2023-2024学年江苏省连云港市灌南县教育联盟校九年级（上）质检数学试卷（A卷）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.已知的半径为，若点在外，则的长度可能是( )
A. B. C. D.
3.方程的根的情况是( )
A. 两个不相等的实数根 B. 两个相等的实数根
C. 两个实数根 D. 无法确定实根的个数
4.用配方法解方程时，配方结果正确的是( )
A. B. C. D.
5.如图，在中，，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
6.某超市一月份的营业额为万元，一月、二月、三月的营业额共万元，如果平均每月增长率为，则由题意列方程应为( )
A.
B.
C.
D.
7.、是中的两条弦，若，则与的大小关系是( )
A. B. C. D. 不能确定
8.已知和均是以为自变量的函数，当时，函数值分别是和，若存在实数，使得，则称函数和具有性质以下函数和具有性质的是( )
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
9.方程的二次项系数为______ ．
10.直线与相离，且的半径等于，圆心到直线的距离为，则的取值范围是______．
11.方程的解为______．
12.已知是方程的一个根，则 ______ ．
13.设，是方程的两个根，则 ______ ．
14.若关于的一元二次方程无解，则的取值范围为______．
15.已知点是的外心，且，则 ______ ．
16.九章算术是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深寸，锯道长尺如图，已知弦尺，弓形高寸注：尺寸，则这块圆柱形木材的直径是______ 寸
17.写出一个以和为两根、且二次项系数为的一元二次方程：______ ．
18.如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心的圆过点，直线与交于、两点，则弦的长的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.本小题分
解下列方程：
20.本小题分
小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框：
小敏：
两边同除以，得
，
则． 小霞：
移项，得，
提取公因式，得．
则或，
解得，．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“”；若错误请在框内打“”，并写出你的解答过程．
21.本小题分
如图，已知线段是的一条弦．
作出圆心要求：尺规作图既不带刻度的直尺和圆规，保留作图痕迹，不写作法，标出必要的字母．
若弦，圆心到的距离为，求的半径．
22.本小题分
小刚按照某种规律写出个方程：
第个方程：．
第个方程：．
第个方程：．
第个方程：．
按照此规律，请你写出第个方程：______ ．
按此规律写出第个方程：______ 这个方程是否有实数解？若有，请求出它的解；若没有，请说明理由．
23.本小题分
如图，在中，，以点为圆心，为半径，作，交于点，交的延长线于点，过点作的平行线交于点，连接，，．
求证：≌；
当等于多少度时，四边形为菱形？请给予证明．
24.本小题分
某大剧院举办文艺演出，其收费标准如下：
购票人数 收费标准
不超过人 元人
超过人 每增加人，每张票的单价减少元，但单价不低于元．
某公司组织一批员工去大剧院观看此场演出，设这批员工共有人．
当时，该公司应支付______ 元的购票费用；
若共支付元的购票费用，求观看演出的员工的人数．
25.本小题分
在中，直径，是弦，，点在上，点在上，且．
如图，当时，求的长度；
如图，当点在上移动时，求长的最大值．
26.本小题分
我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值．
解：，
，，
，即的最小值是．
试利用“配方法”解决下列问题：
已知求的最大或最小值．
比较代数式与的大小，并说明理由．
知识迁移：
如图，在中，，，，点在边上以的速度从点向移动，点在边上以的速度从点向点移动若点，同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为运动时间为秒，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：是一元二次方程，故本选项符合题意；
B.方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；
C.是分式方程，故本选项不符合题意；
D.是一元三次方程，故本选项不符合题意．
故选：．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程．
2.【答案】
【解析】解：点在外，的半径为，
．
故选：．
点到圆心的距离大于半径长时，点在圆外，于是可选择．
本题考查点与圆的位置关系，关键是掌握点与圆的种位置关系的判定．
3.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
即该方程有两个不相等的实数根，
故选：．
根据根的判别式公式，求该方程的判别式，根据结果的正负情况即可得到答案．
本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：方程，
移项得：，
配方得：．
故选：．
方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，，
，
．
故选：．
根据同弧所对的圆周角相等可得，根据三角形内角和定理即可求解．
本题考查了同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，掌握圆周角定理的推论是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：由题意，二月的营业额为，三月的营业额为，
一月、二月、三月的营业额共万元，
，
故选：．
根据平均每月增长率为，可求二月、三月的营业额，利用一月、二月、三月的营业额共万元，可建立方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：如图所示，，，
在中，
，
，即，
，
．
故选：．
根据弧、弦之间的关系以及三角形的三边关系即可得出结论．
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，根据题意作出辅助线，利用三角形的三边关系求解是解答此题的关键．
8.【答案】
【解析】解：令，则，解得或，即函数和具有性质，符合题意；
B.令，则，整理得，，方程无解，即函数和不具有性质，不符合题意；
C.令，则，整理得，，方程无解，即函数和不具有性质，不符合题意；
D.令，则，整理得，，方程无解，即函数和不具有性质，不符合题意；
故选：．
根据题干信息可知，直接令，若方程有解，则具有性质，若无解，则不具有性质．
本题考查了反比例函数的性质及一次函数的性质，属于新定义类问题，根据给出定义构造方程，利用方程思想解决问题是常见思路，本题也可利用函数图象快速解答．
9.【答案】
【解析】解：方程的二次项系数为，
