大于1的整数中，除了能被1和本身整除外，还能被其它数（0除外）整除的数，称为合数．
材料二：若一个各个数位上的数字都不为零的四位数，其千位上的数字与个位上的数字相等，百位上的数字与十位上的数字相等，且该数前两位数字组成的两位数和后两位数字组成的两位数都是合数，则称该数为“对称合数”，如2552，6886都是“对称合数”．
（1）最小的“对称合数”为_________，最大的“对称合数”为_________；
（2）若“对称合数”的前两位数字组成的两位数和后两位数字组成的两位数之和是完全平方数，求满足条件的所有“对称合数”的个数，并把它们写出来．
【答案】（1）1221，9999；（2）5665、6556．
【分析】（1）根据“对称合数”的定义即可求解；
（2）根据前两位数字组成的两位数和后两位数字组成的两位数之和的范围可得满足条件的完全平方数的范围，再根据规律两位数之和，依此可得是完全平方数的只有121，进一步即可求解．
【详解】解：（1）∵各个数位上的数字都不为零，且该数前两位数字组成的两位数和后两位数字组成的两位数都是合数，
∴最小的“对称合数”为1221，最大的“对称合数”为9999．
故答案为：1221，9999；
（2）∵前两位数字组成的两位数和后两位数字组成的两位数之和最小为12+21＝33，最大为99+99＝198，
∴满足条件的完全平方数有：36、49、64、81、100、121、144、169、196，
由规律可得两位数之和有33、44、55、66、77、88、99、110、121、132、143、154、165、176、187，是完全平方数的只有121，
而满足前两位数字组成的两位数和后两位数字组成的两位数之和是完全平方数121的只有5665、6556．
【点睛】本题主要考查质数与合数，理解新定义，得到满足条件的完全平方数只有121是解题的关键．
【题型4 根据乘方运算解决进制问题】
【例4】计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制，只需把该数写出若干数的和，依次写出1或0即可．如为二进制下的五位数，则十进制是二进制下的（ ）
A．10位数 B．11位数 C．12位数 D．13位数
【答案】B
【分析】根据题意，，，根据规律可知最高位应是，故可求共有位数．
【详解】解：∵，，
∴最高位应是，
故共有位数．
故选B
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，此题只需分析是几位数，所以只需估计最高位是乘以2的几次方即可分析出共有几位数，此题也可以用除以2取余的方法写出对应的二进制的数．
【变式4-1】我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）
A．84 B．336 C．510 D．1326
【答案】C
【详解】解：由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为：1×73+3×72+2×7+6=510，
故选：C．
【变式4-2】远古美索不达米亚人创造了一套以60进制为主的楔形文记数系统，对于大于59的数，美索不达米亚人则采用六十进制的位值记法，位置的区分是靠在不同楔形记号组之间留空，例如：，左边的表示，中间的表示，右边的表示1个单位，用十进制写出来是7381．若楔形文字记数，表示十进制的数为（ ）
A．4203 B．3603 C．3723 D．4403
【答案】A
【分析】根据题意，可以将楔形文字记数，表示十进制的数，然后列出算式，再计算出结果即可．
【详解】解：由题意可得，
楔形文字记数，表示十进制的数为：，
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是明确有理数混合运算的计算方法以及六十进制的位值记法．
【变式4-3】我们通常用到的数我们称之为十进制数，在表示十进制数时，我们需要用到10 个数的数码：0，1，····，9：例如：9810···，如果用我们刚学习过的乘方运算来表示，那么9810=9000+800+10+0=9 103 +8102 +1101+0 ，在表示三进制数时，我们需要用到三个数码：0，1，2，例如：三进制数，等于十进制的数19，那么二进制中的10101 等于十进制的数 ________．
【答案】
【分析】从阅读中可知，无论何种进制的数都可表示与数位上的数字、进制值有关联的和的形式；由，故二进制中的10101，可表示为十进制的数为：从而可得答案．
【详解】解：由题意得：
所以二进制中的10101 等于十进制的数：
故答案为：
【点睛】本题考查了新定义情境下的有理数的混合运算，弄清题中的换算方法是解本题的关键．
【题型5 根据乘方运算判断末位数字问题】
【例5】观察下列算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，…，则3+32+33+34+35+…+32019的末位数字是 ．
【答案】9
【分析】根据数字规律得出3+32+33+34…+32019的末位数字相当于：3+7+9+1+…+3+9+7进而得出末尾数字．
【详解】解：∵31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187…
∴末尾数，每4个一循环，
∵2019÷4＝504…3，
∴3+32+33+34…+32019的末位数字相当于：3+7+9+1+…+3+9+7的末尾数为9，
故答案为9．
【点睛】考核知识点：有理数运算规律.掌握乘方运算法则，观察分析，寻找规律是关键.
