湖北省各地市2023-中考数学真题分类汇编（14份打包 含解析）

湖北省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类②
一．分式的化简求值（共1小题）
1．（2023 荆州）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝（）﹣1，y＝（﹣2023）0．
二．一次函数的应用（共1小题）
2．（2023 鄂州）1号探测气球从海拔10m处出发，以1m/min的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以am/min的速度竖直上升．两个气球都上升了1h．1号、2号气球所在位置的海拔y1，y2（单位：m）与上升时间x（单位：min）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：
（1）a＝　 　，b＝　 　；
（2）请分别求出y1，y2与x的函数关系式；
（3）当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为5m？
三．二次函数的应用（共2小题）
3．（2023 湖北）某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表：
时间：第x（天）
1≤x≤30 31≤x≤60
日销售价（元/件） 0.5x+35 50
日销售量（件） 124﹣2x
（1≤x≤60，x为整数）
设该商品的日销售利润为w元．
（1）直接写出w与x的函数关系式 　 　；
（2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？
4．（2023 武汉）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：m）、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的数据如表．
飞行时间t/s 0 2 4 6 8 …
飞行水平距离x/m 0 10 20 30 40 …
飞行高度y/m 0 22 40 54 64 …
探究发现 x与t，y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．
问题解决 如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．
（1）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
（2）在安全线上设置回收区域MN，AM＝125m，MN＝5m．若飞机落到MN内（不包括端点M，N），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
四．平行线的性质（共1小题）
5．（2023 武汉）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，点E在BA的延长线上，连接CE．
（1）求证：∠E＝∠ECD；
（2）若∠E＝60°，CE平分∠BCD，直接写出△BCE的形状．
五．圆周角定理（共1小题）
6．（2023 武汉） 如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC．
（1）求证：∠AOB＝2∠BOC；
（2）若AB＝4，，求⊙O的半径．
六．切线的判定与性质（共1小题）
7．（2023 湖北）如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD是边AC上的中线，过点C作AB的平行线交BD的延长线于点E，BE交⊙O于点F，连接AE，FC．
（1）求证：AE为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，BC＝6，求FC的长．
七．作图—复杂作图（共1小题）
8．（2023 湖北）已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法，用虚线表示作图过程，实线表示作图结果）．
（1）在图1中作出以BE为对角线的一个菱形BMEN；
（2）在图2中作出以BE为边的一个菱形BEPQ．
八．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
9．（2023 湖北）如图，将边长为3的正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边AD上（点M不与点A，D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，折痕分别与边AB，CD交于点E，F，连接BM．
（1）求证：∠AMB＝∠BMP；
（2）若DP＝1，求MD的长．
九．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
10．（2023 湖北）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i＝3：4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD长度为20米，∠C＝18°，求斜坡AB的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）
一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
11．（2023 鄂州）鄂州市莲花山是国家4A级风景区，元明塔造型独特，是莲花山风景区的核心景点，深受全国各地旅游爱好者的青睐．今年端午节，景区将举行大型包粽子等节日庆祝活动．如图2，景区工作人员小明准备从元明塔的点G处挂一条大型竖直条幅到点E处，挂好后，小明进行实地测量，从元明塔底部F点沿水平方向步行30米到达自动扶梯底端A点，在A点用仪器测得条幅下端E的仰角为30°；接着他沿自动扶梯AD到达扶梯顶端D点，测得点A和点D的水平距离为15米，且tan∠DAB＝；然后他从D点又沿水平方向行走了45米到达C点，在C点测得条幅上端G的仰角为45°．（图上各点均在同一个平面内，且G，C，B共线，F，A，B共线，G、E、F共线，CD∥AB，GF⊥FB）．
（1）求自动扶梯AD的长度；
（2）求大型条幅GE的长度．（结果保留根号）
一十一．总体、个体、样本、样本容量（共1小题）
12．（2023 武汉）某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生在某个休息日做家务的劳动时间t（单位：h）作为样本，将收集的数据整理后分为A，B，C，D，E五个组别，其中A组的数据分别为：0.5，0.4，0.4，0.4，0.3，绘制成如下不完整的统计图表．
各组劳动时间的频数分布表
组别 时间t/h 频数
A 0＜t≤0.5 5
B 0.5＜t≤1 a
C 1＜t≤1.5 20
D 1.5＜t≤2 15
E t＞2 8
请根据以上信息解答下列问题．
（1）A组数据的众数是 　 　；
（2）本次调查的样本容量是 　 　，B组所在扇形的圆心角的大小是 　 　；
（3）若该校有1200名学生，估计该校学生劳动时间超过1h的人数．
一十二．条形统计图（共1小题）
13．（2023 湖北）为了解学生“防诈骗意识”情况，某校随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据调查结果将“防诈骗意识”按A（很强），B（强），C（一般），D（弱），E（很弱）分为五个等级，将收集的数据整理后，绘制成如下不完整的统计图表．
等级 人数
A（很强） a
B（强） b
C（一般） 20
D（弱） 19
E（很弱） 16
（1）本次调查的学生共 　 　人；
（2）已知a：b＝1：2，请将条形统计图补充完整；
（3）若将A，B，C三个等级定为“防诈骗意识”合格，请估计该校2000名学生中“防诈骗意识”合格的学生有多少人？
湖北省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类②
参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共1小题）
1．（2023 荆州）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝（）﹣1，y＝（﹣2023）0．
【答案】，2．
【解答】解：原式＝[﹣]
＝（﹣）
＝
＝，
∵x＝（）﹣1＝2，y＝（﹣2023）0＝1，
∴原式＝＝2．
二．一次函数的应用（共1小题）
2．（2023 鄂州）1号探测气球从海拔10m处出发，以1m/min的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以am/min的速度竖直上升．两个气球都上升了1h．1号、2号气球所在位置的海拔y1，y2（单位：m）与上升时间x（单位：min）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：
（1）a＝　0.5　，b＝　30　；
（2）请分别求出y1，y2与x的函数关系式；
（3）当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为5m？
【答案】（1）0.5，30；（2）y1＝10+x，y2＝20+0.5x；（3）10或30．
【解答】解：（1）∵1号探测气球从海拔10m处出发，以1m/min的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以am/min的速度竖直上升．
当x＝20时，两球相遇，
y1＝10+x＝10+20＝30，
∴b＝30，
设2号探测气球解析式为y2＝20+ax，
∵y2＝20+ax过（20，30），
∴30＝20+20a，
解得a＝0.5，
∴y2＝20+0.5x，
故答案为：0.5，30；
（2）根据题意得：
1号探测气球所在位置的海拔：y1＝10+x，
2号探测气球所在位置的海拔：y2＝20+0.5x；
（3）分两种情况：
①2号探测气球比1号探测气球海拔高5米，根据题意得：
（20+0.5x）﹣（x+10）＝5，
解得x＝10；
②1号探测气球比2号探测气球海拔高5米，根据题意得：
（x+10）﹣（0.5x+20）＝5，
解得x＝30．
综上所述，上升了10或30min后这两个气球相距5m．
三．二次函数的应用（共2小题）
3．（2023 湖北）某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表：
时间：第x（天）
1≤x≤30 31≤x≤60
日销售价（元/件） 0.5x+35 50
日销售量（件） 124﹣2x
（1≤x≤60，x为整数）
设该商品的日销售利润为w元．
（1）直接写出w与x的函数关系式 　w＝　；
（2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？
【答案】（1）w＝；
（2）该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是1296元．
【解答】解：（1）当1≤x≤30时，
w＝（0.5x+35﹣30） （﹣2x+124）＝﹣x2+52x+620，
当31≤x≤60时，
w＝（50﹣30） （﹣2x+124）＝﹣40x+2480，
∴w与x的函数关系式w＝，
故答案为：w＝；
（2）当1≤x≤30时，
w＝﹣x2+52x+620＝﹣（x﹣26）2+1296，
∵﹣1＜0，
∴当x＝26时，w有最大值，最大值为1296；
当31≤x≤60时，w＝﹣40x+2480，
∵﹣40＜0，
∴当x＝31时，w有最大值，最大值为﹣40×31+2480＝1240，
∵1296＞1240，
∴该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是1296元．
4．（2023 武汉）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：m）、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的数据如表．
飞行时间t/s 0 2 4 6 8 …
飞行水平距离x/m 0 10 20 30 40 …
飞行高度y/m 0 22 40 54 64 …
探究发现 x与t，y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．
问题解决 如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．
（1）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
（2）在安全线上设置回收区域MN，AM＝125m，MN＝5m．若飞机落到MN内（不包括端点M，N），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
【答案】发现：t；
问题解决：（1）120m；（2）大于12.5m且小于26m
【解答】解：探究发现：x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关系，
设x＝kt，y＝at2+bt，
由题意得：10＝2k，，
解得：k＝5，，
∴x＝5t，y＝﹣t2+12t，
问题解决：（1）依题意，得﹣t2+12t＝0．
解得，t1＝0（舍），t2＝24，
当t＝24 时，x＝120．
答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为120m．
（2）设发射平台相对于安全线的高度为nm，飞机相对于安全线的飞行高度y′＝﹣t2+12t+n，
∵125＜x＜130，∴125＜5t＜130，∴25＜t＜26．
在y′＝﹣t2+12t+n中，
当t＝25，y′＝0时，n＝12.5；
当t＝26，y′＝0时，n＝26．
∴12.5＜n＜26．
答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5m且小于26m．
四．平行线的性质（共1小题）
5．（2023 武汉）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，点E在BA的延长线上，连接CE．
（1）求证：∠E＝∠ECD；
（2）若∠E＝60°，CE平分∠BCD，直接写出△BCE的形状．
【答案】（1）证明见解析；（2）△BCE是等边三角形，理由见解析．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠B，
∵∠B＝∠D，
∴∠EAD＝∠D，
∴BE∥CD，
∴∠E＝∠ECD．
（2）解：△BCE是等边三角形，理由如下：
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠ECD，
∵EB∥CD，
∴∠ECD＝∠E＝60°，
∴∠B＝180°﹣∠E﹣∠BCE＝60°，
∴∠B＝∠BCE＝∠E，
∴△BCE是等边三角形．
五．圆周角定理（共1小题）
6．（2023 武汉） 如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC．
（1）求证：∠AOB＝2∠BOC；
（2）若AB＝4，，求⊙O的半径．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵，，∠ACB＝2∠BAC，
∴∠AOB＝2∠BOC；
（2）解：过点O作半径OD⊥AB于点E，连接DB，
∴AE＝BE，
∵∠AOB＝2∠BOC，∠DOB＝∠AOB，
∴∠DOB＝∠BOC．
∴BD＝BC．
∵AB＝4，，
∴BE＝2，，
在 Rt△BDE 中，∠DEB＝90°，
∴，
在Rt△BOE中，∠OEB＝90°，
OB2＝（OB﹣1）2+22，
解得，
即⊙O的半径是 ．
六．切线的判定与性质（共1小题）
7．（2023 湖北）如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD是边AC上的中线，过点C作AB的平行线交BD的延长线于点E，BE交⊙O于点F，连接AE，FC．
（1）求证：AE为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，BC＝6，求FC的长．
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）5．
【解答】（1）证明，∵AB∥CE，
∴∠ABD＝∠CED，∠BAD＝∠ECD，
又∵AD＝CD，
∴△ABD≌△CED（ AAS），
∴AB＝CE．
∴四边形ABCE是平行四边形．
∴AE∥BC．
作AH⊥BC于H．
∵AB＝AC，
∴AH为BC的垂直平分线．
∴点O在AH上．
∴AH⊥AE．
即OA⊥AE，又点A在⊙O上，
∴AE为⊙O的切线；
（2）解：过点D作DM⊥BC于M，连接OB，
∵AH为BC的垂直平分线，
∴BH＝HC＝BC＝3，
∴OH＝＝4，
∴AH＝OA+OH＝5+4＝9，
∴AB＝AC＝，
∴CD＝AC＝，
∵AH⊥BC，DM⊥BC，
∴DM∥AH
∴△CMD∽△CHA，
又AD＝CD，
∴，
∴MH＝HC＝，DM＝AH＝，
∴BM＝BH+MH＝3+＝，
∴BD＝，
∵∠CFD＝∠BAD，∠FDC＝∠ADB，
∴△FCD∽△ABD，
∴，
∴，
∴FC＝5．
七．作图—复杂作图（共1小题）
8．（2023 湖北）已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法，用虚线表示作图过程，实线表示作图结果）．
（1）在图1中作出以BE为对角线的一个菱形BMEN；
（2）在图2中作出以BE为边的一个菱形BEPQ．
【答案】（1）见解答；
（2）见解答．
【解答】解：如图：
（1）菱形BMEN、菱形BPEQ即为所求；
（2）菱形BEPQ即为所求．
八．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
9．（2023 湖北）如图，将边长为3的正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边AD上（点M不与点A，D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，折痕分别与边AB，CD交于点E，F，连接BM．
（1）求证：∠AMB＝∠BMP；
（2）若DP＝1，求MD的长．
【答案】（1）证明过程见详解；（2）MD＝．
【解答】（1）证明：点B、M关于线段EF对称，由翻折的性质可知：∠MBC＝∠BMP，
∵ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠MBC＝∠AMB，
∴∠AMB＝∠BMP（等量代换）．
（2）解：设MD＝x，则AM＝3﹣x，设AE＝y，则EM＝EB＝3﹣y．
在Rt△AEM中，AE2+AM2＝EM2，
∴y2+（3﹣x）2＝（3﹣y）2，
∴y＝﹣x2+x．即AE＝﹣x2+x．
∵∠ABC＝∠EMN＝90°，
∴∠AME+∠DMP＝90°，
又∵∠AEM+∠AME＝90°，
∴∠AEM＝∠DMP，∠A＝∠D，
∴△AEM∽△DMP．
∴＝，＝，
整理得：，
∴x＝．
∴MD＝．
九．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
10．（2023 湖北）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i＝3：4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD长度为20米，∠C＝18°，求斜坡AB的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）
【答案】斜坡AB的长约为10.3米．
【解答】解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，
由题意得：AF⊥BC，DE＝AF，
∵斜面AB的坡度i＝3：4，
∴＝，
∴设AF＝3x米，则BF＝4x米，
在Rt△ABF中，AB＝＝＝5x（米），
在Rt△DEC中，∠C＝18°，CD＝20米，
∴DE＝CD sin18°≈20×0.31＝6.2（米），
∴AF＝DE＝6.2米，
∴3x＝6.2，
解得：x＝，
∴AB＝5x≈10.3（米），
∴斜坡AB的长约为10.3米．
一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
11．（2023 鄂州）鄂州市莲花山是国家4A级风景区，元明塔造型独特，是莲花山风景区的核心景点，深受全国各地旅游爱好者的青睐．今年端午节，景区将举行大型包粽子等节日庆祝活动．如图2，景区工作人员小明准备从元明塔的点G处挂一条大型竖直条幅到点E处，挂好后，小明进行实地测量，从元明塔底部F点沿水平方向步行30米到达自动扶梯底端A点，在A点用仪器测得条幅下端E的仰角为30°；接着他沿自动扶梯AD到达扶梯顶端D点，测得点A和点D的水平距离为15米，且tan∠DAB＝；然后他从D点又沿水平方向行走了45米到达C点，在C点测得条幅上端G的仰角为45°．（图上各点均在同一个平面内，且G，C，B共线，F，A，B共线，G、E、F共线，CD∥AB，GF⊥FB）．
（1）求自动扶梯AD的长度；
（2）求大型条幅GE的长度．（结果保留根号）
【答案】（1）自动扶梯AD的长度为25米；
（2）大型条幅GE的长度为（110﹣10）米．
【解答】解：（1）过点D作DH⊥AB，垂足为H，
在Rt△ADH中，AH＝15米，tan∠DAB＝，
∴DH＝AH tan∠DAB＝15×＝20（米），
∴AD＝＝＝25（米），
∴自动扶梯AD的长度为25米；
（2）过点C作CM⊥AB，垂足为M，
由题意得：DC＝HM＝45米，DH＝CM＝20米，
∵DC∥AB，
∴∠DCG＝∠B＝45°，
在Rt△CMB中，BM＝＝20（米），
∵AF＝30米，AH＝15米，
∴BF＝AF+AH+HM+BM＝30+15+45+20＝110（米），
在Rt△AFE中，∠EAF＝30°，
∴EF＝AF tan30°＝30×＝10（米），
在Rt△GFB中，GF＝BF tan45°＝110（米），
∴GE＝GF﹣EF＝（110﹣10）米，
∴大型条幅GE的长度为（110﹣10）米．
一十一．总体、个体、样本、样本容量（共1小题）
12．（2023 武汉）某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生在某个休息日做家务的劳动时间t（单位：h）作为样本，将收集的数据整理后分为A，B，C，D，E五个组别，其中A组的数据分别为：0.5，0.4，0.4，0.4，0.3，绘制成如下不完整的统计图表．
各组劳动时间的频数分布表
组别 时间t/h 频数
A 0＜t≤0.5 5
B 0.5＜t≤1 a
C 1＜t≤1.5 20
D 1.5＜t≤2 15
E t＞2 8
请根据以上信息解答下列问题．
（1）A组数据的众数是 　0.4　；
（2）本次调查的样本容量是 　60　，B组所在扇形的圆心角的大小是 　72°　；
（3）若该校有1200名学生，估计该校学生劳动时间超过1h的人数．
【答案】（1）0.4；
（2）60，72°；
（3）860人．
【解答】解：（1）∵A组的数据分别为：0.5，0.4，0.4，0.4，0.3，
∴A组数据的众数是0.4；
故答案为：0.4；
（2）本次调查的样本容量是15÷25%＝60，
∵a＝60﹣5﹣20﹣15﹣8＝12，
∴B组所在扇形的圆心角的大小是360°×＝72°，
故答案为：60，72°；
（3）1200×＝860（人），
答：估计该校学生劳动时间超过lh的大约有860人．
一十二．条形统计图（共1小题）
13．（2023 湖北）为了解学生“防诈骗意识”情况，某校随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据调查结果将“防诈骗意识”按A（很强），B（强），C（一般），D（弱），E（很弱）分为五个等级，将收集的数据整理后，绘制成如下不完整的统计图表．
等级 人数
A（很强） a
B（强） b
C（一般） 20
D（弱） 19
E（很弱） 16
（1）本次调查的学生共 　100　人；
（2）已知a：b＝1：2，请将条形统计图补充完整；
（3）若将A，B，C三个等级定为“防诈骗意识”合格，请估计该校2000名学生中“防诈骗意识”合格的学生有多少人？
【答案】（1）100；（2）补充完整的条形统计图见解答；（3）1300人．
【解答】解：（1）20÷20%＝100（人），
即本次调查的学生共100人，
故答案为：100；
（2）∵a：b＝1：2，
∴a＝（100﹣20﹣19﹣16）×＝15，b＝（100﹣20﹣19﹣16）×＝30，
补充完整的条形统计图如图所示；
（3）2000×＝1300（人），
答：估计该校2000名学生中“防诈骗意识”合格的学生有1300人．湖北省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类③
一．二元一次方程组的应用（共1小题）
1．（2023 宜昌）为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍．
豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额
小欢妈妈 20 30 270
小乐妈妈 30 20 230
（1）求豆沙粽和肉粽的单价；
（2）超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）；
①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价；
②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为（80﹣4m）包，（4m+8）包，A，B两种包装的销售总额为17280元．求m的值．
二．分式方程的应用（共1小题）
2．（2023 荆州）荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售．已知1400元采购A种的件数是630元采购B种件数的2倍，A种的进价比B种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购B种的件数不低于390件，不超过A种件数的4倍．
（1）求A，B饰品每件的进价分别为多少元？
（2）若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购A种超过150件时，A种超过的部分按进价打6折．设购进A种饰品x件，
①求x的取值范围；
②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润．
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
3．（2023 十堰）函数y＝的图象可以由函数y＝的图象左右平移得到．
（1）将函数y＝的图象向右平移4个单位得到函数y＝的图象，则a＝　 　；
（2）下列关于函数y＝的性质：①图象关于点（﹣a，0）对称；②y随x的增大而减小；③图象关于直线y＝﹣x+a对称；④y的取值范围为y≠0．其中说法正确的是 　 　（填写序号）；
（3）根据（1）中a的值，写出不等式＞的解集．
四．二次函数的应用（共2小题）
4．（2023 十堰）“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒．根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒．设每盒售价为x元，日销售量为p盒．
（1）当x＝60时，p＝　 　；
（2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？
（3）小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大．”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x的范围为60≤x≤80．”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论．
5．（2023 湖北）加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中1000m2的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/m2）与其种植面积x（单位：m2）的函数关系如图所示，其中200 x 700；乙种蔬菜的种植成本为50元/m2．
（1）当x＝　 　m2时，y＝35元/m2；
（2）设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？
（3）学校计划今后每年在这1000m2土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降a%，当a为何值时，2025年的总种植成本为28920元？
五．矩形的性质（共1小题）
6．（2023 随州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若BC＝3，DC＝2，求四边形OCED的面积．
六．切线的性质（共1小题）
7．（2023 湖北）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE是⊙O的切线，且DE⊥AC，垂足为E，延长CA交⊙O于点F．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若AE＝3，DE＝6，求AF的长．
七．切线的判定与性质（共2小题）
8．（2023 随州）如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点C是的中点，AE垂直于过C点的直线DC，垂足为D，AB的延长线交直线DC于点F．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AE＝2，sin∠AFD＝，
①求⊙O的半径；
②求线段DE的长．
9．（2023 十堰）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径的半圆分别交AC，BC，AB于点D，E，F，且点E是弧DF的中点．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若CE＝，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
八．作图-旋转变换（共1小题）
10．（2023 宜昌）如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空．
（1）画出线段OA绕点O顺时针旋转90°后得到的线段OB，连接AB；
（2）画出与△AOB关于直线OB对称的图形，点A的对称点是C；
（3）填空：∠OCB的度数为 　 　．
九．几何变换综合题（共1小题）
11．（2023 荆州）如图1，点P是线段AB上与点A，点B不重合的任意一点，在AB的同侧分别以A，P，B为顶点作∠1＝∠2＝∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和射线BA，∠2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线．
（1）如图2，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；
（2）如图3，在Rt△APC中，∠A＝90°，AC＞AP，延长AP至点B，使AB＝AC，作∠A的等联角∠CPD和∠PBD．将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F，连接BF．
①确定△PCF的形状，并说明理由；