故答案为：．
根据一元二次方程的一般形式：形如为常数且，即可解答．
本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：直线与相离，的半径等于，圆心到直线的距离为，
．
故答案为：．
根据“若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离”即可得到结论．
本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设的半径为，圆心到直线的距离为，当时，直线和相离是解答此题的关键．
11.【答案】，
【解析】解：，
，
，，
故答案为，．
利用因式分解法即可求得方程的解．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：把代入方程，得
，
解得．
故答案为：．
把代入已知方程，列出关于的新方程，通过解新方程可以求得的值．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
13.【答案】
【解析】解：，是方程的两个根，
，
故答案为：．
根据一元二次方程根与系数关系即可得到答案．
此题考查了一元二次方程根与系数关系，若一元二次方程有两个实数根，，则，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程无解，
，
解得：．
故答案为：．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程无实数根”是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：点是的外心，
，
，
，
故答案为：．
根据三角形外心的性质结合，即可求解．
本题考查了三角形的外接圆与外心，熟记三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：尺寸．
根据题意可得寸．
设圆的半径为，
，
寸，
这块圆柱形木材的直径是：寸．
故答案为：．
线段垂直且平分线段，在中，的长为寸．
此题考查的是垂径定理及勾股定理的应用，平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
17.【答案】
【解析】解：，，
以和为两根且二次项系数为的一元二次方程为．
故答案为：．
先计算两数的和、两数的积，然后根据根与系数的关系写出满足条件的一元二次方程．
本题考查了根与系数的关系：，是方程的两根时，，，反过来可得，．
18.【答案】
【解析】解：连接，
直线必过点，
最短的弦是过点且与该圆直径垂直的弦，
点的坐标是，
，
以原点为圆心的圆过点，
圆的半径为，
，
，
，
的长的最小值为；
故答案为：．
根据直线必过点，求出最短的弦是过点且与该圆直径垂直的弦，再求出的长，再根据以原点为圆心的圆过点，求出的长，再利用勾股定理求出，即可得出答案．
此题考查的是垂径定理，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是求出最短时的位置．
19.【答案】解：，
，
所以，；
，
，
或，
所以，；
，
方程变形为，
，
或，
所以，；
，
，，，
，
，
所以，．
【解析】利用直接开平方法解方程；
先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可；
先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可；
先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．
20.【答案】解：小敏：；
小霞：．
正确的解答方法：移项，得，
提取公因式，得．
则或，
解得，．
【解析】小敏：没有考虑的情况；
小霞：提取公因式时出现了错误．
利用因式分解法解方程即可．
本题主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程时可以采取公式法，因式分解法，配方法以及换元法等，至于选择哪一解题方法，需要根据方程的特点进行选择．
21.【答案】解：过作交圆于，连接，作的垂直平分线，交于，如图：
点即为所求；
过作于，连接，如图：
圆心到的距离为，
，
，
，
在中，
，
的半径为．
【解析】过作交圆于，连接，作的垂直平分线，交于，点即为所求；过作于，连接，由垂径定理求出，再用勾股定理可得答案．
本题考查作图复杂作图，解题的关键是掌握线段垂直平分线的尺规作图方法和垂径定理．
22.【答案】
【解析】解：第个方程：，
第个方程：，
第个方程：，
第个方程：，
第个方程：，
当时，．
故答案为：；
第个方程为，且这个方程有实数解，理由如下：
，
，
或．
故答案为：．
根据小刚写出的个方程，易发现其规律是：第个方程是，所以第方程是；
由可知第个方程是，利用因式分解法可得：进而即可解答．
本题主要考查因式分解法解一元二次方程、数字规律等知识点，将方程右边化为，左边化为积的形式，由利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
23.【答案】解：证明：，
，，
，
，
在和中，
，
≌；
当时，四边形为菱形．
证明：，
，
，
四边形是菱形．
【解析】首先利用平行线的性质得到，然后利用证得两三角形全等即可；
当时，四边形为菱形，根据，得到，从而得到，利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判断四边形是菱形．
本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解菱形的判定方法及全等三角形的判定方法，难度不大．
24.【答案】
【解析】解：元，
该公司应支付元的购票费用为元；
故答案为：；
由题意得，，
，
解得，，
当时，单价为元，不合题意舍去，
当时，单价为元，
观看演出的员工的人数为人．
不超过人，每人元，据此解答；
根据总价单价人数，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，求出单价不低于元即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25.【答案】解：连接，如图，
，，
，
在中，，
，
在中，，，
；
连接，如图，
当的长最小时，的长最大，
此时，则，
长的最大值为．
【解析】连接，如图，由，得到，在中，利用正切定义可计算出，然后在中利用勾股定理可计算出；
连接，如图，当的长最小时，的长最大，根据垂线段最短得到，则，所以长的最大值．
本题考查了圆周角定理和勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么也考查了解直角三角形．
26.【答案】解：，
，
的最小值为；
，
，
，
，
，
；
根据题意可得：
，
，
，
，
的最小值为．
【解析】利用“配方法”计算即可；
两式相减，差和比较，确定大小；
大三角形面积减去小三角形面积，再把含有的式子配方，求最小值．
本题考查了配方法的应用，三角形的面积，解题的关键是掌握配方法．
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