【变式5-1】数的末位数字是（ ）
A．1 B．3 C．7 D．9
【答案】A
【分析】找出结果末位数字的循环规律，即可求出结论．
【详解】解：=7，=49，=343，=2401，=16807，=117649，……
由上可知：结果末位数字为7、9、3、1四个数字一循环
∵2020÷4=505
∴数的末位数字是1
故选A．
【点睛】此题考查的是数字类探索规律题，找出循环规律是解决此题的关键．
【变式5-2】观察下列算式：，，，，，，，，…，，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，的末位数字是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】D
【分析】通过观察所给的式子，发现每次运算尾数循环出现，由此求解即可．
【详解】解：∵，，，，，，，，…，
∴其结果的末位数字每次运算尾数循环出现，
∵，
∴的末尾数字与的尾数相同为，
∵，，，，，，，，…，
∴其结果的末位数字每次运算尾数循环出现，
∵
∴的末尾数字与的尾数相同为，
∴的末位数字是：．
故选：D．
【点睛】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数的尾数，找到尾数循环出现的规律是解题的关键．
【变式5-3】已知，，那么的末位数字是（ ）．
A．3 B．5 C．7 D．无法确定
【答案】A
【分析】根据有理数的乘方末位数的变化规律，可快速求解
【详解】∵
∴，，，
∴的末位数字依次循环为3、9、7、1
∵
∴的末位数字是9
∵
∴，
∴的末位数字依次循环为4、6
∵
∴的末位数字是4
∴
∴的末位数字是3
故选A
【点睛】本题主要考查有理数的乘方，需重点注意的是末位数变化的周期性这一特点，即可解决此题
【题型6 含乘方的数字及图形规律问题】
【例6】如图，数轴上、两点的距离为4，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点(，是整数)处，问经过这样2021次跳动后的点与点的距离是 ．
【答案】
【分析】根据题意，得第一次跳动到OA的中点处，即在离远点的长度为，第二次从处跳动到处，离原点的长度为，可得跳动n次离原点的长度为，代入计算即可；
【详解】由于，
∴第一次跳动到OA的中点处时，，同理第二次从处跳动到处时离原点的长度为，跳动n次离原点的长度为，
∴2021次跳动后的点与点的距离是；
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了与数轴有关的规律题型，准确分析计算是解题的关键．
【变式6-1】“数形结合"是一种重要的数学思想，观察下面的图形和算式.
解答下列问题：
(1)试猜想1+3+5+7+9+…+19=______=（ ） ；
(2)试猜想，当n是正整数时，1+3+5+7+9+…+(2n-1)= ；
(3)请用（2）中得到的规律计算：19+21+23+25+27+…+99.
【答案】（1）100,10;（2）n2;(3)2419
【分析】（1）观察已知式子可知，从1 开始的连续奇数的和等于这些奇数的个数的平方，根据规律解答即可；
（2）根据（1）中观察的规律写出结论即可；
（2）利用（2）的结论计算即可.
【详解】（1）∵ ，
，
，
，
…
∴1+3+5+7+9+…+19=（19+1）×5=100=10 ；
故答案为100,10.