②若AP：PB＝1：2，BF＝k，求等联线AB和线段PE的长（用含k的式子表示）．
一十．解直角三角形的应用（共1小题）
12．（2023 宜昌）2023年5月30日，“神舟十六号”航天飞船成功发射．如图，飞船在离地球大约330km的圆形轨道上，当运行到地球表面P点的正上方F点时，从中直接看到地球表面一个最远的点是点Q．在Rt△OQF中，OP＝OQ≈6400km．
（参考数据：cos16°≈0.96，cos18°≈0.95，cos20°≈0.94，cos22°≈0.93，π≈3.14）
（1）求cosα的值（精确到0.01）；
（2）在⊙O中，求的长（结果取整数）．
一十一．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
13．（2023 随州）某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度AB，在建筑物附近有一斜坡，坡长CD＝10米，坡角α＝30°，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为60°，在D处测得建筑物顶端A的仰角为30°．（已知点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上）
（1）求点D到地面BC的距离；
（2）求该建筑物的高度AB．
一十二．条形统计图（共1小题）
14．（2023 十堰）市体育局对甲、乙两运动队的某体育项目进行测试，两队人数相等，测试后统计队员的成绩分别为：7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据测试成绩绘制了如图所示尚不完整的统计图表：
甲队成绩统计表
成绩 7分 8分 9分 10分
人数 10 1 m 7
请根据图表信息解答下列问题：
（1）填空：α＝　 　°，m＝　 　；
（2）补齐乙队成绩条形统计图；
（3）①甲队成绩的中位数为 　 　，乙队成绩的中位数为 　 　；
②分别计算甲、乙两队成绩的平均数，并从中位数和平均数的角度分析哪个运动队的成绩较好．
一十三．列表法与树状图法（共2小题）
15．（2023 湖北）打造书香文化，培养阅读习惯．崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．
根据图中信息，请回答下列问题；
（1）条形图中的m＝　 　，n＝　 　，文学类书籍对应扇形圆心角等于 　 　度；
（2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；
（3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．
16．（2023 宜昌）“阅读新时代，书香满宜昌”．在“全民阅读月”活动中，某校提供了四类适合学生阅读的书籍：A文学类，B科幻类，C漫画类，D数理类．为了解学生阅读兴趣，学校随机抽取了部分学生进行调查（每位学生仅选一类）．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表：
书籍类别 学生人数
A文学类 24
B科幻类 m
C漫画类 16
D数理类 8
（1）本次抽查的学生人数是 　 　，统计表中的m＝　 　；
（2）在扇形统计图中，“C漫画类”对应的圆心角的度数是 　 　；
（3）若该校共有1200名学生，请你估计该校学生选择“D数理类”书籍的学生人数；
（4）学校决定成立“文学”“科幻”“漫画”“数理”四个阅读社团．若小文、小明随机选取四个社团中的一个，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一社团的概率．
湖北省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类③
参考答案与试题解析
一．二元一次方程组的应用（共1小题）
1．（2023 宜昌）为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍．
豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额
小欢妈妈 20 30 270
小乐妈妈 30 20 230
（1）求豆沙粽和肉粽的单价；
（2）超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）；
①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价；
②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为（80﹣4m）包，（4m+8）包，A，B两种包装的销售总额为17280元．求m的值．
【答案】（1）豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元；
（2）①豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元；
②m＝10．
【解答】解：（1）设豆沙粽的单价为x元，肉粽的单价为2x元；
由题意可得：10x+12×2x＝136，
解得：x＝4，
∴2x＝8（元），
答：豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元；
（2）①设豆沙粽优惠后的单价为a元，肉粽优惠后的单价为b元，
由题意可得：，
解得：，
答：豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元；
②由题意可得：[3m+7（40﹣m）]×（80﹣4m）+[3×（40﹣m）+7m]×（4m+8）＝17280，
解得：m＝19或m＝10，
∵m≤（40﹣m），
∴m≤，
∴m＝10．
二．分式方程的应用（共1小题）
2．（2023 荆州）荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售．已知1400元采购A种的件数是630元采购B种件数的2倍，A种的进价比B种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购B种的件数不低于390件，不超过A种件数的4倍．
（1）求A，B饰品每件的进价分别为多少元？
（2）若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购A种超过150件时，A种超过的部分按进价打6折．设购进A种饰品x件，
①求x的取值范围；
②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润．
【答案】（1）A种饰品每件的进价为10元，则B种饰品每件的进价为9元；
（2）①120≤x≤210，且x为整数；
②当采购A种饰品210件，B种饰品390件，商铺获利最大，最大利润为3630元．
【解答】解：（1）设A种饰品每件的进价为a元，则B种饰品每件的进价为（a﹣1）元，
由题意得：＝×2，
解得：a＝10，
经检验，a＝10是所列方程的解，且符合题意，
a﹣1＝9，
答：A种饰品每件的进价为10元，则B种饰品每件的进价为9元；
（2）①由题意得：，
解得：120≤x≤210，
∴购进A种饰品件数x的取值范围为：120≤x≤210，且x为整数；
②设采购A种饰品x件时的总利润为w元，
当120≤x≤150时，w＝15×600﹣10x﹣9（600﹣x）＝﹣x+3600，
∵﹣1＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝120时，w有最大值是：﹣120+3600＝3480，
当150＜x≤210时，w＝15×600﹣[10×150+10×60%（x﹣150）]﹣9（600﹣x）＝3x+3000，
∵3＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝210时，w有最大值是：3×210+3000＝3630，
∵3630＞3480，
∴w的最大值是3630，此时600﹣x＝600﹣210＝390，
即当采购A种饰品210件，B种饰品390件，商铺获利最大，最大利润为3630元．
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
3．（2023 十堰）函数y＝的图象可以由函数y＝的图象左右平移得到．
（1）将函数y＝的图象向右平移4个单位得到函数y＝的图象，则a＝　﹣4　；
（2）下列关于函数y＝的性质：①图象关于点（﹣a，0）对称；②y随x的增大而减小；③图象关于直线y＝﹣x+a对称；④y的取值范围为y≠0．其中说法正确的是 　①④　（填写序号）；
（3）根据（1）中a的值，写出不等式＞的解集．
【答案】（1）﹣4；
（2）①④；
（3）x＞4或x＜0．
【解答】解：（1）将函数y＝的图象向右平移4个单位得到函数y＝的图象，则a＝﹣4；
故答案为：﹣4；
（2）函数y＝向左平移a个单位得到函数y＝的图象，
①图象关于点（﹣a，0）对称，正确；
②y随x的增大而减小，错误；
③图象关于直线y＝﹣x+a对称，错误；
④y的取值范围为y≠0，正确．
其中说法正确的是①④；
故答案为：①④；
（3）观察图象，不等式＞的解集为x＞4或x＜0．
四．二次函数的应用（共2小题）
4．（2023 十堰）“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒．根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒．设每盒售价为x元，日销售量为p盒．
（1）当x＝60时，p＝　400　；
（2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？
（3）小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大．”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x的范围为60≤x≤80．”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意可得，
p＝500﹣10（x﹣50）＝﹣10x+1000，
即每天的销售量p（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式是p＝﹣10x+1000，
当x＝60时，p＝﹣10×60+1000＝400，（x≥50），
故答案为：400．
（2）由题意可得，
W＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000，
由题可知：每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，
∴，
即，解得50≤x≤65．
∴当x＝65时，W取得最大值，此时W＝8750，
答：当每盒售价定为65元时，每天销售的利润W（元）最大，最大利润是8750元；
（3）小强：∵50≤x≤65，
设日销售额为y元，
y＝x p＝x（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1000x＝﹣10（x﹣50）2+25000，
当x＝50时，y值最大，此时y＝25000，
当x＝65时，W值最大，此时W＝8750，
∴小强正确．
小红：当日销售利润不低于8000元时，
即W≥8000，
﹣10（x﹣70）2+9000≥8000，解得：60≤x≤80，
∵50≤x≤65，
∴当日销售利润不低于8000元时，60≤x≤65．
故小红错误，当日销售利润不低于8000元时，60≤x≤65．
5．（2023 湖北）加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中1000m2的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/m2）与其种植面积x（单位：m2）的函数关系如图所示，其中200 x 700；乙种蔬菜的种植成本为50元/m2．
（1）当x＝　500　m2时，y＝35元/m2；
（2）设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？
（3）学校计划今后每年在这1000m2土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降a%，当a为何值时，2025年的总种植成本为28920元？
【答案】（1）500；
（2）当种植甲种蔬菜的种植面积为400m2，乙种蔬菜的种植面积为600m2 时，W最小；
（3）当a为20时，2025年的总种植成本为28920元．
【解答】解：（1）当200≤x≤600时，设甲种蔬菜种植成本y（单位；元/m2 ）与其种植面积x（单位：m2 ）的函数关系式为y＝kx+b，
把（200，20），（600，40）代入得：，
解得：，
∴，
当600＜x≤700时，y＝40，
∴当y＝35时，35＝x+10，
解得：x＝500，
故答案为：500；
（2）当200≤x≤600时，W＝x（x+10）+50（1000﹣x）＝（x﹣400）2+42000，
∵，
∴抛物线开口向上，
∴当x＝400时，W有最小值，最小值为42000，
此时，1000﹣x＝1000﹣400＝600，
当600≤x≤700时，W＝40x+50（1000﹣x）＝﹣10x+50000，
∵﹣10＜0，
∴当x＝700时，W有最小值为：﹣10×700+50000＝43000，
∵42000＜43000，
∴当种植甲种蔬菜的种植面积为400m2，乙种蔬菜的种植面积为600m2时，W最小；
（3）由（2）可知，甲、乙两种蔬菜总种植成本为42000元，乙种蔬菜的种植成本为50×600＝30000（元），
则甲种蔬菜的种植成本为42000﹣30000＝12000（元），
由题意得：12000（1﹣10%）2+30000（1﹣a%）2＝28920，
设a%＝m，
整理得：（1﹣m）2＝0.64，
解得：m1＝0.2＝20%，m2＝1.8（不符合题意，舍去），
∴a%＝20%，
∴a＝20，
答：当a为20时，2025年的总种植成本为28920元．
五．矩形的性质（共1小题）
6．（2023 随州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若BC＝3，DC＝2，求四边形OCED的面积．
【答案】（1）证明见解答；
（2）3．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴AC＝BD，OC＝AC，OD＝BD，
∴OC＝OD，
∴四边形OCED是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，BC＝3，DC＝2，
∴OA＝OB＝OC＝OD，S矩形ABCD＝3×2＝6，
∴S△OCD＝S矩形ABCD＝×6＝1.5，
∵四边形OCED是菱形，
∴菱形OCED的面积＝2S△OCD＝2×1.5＝3．
六．切线的性质（共1小题）
7．（2023 湖北）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE是⊙O的切线，且DE⊥AC，垂足为E，延长CA交⊙O于点F．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若AE＝3，DE＝6，求AF的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）9．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴半径OD⊥DE，
∵DE⊥AC，
∴OD∥AC，
∴∠C＝∠ODB，
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC；
（2）解：连接DF，DA，
∵∠F＝∠B，∠B＝∠C，
∴∠F＝∠C，
∴DF＝DC，
∵DE⊥CF，
∴FE＝EC，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∠ADE+∠CDE＝90°，
∵DE⊥AC，
∴∠C+∠CDE＝90°，
∴∠C＝∠ADE，
∵∠AED＝∠CED＝90°，
∴△DAE∽△CDE，
∴DE：CE＝AE：DE，
∵AE＝3，DE＝6，
∴6：CE＝3：6，
∴CE＝12，
∴EF＝EC＝12，
∴AF＝EF﹣AE＝12﹣3＝9．
七．切线的判定与性质（共2小题）
8．（2023 随州）如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点C是的中点，AE垂直于过C点的直线DC，垂足为D，AB的延长线交直线DC于点F．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AE＝2，sin∠AFD＝，
①求⊙O的半径；
②求线段DE的长．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）①⊙O的半径为3；
②线段DE的长为2．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AD⊥DF，
∴∠D＝90°，
∵点C是的中点，
∴＝，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴OA＝OC，
∴∠CAB＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴AD∥OC，
∴∠OCF＝∠D＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴DC是⊙O的切线；
（2）解：①过点O作OG⊥AE，垂足为G，
∴AG＝EG＝AE＝1，
∵OG⊥AD，
∴∠AGO＝∠DGO＝90°，
∵∠D＝∠AGO＝90°，
∴OG∥DF，
∴∠AFD＝∠AOG，
∵sin∠AFD＝，
∴sin∠AOG＝sin∠AFD＝，
在Rt△AGO中，AO＝＝＝3，
∴⊙O的半径为3；
②∵∠OCF＝90°，
∴∠OCD＝180°﹣∠OCF＝90°，
∵∠OGE＝∠D＝90°，
∴四边形OGDC是矩形，
∴OC＝DG＝3，
∵GE＝1，
∴DE＝DG﹣GE＝3﹣1＝2，
∴线段DE的长为2．
9．（2023 十堰）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径的半圆分别交AC，BC，AB于点D，E，F，且点E是弧DF的中点．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若CE＝，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
【答案】（1）见解答．
（2）2﹣．
【解答】（1）证明：连接OE、OD，如图：
∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠OAD＝∠B＝45°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO＝45°，
∴∠AOD＝90°，
∵点E是弧DF的中点．
∴∠DOE＝∠EDF＝∠DOF＝45°，
∴∠OEB＝180°﹣∠EOF﹣∠B＝90°
∴OE⊥BC，
∵OE是半径，
∴BC是⊙O的切线，
（2）解：∵OE⊥BC，∠B＝45°，
∴△OEB是等腰三角形，
设BE＝OE＝x，则OB＝x，
∴AB＝xx，
∵AB＝BC，
∴xx＝（+x），
解得x＝2，
∴S阴影＝S△OEB﹣S扇形OEF＝×2×2﹣＝2﹣．
八．作图-旋转变换（共1小题）
10．（2023 宜昌）如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空．
（1）画出线段OA绕点O顺时针旋转90°后得到的线段OB，连接AB；
（2）画出与△AOB关于直线OB对称的图形，点A的对称点是C；
（3）填空：∠OCB的度数为 　45°　．
【答案】（1）（2）见解答；
（3）45°．
【解答】解：（1）如图，OB为所作；
（2）如图，△COB为所作；
（3）∵线段OA绕点O顺时针旋转90°后得到的线段OB，
∴OB＝OA，∠AOB＝90°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OAB＝45°，
∵△COB与△AOB关于直线OB对称，
∴∠OCB＝∠OAB＝45°．
故答案为：45°．
九．几何变换综合题（共1小题）
11．（2023 荆州）如图1，点P是线段AB上与点A，点B不重合的任意一点，在AB的同侧分别以A，P，B为顶点作∠1＝∠2＝∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和射线BA，∠2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线．
（1）如图2，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；
（2）如图3，在Rt△APC中，∠A＝90°，AC＞AP，延长AP至点B，使AB＝AC，作∠A的等联角∠CPD和∠PBD．将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F，连接BF．
①确定△PCF的形状，并说明理由；
②若AP：PB＝1：2，BF＝k，求等联线AB和线段PE的长（用含k的式子表示）．
【答案】（1）作图见解答．
（2）①△PCF是等腰直角三角形．理由见解答．
②等联线AB＝3k，线段PE＝．
【解答】解：（1）作图如下：（方法不唯一）
（2）①△PCF是等腰直角三角形．理由为：
如图，过点C作CN⊥BE交BE的延长线于N．
由折叠得AC＝CM，∠CMP＝∠CME＝∠A＝90°，∠1＝∠2，
∵AC＝AB，∠A＝∠PBD＝∠N＝90°，
∴四边形ABNC为正方形，
∴CN＝AC＝CM，
又∵CE＝CE，
∴Rt△CME≌Rt△CNE（HL），
∴∠3＝∠4，
而∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，∠CPF＝90°，
∴∠PCF＝∠2+∠3＝∠CFP＝45°，
∴△PCF是等腰直角三角形．
②如图，过点F作FQ⊥BE于Q，FR⊥PB交PB的延长线于R，
则∠R＝∠A＝90°，
∵∠1+∠5＝∠5+∠6＝90°，
∴∠1＝∠6，
由△PCF是等腰直角三角形知：PC＝PF，
∴△APC≌△RFP（AAS），
∴AP＝FR，AC＝PR，
而AC＝AB，
∴AP＝BR＝FR，
在Rt△BRF中，BR2+FR2＝BF2，，
∴AP＝BR＝FR＝k，
∴PB＝2AP＝2k，
∴AB＝AP+PB＝BN＝3k，
∵BR＝FR，∠QBR＝∠R＝∠FQB＝90°，
∴四边形BRFQ为正方形，BQ＝OF＝k，
∵FQ⊥BN，CN⊥BN，
∴FQ∥CN，
∴，
而QE＝BN﹣NE﹣BQ＝3k﹣NE﹣k＝2k﹣NE，
∴，
解得：k，
由①知：PM＝AP＝k，，
∴，
答：等联线AB＝3k，线段PE＝．
一十．解直角三角形的应用（共1小题）
12．（2023 宜昌）2023年5月30日，“神舟十六号”航天飞船成功发射．如图，飞船在离地球大约330km的圆形轨道上，当运行到地球表面P点的正上方F点时，从中直接看到地球表面一个最远的点是点Q．在Rt△OQF中，OP＝OQ≈6400km．
（参考数据：cos16°≈0.96，cos18°≈0.95，cos20°≈0.94，cos22°≈0.93，π≈3.14）
（1）求cosα的值（精确到0.01）；
（2）在⊙O中，求的长（结果取整数）．
【答案】（1）0.95；
（2）2010km．
【解答】解：（1）由题意知FQ是⊙O的切线，
∴∠OQF＝90°，
∵OP＝OQ＝6400km，FP＝330km，
∴OF＝OP+FP＝6730km，
∴cosα＝；
（2）∵cosα≈0.95，
∴α＝18°，
∴的长为：≈2010km．
一十一．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
13．（2023 随州）某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度AB，在建筑物附近有一斜坡，坡长CD＝10米，坡角α＝30°，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为60°，在D处测得建筑物顶端A的仰角为30°．（已知点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上）
（1）求点D到地面BC的距离；
（2）求该建筑物的高度AB．
【答案】（1）点D到地面BC的距离为5m．
（2）该建筑物的高度AB为15m．
【解答】解：（1）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，
∵cosα＝，
解得CE＝5，
∴DE＝＝5（m）．
∴点D到地面BC的距离为5m．
（2）过点D作DF⊥AB于点F，
则BF＝DE＝5m，
设BC＝xm，则BE＝DF＝（5+x）m，
在Rt△ABC中，tan60°＝，
解得AB＝x，
∴AF＝（x﹣5）m，
在Rt△ADF中，tan30°＝＝＝，
解得x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解且符合题意，
∴AB＝＝15（m）．
∴该建筑物的高度AB为15m．
一十二．条形统计图（共1小题）
14．（2023 十堰）市体育局对甲、乙两运动队的某体育项目进行测试，两队人数相等，测试后统计队员的成绩分别为：7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据测试成绩绘制了如图所示尚不完整的统计图表：
甲队成绩统计表
成绩 7分 8分 9分 10分
人数 10 1 m 7
请根据图表信息解答下列问题：
（1）填空：α＝　126　°，m＝　2　；
（2）补齐乙队成绩条形统计图；
（3）①甲队成绩的中位数为 　7.5　，乙队成绩的中位数为 　8　；
②分别计算甲、乙两队成绩的平均数，并从中位数和平均数的角度分析哪个运动队的成绩较好．
【答案】（1）126；2；
（2）见解答；
（3）甲、乙两队成绩的平均数均为8.3，但乙队的中位数比甲队大，所以乙运动队的成绩较好．
【解答】解：（1）由题意得，a＝360﹣72﹣72﹣90＝126；
乙队人数为：5÷＝20（人），
故m＝20﹣10﹣1﹣7＝2．
故答案为：126；2；
（2）乙队7分人数为：20﹣4﹣5﹣4＝7（人），
补齐乙队成绩条形统计图如下：
（3）①甲队成绩的中位数为：＝7.5；
乙队成绩的中位数为：＝8；
故答案为：7.5；8；
②甲队成绩的平均数为：（7×10+8+9×2+10×7）＝8.3；
乙队成绩的平均数为：（7×7+8×4+9×5+10×4）＝8.3；
因为甲、乙两队成绩的平均数相同，但乙队的中位数比甲队大，所以乙运动队的成绩较好．
一十三．列表法与树状图法（共2小题）
15．（2023 湖北）打造书香文化，培养阅读习惯．崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．
根据图中信息，请回答下列问题；
（1）条形图中的m＝　18　，n＝　6　，文学类书籍对应扇形圆心角等于 　72　度；
（2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；
（3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．
【答案】（1）18，6，72；
（2）估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数约为480人；
（3）．
【解答】解：（1）调查的学生人数为：4÷8%＝50（人），
∴m＝50×36%＝18，
∴n＝50﹣18﹣10﹣12﹣4＝6，
文学类书籍对应扇形圆心角＝360°×＝72°，
故答案为：18，6，72；
（2）2000×＝480（人），
答：估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数约为480人；
（3）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种，即BB、CC，
∴甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为．
16．（2023 宜昌）“阅读新时代，书香满宜昌”．在“全民阅读月”活动中，某校提供了四类适合学生阅读的书籍：A文学类，B科幻类，C漫画类，D数理类．为了解学生阅读兴趣，学校随机抽取了部分学生进行调查（每位学生仅选一类）．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表：
书籍类别 学生人数
A文学类 24
B科幻类 m
C漫画类 16
D数理类 8
（1）本次抽查的学生人数是 　80　，统计表中的m＝　32　；
（2）在扇形统计图中，“C漫画类”对应的圆心角的度数是 　72°　；
（3）若该校共有1200名学生，请你估计该校学生选择“D数理类”书籍的学生人数；
（4）学校决定成立“文学”“科幻”“漫画”“数理”四个阅读社团．若小文、小明随机选取四个社团中的一个，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一社团的概率．
【答案】（1）80，32；
（2）72°；
（3）估计该校学生选择“D数理类”书籍的学生人数约为120人；
（4）．
【解答】解：（1）24÷30%＝80（人），80﹣24﹣16﹣8＝32（人），答：本次抽查的学生人数是80人，统计表中的m＝32；
故答案为：80，32；
（2）“C漫画类”对应的圆心角的度数是360°×＝72°，
故答案为：72°；
（3）1200×＝120（人），
答：估计该校学生选择“D数理类”书籍的学生人数约为120人；
（4）列树状图如图所示，
由上可得，一共有16种等可能性，其中他们选择同一社团的可能性有4种，
∴他们选择同一社团的概率为＝．湖北省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类①
一．实数的运算（共1小题）
1．（2023 十堰）计算：|1﹣|+（）﹣2﹣（π﹣2023）0．
二．分式的加减法（共1小题）
2．（2023 湖北）化简；．
三．分式的化简求值（共3小题）
3．（2023 鄂州）先化简，再求值：﹣，其中 a＝2．
4．（2023 黄石）先化简，再求值：（+1）÷，然后从1，2，3，4中选择一个合适的数代入求值．
5．（2023 恩施州）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x＝﹣2．
四．根的判别式（共1小题）
6．（2023 荆州）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k＝1时，用配方法解方程．
五．根与系数的关系（共1小题）
7．（2023 湖北）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．
（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实数根为a，b，若（2a+b）（a+2b）＝20，求m的值．
六．解分式方程（共1小题）
8．（2023 湖北）（1）计算：（12x4+6x2）÷3x﹣（﹣2x）2（x+1）；
（2）解分式方程：﹣＝0．
七．解一元一次不等式组（共1小题）
9．（2023 武汉）解不等式组请按下列步骤完成解答．
（Ⅰ）解不等式①，得　 　；
（Ⅱ）解不等式②，得　 　：
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

（Ⅳ）原不等式组的解集是　 　．
八．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
