2023-2024学年黑龙江省哈尔滨重点中学九年级（上）开学数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. B.
C. D.
2.下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是( )
A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、
3.下列命题中正确的是( )
A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形
4.函数的图象如图所示，则( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
5.如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是( )
A.
B.
C. 或
D.
6.如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是( )
A. B. C. 且 D.
7.阅读以下作图步骤：
在和上分别截取，，使；
分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
作射线，连接，，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是( )
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
8.如图，将矩形纸片对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形若，，则四边形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，正方形的边长为，为边的中点动点从点出发沿匀速运动，运动到点时停止设点的运动路程为，线段的长为，与的函数图象如图所示，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
10.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中：；；；；；中，其中正确的个数为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11.函数中，自变量的取值范围是______ ．
12.若是关于的方程的一个根，则方程的另一个根等于______．
13.一个周长为的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为______．
14.如图， 与 的周长相等，且，，则的度数为______．
15.抛物线的顶点在轴上，则的值为______．
16.已知一元二次方程的两根为与，则的值为______ ．
17.矩形中，为对角线的中点，点在边上，且当以点，，为顶点的三角形是直角三角形时，的长为______ ．
18.二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点、、、在轴的正半轴上，点、、、在二次函数位于第一象限的图象上，若、、、都是等边三角形，则点的坐标为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.本小题分
解方程：
；
．
20.本小题分
如图，在每个小正方形的边长均为的方格纸中有线段和，点、、、均在小正方形的顶点上．
画出一个以为一边的，点在小正方形的顶点上，且，的面积为；
画出以为一腰的等腰，点在小正方形的顶点上，且的面积为；
在、的条件下，连接，请直接写出线段的长．
21.本小题分
大家知道在用配方法解一般形式的一元二次方程时，都要先把二次项系数化为，再进行配方现请你先阅读如下方程的解答过程，并按照此方法解方程．
方程．
解：，
，
，
，
，．
方程：．
22.本小题分
如图，和相交于点，，，点、分别是、的中点．
求证：；
当时，求证：四边形是矩形．
23.本小题分
已知抛物线交轴于，两点，，为抛物线上不与，重合的相异两点，记中点为．
求抛物线的函数表达式；
若，且，求证：，，三点共线．
24.本小题分
某商场购进一批单价为元的日用品，经试验发现，若按每件元的价格销售时，每月能卖件，若按每件元的价格销售时，每月能卖件，假定每月销售件数件是价格元件的一次函数．
试求与之间的关系式；
在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？
25.本小题分
一辆巡逻车从地出发沿一条笔直的公路匀速驶向地，小时后，一辆货车从地出发，沿同一路线每小时行驶千米匀速驶向地，货车到达地填装货物耗时分钟，然后立即按原路匀速返回地巡逻车、货车离地的距离千米与货车出发时间小时之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
，两地之间的距离是______ 千米， ______ ；
求线段所在直线的函数解析式；
货车出发多少小时两车相距千米？直接写出答案即可
26.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、．
求抛物线的解析式；
点是线段上一点，过点作轴交抛物线于点，设的横坐标为，线段的长度为，求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
在的条件下，若点在中所求得的抛物线上，且点的横坐标为，连接，过点作的垂线交轴于点，当点运动到、恰好关于直线对称时，试判断四边形的形状，并给予证明，求出此时的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、是一元二次方程，符合题意；
B、不是整式方程，不符合题意；
C、是二元二次方程，不符合题意；
D、整理得：，是一元一次方程，不符合题意，
故选：．
利用一元二次方程的定义判断即可．
此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、，此三角形为直角三角形，故选项错误；
B、，此三角形为直角三角形，故选项错误；
C、，此三角形不是直角三角形，故选项正确；