（2）由（1）可得
1+3+5+7+9+…+(2n-1)= n2;
故答案为n2;
（3）19+21+23+25+27+…+99
=502-92
=2419.
【点睛】本题考查了规律型---图形的变化类：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
【变式6-2】观察下面三行数：
2，，8，，32，，……； ①
0，，6，，30，，……； ②
，2，，8，，32，……； ③
观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的．通过你发现的规律，解决下列问题．
（1）第①行的第8个数是________，第个数是________；
（2）第②行的第个数是________，第③行的第个数是________；
（3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和．
【答案】（1）； ；（2）， 或；（3）
【分析】（1）第①行有理数是按照排列的；
（2）第②行为第①行的数减2；第③行为第①行的数的一半的相反数，分别写出第n个数的表达式即可；
（3）根据各行的表达式求出第10个数，然后相加即可得解．
【详解】解：（1）第①行的有理数分别是﹣1×2， ﹣1×22，23， ﹣1×24，…，
故第8个数是，第n个数为（﹣2）n（n是正整数）；
故答案为：； ；
（2）第②行的数等于第①行相应的数减2，即第n的数为（n是正整数），
第③行的数等于第①行相应的数的一半的相反数，即第n个数是或（n是正整数）；
故答案为：， 或；
（3）∵第①行的第10个数为，
第②行的第10个数为，
第③的第10个数为，
所以，这三个数的和为：
【点睛】本题是对数字变化规律的考查，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，观察出第②③行的数与第①行的数的联系是解题的关键．
【变式6-3】观察下列由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律，如图1所示：共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图2所示：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图3所示：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见；…….
（1）写出第6个图中看不见的小立方体有______个；
（2）猜想并写出第n个图形中看不见的小立方体的个数为______个.
【答案】（1）125；（2）
【分析】（1）分别求出排成的立方体的高为1个立方体、2个立方体、3个立方体、4个立方体时看见的正方体与看不见的正方体的个数，以此类推即可得到答案；
（2）根据(1)的罗列，找出规律进行解答即可
【详解】（1）因为当高有1个小立方体时，，；
当高有2个小立方体时，，；
当高有3个小立方体时，，；
当高有4个小立方体时，，；
当高有5个小立方体时，，；
当高有6个小立方体时，，；
（2）根据（1）可总结出规律，当高有n个小立方体时，看不见的小立方体的个数为个.
【点睛】本题考查的是立体图形，分别根据排成的立方体的高为1个立方体、2个立方体、3个立方体、4个立方体时看见的正方体与看不见的正方体的个数，找出规律即可进行解答.
【题型7 含乘方的新定义问题】
【例7】在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“和平数”．
定义：对于一个正整数m，若将其各个数位上的数字分别平方后取其个位数字，顺次排列后，得到一个新数n，则称n是m的“和平数”．
例如：，将其各个数位上的数字分别平方后得到的数为9，25，16，它们的个位数字依次为9，5，6，那么的“和平数”n为956．
(1)求178的“和平数”与2035的“和平数”；
(2)若一个三位正整数x的“和平数”是195，求满足条件的所有x的值．
【答案】(1)178的“和平数”194，2035的“和平数”4095
(2)135，175，935，975
【分析】（1）直接根据“和平数”的定义求解即可；
（2）根据“和平数”的定义分别判断三位正整数x的各位数位上的数字即可．
【详解】（1）解：∵，
∴178的“和平数”194．
∵，
∴2035的“和平数”4095．
（2）解：∵，
∴x的百位数字可能是1或9．
∵，
∴x的十位数字可能是3或7．
∵，
∴x的个位数字可能是5．
∴x的值可能是135，175，935，975．
【点睛】本题考查了新定义，有理数的乘方运算，正确理解“和平数”的定义是解答本题的关键．
【变式7-1】定义运算：，则 ．
【答案】
【分析】根据新定义的运算法则，进行计算即可．
【详解】解：
；
故答案为：．
【点睛】本题考查定义新运算．理解并掌握新运算法则，是解题的关键．
【变式7-2】概念学习