10．（2023 恩施州）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，直线y＝x+2交y轴于点A，交x轴于点B，与双曲线y＝（k≠0）在一，三象限分别交于C，D两点，AB＝BC，连接CO，DO．
（1）求k的值；
（2）求△CDO的面积．
九．正方形的性质（共1小题）
11．（2023 黄石）如图，正方形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，且BM＝CN，AN与DM相交于点P．
（1）求证：△ABN≌△DAM；
（2）求∠APM的大小．
一十．切线的判定与性质（共1小题）
12．（2023 鄂州）如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，点C为的中点，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若DE＝1，DC＝2，求⊙O的半径长．
一十一．作图—基本作图（共1小题）
13．（2023 襄阳）如图，AC是菱形ABCD的对角线．
（1）作边AB的垂直平分线，分别与AB，AC交于点E，F（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接FB，若∠D＝140°，求∠CBF的度数．
一十二．频数（率）分布直方图（共1小题）
14．（2023 襄阳）三月是文明礼貌月，我市某校以“知文明礼仪，做文明少年”为主题开展了一系列活动，并在活动后期对七、八年级学生进行了文明礼仪知识测试，测试结果显示所有学生成绩都不低于75分（满分100分）．
【收集数据】随机从七、八年级各抽取50名学生的测试成绩，进行整理和分析（成绩得分都是整数）．
【整理数据】将抽取的两个年级的成绩进行整理（用x表示成绩，分成五组：A.75≤x＜80，B.80≤x＜85，C.85≤x＜90，D.90≤x＜95，E.95≤x≤100）．
①八年级学生成绩在D组的具体数据是：91，92，94，94，94，94，94．
②将八年级的样本数据整理并绘制成不完整的频数分布直方图（如图）：
【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 92 92 100 57.4
八年级 92.6 m 100 49.2
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取八年级学生的样本容量是 　 　；
（2）频数分布直方图中，C组的频数是 　 　；
（3）本次抽取八年级学生成绩的中位数m＝　 　；
（4）分析两个年级样本数据的对比表，你认为 　 　年级的学生测试成绩较整齐（填“七”或“八”）；
（5）若八年级有400名学生参加了此次测试，估计此次参加测试的学生中，该年级成绩不低于95分的学生有 　 　人．
湖北省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类①
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共1小题）
1．（2023 十堰）计算：|1﹣|+（）﹣2﹣（π﹣2023）0．
【答案】+2．
【解答】解：原式＝﹣1+4﹣1
＝+2．
二．分式的加减法（共1小题）
2．（2023 湖北）化简；．
【答案】x﹣1．
【解答】解：原式＝
＝
＝x﹣1．
三．分式的化简求值（共3小题）
3．（2023 鄂州）先化简，再求值：﹣，其中 a＝2．
【答案】．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
当a＝2时，
原式＝＝．
4．（2023 黄石）先化简，再求值：（+1）÷，然后从1，2，3，4中选择一个合适的数代入求值．
【答案】，﹣．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
∵m﹣3≠0，m﹣1≠0，
∴m≠3，m≠1，
∴当m＝2时，原式＝＝﹣．
5．（2023 恩施州）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x＝﹣2．
【答案】﹣，原式＝﹣．
【解答】解：÷（1﹣）
＝÷
＝
＝﹣，
当x＝﹣2时，原式＝﹣＝﹣＝﹣．
四．根的判别式（共1小题）
6．（2023 荆州）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k＝1时，用配方法解方程．
【答案】（1）k＞﹣且k≠0；
（2）x1＝3+，x2＝3﹣．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2k+4）2﹣4k（k﹣6）＞0，且k≠0，
解得：k＞﹣且k≠0；
（2）当k＝1时，
原方程为x2﹣（2×1+4）x+1﹣6＝0，
即x2﹣6x﹣5＝0，
移项得：x2﹣6x＝5，
配方得：x2﹣6x+9＝5+9，
即（x﹣3）2＝14，
直接开平方得：x﹣3＝±
解得：x1＝3+，x2＝3﹣．
五．根与系数的关系（共1小题）
7．（2023 湖北）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．
（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实数根为a，b，若（2a+b）（a+2b）＝20，求m的值．
【答案】（1）见解析；
（2）m的值为﹣2或1．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m）
＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m
＝1＞0，
∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：∵该方程的两个实数根为a，b，
∴a+b＝＝2m+1，ab＝＝m2+m，
∵（2a+b）（a+2b）
＝2a2+4ab+ab+2b2
＝2（a2+2ab+b2）+ab
＝2（a+b）2+ab，
∴2（a+b）2+ab＝20，
∴2（2m+1）2+m2+m＝20，
整理得：m2+m﹣2＝0，
解得：m1＝﹣2，m2＝1，
∴m的值为﹣2或1．
六．解分式方程（共1小题）
8．（2023 湖北）（1）计算：（12x4+6x2）÷3x﹣（﹣2x）2（x+1）；
（2）解分式方程：﹣＝0．
【答案】（1）2x﹣4x2；
（2）x＝．
【解答】解：（1）原式＝4x3+2x﹣4x2（x+1）
＝4x3+2x﹣4x3﹣4x2
＝2x﹣4x2；
（2）原方程变形为：﹣＝0，
两边同乘x（x+1）（x﹣1），去分母得：5（x﹣1）﹣（x+1）＝0，
去括号得：5x﹣5﹣x﹣1＝0，
移项，合并同类项得：4x＝6，
系数化为1得：x＝，
检验：将x＝代入x（x+1）（x﹣1）中可得：×（+1）×（﹣1）＝≠0，
则原方程的解为：x＝．
七．解一元一次不等式组（共1小题）
9．（2023 武汉）解不等式组请按下列步骤完成解答．
（Ⅰ）解不等式①，得　x＜3　；
（Ⅱ）解不等式②，得　x≥﹣1　：
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

（Ⅳ）原不等式组的解集是　﹣1≤x＜3　．
【答案】（Ⅰ）x＜3；
（Ⅱ）x≥﹣1；
（Ⅲ）见解答；
（1V）﹣1≤x＜3．
【解答】解：，
（Ⅰ）解不等式①，得x＜3；
故答案为：x＜3；
（Ⅱ）解不等式②，得x≥﹣1；
故答案为：x≥﹣1；
（Ⅲ）把不等式①和不等式②的解集在数轴上表示出来如下：
（Ⅳ）原不等式组的解集是﹣1≤x＜3．
故答案为：﹣1≤x＜3．
八．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
10．（2023 恩施州）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，直线y＝x+2交y轴于点A，交x轴于点B，与双曲线y＝（k≠0）在一，三象限分别交于C，D两点，AB＝BC，连接CO，DO．
（1）求k的值；
（2）求△CDO的面积．
【答案】（1）k的值为8；
（2）△CDO的面积是6．
【解答】解：（1）在y＝x+2中，令x＝0得y＝2，令y＝0得x＝﹣2，
∴A（0，2），B（﹣2，0），
∵AB＝BC，
∴A为BC中点，
∴C（2，4），
把C（2，4）代入y＝得：
4＝，
解得k＝8；
∴k的值为8；
（2）由得：或，
∴D（﹣4，﹣2），
∴S△DOC＝S△DOB+S△COB＝×2×2+×2×4＝2+4＝6，
∴△CDO的面积是6．
九．正方形的性质（共1小题）
11．（2023 黄石）如图，正方形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，且BM＝CN，AN与DM相交于点P．
（1）求证：△ABN≌△DAM；
（2）求∠APM的大小．
【答案】（1）见解答；
（2）90°．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC，∠DAM＝∠ABN＝90°，
∵BM＝CN，
∴BC﹣CN＝AB﹣BM，即BN＝AM，
在△ABN和△DAM中，
∴△ABN≌△DAM（SAS）；
（2）解：由（1）知△ABN≌△DAM，
∴∠MAP＝∠ADM，
∴∠MAP+∠AMP＝∠ADM+∠AMP＝90°，
∴∠APM＝180°﹣（∠MAP+∠AMP）＝90°．
一十．切线的判定与性质（共1小题）
12．（2023 鄂州）如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，点C为的中点，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若DE＝1，DC＝2，求⊙O的半径长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）2.5．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵点C为的中点，
∴，
∴∠EAC＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠OCA，
∴∠EAC＝∠OCA，
∴AE∥OC，
∴∠ADC＝∠OCF，
∵CD⊥AE，
∴∠ADC＝90°，
∴∠OCF＝90°，
即OC⊥DF，
又OC为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接CE，BC，
由（1）知CD是⊙O的切线，
∴CD2＝DE AD，
∵DE＝1，DC＝2，
∴AD＝4，
在Rt△ADC中，由勾股定理得，
在Rt△DCE中，由勾股定理得，
∵点C是的中点，
∴，
∴EC＝BC＝，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
由勾股定理得，
∴⊙O的半径长是2.5．
一十一．作图—基本作图（共1小题）
13．（2023 襄阳）如图，AC是菱形ABCD的对角线．
（1）作边AB的垂直平分线，分别与AB，AC交于点E，F（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接FB，若∠D＝140°，求∠CBF的度数．
【答案】（1）作法见解答；
（2）∠CBF的度数是120°．
【解答】（1）作法：1．分别以点A、点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，交于点M、点N，
2．作直线MN交AB于点E，交AC于点F，
直线MN、点E、点F就是所求的图形．
（2）解：连接FB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC＝∠D＝140°，AB＝CB，
∴∠BAC＝∠BCA＝×（180°﹣140°）＝20°，
∵MN垂直平分AB，点F在MN上，
∴AF＝BF，
∴∠ABF＝∠BAC＝20°，
∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝140°﹣20°＝120°，
∴∠CBF的度数是120°．
一十二．频数（率）分布直方图（共1小题）
14．（2023 襄阳）三月是文明礼貌月，我市某校以“知文明礼仪，做文明少年”为主题开展了一系列活动，并在活动后期对七、八年级学生进行了文明礼仪知识测试，测试结果显示所有学生成绩都不低于75分（满分100分）．
【收集数据】随机从七、八年级各抽取50名学生的测试成绩，进行整理和分析（成绩得分都是整数）．
【整理数据】将抽取的两个年级的成绩进行整理（用x表示成绩，分成五组：A.75≤x＜80，B.80≤x＜85，C.85≤x＜90，D.90≤x＜95，E.95≤x≤100）．
①八年级学生成绩在D组的具体数据是：91，92，94，94，94，94，94．
②将八年级的样本数据整理并绘制成不完整的频数分布直方图（如图）：
【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 92 92 100 57.4
八年级 92.6 m 100 49.2
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取八年级学生的样本容量是 　50　；
（2）频数分布直方图中，C组的频数是 　13　；
（3）本次抽取八年级学生成绩的中位数m＝　93　；
（4）分析两个年级样本数据的对比表，你认为 　八　年级的学生测试成绩较整齐（填“七”或“八”）；
（5）若八年级有400名学生参加了此次测试，估计此次参加测试的学生中，该年级成绩不低于95分的学生有 　160　人．
【答案】（1）50；
（2）13；
（3）93；
（4）八；
（5）160．
【解答】解：（1）由于“随机从七、八年级各抽取50名学生的测试成绩进行整理和分析”因此本次抽取八年级学生的样本容量是50，
故答案为：50；
（2）频数分布直方图中，C组的频数为50﹣4﹣6﹣7﹣20﹣13（人），
故答案为：13；
（3）将抽取的50名八年级学生成绩从小到大排列，处在第25、26位的两个数的平均数为＝93（分），因此本次抽取八年级学生成绩的中位数是93分，即m＝93，
故答案为：93；
（4）样本中七年级学生成绩的方差为57.4，而八年级学生成绩的方差为49.2，由于57.4＞49.2，
因此八年级学生成绩比较整齐，
故答案为：八；
（5）400×＝160（名），
答：该校八年级400名学生中，成绩不低于95分的学生大约有160名．湖北省各地市2023-中考数学真题分类汇编-01选择题（容易题）知识点分类
一．相反数（共1小题）
1．（2023 湖北）﹣2的相反数为（　　）
A．﹣2 B．2 C． D．
二．绝对值（共2小题）
2．（2023 湖北）﹣的绝对值是（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
3．（2023 鞍山）﹣2023的绝对值是（　　）
A．2023 B．﹣2023 C． D．﹣
三．倒数（共1小题）
4．（2023 十堰）﹣3的倒数为（　　）
A．3 B． C．﹣ D．﹣3
四．科学记数法—表示较大的数（共4小题）
5．（2023 鄂州）中华鲟是地球上最古老的脊椎动物之一，距今约有140000000年的历史，是国家一级保护动物和长江珍稀特有鱼类保护的旗舰型物种．3月28日是中华鲟保护日，有关部门进行放流活动，实现鱼类物种的延续并对野生资源形成持续补充．将140000000用科学记数法表示应为（　　）
A．14×107 B．1.4×108 C．0.14×109 D．1.4×109
6．（2023 湖北）2023年全国高考报名人数约12910000人，数12910000用科学记数法表示为（　　）
A．0.1291×108 B．1.291×107 C．1.291×108 D．12.91×107
7．（2023 湖北）2023年全国普通高校毕业生规模预计达到1158万人，数11580000用科学记数法表示为（　　）
A．1.158×107 B．1.158×108 C．1.158×103 D．1158×104
8．（2023 宜昌）“五一”假期，宜昌旅游市场接待游客606.7万人次，实现旅游总收入41.5亿元．数据“41.5亿”用科学记数法表示为（　　）
A．415×107 B．41.5×108 C．4.15×109 D．4.15×1010
五．实数的性质（共2小题）
9．（2023 鄂州）实数10的相反数等于（　　）
A．﹣10 B．+10 C．﹣ D．
10．（2023 武汉）实数3的相反数是（　　）
A．3 B． C． D．﹣3
六．幂的乘方与积的乘方（共1小题）
11．（2023 武汉）计算（2a2）3的结果是（　　）
A．2a6 B．6a5 C．8a5 D．8a6
七．同底数幂的除法（共1小题）
12．（2023 鄂州）下列运算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．a2 a3＝a5 C．a2÷a3＝a5 D．（a2）3＝a5
八．完全平方公式（共1小题）
13．（2023 恩施州）下列运算正确的是（　　）
A．（m﹣1）2＝m2﹣1 B．（2m）3＝6m3
C．m7÷m3＝m4 D．m2+m5＝m7
九．整式的除法（共1小题）
14．（2023 宜昌）下列运算正确的是（　　）
A．2x4÷x3＝2x B．（x3）4＝x7 C．x4+x3＝x7 D．x3 x4＝x12
一十．二次根式的性质与化简（共1小题）
15．（2023 宜昌）下列运算正确的个数是（　　）
①|2023|＝2023；②20230＝1；③2023﹣1＝；④＝2023．
A．4 B．3 C．2 D．1
一十一．由实际问题抽象出分式方程（共1小题）
16．（2023 随州）甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米．已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月．若设甲工程队每个月修x千米，则可列出方程为（　　）
A．﹣＝ B．﹣＝
C．﹣＝ D．﹣＝
一十二．解一元一次不等式（共1小题）
17．（2023 宜昌）解不等式＞x﹣1，下列在数轴上表示的解集正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
一十三．解一元一次不等式组（共1小题）
18．（2023 湖北）不等式组的解集是（　　）
A．1≤x＜2 B．x≤1 C．x＞2 D．1＜x≤2
一十四．函数自变量的取值范围（共1小题）
19．（2023 黄石）函数的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥0 B．x≠1 C．x≥0且x≠1 D．x＞1
一十五．函数的图象（共1小题）
20．（2023 湖北）如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止．设注水时间为t，y1（细实线）表示铁桶中水面高度，y2（粗实线）表示水池中水面高度（铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水池内均无水），则y1，y2随时间t变化的函数图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
一十六．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
21．（2023 宜昌）某反比例函数图象上四个点的坐标分别为（﹣3，y1），（﹣2，3），（1，y2），（2，y3），则，y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2
一十七．平行线的性质（共1小题）
22．（2023 襄阳）将含有45°角的三角板和直尺按如图方式叠放在一起，若∠1＝30°，则∠2度数（　　）
A．30° B．20° C．15° D．10°
一十八．多边形内角与外角（共1小题）
23．（2023 襄阳）五边形的外角和等于（　　）
A．180° B．360° C．540° D．720°
一十九．轴对称图形（共1小题）
24．（2023 武汉）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
二十．中心对称图形（共2小题）
25．（2023 黄石）下列图案中，（　　）是中心对称图形．
A． B． C． D．
26．（2023 宜昌）我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（　　）
A． B．
C． D．
二十一．简单几何体的三视图（共2小题）
27．（2023 鄂州）下列立体图形中，主视图是圆的是（　　）
A． B．
C． D．
28．（2023 湖北）下列几何体中，三视图都是圆的是（　　）
A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．球
二十二．简单组合体的三视图（共4小题）
29．（2023 恩施州）用5个完全相同的小正方体组成如图所示的立体图形，它的左视图是（　　）
A． B． C． D．
30．（2023 武汉）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（　　）
A． B． C． D．
31．（2023 随州）如图是一个放在水平桌面上的圆柱体，该几何体的三视图中完全相同的是（　　）
A．主视图和俯视图 B．左视图和俯视图
C．主视图和左视图 D．三个视图均相同
32．（2023 十堰）下列几何体中，三视图的三个视图完全相同的几何体是（　　）
A． B．
C． D．
湖北省各地市2023-中考数学真题分类汇编-01选择题（容易题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．相反数（共1小题）
1．（2023 湖北）﹣2的相反数为（　　）
A．﹣2 B．2 C． D．
【答案】B
【解答】解：﹣2的相反数为2，
故选：B．
二．绝对值（共2小题）
2．（2023 湖北）﹣的绝对值是（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【答案】D
【解答】解：|﹣|＝﹣（﹣）＝，
故选：D．
3．（2023 鞍山）﹣2023的绝对值是（　　）
A．2023 B．﹣2023 C． D．﹣
【答案】A
【解答】解：由题意，根据一个负数的绝对值是它的相反数，
∴|﹣2023|＝2023．
故选：A．
三．倒数（共1小题）
4．（2023 十堰）﹣3的倒数为（　　）
A．3 B． C．﹣ D．﹣3
【答案】C
【解答】解：﹣3的倒数为﹣．
故选：C．
四．科学记数法—表示较大的数（共4小题）
5．（2023 鄂州）中华鲟是地球上最古老的脊椎动物之一，距今约有140000000年的历史，是国家一级保护动物和长江珍稀特有鱼类保护的旗舰型物种．3月28日是中华鲟保护日，有关部门进行放流活动，实现鱼类物种的延续并对野生资源形成持续补充．将140000000用科学记数法表示应为（　　）
A．14×107 B．1.4×108 C．0.14×109 D．1.4×109
【答案】B
【解答】解：140000000＝1.4×108，
故选：B．
6．（2023 湖北）2023年全国高考报名人数约12910000人，数12910000用科学记数法表示为（　　）
A．0.1291×108 B．1.291×107 C．1.291×108 D．12.91×107
【答案】B
【解答】解：12910000＝1.291×107，
故选：B．
7．（2023 湖北）2023年全国普通高校毕业生规模预计达到1158万人，数11580000用科学记数法表示为（　　）
A．1.158×107 B．1.158×108 C．1.158×103 D．1158×104
【答案】A
【解答】解：将11580000用科学记数法表示为1.158×107．
故选：A．
8．（2023 宜昌）“五一”假期，宜昌旅游市场接待游客606.7万人次，实现旅游总收入41.5亿元．数据“41.5亿”用科学记数法表示为（　　）
A．415×107 B．41.5×108 C．4.15×109 D．4.15×1010
【答案】C
【解答】解：将41.5亿＝4150000000用科学记数法表示为4.15×109．
故选：C．
五．实数的性质（共2小题）
9．（2023 鄂州）实数10的相反数等于（　　）
A．﹣10 B．+10 C．﹣ D．
【答案】A
【解答】解：10的相反数为﹣10，
故选：A．
10．（2023 武汉）实数3的相反数是（　　）
A．3 B． C． D．﹣3
【答案】D
【解答】解：实数3的相反数是﹣3．
故选：D．
六．幂的乘方与积的乘方（共1小题）
11．（2023 武汉）计算（2a2）3的结果是（　　）
A．2a6 B．6a5 C．8a5 D．8a6
【答案】D
【解答】解：（2a2）3
＝23 （a2）3
＝8a6．
故选：D．
七．同底数幂的除法（共1小题）
12．（2023 鄂州）下列运算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．a2 a3＝a5 C．a2÷a3＝a5 D．（a2）3＝a5
【答案】B
【解答】解：A．a2与a3不是同类项，无法合并，
故A不符合题意；
B．a2 a3＝a2+3＝a5，
则B符合题意；
C．a2÷a3＝a2﹣3＝a﹣1，
则C不符合题意；
D．（a2）3＝a6，
则D不符合题意；
故选：B．
八．完全平方公式（共1小题）
13．（2023 恩施州）下列运算正确的是（　　）
A．（m﹣1）2＝m2﹣1 B．（2m）3＝6m3
C．m7÷m3＝m4 D．m2+m5＝m7
【答案】C
【解答】解：由题意，对于A选项，（m﹣1）2＝m2﹣2m+1≠m2﹣1，
∴A选项错误，不符合题意．
对于B选项，（2m）3＝8m3≠6m3，
∴B选项错误，不符合题意．
对于C选项，m7÷m3＝m4，
∴C选项正确，符合题意．
对于D选项，m2与m5不是同类项不能合并，
∴D选项错误，不符合题意．
故选：C．
九．整式的除法（共1小题）
14．（2023 宜昌）下列运算正确的是（　　）
A．2x4÷x3＝2x B．（x3）4＝x7 C．x4+x3＝x7 D．x3 x4＝x12
【答案】A
【解答】解：A．2x4÷x3＝2x，故此选项符合题意；
B．（x3）4＝x12，故此选项不合题意；
C．x4+x3，无法合并，故此选项不合题意；
D．x3 x4＝x7，故此选项不合题意．
故选：A．
一十．二次根式的性质与化简（共1小题）
15．（2023 宜昌）下列运算正确的个数是（　　）
①|2023|＝2023；②20230＝1；③2023﹣1＝；④＝2023．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解答】解：①|2023|＝2023，故此选项符合题意；
②20230＝1，故此选项符合题意；
③2023﹣1＝，故此选项符合题意；
④＝2023，故此选项符合题意．
故选：A．
一十一．由实际问题抽象出分式方程（共1小题）
16．（2023 随州）甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米．已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月．若设甲工程队每个月修x千米，则可列出方程为（　　）
A．﹣＝ B．﹣＝
C．﹣＝ D．﹣＝
【答案】A
【解答】解：∵乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，且甲工程队每个月修x千米，
∴乙工程队每个月修（x+1）千米．
根据题意得：﹣＝．
故选：A．
一十二．解一元一次不等式（共1小题）
17．（2023 宜昌）解不等式＞x﹣1，下列在数轴上表示的解集正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解答】解：＞x﹣1，
去分母得：1+4x＞3（x﹣1），
去括号得：1+4x＞3x﹣3，
移项，合并同类项得：x＞﹣4，
那么在数轴上表示其解集如图所示：
，
故选：D．
一十三．解一元一次不等式组（共1小题）
18．（2023 湖北）不等式组的解集是（　　）
A．1≤x＜2 B．x≤1 C．x＞2 D．1＜x≤2
【答案】A
【解答】解：
由①移项，合并同类项得：2x≥2，
系数化为1得：x≥1；
由②移项，合并同类项得：﹣3x＞﹣6，
系数化为1得：x＜2，
则原不等式组的解集为：1≤x＜2，
故选：A．
一十四．函数自变量的取值范围（共1小题）
19．（2023 黄石）函数的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥0 B．x≠1 C．x≥0且x≠1 D．x＞1
【答案】C
【解答】解：由题意可得x≥0且x﹣1≠0，
解得：x≥0且x≠1，
故选：C．
一十五．函数的图象（共1小题）
20．（2023 湖北）如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止．设注水时间为t，y1（细实线）表示铁桶中水面高度，y2（粗实线）表示水池中水面高度（铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水池内均无水），则y1，y2随时间t变化的函数图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：根据题意，先用水管往铁桶中持续匀速注水，
∴y1中从0开始，高度与注水时间成正比，
当到达t1时，
铁桶中水满，所以高度不变，
y2表示水池中水面高度，
从0到t1，长方体水池中没有水，所以高度为0，
t1到t2时注水从0开始，
又∵铁桶底面积小于水池底面积的一半，
∴注水高度y2比y1增长的慢，即倾斜程度低，
t2到t3时注水底面积为长方体的底面积，
∴注水高度y2增长的更慢，即倾斜程度更低，
长方体水池有水溢出一会儿为止，
∴t3到t4，注水高度y2不变．
故选：C．
一十六．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
21．（2023 宜昌）某反比例函数图象上四个点的坐标分别为（﹣3，y1），（﹣2，3），（1，y2），（2，y3），则，y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2
【答案】C
【解答】解：设反比例函数的解析式为（k≠0），
∵它的图象经过点（﹣2，3），
∴k＝﹣2×3＝﹣6，
∴反比例函数的解析式，
当x＝﹣3时，，
当x＝1时，，
当x＝2时，，
∴y2＜y3＜y1，
故选：C．
一十七．平行线的性质（共1小题）
22．（2023 襄阳）将含有45°角的三角板和直尺按如图方式叠放在一起，若∠1＝30°，则∠2度数（　　）
A．30° B．20° C．15° D．10°
【答案】C
【解答】解：如图所示：
依题意得：AB∥CD，∠EFH＝45°，
∴∠1＝∠EFG，
又∵∠1＝30°，
∴∠EFG＝∠1＝30°，
∴∠2＝∠EFH﹣∠EFG＝45°﹣30°＝15°．
故选：C．
一十八．多边形内角与外角（共1小题）
23．（2023 襄阳）五边形的外角和等于（　　）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【答案】B
【解答】解：五边形的外角和是360°．
故选：B．
一十九．轴对称图形（共1小题）
24．（2023 武汉）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：A、B、D选项中的汉字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
C选项中的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
二十．中心对称图形（共2小题）
25．（2023 黄石）下列图案中，（　　）是中心对称图形．
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意；
B、图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形不是中心对称图形，不符合题意；