D、，此三角形为直角三角形，故选项错误．
故选：．
利用勾股定理的逆定理即可求解．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
3.【答案】
【解析】解：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故A、C错误；
对角线相等的平行四边形是矩形，故B错误，D正确．
故选D．
根据矩形的对角线平分相等、菱形的对角线平分垂直的判定定理进行选择即可．
熟练掌握矩形、菱形的判定定理是解答此题的关键．
4.【答案】
【解析】解：一次函数的图象经过一、二、四象限，
，，
故选：．
根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数中，当，时图象在一、二、四象限．
5.【答案】
【解析】解：设小路的宽是，则余下的部分可合成长为，宽为的矩形，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
小路的宽是．
故选：．
设小路的宽是，则余下的部分可合成长为，宽为的矩形，根据花圃的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：由题意知：，，
且．
故选：．
方程有两个不相等的实数根，则，由此建立关于的不等式，然后就可以求出的取值范围．
总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
注意到二次项系数不等于这一条件是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：、以，为圆心画弧的半径相等，因此，又，，因此≌得到，故A符合题意；
B、因为、的长在变化，所以和不一定相等，因此不一定等于，故B不符合题意；
C、因为、的长在变化，所以和不一定相等，故C不符合题意；
D、的位置在变化，所以和不一定平行，因此不一定等于，故D不符合题意．
故选：．
由≌推出；和不一定相等，因此不一定等于；和不一定相等；和不一定平行，因此不一定等于．
本题考查作图基本作图，全等三角形的判定和性质，关键是由作图得到≌．
8.【答案】
【解析】解：如图，设与交于点，
四边形为矩形，
，，，
根据折叠的性质可得，，，，，
，，
，，，，，
四边形为菱形，
．
故选：．
由折叠可知，，，，由同旁内角互补，两直线平行得，，由平行线的性质可得，，，，，再根据对角线互相垂直平分的四边形为菱形可知四边形为菱形，最后利用菱形的面积公式计算即可求解．
本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、菱形的面积公式，熟知折叠的性质和菱形的判定方法是解题关键．
9.【答案】
【解析】解：由题意可知，当点在边上时，的值先减小后增大，
当点在边上时，的值逐渐减小，
点的横坐标为的长度，纵坐标为的长度，
，，
，
，
故选：．
根据图确定点的横坐标为的长度，纵坐标为的长度，然后求值即可．
本题考查动点问题的函数图象，关键是根据图确定点的坐标与正方形的边之间的关系．
10.【答案】
【解析】解：图象开口向下，与轴交于负半轴，对称轴在轴右侧，能得到：，，
，故正确；
当时，，，故错误；
当时，，，故正确；
对称轴，
，故正确；
抛物线的顶点在轴的上方，
，
，
，故错误；
由时函数值，得出，而，故，故正确；
综上所述正确的个数为个，
故选：．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线的顶点坐标情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查函数自变量的取值范围和分式有意义的条件，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为．
根据分式有意义的条件是分母不为，可得到答案．【解答】
解：根据题意得，
解可得，
故答案为．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了根与系数的关系，能根据知识点得出是解此题的关键．
设方程的另一个根为，根据根与系数的关系得出，求出即可．【解答】
解：设方程的另一个根为，
是关于的方程的一个根，
，
解得：，
故答案为．
13.【答案】
【解析】解：如图，点、分别是、的中点
．
同理可得：
，，
．
则三条中位线构成的三角形的周长为．
故答案为：．
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．即可求得结果．
本题考查了三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理．
14.【答案】
【解析】解： 与 的周长相等，且，
，
，
，，
，，
，
，
故答案为：．
由， 与 的周长相等，可得到即是等腰三角形，再由且，，即可求出的度数．
本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等、平行四边形的对角相等以及邻角互补和等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理．
15.【答案】
【解析】【分析】
主要考查了抛物线的顶点坐标公式．此公式要掌握可使计算简便．
利用顶点公式进行解答即可．
【解答】
解：，，顶点在轴上，
顶点纵坐标为，即，
解得．
16.【答案】
【解析】解：一元二次方程整理得，
．
根据题意得，，
所以原式．
故答案为：．
根据根与系数的关系得到，，再把原式变形得到，然后利用整体代入的方法进行计算．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，．
17.【答案】或
【解析】解：以点，，为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：
如图，当时，
则，
四边形是矩形，
，
，
为对角线的中点，
，
，
；
如图，当时，
则，
为对角线的中点，
，
垂直平分，
，
，，
，
，
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