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作，读作“a的圈n次方”．
初步探究
（1）直接写出计算结果： = ，= ；
（2）关于除方，下列说法错误的是
A．任何非零数的圈2次方都等于1；
B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1；
C．
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
深入思考：
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
的圈4次方＝ ；5的圈5次方＝ ；的圈6次方＝ ．
（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于________；
（3）算一算：．
【答案】初步探究（1）；；（2）C；深入思考（1），，；（2）；（3）．
【分析】理解除方运算，利用除方运算的法则和意义解决初步探究，通过除方的法则，把深入思考的除方写成幂的形式解决（1），总结（1）得到通项（2）．根据法则计算出（3）的结果．
【详解】初步探究
解：初步探究
（1），
故答案为：，；
（2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1； 所以选项A正确；
B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数，都等于1； 所以选项B正确；
C、，，则； 所以选项C错误；
D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确；
本题选择说法错误的，故选C；
深入思考
（1）；
；
；
故答案为：，，．
（2）．
故答案为：．
（3）
．
【点睛】本题考查了新运算，幂的运算．解决问题的关键是掌握新运算的法则，理解新运算的意义．
【变式7-3】请认真阅读下面材料，并解答下列问题．
如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，即指数式ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，对数式记作：logaN＝b．例如：
①因为指数式22＝4，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：log24＝2；
②因为指数式42＝16，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：log416＝2.
（1）请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式：
①62＝36；
②43＝64；
（2）将下列对数式改为指数式：
①log525＝2；
②log327＝3；
（3）计算：log232
【答案】（1）①log636＝2；②log464＝3；（2）①52＝25；②33＝27；（3）5
【分析】（1）根据题意可以把指数式写成对数式；
（2）根据题意可以把对数式写成指数式；
（3）根据题目中提供的信息可以计算出式子的结果．
【详解】解：（1）①62＝36；
对数式记作：log636＝2；
②43＝64；
对数式记作：log464＝3；
（2）①log525＝2；
指数式为52＝25，
②log327＝3；
指数式为33＝27；
（3）∵25＝32，
log232＝5.
【点睛】本题考查了对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系．
【题型8 应用乘方解决实际问题】
【例8】下列情景描述的结果与相符的是 （填写所有正确选项的序号）
①把一张报纸沿同一方向连续对折5次得到的后折痕条数；
②把一团和好的面，揉搓成一根长条后，连续拉扣5次得到的面条根数
③细胞分裂时，由1个分裂成2个，由2个分裂成4个，以此类推，一个这样的细胞分裂5次形成的细胞个数．
【答案】②③/③②
【分析】根据题干叙述分别计算找出对折的次数与折痕的条数，拉扣的次数和面条的根数，分裂的次数和细胞个数的规律，判断是否符合规律即可．
【详解】①把一张报纸沿同一方向对折，对折一次有1条折痕，对折两次是3条折痕，以此类推，对折5次后有条折痕，不符合题意．
②把一团和好的面，揉搓成一根长条后，拉扣一次时有两根面条，两次有4根面条，以此类推，拉扣5次有根面条，符合题意．
③由题意可得，一个这样的细胞分裂5次形成细胞个数为个，符合题意．
故答案为②③．
【点睛】本题主要考查幂的应用，清楚理解幂的含义是解决本题的关键．
【变式8-1】小王在word文档中设计好一张A4规格的表格根据要求，这种规格的表格需要设计1000张，小王欲使用“复制一粘贴”（用鼠标选中表格，右键点击“复制”，然后在本word文档中“粘贴”）的办法满足要求．请问：小王需要使用“复制一粘贴”的次数至少为（ ）
A．9次 B．10次 C．11次 D．12次
【答案】B