D、图形是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
26．（2023 宜昌）我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：选项A、B、C都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
二十一．简单几何体的三视图（共2小题）
27．（2023 鄂州）下列立体图形中，主视图是圆的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、主视图是长方形，故此选项不符合题意；
B、主视图是长方形，故此选项不符合题意；
C、主视图是三角形，故此选项不符合题意；
D、主视图是圆，故此选项符合题意；
故选：D．
28．（2023 湖北）下列几何体中，三视图都是圆的是（　　）
A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．球
【答案】D
【解答】解：A．长方体的三视图都是矩形，故本选项不合题意；
B．圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；
C．圆锥的主视图和左视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项不合题意；
D．球的主视图、左视图、俯视图分别为三个全等的圆，故本选项符合题意．
故选：D．
二十二．简单组合体的三视图（共4小题）
29．（2023 恩施州）用5个完全相同的小正方体组成如图所示的立体图形，它的左视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：该几何体的左视图为
．
故选：C．
30．（2023 武汉）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：从左面看，底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形．
故选：A．
31．（2023 随州）如图是一个放在水平桌面上的圆柱体，该几何体的三视图中完全相同的是（　　）
A．主视图和俯视图 B．左视图和俯视图
C．主视图和左视图 D．三个视图均相同
【答案】C
【解答】解：该几何体的三视图中完全相同的是主视图和左视图，均为矩形；俯视图是一个圆．
故选：C．
32．（2023 十堰）下列几何体中，三视图的三个视图完全相同的几何体是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A．长方体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是正方形，故不符合题意；
B．圆锥的三视图主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故不符合题意；
C．圆柱的三视图既有圆又有长方形，故不符合题意；
D．球的三视图都是圆，故符合题意；
故选：D．湖北省各地市2023-中考数学真题分类汇编-02填空题（基础题）知识点分类②
一．有理数的混合运算（共1小题）
1．（2023 随州）计算：（﹣2）2+（﹣2）×2＝　 　．
二．科学记数法—表示较大的数（共1小题）
2．（2023 襄阳）5月5日，记者从襄阳市文化和旅游局获悉，五一长假期间，我市41家A级景区全部开放，共接待游客约2270000人次．数据2270000用科学记数法表示为 　 　．
三．算术平方根（共1小题）
3．（2023 湖北）请写出一个正整数m的值使得是整数：m＝　 　．
四．规律型：数字的变化类（共1小题）
4．（2023 随州）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：
设有编号为1﹣100的100盏灯，分别对应着编号为1﹣100的100个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人，第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次，……，第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？
几位同学对该问题展开了讨论：
甲：应分析每个开关被按的次数找出规律；
乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和第3个人共按了2次，……
丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．
根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有 　 　盏．
五．规律型：图形的变化类（共1小题）
5．（2023 十堰）用火柴棍拼成如图图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，…，若按此规律拼下去，则第n个图案需要火柴棍的根数为 　 　．（用含n的式子表示）
六．因式分解的应用（共1小题）
6．（2023 十堰）若x+y＝3，xy＝2，则x2y+xy2的值是 　 　．
七．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
7．（2023 湖北）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（﹣1，﹣2）和点B（2，m），则△AOB的面积为 　 　．
八．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
8．（2023 襄阳）点A（1，y1），B（2，y2）都在反比例函数的图象上，则y1　 　y2．（填“＞”或“＜”）
九．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
9．（2023 荆州）如图，点A（2，2）在双曲线y＝（x＞0）上，将直线OA向上平移若干个单位长度交y轴于点B，交双曲线于点C．若BC＝2，则点C的坐标是 　 　．
一十．三角形内角和定理（共1小题）
10．（2023 十堰）一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB＝35°，则∠DFC＝　 　．
一十一．菱形的性质（共1小题）
11．（2023 十堰）如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的点，且BE＝BF＝CG＝AH，若菱形的面积等于24，BD＝8，则EF+GH＝　 　．
一十二．三角形的内切圆与内心（共1小题）
12．（2023 湖北）如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD＝　 　．
一十三．作图—基本作图（共1小题）
13．（2023 荆州）如图，∠AOB＝60°，点C在OB上，OC＝2，P为∠AOB内一点．根据图中尺规作图痕迹推断，点P到OA的距离为 　 　．
一十四．解直角三角形的应用（共1小题）
14．（2023 黄石）“神舟”十四号载人飞行任务是中国空间站建造阶段的首次载人飞行任务，也是空间站在轨建造以来情况最复杂、技术难度最高、航天员乘组工作量最大的一次载人飞行任务．如图，当“神舟”十四号运行到地球表面P点的正上方的F点处时，从点F能直接看到的地球表面最远的点记为Q点，已知PF＝km，∠FOQ＝20°，cos20°≈0.9，则圆心角∠POQ所对的弧长约为 　 　km（结果保留π）．
一十五．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
15．（2023 湖北）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面CD的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为45°，尚美楼顶部F的俯角为30°，已知博雅楼高度CE为15米，则尚美楼高度DF为 　 　米．（结果保留根号）
16．（2023 黄石）如图，某飞机于空中A处探测到某地面目标在点B处，此时飞行高度AC＝1200米，从飞机上看到点B的俯角为37°，飞机保持飞行高度不变，且与地面目标分别在两条平行直线上同向运动．当飞机飞行943米到达点D时，地面目标此时运动到点E处，从点E看到点D的仰角为47.4°，则地面目标运动的距离BE约为 　 　米．（参考数据：tan37°≈，tan47.4°≈）
一十六．用样本估计总体（共1小题）
17．（2023 荆州）某校为了解学生对A，B，C，D四类运动的参与情况，随机调查了本校80名学生，让他们从中选择参与最多的一类，得到对应的人数分别是30，20，18，12．若该校有800名学生，则估计有 　 　人参与A类运动最多．
一十七．条形统计图（共1小题）
18．（2023 宜昌）如图，条形图描述了某车间工人日加工零件数的情况．这些工人日加工零件数的中位数是 　 　．
一十八．中位数（共1小题）
19．（2023 湖北）眼睛是心灵的窗户，为保护学生视力，启航中学每学期给学生检查视力，下表是该校某班39名学生右眼视力的检查结果，这组视力数据中，中位数是 　 　．
视力 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0
人数 1 2 6 3 3 4 1 2 5 7 5
一十九．众数（共1小题）
20．（2023 鄂州）为了加强中学生“五项管理”，葛洪学校就“作业管理”、“睡眠管理”、“手机管理”、“读物管理”、“体质管理”五个方面对各班进行考核打分（各项满分均为100），九（1）班的五项得分依次为95，90，85，90，92，则这组数据的众数是 　 　．
湖北省各地市2023-中考数学真题分类汇编-02填空题（基础题）知识点分类②
参考答案与试题解析
一．有理数的混合运算（共1小题）
1．（2023 随州）计算：（﹣2）2+（﹣2）×2＝　0　．
【答案】0．
【解答】解：（﹣2）2+（﹣2）×2
＝4+（﹣4）
＝0．
故答案为：0．
二．科学记数法—表示较大的数（共1小题）
2．（2023 襄阳）5月5日，记者从襄阳市文化和旅游局获悉，五一长假期间，我市41家A级景区全部开放，共接待游客约2270000人次．数据2270000用科学记数法表示为 　2.27×106　．
【答案】2.27×106．
【解答】解：2270000用科学记数法表示为 2.27×106，
故答案为：2.27×106．
三．算术平方根（共1小题）
3．（2023 湖北）请写出一个正整数m的值使得是整数：m＝　2（答案不唯一）　．
【答案】2（答案不唯一）．
【解答】解：写出一个正整数m的值使得是整数：m＝2（答案不唯一）．
故答案为：2（答案不唯一）．
四．规律型：数字的变化类（共1小题）
4．（2023 随州）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：
设有编号为1﹣100的100盏灯，分别对应着编号为1﹣100的100个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人，第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次，……，第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？
几位同学对该问题展开了讨论：
甲：应分析每个开关被按的次数找出规律；
乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和第3个人共按了2次，……
丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．
根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有 　10　盏．
【答案】10．
【解答】解：∵1号开关被按了1次，2号开关被按了2次，3号开关被按了2次，4号开关被按了3次，5号开关被按了2次，6号开关被按了4次，7号开关被按了2次，8号开关被按了4次，9号开关被按了3次，…，
∴n号开关被按的次数等于n的约数的个数，
∴约数个数是奇数，则n一定是平方数．
∵100＝102，
∴100以内共有10个平方数，
∴最终状态为“亮”的灯共有10盏．
故答案为：10．
五．规律型：图形的变化类（共1小题）
5．（2023 十堰）用火柴棍拼成如图图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，…，若按此规律拼下去，则第n个图案需要火柴棍的根数为 　6n+6　．（用含n的式子表示）
【答案】6n+6．
【解答】解：∵第①个图案所需要的火柴棍的根数为：12＝3×4，
第②个图案所需要的火柴棍的根数为：18＝3×6，
第③个图案所需要的火柴棍的根数为：24＝3×8，
…，
∴第n个图案需要火柴棍的根数为：3（2n+2）＝6n+6．
故答案为：6n+6．
六．因式分解的应用（共1小题）
6．（2023 十堰）若x+y＝3，xy＝2，则x2y+xy2的值是 　6　．
【答案】6
【解答】解：∵x+y＝3，xy＝2，
∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝2×3＝6，
故答案为：6．
七．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
7．（2023 湖北）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（﹣1，﹣2）和点B（2，m），则△AOB的面积为 　　．
【答案】．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点A（﹣1，﹣2），
∴k＝（﹣1）×（﹣2）＝2，
∴反比例函数解析式为y＝，
∵反比例函数y＝的图象经过点B（2，m），
∴m＝＝1，
∴B（2，1），
设直线AB与x轴交于C，解析式为y＝kx+b，
则，
解答，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣1，
当y＝0时，x＝1，
∴C（1，0）
∴△AOB的面积＝×1×1+×1×2＝．
故答案为：．
八．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
8．（2023 襄阳）点A（1，y1），B（2，y2）都在反比例函数的图象上，则y1　＞　y2．（填“＞”或“＜”）
【答案】＞．
【解答】解：∵点A（1，y1），B（2，y2）在反比例函数的第一象限图象上，y随x的增大而减小，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
九．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
9．（2023 荆州）如图，点A（2，2）在双曲线y＝（x＞0）上，将直线OA向上平移若干个单位长度交y轴于点B，交双曲线于点C．若BC＝2，则点C的坐标是 　（，2）　．
【答案】（，2）．
【解答】解：∵点A（2，2）在双曲线y＝（x＞0）上，
∴2＝．
∴k＝4．
∴双曲线解析式为y＝．
如图，作AD⊥x轴，CH⊥x轴，作BG⊥CH，垂足分别为D、H、G．
∵A（2，2），
∴AD＝OD．
∴∠AOD＝45°．
∴∠AOB＝45°．
∵OA∥BC，
∴∠CBO＝180°﹣45°＝135°．
∴∠CBG＝135°﹣90°＝45°．
∴∠CBG＝∠BCG．
∵BC＝2，
∴BG＝CG＝．
∴C点的横坐标为．
又C在双曲线y＝上，
∴C（，2）．
故答案为：（，2）．
一十．三角形内角和定理（共1小题）
10．（2023 十堰）一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB＝35°，则∠DFC＝　100°　．
【答案】100°．
【解答】解：如图，
由题意得：∠BAC＝60°，∠C＝30°，∠D＝45°，
∵∠EAB＝35°，
∴∠CAD＝180°﹣∠EAB﹣∠BAC＝85°，
∴∠AGD＝180°﹣∠D﹣∠CAD＝50°，
∴∠CGF＝∠AGD＝50°，
∴∠DFC＝180°﹣∠C﹣∠CGF＝100°．
故答案为：100°．
一十一．菱形的性质（共1小题）
11．（2023 十堰）如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的点，且BE＝BF＝CG＝AH，若菱形的面积等于24，BD＝8，则EF+GH＝　6　．
【答案】6．
【解答】解：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，
∵菱形的面积等于24，BD＝8，
∴，
∴AC＝6，
∵BE＝BF，
∴∠BEF＝∠BFE＝180°﹣∠EBF，
∵BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝180°﹣∠ABC，
∴∠BEF＝∠BAC，
∴EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴，
∵BA＝DA，
∴，
同理可证△DHG∽△DAC，
∴，
∴，
即，
∴EF+GH＝AC＝6，
故答案为：6．
一十二．三角形的内切圆与内心（共1小题）
12．（2023 湖北）如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD＝　35°　．
【答案】35°．
【解答】解：连接OD，OE，OB，OB交ED于点G，
∵∠ACB＝70°，
∴∠CAB+∠CBA＝110°，
∵点O为△ABC的内切圆的圆心，
∴∠OAB+∠OBA＝55°，
∴∠AOB＝125°，
∵OE＝OD，BD＝BE，
∴OB垂直平分DE，
∴∠OGE＝90°，
∴∠AFD＝∠AOB﹣∠OGF＝125°﹣90°＝35°，
故答案为：35°．
一十三．作图—基本作图（共1小题）
13．（2023 荆州）如图，∠AOB＝60°，点C在OB上，OC＝2，P为∠AOB内一点．根据图中尺规作图痕迹推断，点P到OA的距离为 　1　．
【答案】1
【解答】解：由作图知PE垂直平分OC，OP平分∠AOB，
∴OE＝OC＝，∠PEO＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠POE＝∠AOP＝＝30°，
∴EP＝OE×tan30°＝，
∵PO平分∠AOB，
∴点P到OA的距离＝PE＝1．
故答案为：1．
一十四．解直角三角形的应用（共1小题）
14．（2023 黄石）“神舟”十四号载人飞行任务是中国空间站建造阶段的首次载人飞行任务，也是空间站在轨建造以来情况最复杂、技术难度最高、航天员乘组工作量最大的一次载人飞行任务．如图，当“神舟”十四号运行到地球表面P点的正上方的F点处时，从点F能直接看到的地球表面最远的点记为Q点，已知PF＝km，∠FOQ＝20°，cos20°≈0.9，则圆心角∠POQ所对的弧长约为 　π　km（结果保留π）．
【答案】π．
【解答】解：设OP＝OQ＝rkm．
由题意，FQ是⊙O的切线，
∴FQ⊥OQ，
∵cos∠FOQ＝，
∴0.9＝，
∴r＝6400，
∴的长＝＝π（km）．
故答案为：π．
一十五．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
15．（2023 湖北）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面CD的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为45°，尚美楼顶部F的俯角为30°，已知博雅楼高度CE为15米，则尚美楼高度DF为 　（30﹣）　米．（结果保留根号）
【答案】（30﹣）
【解答】解：如图，过点E作EM⊥过点B的水平线于M，过点F作FN⊥过点B的水平线于N，
由题意可知CM＝DN＝AB＝30米，
又∵CE＝15米，
∴EM＝15米，
在Rt△EBM中，∠EBM＝45°，
∴BM＝EM＝15米，
又∵A是CD的中点，
∴BN＝AD＝AC＝BM＝15米，
在Rt△BFN中，tan∠FBN＝，
∵∠FBN＝30°，BN＝15米，
∴，
∴FN＝米，
∴DF＝（30﹣）米．
故答案为：（30﹣）．
16．（2023 黄石）如图，某飞机于空中A处探测到某地面目标在点B处，此时飞行高度AC＝1200米，从飞机上看到点B的俯角为37°，飞机保持飞行高度不变，且与地面目标分别在两条平行直线上同向运动．当飞机飞行943米到达点D时，地面目标此时运动到点E处，从点E看到点D的仰角为47.4°，则地面目标运动的距离BE约为 　423　米．（参考数据：tan37°≈，tan47.4°≈）
【答案】423．
【解答】解：由题意得，∠C＝90°，∠ABC＝37°，AC＝1200米，
∴BC＝≈＝1600（米），
过D作DH⊥BC于H，
则四边形ACHD是矩形，
∴CH＝AD＝943米，DH＝AC＝1200米，
在Rt△DHE中，∠DHE＝90°，∠E＝47.4°，
∴＝1080（米），
∴BE＝CH+HE﹣BC＝943+1080﹣1600＝423（米），
答：地面目标运动的距离BE约为423米．
故答案为：423．
一十六．用样本估计总体（共1小题）
17．（2023 荆州）某校为了解学生对A，B，C，D四类运动的参与情况，随机调查了本校80名学生，让他们从中选择参与最多的一类，得到对应的人数分别是30，20，18，12．若该校有800名学生，则估计有 　300　人参与A类运动最多．
【答案】300．
【解答】解：800×＝300（人）．
故估计有300人参与A类运动最多．
故答案为：300．
一十七．条形统计图（共1小题）
18．（2023 宜昌）如图，条形图描述了某车间工人日加工零件数的情况．这些工人日加工零件数的中位数是 　6　．
【答案】6．
【解答】解：由题意得，样本容量为：4+5+8+9+6+4＝36，
把这36个数从小到大排列，第18个与第19个都是6，因而中位数是6．
故答案为：6．
一十八．中位数（共1小题）
19．（2023 湖北）眼睛是心灵的窗户，为保护学生视力，启航中学每学期给学生检查视力，下表是该校某班39名学生右眼视力的检查结果，这组视力数据中，中位数是 　4.6　．
视力 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0
人数 1 2 6 3 3 4 1 2 5 7 5
【答案】4.6．
【解答】解：将这组数据从小到大的顺序排列后，位于最中间的一个数是4.6，
所以中位数是4.6．
故答案为：4.6．
一十九．众数（共1小题）
20．（2023 鄂州）为了加强中学生“五项管理”，葛洪学校就“作业管理”、“睡眠管理”、“手机管理”、“读物管理”、“体质管理”五个方面对各班进行考核打分（各项满分均为100），九（1）班的五项得分依次为95，90，85，90，92，则这组数据的众数是 　90　．
【答案】90．
【解答】解：在数据95，90，85，90，92中，90出现了2次，出现的次数最多，
则这组数据的众数为90．
故答案为：90．湖北省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类②
一．一次函数综合题（共1小题）
1．（2023 鄂州）如图1，在平面直角坐标系中，直线l⊥y轴，交y轴的正半轴于点A，且OA＝2，点B是y轴右侧直线l上的一动点，连接OB．
（1）请直接写出点A的坐标；
（2）如图2，若动点B满足∠ABO＝30°，点C为AB的中点，D点为线段OB上一动点，连接CD．在平面内，将△BCD沿CD翻折，点B的对应点为点P，CP与OB相交于点Q，当CP⊥AB 时，求线段DQ的长；
（3）如图3，若动点B满足＝2，EF为△OAB的中位线，将△BEF绕点B在平面内逆时针旋转，当点O、E、F三点共线时，求直线EB与x轴交点的坐标；
（4）如图4，OC平分∠AOB交AB于点C，AD⊥OB于点D，交OC于点E，AF为△AEC的一条中线．设△ACF，△ODE，△OAC的周长分别为C1，C2，C3．试探究：在B点的运动过程中，当＝时，请直接写出点B的坐标．
二．二次函数综合题（共5小题）
2．（2023 随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0）和C（0，2），连接BC，点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N．
（1）直接写出抛物线和直线BC的解析式；
（2）如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；
（3）当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2023 十堰）已知抛物线y＝ax2+bx+8过点B（4，8）和点C（8，4），与y轴交于点A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接AB，BC，点D在线段AB上（与点A，B不重合），点F是OA的中点，连接FD，过点D作DE⊥FD交BC于点E，连接EF，当△DEF面积是△ADF面积的3倍时，求点D的坐标；
（3）如图2，点P是抛物线上对称轴右侧的点，H（m，0）是x轴正半轴上的动点，若线段OB上存在点G（与点O，B不重合），使得∠GBP＝∠HGP＝∠BOH，求m的取值范围．
4．（2023 鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点F（0，）的距离PF，始终等于它到定直线l：y＝﹣的距离PN（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF＝．例如，抛物线y＝2x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣，其中PF＝PN，FH＝2OF＝．
【基础训练】
（1）请分别直接写出抛物线y＝x2的焦点坐标和准线l的方程：　 　，　 　；
【技能训练】
（2）如图2，已知抛物线y＝x2上一点P（x0，y0）（x0＞0）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；
【能力提升】
（3）如图3，已知抛物线y＝x2的焦点为F，准线方程为l．直线m：y＝x﹣3交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为d1，到直线m的距离为d2，请直接写出d1+d2的最小值；
【拓展延伸】
该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线y＝ax2（a＞0）平移至y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）．抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）内有一定点F（h，k+），直线l过点M（h，k﹣）且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离PP1始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线y＝2（x﹣1）2+3上的动点P到点F（1，）的距离等于点P到直线l：y＝的距离．
请阅读上面的材料，探究下题：
（4）如图4，点D（﹣1，）是第二象限内一定点，点P是抛物线y＝x2﹣1上一动点．当PO+PD取最小值时，请求出△POD的面积．
5．（2023 湖北）已知抛物线与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2）．点P为第一象限抛物线上的点，连接CA，CB，PB，PC．
（1）直接写出结果；b＝　 　，c＝　 　，点A的坐标为 　 　，tan∠ABC＝　 　；
（2）如图1，当∠PCB＝2∠OCA时，求点P的坐标；
（3）如图2，点D在y轴负半轴上，OD＝OB，点Q为抛物线上一点，∠QBD＝90°．点E，F分别为△BDQ的边DQ，DB上的动点，且QE＝DF，记BE+QF的最小值为m．
①求m的值；
②设△PCB的面积为S，若，请直接写出k的取值范围．
6．（2023 宜昌）如图，已知A（0，2），B（2，0）．点E位于第二象限且在直线y＝﹣2x上，∠EOD＝90°，OD＝OE，连接AB，DE，AE，DB．
（1）直接判断△AOB的形状：△AOB是 　 　三角形；
（2）求证：△AOE≌△BOD；
（3）直线EA交x轴于点C（t，0），t＞2．将经过B，C两点的抛物线y1＝ax2+bx﹣4向左平移2个单位，得到抛物线y2．
①若直线EA与抛物线y1有唯一交点，求t的值；
②若抛物线y2的顶点P在直线EA上，求t的值；
③将抛物线y2再向下平移个单位，得到抛物线y3．若点D在抛物线y3上，求点D的坐标．
三．四边形综合题（共1小题）
7．（2023 十堰）过正方形ABCD的顶点D作直线DP，点C关于直线DP的对称点为点E，连接AE，直线AE交直线DP于点F．
（1）如图1，若∠CDP＝25°，则∠DAF＝　 　；
（2）如图1，请探究线段CD，EF，AF之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）在DP绕点D转动的过程中，设AF＝a，EF＝b，请直接用含a，b的式子表示DF的长．
四．圆的综合题（共2小题）
8．（2023 宜昌）如图1，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于点C，AB＝4，PB＝3．
（1）填空：∠PBA的度数是 　 　，PA的长为 　 　；
（2）求△ABC的面积；
（3）如图2，CD⊥AB，垂足为D．E是上一点，AE＝5EC．延长AE，与DC，BP的延长线分别交于点F，G，求的值．
9．（2023 黄石）如图，AB为⊙O的直径，DA和⊙O相交于点F，AC平分∠DAB，点C在⊙O上，且CD⊥DA，AC交BF于点P．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：AC PC＝BC2；
（3）已知BC2＝3FP DC，求的值．
五．几何变换综合题（共1小题）
10．（2023 湖北）【问题呈现】
△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CB＝mCA，CE＝mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系．
【问题探究】
（1）如图1，当m＝1时，直接写出AD，BE的位置关系：　 　．
（2）如图2，当m≠1时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【拓展应用】
（3）当m＝，AB＝4，DE＝4时，将△CDE绕点C旋转，使A，D，E三点恰好在同一直线上，求BE的长．
六．相似形综合题（共2小题）
11．（2023 武汉）问题提出 如图（1），E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α （α≥90°），AF交CD于点G，探究∠GCF与α的数量关系．
问题探究 （1）先将问题特殊化，如图（2），当α＝90°时，直接写出∠GCF的大小；
（2）再探究一般情形，如图（1），求∠GCF与α的数量关系．
问题拓展 将图（1）特殊化，如图（3），当α＝120°时，若，求的值．
12．（2023 宜昌）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，AB上的点，连接CE，EF，CF．
（1）若正方形ABCD的边长为2，E是AD的中点．
①如图1，当∠FEC＝90°时，求证：△AEF∽△DCE；
②如图2，当tan∠FCE＝时，求AF的长；
（2）如图3，延长CF，DA交于点G，当GE＝DE，sin∠FCE＝时，求证：AE＝AF．
湖北省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类②
参考答案与试题解析
一．一次函数综合题（共1小题）