以点，，为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：如图，当时，如图，当时，根据矩形的性质和三角形中位线定理以及等腰直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，分类讨论是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：分别过，，作轴的垂线，垂足分别为、、，
设，，，则，，，
在正中，，
代入中，得，解得，
，
在正中，，
代入中，得，解得，
，
在正中，，
代入中，得，解得，
，
，
由此可得的坐标为．
故答案为：．
分别过，，作轴的垂线，垂足分别为、、，设，，，则，，，再根据所求正三角形的边长，分别表示，，的纵坐标，逐步代入抛物线中，求、、的值，得出规律．
本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据正三角形的性质表示点的坐标，利用抛物线解析式求正三角形的边长，得到规律．
19.【答案】解：，
，
解得：，
这里，，，
，
，
解得：，．
【解析】方程整理后，利用因式分解法求解；
利用公式法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程配方法，以及公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
20.【答案】解：如图，
，，
，
是以、为腰的等腰直角三角形，且，
故即为所求；
如图，
，且，
故即为所求；
．
【解析】以为斜边作以等腰直角三角形即可得；
以为一腰的等腰，高为，依据面积确定为即可；
由勾股定理可得答案．
本题主要考查作图应用与设计作图，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理、等腰三角形的判定．
21.【答案】解：，
，
，
，
，
，
，．
【解析】根据配方法的步骤解方程即可．
此题考查了配方法，配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方，选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．
22.【答案】证明：，
，
，
在与中，
，
≌，
，
点、分别是、的中点，
，
；
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形是矩形．
【解析】根据平行线的判定定理得到，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据线段中点的定义得到；
根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，求得，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形．
本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
23.【答案】解：因为抛物线经过点，，
所以 ，
解得，
所以抛物线的函数表达式为；
证明：设直线对应的函数表达式为，
因为为中点，所以．
又因为，
所以，解得，
所以直线对应的函数表达式为．
因为点在抛物线上，所以
解得，或．
又因为，所以，
所以
因为，即满足直线对应的函数表达式，
所以点在直线上，即，，三点共线．
【解析】利用待定系数法，构建方程组求解；
求出直线都是解析式，再判断出点的坐标，可得结论．
本题主要考查抛物线与轴的交点、一次函数和二次函数的图象与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，
24.【答案】解：依题意设，
则有
解得．
所以
每月获得利润
．
所以当时，有最大值，最大值为．
答：当价格为元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为元．
【解析】设出一次函数解析式，用待定系数法求解即可．
按照等量关系“每月获得的利润销售价格进价销售件数”列出二次函数，并求得最值．
本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．
注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．
25.【答案】
【解析】解：千米，
，两地之间的距离是千米；
货车到达地填装货物耗时分钟，
，
故答案为：，；
设线段所在直线的解析式为，将，代入得：
，
解得，
线段所在直线的函数解析式为；
巡逻车速度为千米小时，
线段的解析式为，
当货车第一次追上巡逻车后，，
解得；
当货车返回与巡逻车未相遇时，，
解得；
当货车返回与巡逻车相遇后，，
解得；
综上所述，货车出发小时或小时或小时，两车相距千米．
用货车的速度乘以时间可得，两地之间的距离是千米；根据货车到达地填装货物耗时分钟，即得；
设线段所在直线的解析式为，用待定系数法可得线段所在直线的函数解析式为；
求出线段的解析式为，分三种情况：当货车第一次追上巡逻车后，；当货车返回与巡逻车未相遇时，；当货车返回与巡逻车相遇后，，分别解方程可得答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
26.【答案】解：由抛物线的表达式知，点，则，
故直线的表达式为：，
令，则，
即点，
将点的坐标代入抛物线表达式得：得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
的横坐标为，则点，则点，
则；
点的横坐标为，则点，如上图，
连接、，
、恰好关于直线对称，则，，
设和的交点为，则点为的中点，则点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
则，则，
故直线的表达式为：，
则点，
联立得：，
解得：，
则点，
由点、、的坐标得，，
故CD，
四边形为菱形；
由点的坐标得，．
【解析】由待定系数法即可求解；
点，则点，则，即可求解；
求出点、、的坐标，证明，即可求解．
本题考查了二次函数的综合题，涉及到掌握二次函数图象、一次函数图象上点的坐标特征和菱形的性质，待定系数法求二次函数和一次函数解析式等知识点，有一定的综合性，难度适中．
第1页，共1页