【分析】根据题意得出第一次复制得2张，第二次复制最多得2×2=22=4张，第三次复制最多得2×2×2=23=8张，即可得出规律，第九次复制最多得29=512张，第十次复制最多得210=1024张，问题得解．
【详解】解：由题意得第一次复制得2张，
第二次复制最多得2×2=22=4张，
第三次复制最多得2×2×2=23=8张，
第四次复制最多得2×2×2×2=24=16张，
……，
第九次复制最多得29=512张，
第十次复制最多得210=1024张，
1024＞1000，
所以至少需要10次．
故选：B
【点睛】本题考查了乘方的应用，根据题意得到乘方运算规律，并正确进行计算是解题关键．
【变式8-2】《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完，若按此方式截一根长为1的木棍，第4天截取后木棍剩余的长度是 ．
【答案】
【分析】根据题意依次每一天剩余木棍的长度，即可求得第4天截取后木棍剩余的长度．
【详解】解：第一天截取后剩：（米）；
第二天截取后剩：（米）；
第三天截取后剩：（米）；
第四天截取后剩：（米）；
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数乘方，掌握有理数乘方的意义及性质，理解题意写出算式是解题关键．
【变式8-3】细菌繁殖时，一个细菌分裂成两个，一个细菌在分裂次后，数量变为个，有一种细菌分裂速度很快，它每分裂一次，如果现在盘子里有个这样的细菌，那么后，盘子里有多少个细菌？2h后细菌的个数是1h后的多少倍
【答案】后，盘子里有个细菌，2h后细菌的个数是1h后的倍
【分析】先求出，细菌分裂的次数，再根据一个细菌在分裂次后，数量变为个，用细菌的数量乘以，即可得到总数，同理求出2h后细菌的个数，两数相除即可得出结果．
【详解】解：次，
∴后，盘子里有细菌：（个）；
（次），
∴后，盘子里有个细菌；
，
答：后，盘子里有个细菌，2h后细菌的个数是1h后的倍．
【点睛】本题考查有理数的乘方的实际应用．解题的关键是理解题意，算出细菌分裂的次数．
【知识点4 科学记数法的表示】
科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．（科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．）
规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
【题型9 科学记数法的表示与还原】
【例9】根据国家统计局发布的数据，2022年全国夏粮总产量约14700万吨，比去年增加万吨，我国夏粮生产连续两年实现增长．数据14700万吨用科学记数法表示为（ ）
A．吨 B．吨 C．吨 D．吨
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：14700万吨吨吨，
故选C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
【变式9-1】一个正整数将其用科学记数法表示为，则下列说法正确的是（ ）
A．这个正整数是一个8位数 B．这个正整数是一个9位数
C．这个正整数一定有8个0 D．这个正整数一定有9个0
【答案】B
【分析】科学记数法：一个绝对值大于10的数表示为的形式（其中，，为正整数，且等于原数的整数位数减去1），据此可知表示的原数的位数．
【详解】解：一个正整数将其用科学记数法表示为，
这个正整数是一个9位数；
故选：B．
【点睛】此题考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法的概念是解答此题的关键．
【变式9-2】月球的直径大约是3476千米，太阳直径大约是月球直径的400倍，那么太阳的直径用科学记数法表示约为（ ）
A．千米 B．千米
C．千米 D．千米
【答案】C
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数．
【详解】解：太阳直径大约是月球直径的400倍，
太阳的直径为千米，
1390400千米用科学记数法表示为：千米，
太阳的直径用科学记数法表示约为千米，
故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
【变式9-3】根据国家卫健委公布的数据，截止2021年12月5日，全国累计报告接种新冠病毒疫苗2.553×109次，则数据2.553×109表示的原数是（ ）
A．25530000 B．255300000 C．2553000000 D．25530000000
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：2.553×109=2553000000．
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【知识点5 近似数】
“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些.