1．（2023 鄂州）如图1，在平面直角坐标系中，直线l⊥y轴，交y轴的正半轴于点A，且OA＝2，点B是y轴右侧直线l上的一动点，连接OB．
（1）请直接写出点A的坐标；
（2）如图2，若动点B满足∠ABO＝30°，点C为AB的中点，D点为线段OB上一动点，连接CD．在平面内，将△BCD沿CD翻折，点B的对应点为点P，CP与OB相交于点Q，当CP⊥AB 时，求线段DQ的长；
（3）如图3，若动点B满足＝2，EF为△OAB的中位线，将△BEF绕点B在平面内逆时针旋转，当点O、E、F三点共线时，求直线EB与x轴交点的坐标；
（4）如图4，OC平分∠AOB交AB于点C，AD⊥OB于点D，交OC于点E，AF为△AEC的一条中线．设△ACF，△ODE，△OAC的周长分别为C1，C2，C3．试探究：在B点的运动过程中，当＝时，请直接写出点B的坐标．
【答案】（1）（0，2）；
（2）﹣1；
（3）（4，0）或（，0）；
（4）（，2）．
【解答】解：（1）∵OA＝2，点A位于y轴的正半轴，
∴点A坐标为（0，2），
（2）∵∠ABO＝30°，直线∥y轴，OA＝2，
∴OB＝＝4，AB＝OB cos∠ABO＝4 cos30°＝2，
∵点C为AB的中点，
∴BC＝，
又∵CP⊥AB，
∴QB＝＝2，
由折叠可知：∠PCD＝∠BCD，
∠PCD＝∠BCD＝45°，
如图2，过点D作DH⊥AB，
∴CH＝＝＝DH，BH＝＝DH，
∴BC＝BH+CH＝DH+DH，即DH+DH＝，
∴DH＝，
∴DB＝＝＝3﹣，
∴DQ＝BQ﹣BD＝2﹣（3﹣）＝﹣1，
（3）∵＝2，OA＝2，
∴AB＝4，
又∵EF为△OAB的中位线，
∴BE＝2，EF＝1，EF∥OA，
∴∠BEF＝90°，
I．如图，将△BEF绕点B在平面内逆时针旋转90°，到如图所示位置时
∵BE⊥l，直线l⊥y轴，
∴BE∥OA，
又∵BE＝OA＝2，
∴四边形OABE是矩形，
∴点E、F恰好落在x轴，OE＝AB＝4，
此时直线EB与x轴交点的坐标为（4，0），
II．如图3，将△BEF绕点B在平面内逆时针旋转到点O、E、F三点共线时，如图所示位置时
延长EB交x轴于点K，
∵∠BEF＝∠OAB＝90°，BE＝OA＝2，OB＝OB，
∴Rt△OAB≌Rt△BEO（HL），
∴∠ABO＝∠BOE，OE＝AB＝4，
∴OR＝RB，AR＝AB﹣RB＝4﹣RB，
在Rt△OAR中，OA2+AR2＝OR2，即：22+（4﹣RB）2＝RB2．
解得：RB＝，
∴AR＝，
∴cos∠ARO＝，
∵直线l⊥y轴，
直线l∥x轴，
∴∠ARO＝∠EOK，
在Rt△OEK中，OK＝，
∴OK＝＝＝，
∴此时直线EB与x轴交点的坐标为（，0），
综上所述：将△BEF绕点B在平面内逆时针旋转，当点O、E、F三点共线时，直线EB与轴交点的坐标为（4，0）或（，0）；
（4）∵直线l⊥y轴，AD⊥OB于点D，
∴∠AOC+∠ACO＝90°，∠EOD+∠OED＝90°，
又∵OC平分∠AOB交AB于点C，即：∠AOC＝∠DOE，
∴∠ACO＝∠OED．
又∵∠AEC＝∠OED，
∴∠AEC＝∠ACO．
∴AE＝AC，
∵AF为△AEC的一条中线．
∴AF⊥EC，即：∠AFC＝90°，
∵∠ACO＝∠OED＝∠ACO，∠OAC＝∠ODE＝∠AFC＝90°，
∴△OAC∽△ODE∽△AFC，
∴设△ACF，△ODE，△OAC的周长分别为C1，C2，C3．
∴，，
∵，
∴，
∴2AF+OD＝OA＝，
∴2AF＝﹣OD，
延长AF交OB于H点，如图4，
∵∠ACO＝∠OED，AFO＝∠HFO＝90°，OF＝OF，
∴△AFO≌△HFO（ASA），
∴OH＝OA＝2，AF＝FH，
∴AH＝2AF＝﹣OD，DH＝OH﹣OD＝2﹣OD，
∵AD2＝OA2﹣OD2，AD2＝AH2﹣DH2，
∴22﹣OD2＝（﹣OD）2﹣（2﹣OD）2，
解得：OD1＝﹣（不合题意，舍去），OD2＝，
∴AD＝＝，
∴tan∠AOD＝＝，
∴AB＝OA tan∠AOB＝，
所以点B坐标为（，2）．
二．二次函数综合题（共5小题）
2．（2023 随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0）和C（0，2），连接BC，点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N．
（1）直接写出抛物线和直线BC的解析式；
（2）如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；
（3）当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式：y＝﹣x2+x+2，直线BC：y＝﹣x+2．
（2）m＝1或m＝或m＝2．
（3）P（），Q（0， ）或P（），Q（0.）或P（），Q（0，1）或P（1+），Q（0，﹣2）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0），
∴抛物线的表达式为y＝a（x+1）（x﹣2），
将点C（0，2）代入得，2＝﹣2a，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的表达式为y＝﹣（x+1）（x﹣2），即y＝﹣x2+x+2．
设直线BC的表达式为y＝kx+t，
将B（2，0），C（0，2）代入得，
，
解得，
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+2．
（2）∵点M在直线BC上，且P（m，n），
∴点M的坐标为（m，﹣m+2），
∴OC＝2
∴CM2＝（m﹣0）2+（﹣m+2﹣2）2＝2m2，OM2＝m2+（﹣m+2）2＝2m2﹣4m+4，
当△OCM为等腰三角形时，
①若CM＝OM，则CM2＝OM2，
即2m2＝2m2﹣4m+4，
解得m＝1；
②若CM＝OC，则CM2＝OC2，
即2m2＝4，
解得或m＝﹣（舍去）；
③若OM＝OC，则OM2＝OC2，
即2m2﹣4m+4＝4，
解得m＝2或m＝0（舍去）．
综上，m＝1或m＝或m＝2．
（3）∵点P与点C相对应，
∴△POQ∽△CBN或△POQ∽△CNB，
①若点P在点B的左侧，
则，
当△POQ∽△CBN，即∠POQ＝45°时，
直线OP的表达式为y＝x，
∴﹣m2+m+2＝m，
解得或m＝﹣（舍去），
∴，即OP＝2，
∴，即，
解得OQ＝，
∴，
当△POQ∽△CNB，即∠PQO＝45°时，
，
∴，即，
解得m＝1±（舍去）．
当△POQ∽△CNB，即∠PQO＝45°时，
PQ＝，OQ＝m﹣（﹣m2+m+2）＝m2﹣2，
∴，即，
解得m＝，（负值舍去），
∴P（），Q（0.）．
②若点P在点B的右侧，
则∠CBN＝135°，BN＝m﹣2，
当△POQ∽△CBN，即∠POQ＝135°时，
直线OP的表达式为y＝﹣x，
∴﹣m2+m+2＝﹣m，
解得m＝1+或m＝1﹣（舍去），
∴，
∴，即，
解得OQ＝1，
∴，
当△POQ∽△CNB，即∠PQO＝135°时，
PQ＝，OQ＝|﹣m2+m+2+m|＝m2﹣2m﹣2，
∴，即，
解得m＝1+或m＝1﹣（舍去），
∴，
综上，P（），Q（0， ）或P（），Q（0.）或P（），Q（0，1）或P（1+），Q（0，﹣2）．
3．（2023 十堰）已知抛物线y＝ax2+bx+8过点B（4，8）和点C（8，4），与y轴交于点A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接AB，BC，点D在线段AB上（与点A，B不重合），点F是OA的中点，连接FD，过点D作DE⊥FD交BC于点E，连接EF，当△DEF面积是△ADF面积的3倍时，求点D的坐标；
（3）如图2，点P是抛物线上对称轴右侧的点，H（m，0）是x轴正半轴上的动点，若线段OB上存在点G（与点O，B不重合），使得∠GBP＝∠HGP＝∠BOH，求m的取值范围．
【答案】（1）y＝﹣x2+x+8；
（2）D（6﹣2，8）；
（3）0＜m≤．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+8过点B（4，8）和点C（8，4），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+8；
（2）∵抛物线y＝﹣x2+x+8与y轴交于点A，
当x＝0时，y＝8，
∴A（0，8），则OA＝8，
∵B（4，8），
∴AB∥x轴，AB＝4，
∵点F是OA的中点，
∴F（0，4），
∴AB＝AF＝4，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∵B（4，8），C（8，4），
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+12，
设E（m，﹣m+12）（4＜m＜8），
如图1，过点E作EG⊥AB交AB的延长线于G，
则∠G＝90°，
∴G（m，8），
∴GE＝8﹣（﹣m+12）＝m﹣4，BG＝m﹣4，
∴BG＝GE，
∴△BGE是等腰直角三角形，
设D（t，8），则AD＝t，DG＝m﹣t，
∵DE⊥FD，
∴∠FDE＝90°，
∵∠FAD＝∠G＝∠FDE＝90°，
∴∠AFD＝90°﹣∠ADF＝∠GDE，
∴△AFD∽△GDE，
∴＝，即＝，
∴t（m﹣t）＝4（m﹣4），
即（t﹣4）m＝（t﹣4）（t+4），
∵m＞4，
∴m＝t+4，
即m﹣t＝4，
∴DG＝AF，
∴△AFD≌△GDE（ASA），
∴DF＝DE，
又∵DE⊥DF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴S△DEF＝DF2，
∵S△ADF＝AD AF，
当△DEF面积是△ADF面积的3倍时，
即DF2＝3×AD AF，
∴DF2＝12AD，
在Rt△ADF中，DF2＝AD2+AF2＝t2+42，
∴AD2+AF2＝12AD，
∴t2+42＝12t，
解得：t＝6﹣2或t＝2+6（舍去），
∴D（6﹣2，8）；
（3）∵∠GBP＝∠HGP＝∠BOH，
又∠OGH+∠HGP＝∠GBP+∠BPG，
∴∠OGH＝∠BPG，
∴△OGH∽△BPG，
∴＝，
设BP交x轴于点S，过点B作BT⊥x轴于点T，如图2，
∵∠GBP＝∠BOH，
∴SB＝SO，
∵OT＝4，BT＝8，
∴OB＝＝4，
设BS＝k，则TS＝k﹣4，
在Rt△TBS中，SB2＝ST2+BT2，
∴k2＝（k﹣4）2+82，
解得：k＝10，
∴S（10，0），
设直线BS的解析式为y＝ex+f，则，
解得：，
∴直线BS的解析式为y＝﹣x+，
联立，
解得：或，
∴P（，﹣），
∴PB＝＝，
∵＝，
设OG＝n，则BG＝OB﹣OG＝4﹣n，
∴＝，
整理得：m＝﹣＝﹣n2+n＝﹣（n﹣2）2+，
∵点G在线段OB上（与点O，B不重合），
∴0＜OG＜4，
∴0＜n＜4，
∴当n＝2时，m取得的最大值为，
∴0＜m≤．
4．（2023 鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点F（0，）的距离PF，始终等于它到定直线l：y＝﹣的距离PN（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF＝．例如，抛物线y＝2x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣，其中PF＝PN，FH＝2OF＝．
【基础训练】
（1）请分别直接写出抛物线y＝x2的焦点坐标和准线l的方程：　（0，1）　，　y＝﹣1　；
【技能训练】
（2）如图2，已知抛物线y＝x2上一点P（x0，y0）（x0＞0）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；
【能力提升】
（3）如图3，已知抛物线y＝x2的焦点为F，准线方程为l．直线m：y＝x﹣3交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为d1，到直线m的距离为d2，请直接写出d1+d2的最小值；
【拓展延伸】
该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线y＝ax2（a＞0）平移至y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）．抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）内有一定点F（h，k+），直线l过点M（h，k﹣）且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离PP1始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线y＝2（x﹣1）2+3上的动点P到点F（1，）的距离等于点P到直线l：y＝的距离．
请阅读上面的材料，探究下题：
（4）如图4，点D（﹣1，）是第二象限内一定点，点P是抛物线y＝x2﹣1上一动点．当PO+PD取最小值时，请求出△POD的面积．
【答案】（1）（0，1），y＝﹣1；
（2）（，）；
（3）﹣1；
（4）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2中a＝，
∴＝1，﹣＝﹣1，
∴抛物线y＝x2的焦点坐标为F（0，1），准线l的方程为y＝﹣1，
故答案为：（0，1），y＝﹣1；
（2）由（1）知抛物线y＝x2的焦点F的坐标为（0，1），
∵点P（x0，y0）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，
∴＝3y0，整理得：＝8+2y0﹣1，
又∵y0＝，
∴4＝8+2y0﹣1，
解得：y0＝或y0＝﹣（舍去），
∴x0＝，
∴点P的坐标为（，）；
（3）过点P作PE⊥直线m交于点E，过点P作PG⊥准线l交于点G，结合题意和（1）中结论可知PG＝PF＝d1+1，PE＝d2，如图：
若使得d1+d2取最小值，即PF+PE﹣1的值最小，故当F，P，E三点共线时，PF+PE﹣1＝EF﹣1，即此刻d1+d2的值最小；
∵直线PE与直线m垂直，故设直线PE的解析式为y＝﹣2x+b，
将F（0，1）代入解得：b＝1，
∴直线PE的解析式为y＝﹣2x+1，
∵点E是直线PE和直线m的交点，
令﹣2x+1＝x﹣3，解得：x＝，
故点E的坐标为（，﹣），
∴d1+d2＝﹣1．
即d1+d2的最小值为﹣1．
（4）∵抛物线y＝x2﹣1中a＝，
∴＝1，﹣＝﹣1，
∴抛物线y＝x2﹣1的焦点坐标为（0，0），准线l的方程为y＝﹣2，
过点P作PG⊥准线l交于点G，结合题意和（1）中结论可知PG＝PF，则PO+PD＝PG+PD，如图：
若使得PO+PD取最小值，即PG+PD的值最小，故当D，P，G三点共线时，PO+PD＝PG+PD＝DG，即此刻PO+PD的值最小；如图：
∵点D的坐标为（﹣1，），DG⊥准线l，
∴点P的横坐标为﹣1，代入y＝x2﹣1解得y＝﹣，
即P（﹣1，﹣），OP＝+＝，
则△OPD的面积为××1＝．
5．（2023 湖北）已知抛物线与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2）．点P为第一象限抛物线上的点，连接CA，CB，PB，PC．
（1）直接写出结果；b＝　　，c＝　2　，点A的坐标为 　（﹣1，0）　，tan∠ABC＝　　；
（2）如图1，当∠PCB＝2∠OCA时，求点P的坐标；
（3）如图2，点D在y轴负半轴上，OD＝OB，点Q为抛物线上一点，∠QBD＝90°．点E，F分别为△BDQ的边DQ，DB上的动点，且QE＝DF，记BE+QF的最小值为m．
①求m的值；
②设△PCB的面积为S，若，请直接写出k的取值范围．
【答案】（1），2，（﹣1，0），；
（2）（2，3）；
（3）①；②13≤k＜17．
【解答】解：（1）∵抛物线 经过点B（4，0），C（0，2），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：，
∵抛物线 与x轴交于A、B（4，0）两点，
∴y＝0时，，解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴A（﹣1，0），
∴OB＝4，OC＝2，
在 Rt△COB 中，．
故答案为：，2，（﹣1，0），；
（2）过点C作CD∥x轴，交BP于点D，过点P作 PE∥x 轴，交y轴于点E，
∵AO＝1，OC＝2，OB＝4，
∴，
由（1）可得，，即 tan∠OCA＝tan∠ABC，
∴∠OCA＝∠ABC，
∵∠PCB＝2∠OCA，
∴∠PCB＝2∠ABC，
∵CD∥x轴，EP∥x 轴，
∴∠ACB＝∠DCB，∠EPC＝∠PCD，
∴∠EPC＝ABC，
又∵∠PEC＝∠BOC＝90°
∴△PEC∽△BOC，
∴，
设点P坐标为 ，则 EP＝t，，
∴，
解得：t＝0 （舍），t＝2，
∴点P坐标为（2，3）；
（3）①如图2，作DH⊥DQ，且使 DH＝BQ，连接FH，
∵∠BQD+∠BDQ＝90°，∠HDF+∠BDQ＝90°，
∴∠BQD＝∠HDF，
∵QE＝DF，DH＝BQ，
∴△BQE≌△HDF（SAS），
∴BE＝FH，
∴BE+QF＝FH+QF≥QH，
∴Q，F，H共线时，BE+QF的值最小．作QG⊥AB于点G，
∵OB＝OD，∠BOD＝90°，
∴∠OBD＝45°，
∵∠QBD＝90°，
∴∠QBG＝45°，
∴QG＝BG．设G（n，0），则 ，
∴，
解得 n＝1 或 n＝4 （舍去），
∴Q（1，3），
∴QG＝BG＝4﹣1＝3，
∴，
∴m＝QH＝＝2；
②如图3，作PT∥y轴，交BC于点T，
∵BC解析式为 ，
设，，
则 ，
∵点P在第一象限，
∴0＜S≤4，
∴，
∴0＜17﹣k≤4，
∴13≤k＜17．
6．（2023 宜昌）如图，已知A（0，2），B（2，0）．点E位于第二象限且在直线y＝﹣2x上，∠EOD＝90°，OD＝OE，连接AB，DE，AE，DB．
（1）直接判断△AOB的形状：△AOB是 　等腰直角　三角形；
（2）求证：△AOE≌△BOD；
（3）直线EA交x轴于点C（t，0），t＞2．将经过B，C两点的抛物线y1＝ax2+bx﹣4向左平移2个单位，得到抛物线y2．
①若直线EA与抛物线y1有唯一交点，求t的值；
②若抛物线y2的顶点P在直线EA上，求t的值；
③将抛物线y2再向下平移个单位，得到抛物线y3．若点D在抛物线y3上，求点D的坐标．
【答案】（1）等腰直角三角形；
（2）见解析；
（3）①t＝3；②t＝6；③D（，）．
【解答】（1）解：∵A（0，2），B（2，0），
∴OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角；
（2）证明：∵∠EOD＝90°，∠AOB＝90°，
∴∠AOB﹣∠AOD＝∠DOE﹣∠AOD，
∴∠AOE＝∠BOD，
∵AO＝OB，OD＝OE，
∴△AOE≌△BOD（SAS）；
（3）解：①设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∵A（0，2），C（t，0），
∴，
∴
∴yAC＝﹣x+2，
将C（t，0），B（2，0）代入抛物线，
得，，解得，
∴，
∵直线 与抛物线有唯一交点，
∴联立解析式组成方程组解得 x2﹣（t+3）x+3t＝0，
∴Δ＝（t+3）2﹣4×3t＝（t﹣3）2＝0，
∴t＝3；
②∵抛物线 向左平移2个单位得到 y2，
∴抛物线，
∴抛物线y2的顶点 ，
将顶点代入t2﹣6t＝0，解得t1＝0，t2＝6，
∵t＞2，
∴t＝6；
③过点E作EM⊥x轴，垂足为M，过点D作DN⊥x轴，垂足为N．
∴∠EMO＝∠OND＝90°，
∵∠DOE＝90°，
∴∠EOM+∠MEO＝∠EOM+∠NOD＝90°，
∴∠MEO＝∠NOD，
∵OD＝OE，
∴△ODN≌△EOM（AAS），
∴ON＝EM，DN＝OM，
∵OE的解析式为y＝﹣2x，
∴设EM＝2OM＝2m，
∴DN＝OM＝m，
∵EM⊥x轴，
∴OA∥EM，
∴△CAO∽△CEM，
∴OC：CM＝OA：EM，
∴，
∴，
∴，，
∴D（，），
∵抛物线y2再向下平移 个单位，得到抛物线y3，
∴抛物线，
∴D（，），代入抛物线，
∴3t2﹣19t+6＝0 解得t1＝，t2＝6，
由t＞2，得t＝6，
∴，
∴D（，）．
三．四边形综合题（共1小题）
7．（2023 十堰）过正方形ABCD的顶点D作直线DP，点C关于直线DP的对称点为点E，连接AE，直线AE交直线DP于点F．
（1）如图1，若∠CDP＝25°，则∠DAF＝　20°　；
（2）如图1，请探究线段CD，EF，AF之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）在DP绕点D转动的过程中，设AF＝a，EF＝b，请直接用含a，b的式子表示DF的长．
【答案】（1）20°；
（2）；
（3）或 或 ．
【解答】解：（1）如图，连接CE，DE，
∵点C关于直线DP的对称点为点E，
∴CD，ED关于DP对称，∠CDP＝∠EDP＝25°，CD＝ED，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，
∴AD＝ED，
∴．
故答案为：20°；
（2）结论：．
理由：如图，连接DE，CE，AC，CF．
由轴对称知，CF＝EF，CD＝DE＝AD，∠DEF＝∠DCF，
而∠DEF＝∠DAF，
∴∠DAF＝∠DCF．
∵∠FAC+∠FCA＝∠FAC+∠DAF+∠DCA＝90°，
∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝90°，
在Rt△ACF中，AC2＝AF2+CF2＝AF2+EF2，
在Rt△ACD中，AD2+CD2＝AC2，
2CD2＝AF2+EF2，即；
（3）∵∠AFC＝90°，CF＝EF＝b，
∴，
∵，
∴．
如图，当点F在D，H之间时，，
如图，当点D在F，H之间时，，
如图，当点H在F，D之间时，．
四．圆的综合题（共2小题）
8．（2023 宜昌）如图1，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于点C，AB＝4，PB＝3．
（1）填空：∠PBA的度数是 　90°　，PA的长为 　5　；
（2）求△ABC的面积；
（3）如图2，CD⊥AB，垂足为D．E是上一点，AE＝5EC．延长AE，与DC，BP的延长线分别交于点F，G，求的值．
【答案】（1）90°，5；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，
∴∠PBA的度数为90°，
∵AB＝4，PB＝3，
∴PA＝＝＝5，
故答案为：90°，5；
（2）∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵S△ABP＝×AP BC＝AB BP，
∴BC＝，
∴AC＝＝＝，
∴S△ABC＝×AC BC＝××＝；
（3）∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°＝∠ACB，
∴∠ACD+∠BCD＝90°＝∠ABC+∠BCD，
∴∠ACD＝∠ABC，
∵四边形ABCE是圆的内接四边形，
∴∠ABC+∠AEC＝180°，
∵∠ACD+∠ACF＝180°，
∴∠AEC＝∠ACF，
又∵∠EAC＝∠FAC，
∴△EAC∽△CAF，
∴，
∵AE＝5EC，AC＝，
∴CF＝，
∵∠ADC＝90°＝∠ACB，∠BAC＝∠DAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴＝，
∴AD＝＝，
∴CD＝，DB＝，
∴DF＝CD+CF＝＝AD，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴AF＝，
∴＝，
∴AE＝2，
∴EF＝AF﹣AE＝，
∵DF∥BG，
∴，
∴＝，
∴FG＝，
∴＝＝．
9．（2023 黄石）如图，AB为⊙O的直径，DA和⊙O相交于点F，AC平分∠DAB，点C在⊙O上，且CD⊥DA，AC交BF于点P．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：AC PC＝BC2；
（3）已知BC2＝3FP DC，求的值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）．
【解答】（1）证明：如图1，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴DA∥OC，
∵CD⊥DA，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC，
∵∠DAC＝∠PBC，
∴∠BAC＝∠PBC，
又∵∠ACB＝∠BCP，
∴△ACB∽△BCP，
∴＝，
∴AC PC＝BC2；
（3）解：如图2，过P作PE⊥AB于点E，
由（2）可知，AC PC＝BC2，
∵BC2＝3FP DC，
∴AC PC＝3FP DC，
∵CD⊥DA，
∴∠ADC＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCP＝90°，
∴∠ADC＝∠BCP，
∵∠DAC＝∠CBP，
∴△ACD∽△BPC，
∴＝，
∴AC PC＝BP DC，
∴BP DC＝3FP DC，
∴BP＝3FP，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴PF⊥AD，
∵AC平分∠DAB，PE⊥AB，
∴PF＝PE，
∵＝＝，
∴＝＝＝．
五．几何变换综合题（共1小题）
10．（2023 湖北）【问题呈现】
△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CB＝mCA，CE＝mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系．
【问题探究】
（1）如图1，当m＝1时，直接写出AD，BE的位置关系：　AD⊥BE　．
（2）如图2，当m≠1时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【拓展应用】
（3）当m＝，AB＝4，DE＝4时，将△CDE绕点C旋转，使A，D，E三点恰好在同一直线上，求BE的长．
【答案】（1）BE⊥AD；
（2）成立，理由见解析过程；
（3）BE＝6或4．
【解答】解：（1）如图1，延长BE交AC于点H，交AD于N，
当m＝1时，DC＝CE，CB＝CA，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠DAC＝∠CBE，
∵∠CAB+∠ABE+∠CBE＝90°，
∴∠CAB+∠ABE+∠DAC＝90°，
∴∠ANB＝90°，
∴AD⊥BE，
故答案为：AD⊥BE；
（2）（1）中的结论成立，理由如下：
如图2，延长BE交AC于点H，交AD于N，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
又∵，
∴△DCA∽△ECB，
∴∠DAC＝∠CBE，
∵∠CAB+∠ABE+∠CBE＝90°，
∴∠CAB+∠ABE+∠DAC＝90°，
∴∠ANB＝90°，
∴AD⊥BE，
（3）如图3，当点E在线段AD上时，连接BE，
∵△DCA∽△ECB，
∴＝m＝，
∴BE＝AD＝（4+AE），
∵AD⊥BE，
∴AB2＝AE2+BE2，
∴112＝AE2+3（4+AE）2，
∴AE＝2或AE＝﹣8（舍去），
∴BE＝6，
当点D在线段AE上时，连接BE，
∵△DCA∽△ECB，
∴＝m＝，
∴BE＝AD＝（AE﹣4），
∵AD⊥BE，
∴AB2＝AE2+BE2，
∴112＝AE2+3（AE﹣4）2，
∴AE＝8或AE＝﹣2（舍去），
∴BE＝4，
综上所述：BE＝6或4．
六．相似形综合题（共2小题）
11．（2023 武汉）问题提出 如图（1），E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α （α≥90°），AF交CD于点G，探究∠GCF与α的数量关系．
问题探究 （1）先将问题特殊化，如图（2），当α＝90°时，直接写出∠GCF的大小；
（2）再探究一般情形，如图（1），求∠GCF与α的数量关系．
问题拓展 将图（1）特殊化，如图（3），当α＝120°时，若，求的值．
【答案】问题探究（1）45°；
（2）∠GCF＝α﹣90°；
问题拓展：．
【解答】解：问题探究（1）如图（2）中，在BA上截取BJ，使得BJ＝BE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠BCD＝90°，BA＝BC，
∵BJ＝BE，
∴AJ＝EC，
∵∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠BAE+∠B，∠AEF＝∠B＝90°，
∴∠CEF＝∠EAJ，
∵EA＝EF，
∴△EAJ≌△FEC（SAS），
∴∠AJE＝∠ECF，
∵∠BJE＝45°，
∴∠AJE＝180°﹣45°＝135°，
∴∠ECF＝135°，
∴∠GCF＝∠ECF﹣∠ECD＝135°﹣90°＝45°；
（2）结论：∠GCF＝α﹣90°；
理由：在AB上截取AN，使AN＝EC，连接NE．
∵∠ABC+∠BAE+∠AEB＝∠AEF+∠FEC+∠AEB＝180°，
∠ABC＝∠AEF，
∴∠EAN＝∠FEC．
∵AE＝EF，
∴△ANE≌△ECF（SAS）．
∴∠ANE＝∠ECF．
∵AB＝BC，
∴BN＝BE．
∵∠EBN＝α，
∴，
∴∠GCF＝∠ECF﹣∠BCD＝∠ANE﹣∠BCD＝；
问题拓展：过点A作CD的垂线交CD的延长线于点P，设菱形的边长为3m．
，
∴DG＝m，CG＝2m．
在Rt△ADP中，∠ADC＝∠ABC＝120°，
∴∠ADP＝60°，
∴m，，
∴α＝120°，
由（2）知，，
∵∠AGP＝∠FGC，
∴△APG∽△FCG．
∴，
∴＝，
∴，
由（2）知，，
∴．
∴．
12．（2023 宜昌）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，AB上的点，连接CE，EF，CF．
（1）若正方形ABCD的边长为2，E是AD的中点．
①如图1，当∠FEC＝90°时，求证：△AEF∽△DCE；
②如图2，当tan∠FCE＝时，求AF的长；
（2）如图3，延长CF，DA交于点G，当GE＝DE，sin∠FCE＝时，求证：AE＝AF．
【答案】（1）①证明见解析部分；
②；
（2）证明见解析部分．
【解答】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∵∠CEF＝90°，
∴∠AEF+∠CED＝90°，∠ECD+∠CED＝90°，
∴∠AEF＝∠ECD，
∴△AEF∽△DCE；
②解：如图2中，延长DA交CF的延长线于点G，过点G作GH⊥CE交CE的延长线于点H．
∵∠H＝∠D＝90°，∠GEH＝∠CED，
∴△GEH∽△CED，
∴＝，
∵CD＝2，AE＝ED＝1，
∴GH＝2HE，
设EH＝m，GH＝2m．
∵CE＝＝＝，
∴CH＝m+，
∵tan∠ECF＝＝，
∴＝，
∴m＝，
∴EH＝，GH＝，
∴EG＝＝＝，
∴AG＝EG﹣AE＝﹣1＝，DG＝EG+DE＝+1＝，
∵AF∥CD，
∴＝，
∴＝，
∴AF＝；
（3）证明：如图3中，过点G作GH⊥CE交CE的延长线于点H．
设AD＝CD＝a，GE＝DE＝t，EH＝x，GH＝y，CE＝n，
∵∠H＝∠D＝90°，∠GEH＝∠CED，
∴△GEH∽△CED，
∴＝＝
∴＝＝，
∴x＝，y＝，
在Rt△CGH中，sin∠ECF＝＝，
∴CG＝3GH，CH＝2GH，
∴＝，
∴2y＝x+n，
∴2×＝+n，
∴2at＝t2+n2，
在Rt△CDE中，n2＝t2+a2，
∴2at＝2t2+a2，
∴a＝t，
∵AF∥CD，
∴＝，
∴＝，
∴AF＝＝a﹣＝a﹣t，
∵AE＝a﹣t，
∴AE＝AF．湖北省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类①
一．二次函数综合题（共7小题）
1．（2023 襄阳）在平面直角坐标系中，直线l：y＝kx+b经过抛物线y＝x2+2mx+2m2﹣m（m≠0）的顶点．
（1）如图，当抛物线经过原点时，其顶点记为P．
①求抛物线的解析式并直接写出点P的坐标；
②t≤x≤t+1时，y的最小值为2，求t的值；
③当k＝2时．动点E在直线l下方的抛物线上，过点E作EF∥x轴交直线l于点F，令S＝EF，求S的最大值．
