22.1二次函数的图像和性质 同步练习 2023-2024学年人教版数学九年级上册
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一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．）
1．抛物线y=3x2，y=-3x2，y= x2+3共有的性质是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是y轴
C．都有最高点 D．y随x值的增大而增大
2．下列二次函数中，如果函数图象的对称轴是 轴，那么这个函数是（ ）
A． B．
C． D．
3．若抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得到的新拋物线的解析式时（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点的横坐标为．下面的四个结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5． 对于二次函数，当为和时，对应的函数值分别为和若，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法比较
6．已知抛物线经过点.若，则t的值可以是（ ）
A．-6 B．-2 C．0 D．2
7．如图，已知的顶点坐标分别为，，，若二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．抛物线（）的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是，下列结论是：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④；⑤若点在该抛物线上，则，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．）
9．二次函数 与坐标轴的交点共有 个.
10．抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是 ．
11．已知二次函数，当时，对应的函数值有最大值是5，则m的值是 ．
12．我们定义：二次项系数之和为，图像都经过原点且对称轴相同的两个二次函数称作互为友好函数，那么的友好函数是 ．
13．已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，P是抛物线对称轴l上的一个动点，则PA+PC的最小值是 ．
三、解答题：（本题共5题，共45分）
14．在平面直角坐标系中，抛物线的表达式为 .将抛物线向左平移2个单位后，恰经过点 ，求b的值.
15．把抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线.
（1）直接写出抛物线 的函数关系式；
（2）动点能否在拋物线上？请说明理由；
（3）若点都在抛物线上，且，比较 的大小，并说明理由.
16．如图，抛物线与x轴交于点和点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线沿x轴向右平移t个单位长度，使它经过点，求出t的值．
17．如图，抛物线与x轴交于A、B点，与y轴交于C点，顶点为
D，其中点A、C的坐标分别是（－1，0）、（0，3）.
（1）求抛物线的表达式与顶点D的坐标；
（2）连结BD，过点O作OE⊥BD于点E，求OE的长.
18．已知抛物线经过点和点，与轴交于点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）如图1，在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在，请求出点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，设点是对称轴左侧该抛物线上的一点，点在对称轴上，当为等边三角形时，请直接写出符合条件的直线的函数表达式．
参考答案：
1．B 2．C 3．B 4．C 5．B 6．A 7．B 8．D
9．2
10．﹣3＜x＜1
11．或
12．
13．
14．解：∵将抛物线向左平移2个单位后，恰经过点 .
∴原抛物线经过 ，
把 代入 可得： ，
∴ .
15．（1）解：抛物线 ，
∴抛物线 的顶点坐标为(-1，2)，
根据题意，抛物线 的顶点坐标为(-1+4，2-5)，即(3，-3)，
∴抛物线 的函数关系式为：
（2）解：动点P不在抛物线 上.
理由如下：
∵抛物线 的顶点为 ，开口向上，
∴抛物线 的最低点的纵坐标为 .
∵ ，
∴动点P不在抛物线 上；
（3）解： .
理由如下：
由（1）知抛物线 的对称轴是 ，且开口向上，
∴在对称轴左侧y随x的增大而减小.
∵点 都在抛物线 上，且 ，
∴ .
16．（1）解：将点，代入，
得
解得
∴抛物线的解析式为．
（2）解：由（1）可知：，将抛物线沿x轴向右平移t个单位长度，使它经过点，
∴设平移后得到的抛物线的表达式为．
将点代入，得．
解得，，
∴t的值为或．
17．（1）解：把A（-1，0），C（0，3）分别代入抛物线，
得：，
∴.
∴抛物线的表达式为y=－x2+2x+3，
∴y=－x2+2x+3 =－（x－1）2+4，
∴顶点坐标D（1，4）.
（2）解：连结OD，
设对称轴与x轴交于点F，则DF=4，
∵A（－1，0），对称轴为x=1，
∴B（3，0），BF=2，
由勾股定理得，
∵S△OBD=，
∴，
∴.
18．（1）解：将点代入得
解得，
∴抛物线表达式为
（2）解：如图，连交对称轴与点E，连，
由(1)知，
∴
∴对称轴为：直线
∴令得
∴
∴
设直线的解析式为
∴
解得
∴直线的解析式为
∴当时
∴
∵线段长度不变，根据两点之间线段最短和轴对称的性质，
∴周长最小值
（3）解：或