【题型10 近似数的表示】
【例10】320000精确到千位应记为 ；有 个有效数字；保留三个有效数字应记为 ．
【答案】 3
【分析】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位，根据有效数字的定义求解即可．
【详解】解：，
有 1、0、2三个有效数字；
保留三个有效数字应记为．
故答案为：，3，．
【点睛】本题考查了近似数和有效数字，对于用科学记数法表示的数，有效数字的计算方法以及与精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错．
【变式10-1】湘雅路过江通道工程是长沙市区“十八横十六纵”三十四条主干路之一，位于三一大道与营盘路之间，总投资亿元．其中数据亿元精确到哪位？（ ）
A．万位 B．十万位 C．百万位 D．亿位
【答案】B
【分析】根据近似数的精确度求解即可．
【详解】解：数据亿精确到的位数是十万位．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
【变式10-2】将有理数x精确到十分位，其结果是3.5，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，将百分位的四舍五入得到，据此即可求解．
【详解】解：将有理数x精确到十分位，其结果是3.5，
∴x的取值范围是，
故选：C．
【点睛】本题考查了求近似数，将精确位的后一位四舍五入是解题的关键．
【变式10-3】准确数a精确到的近似数是，则准确数a不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】找到所给数的千分位，不能四舍五入到5的数即可．
【详解】解：A、精确到的近似数是；
B、精确到的近似数是；
C、精确到的近似数是；
D、精确到的近似数是；
符合题意的只有B选项，
故选：B．
【点睛】考查了近似数和有效数字，知道近似数，求真值，应看近似数的最末位的下一位，采用的方法是四舍五入
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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专题2.5 有理数的乘方【题型梳理】
题型梳理
知识解析
【知识点1 有理数乘方的概念】
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．
即有：.
在中，叫做底数， n叫做指数.
【题型1 乘方的意义】
【例1】（﹣2）4表示的意义是（ ）
A．﹣2×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2） B．﹣2+（﹣2）+（﹣2）+（﹣2）
C．﹣2×4 D．2×2×2×2
【变式1-1】如图，写成幂的形式 ．
【变式1-2】若 k 为正整数，则的意义为（ ）
A．4 个 相加 B．3 个 相加 C．4 个 相乘 D．7 个 k 相乘
【变式1-3】阅读理解：根据乘方的意义，可得：22×23＝（2×2）×（2×2×2）＝25．请你试一试，完成以下题目：
（1）a3 a4＝（a a a） （a a a a）＝ ；
（2）归纳、概括：am an＝ ；
（3）如果xm＝4，xn＝9，运用以上的结论，计算：xm+n＝ ．
【知识点2 有理数乘方的运算】
（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
（3）0的任何正整数次幂都是0；
（4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．
【题型2 乘方运算的符号规律】
【例2】计算（-2）11+（-2）10的值是（ ）
A．-2 B．（-2）21 C．0 D．-210
【变式2-1】若，则 ．
【变式2-2】下列各组数中，数值相等的一组是（ ）
A．32和23 B．（﹣2）3和﹣23
C．﹣32和（﹣3）2 D．﹣（2×3）2和﹣2×32
【变式2-3】若x是有理数，则x2＋1一定（ ）
A．大于1 B．小于1 C．不小于1 D．不大于1
【知识点3 含乘方的混合运算】
有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
【题型3 根据乘方运算判断整除问题】
【例3】阅读理解题，阅读材料：设正整数可以写成
，（其中，）
若能被整除，则也能被整除，
反之，若能被整除，则也能被整除。
比如：①，因为，能被整除，所以能被整除
②
因为，能被整除，所以能被整除
③
因为，能被整除，所以能被整除
（1）按照上面提供的方法，试判断能否被整除，并写出过程；
（2）若位正整数能被整除，试求的值.