（2）当抛物线不经过原点时，其顶点记为Q．当直线l同时经过点Q和（1）中抛物线的顶点P时，设直线l与抛物线的另一个交点为B，与y轴的交点为A．若|QB﹣QA|≥1，直接写出k的取值范围．
2．（2023 黄石）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点A（﹣3，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，4）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知抛物线上有一点P（x0，y0），其中y0＜0，若∠CAO+∠ABP＝90°，求x0的值；
（3）若点D，E分别是线段AC，AB上的动点，且AE＝2CD，求CE+2BD的最小值．
3．（2023 恩施州）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点A，抛物线的对称轴与x轴交于点B．
（1）如图，若A（0，），抛物线的对称轴为x＝3．求抛物线的解析式，并直接写出y≥时x的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若P为y轴上的点，C为x轴上方抛物线上的点，当△PBC为等边三角形时，求点P，C的坐标；
（3）若抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点D（m，2），E（n，2），F（1，﹣1），且m＜n，求正整数m，n的值．
4．（2023 湖北）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣6（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接BC．
（1）抛物线的解析式为 　 　；（直接写出结果）
（2）在图1中，连接AC并延长交BD的延长线于点E，求∠CEB的度数；
（3）如图2，若动直线l与抛物线交于M，N两点（直线l与BC不重合），连接CN，BM，直线CN与BM交于点P．当MN∥BC时，点P的横坐标是否为定值，请说明理由．
5．（2023 武汉）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）如图（1），作直线x＝t（0＜t＜4），分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D，E，F三点，连接CF，若△BDE与△CEF相似，求t的值；
（3）如图（2），将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点．直线y＝2x与抛物线交于O，G两点，过OG的中点H作直线MN（异于直线OG）交抛物线C2于M，N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．

6．（2023 荆州）已知：y关于x的函数y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b．
（1）若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a＝4b，则a的值是 　 　；
（2）如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A（﹣2，0），B（4，0），并与动直线l：x＝m（0＜m＜4）交于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E．设△PBE的面积为S1，△CDE的面积为S2．
①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积；
②探究直线l在运动过程中，S1﹣S2是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
7．（2023 随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0）和C（0，2），连接BC，点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N．
（1）直接写出抛物线和直线BC的解析式；
（2）如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；
（3）当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
二．圆的综合题（共1小题）
8．（2023 荆州）如图，在菱形ABCD中，DH⊥AB于H，以DH为直径的⊙O分别交AD，BD于点E，F，连接EF．
（1）求证：①CD是⊙O的切线；
②△DEF∽△DBA；
（2）若AB＝5，DB＝6，求sin∠DFE．
三．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
9．（2023 恩施州）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，将矩形ABCD沿BE所在的直线折叠，C，D的对应点分别为C′，D′，连接AD′交BC′于点F．
（1）若∠DED′＝70°，求∠DAD′的度数；
（2）连接EF，试判断四边形C′D′EF的形状，并说明理由．
四．作图-旋转变换（共1小题）
10．（2023 武汉）如图是由小正方形组成的8×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．正方形ABCD四个顶点都是格点，E是AD上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图（1）中，先将线段BE绕点B顺时针旋转90°，画对应线段BF，再在CD上画点G，并连接BG，使∠GBE＝45°；
（2）在图（2）中，M是BE与网格线的交点，先画点M关于BD的对称点N，再在BD上画点H，并连接MH，使∠BHM＝∠MBD．

五．几何变换综合题（共1小题）
11．（2023 随州）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
（1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当△ABC的三个内角均小于120°时，
如图1，将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△A′P′C，连接PP′，
由PC＝P′C，∠PCP′＝60°，可知△PCP′为 　 　三角形，故PP′＝PC，又P′A′＝PA，故PA+PB+PC＝P′A′+PB+PP′≥A′B，
由 　 　可知，当B，P，P′，A′在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为A′B，此时的P点为该三角形的“费马点”，
且有∠APC＝∠BPC＝∠APB＝　 　；
已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若∠BAC≥120°，则该三角形的“费马点”为 　 　点．
（2）如图4，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC＝3，BC＝4，∠ACB＝30°，已知点P为△ABC的“费马点”，求PA+PB+PC的值；
（3）如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知AC＝4km，BC＝2km，∠ACB＝60°．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/km，a元/km，a元/km，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为 　 　元．（结果用含a的式子表示）
六．相似形综合题（共1小题）
12．（2023 襄阳）【问题背景】
人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1D1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形A1B1C1D1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的．想一想，这是为什么？（此问题不需要作答）
九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形ABCD的对角线相交于点O，点P落在线段OC上，＝k（k为常数）．
【特例证明】
（1）如图1，将Rt△PEF的直角顶点P与点O重合，两直角边分别与边AB，BC相交于点M，N．
①填空：k＝　 　；
②求证：PM＝PN．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明△PAM≌△PBN；也可过点P分别作AB，BC的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②．）
【类比探究】
（2）如图2，将图1中的△PEF沿OC方向平移，判断PM与PN的数量关系（用含k的式子表示），并说明理由．
【拓展运用】
（3）如图3，点N在边BC上，∠BPN＝45°，延长NP交边CD于点E，若EN＝kPN，求k的值．
湖北省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类①
参考答案与试题解析
一．二次函数综合题（共7小题）
1．（2023 襄阳）在平面直角坐标系中，直线l：y＝kx+b经过抛物线y＝x2+2mx+2m2﹣m（m≠0）的顶点．
（1）如图，当抛物线经过原点时，其顶点记为P．
①求抛物线的解析式并直接写出点P的坐标；
②t≤x≤t+1时，y的最小值为2，求t的值；
③当k＝2时．动点E在直线l下方的抛物线上，过点E作EF∥x轴交直线l于点F，令S＝EF，求S的最大值．
（2）当抛物线不经过原点时，其顶点记为Q．当直线l同时经过点Q和（1）中抛物线的顶点P时，设直线l与抛物线的另一个交点为B，与y轴的交点为A．若|QB﹣QA|≥1，直接写出k的取值范围．
【答案】（1）①y＝x2+x，顶点P的坐标为（﹣，﹣）；
②t的值为﹣3或1；
③S的最大值为；
（2）k≤﹣或k≥．
【解答】解：（1）∵抛物线经过原点，
∴2m2﹣m＝0，
解得：m＝0或，
∵m≠0，
∴m＝，
①抛物线的解析式为y＝x2+x，
∵y＝x2+x＝（x+）2﹣，
∴顶点P的坐标为（﹣，﹣）；
②当t+1＜﹣，即t＜﹣时，y随x增大而减小，
由题意得：（t+1）2+t+1＝2，
解得：t1＝﹣3，t2＝0（舍去），
∴t的值为﹣3，
当﹣≤t≤﹣时，则若t≤x≤t+1时，y的最小值为﹣，不符合题意，
当t＞﹣时，y随x增大而增大，
由题意得：t2+t＝2，
解得：t1＝﹣2（舍去），t2＝1，
∴t的值为1，
综上所述，t的值为﹣3或1；
③由题意得：当k＝2时，y＝2x+b经过点P（﹣，﹣），
∴2×（﹣）+b＝﹣，
∴b＝，
∴y＝2x+，
设点E（m，m2+m），且﹣＜m＜，
∵EF∥x轴，
∴F（m2+m﹣，m2+m），
∴S＝EF＝m﹣（m2+m﹣）＝﹣m2+m+＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，﹣＜m＜，
∴当m＝时，S取得最大值；
（2）∵y＝x2+2mx+2m2﹣m＝（x+m）2+m2﹣m，
∴Q（﹣m，m2﹣m），
∵直线l：y＝kx+b经过点P、Q，
∴，
解得：，
∴直线l的解析式为y＝（﹣m+）x﹣m，
令x＝0，得y＝﹣m，
∴A（0，﹣m），
联立方程得：x2+2mx+2m2﹣m＝（﹣m+）x﹣m，
解得：x1＝﹣m，x2＝﹣2m+，
当x＝﹣2m+时，y＝（﹣m+）（﹣2m+）﹣m＝2m2﹣2m+，
∴B（﹣2m+，2m2﹣2m+），
当m＞时，点B在第二象限，点A在y轴的负半轴上，作点A关于点Q的对称点A′，如图，
则A′（﹣2m，2m2﹣m），QA＝QA′，
∵|QB﹣QA|≥1，
∴|QB﹣QA′|≥1，
即|A′B|2≥1，
∴[（﹣2m+）﹣（﹣2m）]2+[（2m2﹣2m+）﹣（2m2﹣m）]2≥1，
化简得：m2﹣m﹣≥0，
令m2﹣m﹣＝0，
解得：m1＝﹣+（舍去），m2＝+，
∴m≤+，
∵m＝﹣k+，
∴﹣k+≤+，
∴k≤﹣；
当m＜时，点B在第一象限，点Q在A、B之间，作点A关于点Q的对称点A′，如图，
则A′（﹣2m，2m2﹣m），QA＝QA′，
∵|QB﹣QA|≥1，
∴|QB﹣QA′|≥1，
即|A′B|2≥1，
∴[（﹣2m+）﹣（﹣2m）]2+[（2m2﹣2m+）﹣（2m2﹣m）]2≥1，
化简得：m2﹣m﹣≥0，
令m2﹣m﹣＝0，
解得：m1＝﹣+，m2＝+（舍去），
∴m≤﹣+，
∵m＝﹣k+，
∴﹣k+≤﹣+，
∴k≥；
综上所述，k的取值范围为k≤﹣或k≥．
2．（2023 黄石）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点A（﹣3，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，4）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知抛物线上有一点P（x0，y0），其中y0＜0，若∠CAO+∠ABP＝90°，求x0的值；
（3）若点D，E分别是线段AC，AB上的动点，且AE＝2CD，求CE+2BD的最小值．
【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；
（2）﹣；
（3）．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣4）＝a（x2﹣x﹣12），
即﹣12a＝4，则a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+4①；
（2）在Rt△AOC中，tan∠CAO＝＝，
∵∠CAO+∠ABP＝90°，
则tan∠ABP＝，
故设直线BP的表达式为：y＝（x﹣4）②，
联立①②得：﹣x2+x+4＝（x﹣4），
解得：x＝﹣＝x0（不合题意的值已舍去）；
（3）作∠EAG＝∠BCD，
设AG＝2BC＝2×4＝8，
∵AE＝2CD，
∴△BCD∽△GAE且相似比为1：2，
则EG＝2BD，
故当C、E、G共线时，CE+2BD＝CE+EG＝CG为最小，
在△ABC中，设AC边上的高为h，
则S△ABC＝AC h＝AB×CO，
即5h＝4×7，
解得：h＝，
则sin∠ACD＝＝＝sin∠EAG，
则tan∠EAG＝7，
过点G作GN⊥x轴于点N，
则NG＝AG sin∠EAG＝，
即点G的纵坐标为：﹣，
同理可得，点G的横坐标为：﹣，
即点G（﹣，﹣），
由点C、G的坐标得，CG＝＝，
即CE+2BD的最小值为．
3．（2023 恩施州）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点A，抛物线的对称轴与x轴交于点B．
（1）如图，若A（0，），抛物线的对称轴为x＝3．求抛物线的解析式，并直接写出y≥时x的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若P为y轴上的点，C为x轴上方抛物线上的点，当△PBC为等边三角形时，求点P，C的坐标；
（3）若抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点D（m，2），E（n，2），F（1，﹣1），且m＜n，求正整数m，n的值．
【答案】（1）抛物线解析式为y＝，x的取值范围是：0≤x≤6；
（2）C（，），P（0，）或P（0，），C（0，）；
（3）m＝2，n＝7或m＝3，n＝4．
【解答】解：（1）∵A，抛物线的对称轴为x＝3．
∴c＝，，
解得：b＝3，
∴抛物线解析式为y＝，
当y＝时，＝，
解得：x1＝0，x2＝6，
∴x的取值范围是：0≤x≤6；
（2）连接AB，在对称轴上截取BD＝AB，
由已知可得：OA＝，OB＝3，
在Rt△AOB中，
tan∠OAB＝＝，
∴∠OAB＝60°，
∴∠PAB＝180°﹣∠OAB＝120°，
∵△BCP是等边三角形，
∴∠BCP＝60°，
∴∠PAB+∠BCP＝180°，
∴A、B、C、P四点共圆，
∴∠BAC＝∠BPC＝60°，
∵BD＝AB，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAD＝60°，
∴点D在AC上，
BD＝AB＝，
∴D（3，），
设AD的解析式为y＝kx+b，则有：
，
解得：，
∴AC的解析式为：y＝，
由＝，得：
x1＝0，x2＝，
当x＝时，y＝，
∴C（，），
设P（0，y），则有：
，
解得：y＝，
∴P（0，）；
当C与A重合时，
∵∠OAB＝60°，
∴点P与点A关于x轴对称，符合题意，
此时，P（0，），C（0，）；
∴C（，），P（0，）或P（0，），C（0，）；
（3）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点D（m，2），E（n，2），
∴设抛物线解析式为y＝，
将点F（1，﹣1）代入y＝中，得，
整理得：（m﹣1）（n﹣1）＝6，
∵m＜n，且m，n为正整数，
∴1＜m＜n，
∴m﹣1，n﹣1为正整数，且m﹣1＜n﹣1，
∴当m﹣1＝1，n﹣1＝6时，
解得：m＝2，n＝7；
当m﹣1＝2，n﹣1＝3时，
解得：m＝3，n＝4．
∴m＝2，n＝7或m＝3，n＝4．
4．（2023 湖北）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣6（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接BC．
（1）抛物线的解析式为 　y＝　；（直接写出结果）
（2）在图1中，连接AC并延长交BD的延长线于点E，求∠CEB的度数；
（3）如图2，若动直线l与抛物线交于M，N两点（直线l与BC不重合），连接CN，BM，直线CN与BM交于点P．当MN∥BC时，点P的横坐标是否为定值，请说明理由．
【答案】（1）y＝．
（2）∠CEB＝45°．
（3）3，理由见解答．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣6（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0），
∴，
解得，
∴抛物线解析式为y＝．
故答案为：y＝．
（2）∵A（﹣2，0），C（0，﹣6），
设直线AC的解析式为y＝k1x+b1，
∴，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣6，
同理，由点D（2，﹣8），B（6，0），可得直线BD的解析式为y＝2x﹣12，
零﹣3x﹣6＝2x﹣12，
解得x＝，
∴点E的坐标为（），
由题意可得，OA＝2，OB＝OC＝6，AB＝8，
∴AC＝，
如图，过点E作EF⊥x轴于点F，
∴AE＝，
∴，
∴，
∵∠BAC＝∠EAB，
∴△ABC∽△AEB，
∴∠ABC＝∠AEB，
∵OB＝OC，∠COB＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∵∠AEB＝45°，
∴∠CEB＝45°，
答：∠CEB的度数为45°．
（3）设点M的坐标为（m，），点N的坐标为（n，），
∵直线MN与BC不重合，
∴m≠0且m≠6，n≠0且n≠6，
如图，
由点B（6，0），点C（0，﹣6），可得直线BC的解析式为y＝x﹣6，
∵MN∥BC，
设直线MN的解析式为y＝x+t，
∴x+t＝，
∴
∴m+n＝6
∴点N的坐标可以表示为（6﹣m，），
设直线CN的解析式为y＝k2x+b2，
∴，
解得，
∴直线CN的解析式为y＝，
同上，可得直线BM的解析式为y＝，
∴＝，
∴mx＝3m，
∴x＝3，
∴点P的横坐标为定值3．
5．（2023 武汉）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）如图（1），作直线x＝t（0＜t＜4），分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D，E，F三点，连接CF，若△BDE与△CEF相似，求t的值；
（3）如图（2），将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点．直线y＝2x与抛物线交于O，G两点，过OG的中点H作直线MN（异于直线OG）交抛物线C2于M，N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．

【答案】（1）A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣8）．
（2）t的值为2或；
（3）点P在一条定直线y＝2x﹣2上．
【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣2x﹣8＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝4，
当x＝0时，y＝﹣8，
∴A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣8）．
（2）∵F是直线x＝t与抛物线 C1的交点，
∴F（t，t2﹣2t﹣8）．
①如图，若△BE1D1∽△CE1F1时．
则∠BCF1＝∠CBO，
∴CF1∥OB．
∵C（0，﹣8），
∴t2﹣2t﹣8＝﹣8．
解得：t＝0（舍去）或t＝2．
②如图，若△BE2D2∽△F2E2C时．
过 F2 作F2T⊥y轴于点T．
∵∠BCF2＝∠BD2E2＝90°，
∴∠CBO+∠BCO＝90°，∠F2CT+∠BCO＝90°，
∴∠F2CT＝∠OBC，
又∵∠CTF2＝∠BOC，
∴△BCO∽△CF2T，
∴，
∵B（4，0），C（0，﹣8），
∴OB＝4，OC＝8．
∵F2T＝t，CT＝﹣8﹣（t2﹣2t﹣8）＝2t﹣t2，
∴＝，
∴2t2﹣3t＝0，
解得：t＝0（舍去）或 ，
综上，符合题意的t的值为2或；
（3）点P在一条定直线上．
由题意知抛物线C2：y＝x2，
∵直线OG的解析式为y＝2x，
∴G（2，4）．
∵H是OG的中点，
∴H（1，2）．
设 M（m，m2），N（n，n2），直线MN的解析式为y＝k1x+b1．
则，
解得：，
∴直线MN的解析式为y＝（m+n）x﹣mn．
∵直线MN经过点H（1，2），
∴mn＝m+n﹣2．
同理，直线GN的解析式为y＝（n+2）x﹣2n；直线MO的解析式为y＝mx．
联立，得，
∵直线OM与NG相交于点P，
∴n﹣m+2≠0．
解得：，
∵mn＝m+n﹣2，
∴P（，）．
设点P在直线y＝kx+b上，则，
整理得，2m+2n﹣4＝2kn+bn﹣bm+2b＝﹣bm+（2k+b）n+2b，
比较系数，得，
∴k＝2，b＝﹣2．
∴当k＝2，b＝﹣2时，无论m，n为何值时，等式恒成立．
∴点P在定直线y＝2x﹣2上．
6．（2023 荆州）已知：y关于x的函数y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b．
（1）若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a＝4b，则a的值是 　0或2或﹣　；
（2）如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A（﹣2，0），B（4，0），并与动直线l：x＝m（0＜m＜4）交于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E．设△PBE的面积为S1，△CDE的面积为S2．
①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积；
②探究直线l在运动过程中，S1﹣S2是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）2或0或﹣；
（2）①6；
②当m＝时，S1﹣S2存在最大值，最大值为．
【解答】解：（1）①当a﹣2＝0时，即a＝2时，
y关于x的函数解析式为y＝3x+，
此时y＝3x+与x轴的交点坐标为（﹣，0），
与y轴的交点坐标为（0，）；
②当a﹣2≠0时，y关于x的函数为二次函数，
∵二次函数图象抛物线与坐标轴有两个交点，
∴抛物线可能存在与x轴有两个交点，其中一个交点为坐标原点或与x轴有一个交点与y轴一个交点两种情况．
当抛物线与x轴有两个交点且一个为坐标原点时，
由题意得b＝0，此时a＝0，抛物线为y＝﹣2x2+x．
当y＝0时，﹣2x2+x＝0，
解得x1＝0，x2＝．
∴其图象与x轴的交点坐标为（0，0）（，0）．
当抛物线与x轴有一个交点与y轴有一个交点时，
由题意得，y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b所对应的一元二次方程（a﹣2）x2+（a+1）x+b＝0有两个相等实数根．
∴Δ＝（a+1）2﹣4（a﹣2）×a＝0，
解得a＝﹣，
此时y＝﹣x2+x﹣，
当x＝0时，y＝﹣，
∴与y轴的交点坐标为（0，﹣），
当y＝0时，﹣x2+x﹣＝0，
解得x1＝x2＝，
∴与x轴的交点坐标为（，0），
综上所述，若y关于x的函数y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b的图象与坐标轴有两个交点，则a可取的值为2，0，﹣，
故答案为：2或0或﹣；
（2）①如图，设直线l与BC交于点F，
根据题意得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+8，
当x＝0时，y＝8，
∴C（0，8），
∵y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，点P为抛物线顶点，
∴P（1，9），
∵B（4，0），C（0，8），
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+8，
∴F（1，6），
∴PF＝9﹣6＝3，
∴△PBC的面积＝OB PF＝＝6；
②S1﹣S2存在最大值，
理由：如图，设直线x＝m交x轴于H，
由①得，OB＝4，AO＝2，AB＝6，OC＝8，AH＝2+m，P（m，﹣m2+2m+8），
∴PH＝﹣m2+2m+8，
∵OD∥PH，
∴△AOD∽△AHP，
∴，
∴，
∴OD＝8﹣2m，
∵S1﹣S2＝S△PAB﹣S△AOD﹣S△OBC＝＝﹣3m2+8m＝﹣3（m﹣）2+，
∵﹣3＜0，0＜m＜4，
∴当m＝时，S1﹣S2存在最大值，最大值为．
7．（2023 随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0）和C（0，2），连接BC，点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N．
（1）直接写出抛物线和直线BC的解析式；
（2）如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；
（3）当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式：y＝﹣x2+x+2，直线BC：y＝﹣x+2．
（2）m＝1或m＝或m＝2．
（3）P（），Q（0， ）或P（），Q（0.）或P（），Q（0，1）或P（1+），Q（0，﹣2）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0），
∴抛物线的表达式为y＝a（x+1）（x﹣2），
将点C（0，2）代入得，2＝﹣2a，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的表达式为y＝﹣（x+1）（x﹣2），即y＝﹣x2+x+2．
设直线BC的表达式为y＝kx+t，
将B（2，0），C（0，2）代入得，
，
解得，
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+2．
（2）∵点M在直线BC上，且P（m，n），
∴点M的坐标为（m，﹣m+2），
∴OC＝2
∴CM2＝（m﹣0）2+（﹣m+2﹣2）2＝2m2，OM2＝m2+（﹣m+2）2＝2m2﹣4m+4，
当△OCM为等腰三角形时，
①若CM＝OM，则CM2＝OM2，
即2m2＝2m2﹣4m+4，
解得m＝1；
②若CM＝OC，则CM2＝OC2，
即2m2＝4，
解得或m＝﹣（舍去）；
③若OM＝OC，则OM2＝OC2，
即2m2﹣4m+4＝4，
解得m＝2或m＝0（舍去）．
综上，m＝1或m＝或m＝2．
（3）∵点P与点C相对应，
∴△POQ∽△CBN或△POQ∽△CNB，
①若点P在点B的左侧，
则，
当△POQ∽△CBN，即∠POQ＝45°时，
直线OP的表达式为y＝x，
∴﹣m2+m+2＝m，
解得或m＝﹣（舍去），
∴，即OP＝2，
∴，即，
解得OQ＝，
∴，
当△POQ∽△CNB，即∠PQO＝45°时，
，
∴，即，
解得m＝1±（舍去）．
当△POQ∽△CNB，即∠PQO＝45°时，
PQ＝，OQ＝m﹣（﹣m2+m+2）＝m2﹣2，
∴，即，
解得m＝，（负值舍去），
∴P（），Q（0.）．
②若点P在点B的右侧，
则∠CBN＝135°，BN＝m﹣2，
当△POQ∽△CBN，即∠POQ＝135°时，
直线OP的表达式为y＝﹣x，
∴﹣m2+m+2＝﹣m，
解得m＝1+或m＝1﹣（舍去），
∴，
∴，即，
解得OQ＝1，
∴，
当△POQ∽△CNB，即∠PQO＝135°时，
PQ＝，OQ＝|﹣m2+m+2+m|＝m2﹣2m﹣2，
∴，即，
解得m＝1+或m＝1﹣（舍去），
∴，
综上，P（），Q（0， ）或P（），Q（0.）或P（），Q（0，1）或P（1+），Q（0，﹣2）．
二．圆的综合题（共1小题）
8．（2023 荆州）如图，在菱形ABCD中，DH⊥AB于H，以DH为直径的⊙O分别交AD，BD于点E，F，连接EF．
（1）求证：①CD是⊙O的切线；
②△DEF∽△DBA；
（2）若AB＝5，DB＝6，求sin∠DFE．
【答案】（1）①②证明见解答过程；
（2）sin∠DFE＝．
【解答】（1）证明：①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∵DH⊥AB，
∴∠CDH＝∠DHA＝90°，
∴CD⊥OD，
∵D为⊙O的半径的外端点，
∴CD是⊙O的切线；
②连接HF，
∴∠DEF＝∠DHF，
∵DH为⊙O直径，
∴∠DFH＝90°，
∴∠DHF＝90°﹣∠BDH，
∵∠DHB＝90°，
∴∠DBA＝90°﹣∠BDH，
∴∠DHF＝∠DBA＝∠DEF，
∵∠EDF＝∠BDA，
∴△DEF∽△DBA；
（2）解：连接AC交BD于G．
∵菱形ABCD，BD＝6，
∴AC⊥BD，AG＝GC，DG＝GB＝3，
在Rt△AGB中，AG＝＝4，
∴AC＝2AG＝8，
∵S菱形ABCD＝AC BD＝AB DH，
∴DH＝＝，
由△DEF∽△DBA知：∠DFE＝∠DAH，
∴sin∠DFE＝sin∠DAH＝＝＝．
三．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
9．（2023 恩施州）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，将矩形ABCD沿BE所在的直线折叠，C，D的对应点分别为C′，D′，连接AD′交BC′于点F．
（1）若∠DED′＝70°，求∠DAD′的度数；
（2）连接EF，试判断四边形C′D′EF的形状，并说明理由．
【答案】（1）∠DAD′＝35°；
（2）四边形C′D′EF是矩形，理由见解答．
【解答】解：（1）∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
由翻折可知：D′E＝DE，
∴AE＝D′E，
∴∠EAD′＝∠ED′A，
∵∠DED′＝∠EAD′+∠ED′A＝70°，
∴∠DAD′＝35°；