【变式3-1】试说明能被30整除．
【变式3-2】当自然数的个位数分别为0，1，2，…，9时，的个位数如表所示：
个位数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
个位数 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1
个位数 0 1 8 7 4 5 6 3 2 9
个位数 0 1 6 1 6 5 6 1 6 1
······
在10，11，12，13这四个数中，当 时，和数能被5整除．
【变式3-3】阅读下列材料，回答问题：
材料一：在大于1的整数中，除了能被1和本身整除外，还能被其它数（0除外）整除的数，称为合数．
材料二：若一个各个数位上的数字都不为零的四位数，其千位上的数字与个位上的数字相等，百位上的数字与十位上的数字相等，且该数前两位数字组成的两位数和后两位数字组成的两位数都是合数，则称该数为“对称合数”，如2552，6886都是“对称合数”．
（1）最小的“对称合数”为_________，最大的“对称合数”为_________；
（2）若“对称合数”的前两位数字组成的两位数和后两位数字组成的两位数之和是完全平方数，求满足条件的所有“对称合数”的个数，并把它们写出来．
【题型4 根据乘方运算解决进制问题】
【例4】计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制，只需把该数写出若干数的和，依次写出1或0即可．如为二进制下的五位数，则十进制是二进制下的（ ）
A．10位数 B．11位数 C．12位数 D．13位数
【变式4-1】我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）
A．84 B．336 C．510 D．1326
【变式4-2】远古美索不达米亚人创造了一套以60进制为主的楔形文记数系统，对于大于59的数，美索不达米亚人则采用六十进制的位值记法，位置的区分是靠在不同楔形记号组之间留空，例如：，左边的表示，中间的表示，右边的表示1个单位，用十进制写出来是7381．若楔形文字记数，表示十进制的数为（ ）
A．4203 B．3603 C．3723 D．4403
【变式4-3】我们通常用到的数我们称之为十进制数，在表示十进制数时，我们需要用到10 个数的数码：0，1，····，9：例如：9810···，如果用我们刚学习过的乘方运算来表示，那么9810=9000+800+10+0=9 103 +8102 +1101+0 ，在表示三进制数时，我们需要用到三个数码：0，1，2，例如：三进制数，等于十进制的数19，那么二进制中的10101 等于十进制的数________．
【题型5 根据乘方运算判断末位数字问题】
【例5】观察下列算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，…，则3+32+33+34+35+…+32019的末位数字是 ．
【变式5-1】数的末位数字是（ ）
A．1 B．3 C．7 D．9
【变式5-2】观察下列算式：，，，，，，，，…，，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，的末位数字是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【变式5-3】已知，，那么的末位数字是（ ）．
A．3 B．5 C．7 D．无法确定
【题型6 含乘方的数字及图形规律问题】
【例6】如图，数轴上、两点的距离为4，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点(，是整数)处，问经过这样2021次跳动后的点与点的距离是 ．
【变式6-1】“数形结合"是一种重要的数学思想，观察下面的图形和算式.
解答下列问题：
(1)试猜想1+3+5+7+9+…+19=______=（ ） ；
(2)试猜想，当n是正整数时，1+3+5+7+9+…+(2n-1)= ；
(3)请用（2）中得到的规律计算：19+21+23+25+27+…+99.
【变式6-2】观察下面三行数：
2，，8，，32，，……； ①
0，，6，，30，，……； ②
，2，，8，，32，……； ③
观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的．通过你发现的规律，解决下列问题．
（1）第①行的第8个数是________，第个数是________；
（2）第②行的第个数是________，第③行的第个数是________；
（3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和．
【变式6-3】观察下列由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律，如图1所示：共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图2所示：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图3所示：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见；…….
（1）写出第6个图中看不见的小立方体有______个；
（2）猜想并写出第n个图形中看不见的小立方体的个数为______个.