（2）四边形C′D′EF是矩形，理由如下：
如图，连接EF，
由翻折可知：∠EBC＝∠EBG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EBC＝∠GEB，
∴∠GBE＝∠GEB，
∴GE＝GB，
∵ED′∥BC′，
∴∠AFG＝∠AD′E，
∴∠AFG＝∠GAF，
∴GF＝GA，
∴AE＝BF，
∵AD＝2AE＝BC′，
∴BC′＝2BF，
∴F是BC′的中点，
∴FC′＝BC′，
∵ED′＝ED＝AD，
∴FC′＝ED′，
∵ED′∥BC′，
∴四边形C′D′EF是平行四边形，
∵∠C′＝∠C＝90°，
∴四边形C′D′EF是矩形．
四．作图-旋转变换（共1小题）
10．（2023 武汉）如图是由小正方形组成的8×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．正方形ABCD四个顶点都是格点，E是AD上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图（1）中，先将线段BE绕点B顺时针旋转90°，画对应线段BF，再在CD上画点G，并连接BG，使∠GBE＝45°；
（2）在图（2）中，M是BE与网格线的交点，先画点M关于BD的对称点N，再在BD上画点H，并连接MH，使∠BHM＝∠MBD．

【答案】图形见解答．
【解答】解：（1）如图（1），线段BF和点G即为所求；
理由：∵BC＝BA，CF＝AE，∠BCF＝∠BAE＝90°，
∴△BCF≌△BAE（SAS），
∴∠CBF＝∠ABE，
∴∠FBE＝∠CBF+∠CBE＝∠ABE+∠CBE＝∠CBA＝90°，
∴线段BE绕点B顺时针旋转90° 得BF，
∵PE∥FC，
∴∠PEQ＝∠CFQ，∠EPQ＝∠FCQ，
∵PE＝FC，
∴△PEQ≌△CFO（ASA），
∴EQ＝FQ，
∴∠GBE＝EBF＝45°；
（2）如图（2）所示，点N与点H即为所求，
理由：∵BC＝BA，∠BCF＝∠BAE＝90°，CF＝AE，
∴△BCF≌△BAE（SAS），
∴BF＝BE，
∵DF＝DE，
∴BF与BE 关于BD对称
∵BN＝BM，
∴M，N关于BD对称，
∵PE/FC，
∴△POE∽△QOF，
∴，
∵MG∥AE
∴，
∴，
∵∠MEO＝∠BEF，
∴△MEO∽△BEF，
∴∠EMO＝∠EBF，
∴OM∥BF，
∴∠MHB＝∠FBH，
由轴对称可得∠FBH＝∠EBH，
∴∠BHM＝∠MBD．
五．几何变换综合题（共1小题）
11．（2023 随州）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
（1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当△ABC的三个内角均小于120°时，
如图1，将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△A′P′C，连接PP′，
由PC＝P′C，∠PCP′＝60°，可知△PCP′为 　等边　三角形，故PP′＝PC，又P′A′＝PA，故PA+PB+PC＝P′A′+PB+PP′≥A′B，
由 　两点之间线段最短　可知，当B，P，P′，A′在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为A′B，此时的P点为该三角形的“费马点”，
且有∠APC＝∠BPC＝∠APB＝　120°　；
已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若∠BAC≥120°，则该三角形的“费马点”为 　A　点．
（2）如图4，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC＝3，BC＝4，∠ACB＝30°，已知点P为△ABC的“费马点”，求PA+PB+PC的值；
（3）如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知AC＝4km，BC＝2km，∠ACB＝60°．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/km，a元/km，a元/km，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为 　　元．（结果用含a的式子表示）
【答案】（1）等边；两点之间线段最短；120°；A；
（2）5；
（3）a．
【解答】解：（1）∵PC＝P'C，∠PCP'＝60°，
∴△PCP'为等边三角形，
∴PP'＝PC，∠P'PC＝∠PP'C＝60°，
又∵P'A'＝PA，
∴PA+PB+PC＝PA'+PB+PP'≥A'B，
根据两点之间线段最短可知，当B、P、P'、A'在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，最小值为A'B，
此时的P点为该三角形的“费马点”，
∴∠BPC+∠P'PC＝180°，∠A'P'C+∠PP'C＝180°，
∴∠BPC＝120°，∠A'P'C＝120°，
∵将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△A′P′C，
∴△APC≌△A'P'C，
∴∠APC＝∠AP'C'＝120°，
∴∠APB＝360°﹣120°﹣120°＝120°，
∴∠APC＝∠BPC＝∠APB＝120°，
∵∠BAC≥120°，
∴BC＞AC，BC＞AB，
∴BC+AB＞AC+AB，BC+AC＞AB+AC，
∴三个顶点中顶点A到另外两个顶点的距离和最小，
又∵已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点，
∴该三角形的“费马点”为点A．
故答案为：等边；两点之间线段最短；120°；A；
（2）如图4，将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△A'P'C，连接PP'，
由（1）可知当B、P、P'、A'在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，最小值为A'B，
∵∠ACP＝∠A'CP'，
∴∠ACP+∠BCP＝∠A'CP'+∠BCP＝∠ACB＝30°，
又∵∠PCP'＝60°，
∴∠BCA'＝90°，
根据旋转的性质可知：AC＝A'C＝3，
∴A'B＝，
即PA+PB+PC的最小值为5；
（3）∵总铺设成本＝PA×a+PB×a+PC×a＝，
∴当PA+PB+PC最小时，总铺设成本最低，
将△APC绕点C顺时针旋转90°得到△A'P'C，连接PP'，A'B，
由旋转性质可知：P'C＝PC，∠PCP'＝∠ACA'＝90°，P'A'＝PA，A'C＝AC＝4km，
∴PP'＝PC，
∴PA+PB+PC＝P'A'+PB+PP'，
当B、P、P'、A'在同一条直线上时，P'A'+PB+PP'取最小值，
即PA+PB+PC取最小值为A'B，
过点A'作A'H⊥BC于H，
∵∠ACB＝60°，∠ACA'＝90°，
∴∠A'CH＝30°，
∴A'H＝A'C＝2km，
∴HC＝＝（km），
∴BH＝BC+CH＝（km），
∴A'B＝＝＝2（km），
即PA+PB+PC的最小值为km，
总铺设成本为：总铺设成本＝＝a（元）．
故答案为：a．
六．相似形综合题（共1小题）
12．（2023 襄阳）【问题背景】
人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1D1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形A1B1C1D1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的．想一想，这是为什么？（此问题不需要作答）
九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形ABCD的对角线相交于点O，点P落在线段OC上，＝k（k为常数）．
【特例证明】
（1）如图1，将Rt△PEF的直角顶点P与点O重合，两直角边分别与边AB，BC相交于点M，N．
①填空：k＝　1　；
②求证：PM＝PN．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明△PAM≌△PBN；也可过点P分别作AB，BC的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②．）
【类比探究】
（2）如图2，将图1中的△PEF沿OC方向平移，判断PM与PN的数量关系（用含k的式子表示），并说明理由．
【拓展运用】
（3）如图3，点N在边BC上，∠BPN＝45°，延长NP交边CD于点E，若EN＝kPN，求k的值．
【答案】（1）①1；
②证明见解答；
（2）＝k．理由见解答；
（3）k的值为3．
【解答】（1）①解：∵将Rt△PEF的直角顶点P与点O重合，
∴k＝＝＝1，
故答案为：1；
②证明：
方法一：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠APB＝∠MPN＝90°，∠PAB＝∠PBC＝45°，PA＝PB，
∴∠APB﹣∠BPM＝∠MPN﹣∠BPM，
即∠APM＝∠BPN，
∴△PAM≌△PBN（ASA），
∴PM＝PN．
方法二：过点P分别作PG⊥AB于G，PH⊥BC于H，如图1，
则∠PGM＝∠PHN＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，
∴PG＝PH，∠HPG＝90°，
∴∠MPN﹣∠GPN＝∠GPH﹣∠GPN，
即∠MPG＝∠NPH，
∴△PMG≌△PNH（ASA），
∴PM＝PN．
（2）解：＝k．理由如下：
方法一：过点P作PG∥BD交BC于G，如图2（i），
∴∠AOB＝∠APG，∠PGC＝∠OBC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PAM＝∠OCB＝∠OBC＝45°，∠AOB＝90°，
∴∠APG＝∠MPN＝∠AOB＝90°，∠PGC＝∠PCG＝∠PAM，
∴PG＝PC，
∠APG﹣∠MPG＝∠MPN﹣∠MPG，
即∠APM＝∠GPN，
∴△PAM∽△PGN，
∴＝＝k．
方法二：过点P分别作PG⊥AB于G，PH⊥BC于H，如图2（ii），
则∠PGM＝∠PGB＝∠PHN＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∠ABC＝90°，
∵∠PGA＝∠CHP＝90°，
∴△APG∽△CPH，
∴＝，
∵∠GPH＝∠MPN＝90°，
∴∠MPN﹣∠GPN＝∠GPH﹣∠GPN，
即∠MPG＝∠NPH，
∴△PMG∽△PNH，
∴＝＝＝k．
（3）过点P作PM⊥PN交AB于M，作PH⊥BC于H，作PG⊥AB于G，如图3，
则∠MPN＝∠GPH＝∠PGM＝∠ECN＝90°，
∴∠MPN﹣∠GPN＝∠GPH﹣∠GPN，
即∠MPG＝∠NPH，
∴∠PMG＝∠PNH，
由（2）和已知条件可得：PM＝kPN，EN＝kPN，
∴PM＝EN，
∴△PGM≌△ECN（AAS），
∴GM＝CN，PG＝EC，
∵∠BPN＝∠PCB＝45°，∠PBN＝∠CBP，
∴△BPN∽△BCP，
∴＝，
∴PB2＝BC BN，
同理可得：PB2＝BA BM，
∵BC＝BA，
∴BM＝BN，
∴AM＝CN，
∴AG＝2CN，
∵∠PAB＝45°，
∴PG＝AG，
∴EC＝2CN，
∴tan∠ENC＝＝＝2，
令HN＝a，则PH＝2a，CN＝3a，EC＝6a，
∴EN＝＝3a，
PN＝＝a，
∴k＝＝＝3．湖北省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类②
一．分式的混合运算（共1小题）
1．（2023 十堰）化简：（1﹣）÷．
二．分式的化简求值（共2小题）
2．（2023 随州）先化简，再求值：÷，其中x＝1．
3．（2023 宜昌）先化简，再求值：+3，其中a＝﹣3．
三．一元一次不等式的应用（共1小题）
4．（2023 湖北）创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶．若购买3个A型垃圾桶和4个B型垃圾桶共需要580元，购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元．
（1）求两种型号垃圾桶的单价；
（2）若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15000元，至少需购买A型垃圾桶多少个？
四．一次函数的应用（共1小题）
5．（2023 宜昌）某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度．小聪想用刻度不超过100℃的温度计测算出这种食用油沸点的温度．在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔10s测量一次锅中油温，得到的数据记录如下：
时间t/s 0 10 20 30 40
油温y/℃ 10 30 50 70 90
（1）小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点．经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温y（单位：℃）与加热的时间t（单位：s）符合初中学习过的某种函数关系，填空：
可能是 　 　函数关系（请选填“正比例”“一次”“二次”“反比例”）；
（2）根据以上判断，求y关于t的函数解析式；
（3）当加热110s时，油沸腾了，请推算沸点的温度．
五．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
6．（2023 湖北）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与函数为的图象交于两点．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足y1﹣y2＞0时x的取值范围；
（3）点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y2的图象于点Q，若△POQ的面积为3，求点P的坐标．
六．二次函数的应用（共1小题）
7．（2023 随州）为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第x天（1≤x≤30且x为整数）的售价p（元/千克）与x的函数关系式p＝销量q（千克）与x的函数关系式为q＝x+10，已知第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，设第x天的销售额为W元．
（1）m＝　 　，n＝　 　；
（2）求第x天的销售额W元与x之间的函数关系式；
（3）在试销售的30天中，销售额超过1000元的共有多少天？
七．等边三角形的性质（共1小题）
8．（2023 荆州）如图，BD是等边△ABC的中线，以D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于E，连接DE．求证：CD＝CE．
八．正方形的判定（共1小题）
9．（2023 十堰）如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C为圆心，AC，BD长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP．
（1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；
（2）请说明当 ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？
九．列表法与树状图法（共2小题）
10．（2023 荆州）首届楚文化节在荆州举办前，主办方为使参与服务的志愿者队伍整齐，随机抽取了部分志愿者，对其身高进行调查，将身高（单位：cm）数据分A，B，C，D，E五组制成了如下的统计图表（不完整）．
组别 身高分组 人数
A 155≤x＜160 3
B 160≤x＜165 2
C 165≤x＜170 m
D 170≤x＜175 5
E 175≤x＜180 4
根据以上信息回答：
（1）这次被调查身高的志愿者有 　 　人，表中的m＝　 　，扇形统计图中α的度数是 　 　；
（2）若E组的4人中，男女各有2人，以抽签方式从中随机抽取两人担任组长．请列表或画树状图，求刚好抽中两名女志愿者的概率．
11．（2023 随州）中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 　 　人，条形统计图中m的值为 　 　，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为 　 　；
（2）若该校共有学生800人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为 　 　人；
（3）若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率．
湖北省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类②
参考答案与试题解析
一．分式的混合运算（共1小题）
1．（2023 十堰）化简：（1﹣）÷．
【答案】．
【解答】解：原式＝
＝
＝．
二．分式的化简求值（共2小题）
2．（2023 随州）先化简，再求值：÷，其中x＝1．
【答案】，．
【解答】解：÷
＝
＝，
当x＝1时，原式＝＝．
3．（2023 宜昌）先化简，再求值：+3，其中a＝﹣3．
【答案】a+3，．
【解答】解：原式＝ +3
＝ +3
＝a+3，
当a＝﹣3时，原式＝﹣3+3＝．
三．一元一次不等式的应用（共1小题）
4．（2023 湖北）创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶．若购买3个A型垃圾桶和4个B型垃圾桶共需要580元，购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元．
（1）求两种型号垃圾桶的单价；
（2）若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15000元，至少需购买A型垃圾桶多少个？
【答案】（1）A型垃圾桶单价为60元，B型垃圾桶单价为100元；
（2）至少需购买A型垃圾桶125个．
【解答】解：（1）设A型垃圾桶单价为x元，B型垃圾桶单价为y元，
由题意可得：，
解得：，
答：A型垃圾桶单价为60元，B型垃圾桶单价为100元；
（2）设A型垃圾桶a个，
由题意可得：60a+100（200﹣a）≤15000，
a≥125，
答：至少需购买A型垃圾桶125个．
四．一次函数的应用（共1小题）
5．（2023 宜昌）某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度．小聪想用刻度不超过100℃的温度计测算出这种食用油沸点的温度．在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔10s测量一次锅中油温，得到的数据记录如下：
时间t/s 0 10 20 30 40
油温y/℃ 10 30 50 70 90
（1）小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点．经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温y（单位：℃）与加热的时间t（单位：s）符合初中学习过的某种函数关系，填空：
可能是 　一次　函数关系（请选填“正比例”“一次”“二次”“反比例”）；
（2）根据以上判断，求y关于t的函数解析式；
（3）当加热110s时，油沸腾了，请推算沸点的温度．
【答案】（1）一次；
（2）y＝2t+10；
（3）经过推算，该油的沸点温度是230℃．
【解答】解：（1）根据表格中两个变量对应值变化的规律可知，时间每增加10s，油的温度就升高20℃，
故锅中油温y与加热的时间t可能是一次函数关系；
故答案为：一次；
（2）设锅中油温y与加热的时间t的函数关系式为y＝kt+b（k≠0），
将点（0，10），（10，30）代入得，，
解得：，
∴y＝2t+10；
（3）当t＝110时，y＝2×110＝230，
∴经过推算，该油的沸点温度是230℃．
五．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
6．（2023 湖北）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与函数为的图象交于两点．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足y1﹣y2＞0时x的取值范围；
（3）点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y2的图象于点Q，若△POQ的面积为3，求点P的坐标．
【答案】（1）y1＝﹣2x+9，y2＝；（2）＜x＜4；（3）P（，4）或（2，5）．
【解答】解：（1）∵反比例函数y2＝（x＞0）的图象经过点A（4，1），
∴1＝．
∴m＝4．
∴反比例函数解析式为y2＝（x＞0）．
把B（，a）代入y2＝（x＞0），得a＝8．
∴点B坐标为（，8），
∵一次函数解析式y1＝kx+b图象经过A（4，1），B（，8），
∴．
∴．
故一次函数解析式为：y1＝﹣2x+9．
（2）由y1﹣y2＞0，
∴y1＞y2，即反比例函数值小于一次函数值．
由图象可得，＜x＜4．
（3）由题意，设P（p，﹣2p+9）且≤p≤4，
∴Q（p，）．
∴PQ＝﹣2p+9﹣．
∴S△POQ＝（﹣2p+9﹣） p＝3．
解得p1＝，p2＝2．
∴P（，4）或（2，5）．
六．二次函数的应用（共1小题）
7．（2023 随州）为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第x天（1≤x≤30且x为整数）的售价p（元/千克）与x的函数关系式p＝销量q（千克）与x的函数关系式为q＝x+10，已知第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，设第x天的销售额为W元．
（1）m＝　﹣2　，n＝　60　；
（2）求第x天的销售额W元与x之间的函数关系式；
（3）在试销售的30天中，销售额超过1000元的共有多少天？
【答案】（1）﹣2，60；
（2）W＝；
（3）销售额超过1000元的共有7天．
【解答】解：（1）把（5，50），（10，40）代入p＝mx+n得：
，
解得，
∴p＝﹣2x+60（1≤x＜20），
故答案为：﹣2，60；
（2）当1≤x＜20时，W＝pq＝（﹣2x+60）（x+10）＝﹣2x2+40x+600；
当20≤x≤30时，W＝pq＝30（x+10）＝30x+300；
∴W＝；
（3）在W＝﹣2x2+40x+600中，令W＝1000得：﹣2x2+40x+600＝1000，
整理得x2﹣20x+200＝0，
方程无实数解；
由30x+300＞1000得x＞23，
∵x整数，
∴x可取24，25，26，27，28，29，30，
∴销售额超过1000元的共有7天．
七．等边三角形的性质（共1小题）
8．（2023 荆州）如图，BD是等边△ABC的中线，以D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于E，连接DE．求证：CD＝CE．
【答案】见解析．
【解答】证明：∵BD是等边△ABC的中线，
∴BD⊥AC，∠ACB＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∵BD＝DE，
∴∠E＝∠DBC＝30°，
∵∠CDE+∠E＝∠ACB＝60°，
∴∠E＝∠CDE＝30°，
∴CD＝CE．
八．正方形的判定（共1小题）
9．（2023 十堰）如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C为圆心，AC，BD长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP．
（1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；
（2）请说明当 ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？
【答案】（1）四边形BPCO为平行四边形．理由见解析；
（2）当AC⊥BD，AC＝BD时，四边形BPCO为正方形．
【解答】解：（1）四边形BPCO为平行四边形．
理由：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OC＝OA＝AC，OB＝OD＝BD，
∵以点B，C为圆心，AC，BD长为半径画弧，两弧交于点P，
∴OB＝CP，BP＝OC，
∴四边形BPCO为平行四边形；
（2）当AC⊥BD，AC＝BD时，四边形BPCO为正方形．
∵AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∵AC＝BD，OB＝BD，OC＝AC，
∴OB＝OC，
∵四边形BPCO为平行四边形，
∴四边形BPCO为正方形．
九．列表法与树状图法（共2小题）
10．（2023 荆州）首届楚文化节在荆州举办前，主办方为使参与服务的志愿者队伍整齐，随机抽取了部分志愿者，对其身高进行调查，将身高（单位：cm）数据分A，B，C，D，E五组制成了如下的统计图表（不完整）．
组别 身高分组 人数
A 155≤x＜160 3
B 160≤x＜165 2
C 165≤x＜170 m
D 170≤x＜175 5
E 175≤x＜180 4
根据以上信息回答：
（1）这次被调查身高的志愿者有 　20　人，表中的m＝　6　，扇形统计图中α的度数是 　54°　；
（2）若E组的4人中，男女各有2人，以抽签方式从中随机抽取两人担任组长．请列表或画树状图，求刚好抽中两名女志愿者的概率．
【答案】（1）20，6，54°；
（2）．
【解答】解：（1）这次被调查身高的志愿者有：（3+2+5+4）÷（1﹣30%）＝20（人），
∴m＝20×30%＝6，
扇形统计图中α的度数是：360°×＝54°，
故答案为：20，6，54°；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中刚好抽中两名女志愿者的结果有2种，
∴P（刚好抽中两名女志愿者）＝＝．
11．（2023 随州）中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 　80　人，条形统计图中m的值为 　16　，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为 　90°　；
（2）若该校共有学生800人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为 　40　人；
（3）若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率．
【答案】（1）80，16，90°；
（2）40；
（3）．
【解答】解：（1）∵基本了解的有40人，占50%，
∴接受问卷调查的学生共有40÷50%＝80（人），
条形统计图中m的值为：80﹣20﹣40﹣4＝16，
扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为：＝90°，
故答案为：80，16，90°；
（2）可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为：800×＝40人），
故答案为：40；
（3）画树状图如下：
一共有12种等可能的结果，其中恰好抽到2名女生的结果有2种，
∴P（恰好抽到2名女生）＝．湖北省各地市2023-中考数学真题分类汇编-01选择题（基础题）知识点分类②
一．无理数（共1小题）
1．（2023 荆州）在实数﹣1，，，3.14中，无理数是（　　）
A．﹣1 B． C． D．3.14
二．列代数式（共1小题）
2．（2023 宜昌）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（　　）
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31
A．左上角的数字为a+1
B．左下角的数字为a+7
C．右下角的数字为a+8
D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数
三．同底数幂的除法（共1小题）
3．（2023 荆州）下列各式运算正确的是（　　）
A．3a2b3﹣2a2b3＝a2b3 B．a2 a3＝a6
C．a6÷a2＝a3 D．（a2）3＝a5
四．多项式乘多项式（共1小题）
4．（2023 随州）设有边长分别为a和b（a＞b）的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
五．二次根式的加减法（共1小题）
5．（2023 十堰）下列计算正确的是（　　）
A．+＝ B．（﹣2a）3＝﹣8a3
C．a8÷a4＝a2 D．（a﹣1）2＝a2﹣1
六．由实际问题抽象出二元一次方程组（共1小题）
6．（2023 荆州）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺，问木条长多少尺？若设木条长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
七．由实际问题抽象出分式方程（共1小题）
7．（2023 十堰）为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球．已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个．如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
八．分式方程的应用（共1小题）
8．（2023 宜昌）某校学生去距离学校12km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，汽车的速度是（　　）
A．0.2km/min B．0.3km/min C．0.4km/min D．0.6km/min
九．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
9．（2023 荆州）如图，直线y＝﹣x+3分别与x轴，y轴交于点A，B，将△OAB绕着点A顺时针旋转90°得到△CAD，则点B的对应点D的坐标是（　　）
A．（2，5） B．（3，5） C．（5，2） D．（，2）
一十．一次函数的应用（共1小题）
10．（2023 武汉）皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积S＝N+，其中N，L分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知A（0，30），B（20，10），O（0，0），则△ABO内部的格点个数是（　　）
A．266 B．270 C．271 D．285
一十一．反比例函数的应用（共2小题）
11．（2023 荆州）已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系（I＝）．下列反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2023 随州）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为6Ω时，电流为（　　）
A．3A B．4A C．6A D．8A
一十二．专题：正方体相对两个面上的文字（共1小题）
13．（2023 宜昌）“争创全国文明典范城市，让文明成为宜昌人民的内在气质和城市的亮丽名片”．如图，是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“城”字对面的字是（　　）