【题型7 含乘方的新定义问题】
【例7】在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“和平数”．
定义：对于一个正整数m，若将其各个数位上的数字分别平方后取其个位数字，顺次排列后，得到一个新数n，则称n是m的“和平数”．
例如：，将其各个数位上的数字分别平方后得到的数为9，25，16，它们的个位数字依次为9，5，6，那么的“和平数”n为956．
(1)求178的“和平数”与2035的“和平数”；
(2)若一个三位正整数x的“和平数”是195，求满足条件的所有x的值．
【变式7-1】定义运算：，则 ．
【变式7-2】概念学习
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作，读作“a的圈n次方”．
初步探究
（1）直接写出计算结果： = ，= ；
（2）关于除方，下列说法错误的是
A．任何非零数的圈2次方都等于1；
B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1；
C．
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
深入思考：
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
的圈4次方＝ ；5的圈5次方＝ ；的圈6次方＝ ．
（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于________；
（3）算一算：．
【变式7-3】请认真阅读下面材料，并解答下列问题．
如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，即指数式ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，对数式记作：logaN＝b．例如：
①因为指数式22＝4，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：log24＝2；
②因为指数式42＝16，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：log416＝2.
（1）请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式：
①62＝36；
②43＝64；
（2）将下列对数式改为指数式：
①log525＝2；
②log327＝3；
（3）计算：log232
【题型8 应用乘方解决实际问题】
【例8】下列情景描述的结果与相符的是 （填写所有正确选项的序号）
①把一张报纸沿同一方向连续对折5次得到的后折痕条数；
②把一团和好的面，揉搓成一根长条后，连续拉扣5次得到的面条根数
③细胞分裂时，由1个分裂成2个，由2个分裂成4个，以此类推，一个这样的细胞分裂5次形成的细胞个数．
【变式8-1】小王在word文档中设计好一张A4规格的表格根据要求，这种规格的表格需要设计1000张，小王欲使用“复制一粘贴”（用鼠标选中表格，右键点击“复制”，然后在本word文档中“粘贴”）的办法满足要求．请问：小王需要使用“复制一粘贴”的次数至少为（ ）
A．9次 B．10次 C．11次 D．12次
【变式8-2】《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完，若按此方式截一根长为1的木棍，第4天截取后木棍剩余的长度是 ．
【变式8-3】细菌繁殖时，一个细菌分裂成两个，一个细菌在分裂次后，数量变为个，有一种细菌分裂速度很快，它每分裂一次，如果现在盘子里有个这样的细菌，那么后，盘子里有多少个细菌？2h后细菌的个数是1h后的多少倍
【知识点4 科学记数法的表示】
科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．（科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．）
规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
【题型9 科学记数法的表示与还原】
【例9】根据国家统计局发布的数据，2022年全国夏粮总产量约14700万吨，比去年增加万吨，我国夏粮生产连续两年实现增长．数据14700万吨用科学记数法表示为（ ）
吨 B．吨
C．吨 D．吨
【变式9-1】一个正整数将其用科学记数法表示为，则下列说法正确的是（ ）
A．这个正整数是一个8位数 B．这个正整数是一个9位数
C．这个正整数一定有8个0 D．这个正整数一定有9个0
【变式9-2】月球的直径大约是3476千米，太阳直径大约是月球直径的400倍，那么太阳的直径用科学记数法表示约为（ ）
A．千米 B．千米
C．千米 D．千米
【变式9-3】根据国家卫健委公布的数据，截止2021年12月5日，全国累计报告接种新冠病毒疫苗2.553×109次，则数据2.553×109表示的原数是（ ）
A．25530000 B．255300000 C．2553000000 D．25530000000
【知识点5 近似数】
“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些.
【题型10 近似数的表示】
【例10】320000精确到千位应记为 ；有 个有效数字；保留三个有效数字应记为 ．
【变式10-1】湘雅路过江通道工程是长沙市区“十八横十六纵”三十四条主干路之一，位于三一大道与营盘路之间，总投资亿元．其中数据亿元精确到哪位？（ ）
A．万位 B．十万位 C．百万位 D．亿位
【变式10-2】将有理数x精确到十分位，其结果是3.5，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式10-3】准确数a精确到的近似数是，则准确数a不可能是（ ）
A． B． C． D．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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