A．文 B．明 C．典 D．范
一十三．平行线的性质（共3小题）
14．（2023 随州）如图，直线l1∥l2，直线l与l1，l2相交，若图中∠1＝60°，则∠2为（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
15．（2023 湖北）如图，Rt△ABC的直角顶点A在直线a上，斜边BC在直线b上，若a∥b，∠1＝55°，则∠2＝（　　）
A．55° B．45° C．35° D．25°
16．（2023 宜昌）如图，小颖按如下方式操作直尺和含30°角的三角尺，依次画出了直线a，b，c．如果∠1＝70°，则∠2的度数为（　　）
A．110° B．70° C．40° D．30°
一十四．垂径定理（共1小题）
17．（2023 宜昌）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
一十五．作图—基本作图（共1小题）
18．（2023 随州）如图，在 ABCD中，分别以B，D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交BD于点O，交AD，BC于点E，F，下列结论不正确的是（　　）
A．AE＝CF B．DE＝BF C．OE＝OF D．DE＝DC
一十六．简单组合体的三视图（共1小题）
19．（2023 荆州）观察如图所示的几何体，下列关于其三视图的说法正确的是（　　）
A．主视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
B．左视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
C．俯视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
D．主视图、左视图、俯视图都是中心对称图形
一十七．众数（共1小题）
20．（2023 随州）某班在开展劳动教育课程调查中发现，第一小组6名同学每周做家务的天数依次为3，7，5，6，5，4（单位：天），则这组数据的众数和中位数分别为（　　）
A．5和5 B．5和4 C．5和6 D．6和5
一十八．统计量的选择（共1小题）
21．（2023 荆州）为评估一种水稻的种植效果，选了10块地作试验田．这10块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，x10，下面给出的统计量中可以用来评估这种水稻亩产量稳定程度的是（　　）
A．这组数据的平均数 B．这组数据的方差
C．这组数据的众数 D．这组数据的中位数
湖北省各地市2023-中考数学真题分类汇编-01选择题（基础题）知识点分类②
参考答案与试题解析
一．无理数（共1小题）
1．（2023 荆州）在实数﹣1，，，3.14中，无理数是（　　）
A．﹣1 B． C． D．3.14
【答案】B
【解答】解：实数﹣1，，，3.14中，无理数是，
故选：B．
二．列代数式（共1小题）
2．（2023 宜昌）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（　　）
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31
A．左上角的数字为a+1
B．左下角的数字为a+7
C．右下角的数字为a+8
D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数
【答案】D
【解答】解：A、左上角的数字为a﹣1，不正确；
B、左下角的数字为a+6，不正确；
C、右下角的数字为a+7，不正确；
D、方框中4个位置的数相加＝a+a﹣1+a+6+a+7＝4a+12＝4（a+3），结果是4的倍数，正确．
故选：D．
三．同底数幂的除法（共1小题）
3．（2023 荆州）下列各式运算正确的是（　　）
A．3a2b3﹣2a2b3＝a2b3 B．a2 a3＝a6
C．a6÷a2＝a3 D．（a2）3＝a5
【答案】A
【解答】解：∵3a2b3﹣2a2b3＝a2b3，
∴选项A运算正确，符合题意；
∵a2 a3＝a5，
∴选项B运算错误，不符合题意；
∵a6÷a2＝a4，
∴选项C运算错误，不符合题意；
∵（a2）3＝a6，
∴选项D运算错误，不符合题意．
故选：A．
四．多项式乘多项式（共1小题）
4．（2023 随州）设有边长分别为a和b（a＞b）的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解答】解：∵（3a+b）（2a+2b）
＝6a2+6ab+2ab+2b2
＝6a2+8ab+2b2，
∴若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为8张．
故选：C．
五．二次根式的加减法（共1小题）
5．（2023 十堰）下列计算正确的是（　　）
A．+＝ B．（﹣2a）3＝﹣8a3
C．a8÷a4＝a2 D．（a﹣1）2＝a2﹣1
【答案】B
【解答】解：A．+无法合并，故此选项不合题意；
B．（﹣2a）3＝﹣8a3，故此选项符合题意；
C．a8÷a4＝a4，故此选项不合题意；
D．（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故此选项不合题意．
故选：B．
六．由实际问题抽象出二元一次方程组（共1小题）
6．（2023 荆州）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺，问木条长多少尺？若设木条长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：设木条长x尺，绳子长y尺，所列方程组为：．
故选：A．
七．由实际问题抽象出分式方程（共1小题）
7．（2023 十堰）为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球．已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个．如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：设每个足球的价格为x元，可列方程为：
﹣＝5．
故选：A．
八．分式方程的应用（共1小题）
8．（2023 宜昌）某校学生去距离学校12km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，汽车的速度是（　　）
A．0.2km/min B．0.3km/min C．0.4km/min D．0.6km/min
【答案】D
【解答】解：设学生的速度为xkm/min，
由题意可得：﹣20＝，
解得：x＝0.3，
经检验：x＝0.3是原方程的解，且符合题意；
∴2x＝0.6（km/min），
故选：D．
九．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
9．（2023 荆州）如图，直线y＝﹣x+3分别与x轴，y轴交于点A，B，将△OAB绕着点A顺时针旋转90°得到△CAD，则点B的对应点D的坐标是（　　）
A．（2，5） B．（3，5） C．（5，2） D．（，2）
【答案】C
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣x+3＝3，则B点坐标为（0，3）；
当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝2，则A点坐标为（2，0），
则OA＝2，OB＝3，
∵△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△ACD，
∴∠OAC＝90°，∠ACD＝∠AOB＝90°，AC＝AO＝2，CD＝OB＝3，
即AC⊥x轴，CD∥x轴，
∴点D的坐标为（5，2）．
故选：C．
一十．一次函数的应用（共1小题）
10．（2023 武汉）皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积S＝N+，其中N，L分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知A（0，30），B（20，10），O（0，0），则△ABO内部的格点个数是（　　）
A．266 B．270 C．271 D．285
【答案】C
【解答】解：由A（0，30）可知边OA上有31个格点（含点O，A），
∵直线OB的解析式为y＝x，
∴当x为小于或等于20的正偶数时y也为整数，即OB边上有10个格点（不含端点O，含端点B）；
∵直线AB的解析式为y＝﹣x+30，
∴当0＜x＜20且x为整数时，y均为整数，故边AB上有19个格点（不含端点），
∴L＝31+19+10＝60，
∵△ABO的面积为S＝×30×20＝300，
∴300＝N+×60﹣1，
∴N＝271．
故选：C．
一十一．反比例函数的应用（共2小题）
11．（2023 荆州）已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系（I＝）．下列反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：∵电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系（I＝），R、I均大于0，
∴反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是D选项，
故选：D．
12．（2023 随州）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为6Ω时，电流为（　　）
A．3A B．4A C．6A D．8A
【答案】B
【解答】解：设I＝，
∵图象过（8，3），
∴U＝24，
∴I＝，
当电阻为6Ω时，电流为：I＝＝4（A）．
故选：B．
一十二．专题：正方体相对两个面上的文字（共1小题）
13．（2023 宜昌）“争创全国文明典范城市，让文明成为宜昌人民的内在气质和城市的亮丽名片”．如图，是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“城”字对面的字是（　　）
A．文 B．明 C．典 D．范
【答案】B
【解答】解：∵正方体的表面展开图，相对的面之间一定隔着一个小正方形，且没有公共边和公共顶点，
∴“城”字对面的字是“明”．
故选：B．
一十三．平行线的性质（共3小题）
14．（2023 随州）如图，直线l1∥l2，直线l与l1，l2相交，若图中∠1＝60°，则∠2为（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】C
【解答】解：∵直线l1∥l2，∠1＝60°，
∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣60°＝120°．
故选：C．
15．（2023 湖北）如图，Rt△ABC的直角顶点A在直线a上，斜边BC在直线b上，若a∥b，∠1＝55°，则∠2＝（　　）
A．55° B．45° C．35° D．25°
【答案】C
【解答】解：∵a∥b，∠1＝55°，
∴∠ABC＝∠1＝55°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠2＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝35°．
故选：C．
16．（2023 宜昌）如图，小颖按如下方式操作直尺和含30°角的三角尺，依次画出了直线a，b，c．如果∠1＝70°，则∠2的度数为（　　）
A．110° B．70° C．40° D．30°
【答案】C
【解答】解：如图，由题意得，∠4＝30°，b∥c，
∴∠3＝∠1＝70°，
∵∠3＝∠4+∠5＝70°，
∴∠5＝40°，
∴∠2＝∠5＝40°，
故选：C．
一十四．垂径定理（共1小题）
17．（2023 宜昌）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解答】解：∵AD＝CD＝8，
∴OB⊥AC，
在Rt△AOD中，OA＝＝＝10，
∴OB＝10，
∴BD＝10﹣6＝4．
故选：B．
一十五．作图—基本作图（共1小题）
18．（2023 随州）如图，在 ABCD中，分别以B，D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交BD于点O，交AD，BC于点E，F，下列结论不正确的是（　　）
A．AE＝CF B．DE＝BF C．OE＝OF D．DE＝DC
【答案】D
【解答】解：根据作图可知：EF垂直平分BD，
∴BO＝DO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，
∵∠BOF＝∠DOE，
∴△BOF≌△DOE（ASA），
∴BF＝DE，OE＝OF，故B，C正确；
无法证明DE＝CD，故D错误；
故选：D．
一十六．简单组合体的三视图（共1小题）
19．（2023 荆州）观察如图所示的几何体，下列关于其三视图的说法正确的是（　　）
A．主视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
B．左视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
C．俯视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
D．主视图、左视图、俯视图都是中心对称图形
【答案】C
【解答】解：该几何体的主视图是轴对称图形，不是中心对称图形，A选项不符合题意；
该几何体的左视图是轴对称图形，不是中心对称图形，B选项不符合题意；
该几何体的俯视图是中心对称图形，又是轴对称图形，C选项符合题意；
主视图和左视图是轴对称图形，不是中心对称图形，D选项不符合题意；
故选：C．
一十七．众数（共1小题）
20．（2023 随州）某班在开展劳动教育课程调查中发现，第一小组6名同学每周做家务的天数依次为3，7，5，6，5，4（单位：天），则这组数据的众数和中位数分别为（　　）
A．5和5 B．5和4 C．5和6 D．6和5
【答案】A
【解答】解：将数据重新排列为3，4，5，5，6，7，
所以这组数据的众数为5，中位数为＝5．
故选：A．
一十八．统计量的选择（共1小题）
21．（2023 荆州）为评估一种水稻的种植效果，选了10块地作试验田．这10块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，x10，下面给出的统计量中可以用来评估这种水稻亩产量稳定程度的是（　　）
A．这组数据的平均数 B．这组数据的方差
C．这组数据的众数 D．这组数据的中位数
【答案】B
【解答】解：标准差，方差能反映数据的波动程度，
故选：B．湖北省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类①
一．分式的混合运算（共1小题）
1．（2023 襄阳）化简：（1﹣）÷．
二．根与系数的关系（共1小题）
2．（2023 襄阳）关于x的一元二次方程x2+2x+3﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个根为α，β，且k2＝αβ+3k，求k的值．
三．一次函数的应用（共2小题）
3．（2023 襄阳）在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下．每到傍晚，市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售，其中海鲜串的成本为m元/支，肉串的成本为n元/支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成本如下表所示（成本包括进价和其他费用）：
次数 数量（支） 总成本（元）
海鲜串 肉串
第一次 3000 4000 17000
第二次 4000 3000 18000
针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支的部分按原价，超过200支的部分打八折．每支肉串的售价为3.5元．
（1）求m、n的值；
（2）五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支．在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串x支，店主获得海鲜串的总利润为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串降价a（0＜a＜1）元，但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润，求a的最大值．
4．（2023 恩施州）为积极响应州政府“悦享成长 书香恩施”的号召，学校组织150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同．
（1）男装、女装的单价各是多少？
（2）如果参加活动的男生人数不超过女生人数的，购买服装的总费用不超过17000元，那么学校有几种购买方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？
四．二次函数的应用（共1小题）
5．（2023 黄石）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为10万元/件．设第x个生产周期设备的售价为z万元/件，售价z与x之间的函数解析式是z＝，其中x是正整数．当x＝16时，z＝14；当x＝20时，z＝13．
（1）求m，n的值；
（2）设第x个生产周期生产并销售完设备的数量为y件，且y与x满足关系式y＝5x+20．
①当12＜x≤20时，工厂第几个生产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元？
②当0＜x≤20时，若有且只有3个生产周期的利润不小于a万元，求实数a的取值范围．
五．切线的判定与性质（共2小题）
6．（2023 襄阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于点D，与BC交于点E，F，DG是⊙O的直径，弦GF的延长线交AC于点H，且GH⊥AC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若DE＝2，GH＝3，求的长l．
7．（2023 恩施州）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点O为AB的中点，连接CO交⊙O于点E，⊙O与AC相切于点D．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）延长CO交⊙O于点G，连接AG交⊙O于点F，若AC＝4，求FG的长．
六．作图—基本作图（共1小题）
8．（2023 鄂州）如图，点E是矩形ABCD的边BC上的一点，且AE＝AD．
（1）尺规作图（请用2B铅笔）：作∠DAE的平分线AF，交BC的延长线于点F，连接DF．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）试判断四边形AEFD的形状，并说明理由．
七．黄金分割（共1小题）
9．（2023 黄石）关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0，当m＝1时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．
（1）求黄金分割数；
（2）已知实数a，b满足：a2+ma＝1，b2﹣2mb＝4，且b≠﹣2a，求ab的值；
（3）已知两个不相等的实数p，q满足：p2+np﹣1＝q，q2+nq﹣1＝p，求pq﹣n的值．
八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
10．（2023 襄阳）在襄阳市诸感亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度．如图，在点C处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离CE为32m，从热气球C看铜像顶部A的俯角为45°，看铜像底部B的俯角为63.4°．已知底座BD的高度为4m，求铜像AB的高度．（结果保留整数．参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，≈1.41）．
11．（2023 恩施州）小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点A，B处测出点D的仰角度数，可以求出信号塔DE的高．如图，AB的长为5m，高BC为3m．他在点A处测得点D的仰角为45°，在点B处测得点D的仰角为38.7°．A，B，C，D，E在同一平面内．
你认为小王同学能求出信号塔DE的高吗？若能，请求出信号塔DE的高；若不能，请说明理由．（参考数据：sin38.7°≈0.625，cos38.7°≈0.780，tan38.7°≈0.80，结果保留整数）
九．概率公式（共1小题）
12．（2023 黄石）健康医疗大数据蕴藏了丰富的居民健康状况、卫生服务利用等海量信息，是人民健康保障的数据金矿和证据源泉．目前，体质健康测试已成为中学生的必测项目之一．某校某班学生针对该班体质健康测试数据开展调查活动，先收集本班学生八年级的《体质健康标准登记表》，再算出每位学生的最后得分，最后得分记为x，得到下表：
成绩 频数 频率
不及格（0≤x≤59） 6
及格（60≤x≤74） 20%
良好（75≤x≤89） 18 40%
优秀（90≤x≤100） 12
（1）请求出该班总人数；
（2）该班有三名学生的最后得分分别是68，88，91，将他们的成绩随机填入表格，求恰好得到的表格是的概率；
（3）设该班学生的最后得分落在不及格，及格，良好，优秀范围内的平均分分别为a，b，c，d，若2a+3b+6c+4d＝1275，请求出该班全体学生最后得分的平均分，并估计该校八年级学生体质健康状况．
一十．列表法与树状图法（共2小题）
13．（2023 恩施州）春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，体现了厚重的家国情怀；在文化的传承与创新中让我们更加热爱传统文化，更加坚定文化自信，因此，端午节前，学校举行“传经典 乐端午”系列活动，活动设计的项目及要求如下：A﹣包粽子，B﹣划旱船，C﹣诵诗词，D﹣创美文；人人参加，每人限选一项．为了解学生的参与情况，校团支部随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下不完整的统计图，如图．请根据统计图中的信息，回答下列问题：
（1）请直接写出统计图中m的值，并补全条形统计图；
（2）若学校有1800名学生，请估计选择D类活动的人数；
（3）甲、乙、丙、丁四名学生都是包粽子的能手，现从他们4人中选2人参加才艺展示，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人同时被选中的概率．
14．（2023 鄂州）2023年5月30日上午，神舟十六号载人飞船成功发射，举国振奋．为了使同学们进一步了解中国航天科技的快速发展，鄂州市某中学九（1）班团支部组织了一场手抄报比赛．要求该班每位同学从A：“北斗”，B：“5G时代”，C：“东风快递”，D：“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜爱的主题．比赛结束后，该班团支部统计了同学们所选主题的频数，绘制成如图两种不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题．
（1）九（1）班共有 　 　名学生；并补全图1折线统计图；
（2）请阅读图2，求出D所对应的扇形圆心角的度数；
（3）若小林和小峰分别从A，B，C，D四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率．
湖北省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类①
参考答案与试题解析
一．分式的混合运算（共1小题）
1．（2023 襄阳）化简：（1﹣）÷．
【答案】．
【解答】解：原式＝
＝．
二．根与系数的关系（共1小题）
2．（2023 襄阳）关于x的一元二次方程x2+2x+3﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个根为α，β，且k2＝αβ+3k，求k的值．
【答案】（1）k＞2；（2）k1＝3．
【解答】解：（1）b2﹣4ac＝22﹣4×1×（3﹣k）＝﹣8+4k，
∵有两个不相等的实数，
∴﹣8+4k＞0，
解得：k＞2；
（2）∵方程的两个根为α，β，
∴αβ＝＝3﹣k，
∴k2＝3﹣k+3k，
解得：k1＝3，k2＝﹣1（舍去）．
三．一次函数的应用（共2小题）
3．（2023 襄阳）在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下．每到傍晚，市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售，其中海鲜串的成本为m元/支，肉串的成本为n元/支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成本如下表所示（成本包括进价和其他费用）：
次数 数量（支） 总成本（元）
海鲜串 肉串
第一次 3000 4000 17000
第二次 4000 3000 18000
针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支的部分按原价，超过200支的部分打八折．每支肉串的售价为3.5元．
（1）求m、n的值；
（2）五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支．在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串x支，店主获得海鲜串的总利润为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串降价a（0＜a＜1）元，但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润，求a的最大值．
【答案】（1）m的值为3，n的值为2；
（2）y＝；
（3）0.5．
【解答】解：（1）根据表格可得：
，
解得，
∴m的值为3，n的值为2；
（2）当0＜x≤200时，店主获得海鲜串的总利润y＝（5﹣3）x＝2x；
当200＜x≤400时，店主获得海鲜串的总利润y＝（5﹣3）×200+（5×0.8﹣3）（x﹣200）＝x+200；
∴y＝；
（3）设降价后获得肉串的总利润为z元，令W＝z﹣y．
∵200＜x≤400，
∴z＝（3.5﹣a﹣2）（1000﹣x）＝（a﹣1.5）x+1500﹣1000a，
∴W＝z﹣y＝（a﹣2.5）x+1300﹣1000a，
∵0＜a＜1，
∴a﹣2.5＜0，
∴W随x的增大而减小，
当x＝400时，W的值最小，
由题意可得：z≥y，
∴W≥0，
即（a﹣2.5）×400+1300﹣1000a≥0，
解得：a≤0.5，
∴a的最大值是0.5．
4．（2023 恩施州）为积极响应州政府“悦享成长 书香恩施”的号召，学校组织150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同．
（1）男装、女装的单价各是多少？
（2）如果参加活动的男生人数不超过女生人数的，购买服装的总费用不超过17000元，那么学校有几种购买方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？
【答案】（1）男装单价为100元，女装单价为120元．（2）当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用为16800元．
【解答】解：（1）设男装单价为x元，女装单价为y元，
根据题意得：，
解得：，
答：男装单价为100元，女装单价为120元．
（2）设参加活动的女生有a人，则男生有（150﹣a）人，
根据题意可得，
解得：90≤a≤100，
∵a为整数，
∴a可取90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，100，一共11个数，
故一共有11种方案，
设总费用为w元，则w＝120a+100（150﹣a）＝15000+20a，
∵20＞0，
∴当a＝90时，w有最小值，最小值为15000+20×90＝16800（元），
此时，150﹣a＝60（套），
答：当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用为16800元．
四．二次函数的应用（共1小题）
5．（2023 黄石）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为10万元/件．设第x个生产周期设备的售价为z万元/件，售价z与x之间的函数解析式是z＝，其中x是正整数．当x＝16时，z＝14；当x＝20时，z＝13．
（1）求m，n的值；
（2）设第x个生产周期生产并销售完设备的数量为y件，且y与x满足关系式y＝5x+20．
①当12＜x≤20时，工厂第几个生产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元？
②当0＜x≤20时，若有且只有3个生产周期的利润不小于a万元，求实数a的取值范围．
【答案】（1）m＝﹣，n＝18；
（2）①工厂第14个生产周期获得的利润最大，最大的利润是405万元；
②a的取值范围400＜a≤403.75．
【解答】解：（1）把x＝16时，z＝14；x＝20时，z＝13代入y＝mx+n得：
，
解得m＝﹣，n＝18；
（2）①设第x个生产周期创造的利润为w万元，
由（1）知，当12＜x≤20时，z＝﹣x+18，
∴w＝（z﹣10）y＝（﹣x+18﹣10）（5x+20）＝（﹣x+8）（5x+20）＝﹣x2+35x+160＝﹣（x﹣14）2+405，
∵﹣＜0，12＜x≤20，
∴当x＝14时，w取得最大值，最大值为405，
∴工厂第14个生产周期获得的利润最大，最大的利润是405万元；
②当0＜x≤12时，z＝15，
∴w＝（15﹣10）（5x+20＝25x+100，
∴w＝，
则w与x的函数图象如图所示：
由图象可知，若有且只有3个生产周期的利润不小于a万元，
∴当x＝13，15时w＝403.75，
当x＝12，16时，w＝400，
∴a的取值范围400＜a≤403.75．
五．切线的判定与性质（共2小题）
6．（2023 襄阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于点D，与BC交于点E，F，DG是⊙O的直径，弦GF的延长线交AC于点H，且GH⊥AC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若DE＝2，GH＝3，求的长l．
【答案】（1）答案见解答过程；
（2）．
【解答】（1）证明：连接OA，过点O作OM⊥AC于点M，如图：
∵AB＝AC，点O是BC的中点，
∴AO为∠BAC的平分线，
∵⊙O与AB相切于点D，DG是⊙O的直径，
∴OD为⊙O的半径，
∴OD⊥AB，
又OM⊥AC，
∴OM＝OD，
即OM为⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：过点E作EN⊥AB于点N，如图：
∵点O为⊙O的圆心，
∴OD＝OG，OE＝OF，
在△ODE和△OGF中，
，
∴△ODE≌△OGF（SAS），
∴DE＝GF，
∵DE＝2，GH＝3，
∴GF＝2，
∴FH＝GH﹣GF＝3﹣2＝1，
∵AB＝AC，点O是BC的中点，
∴OB＝OC，∠B＝∠C，
又OE＝OF，
∴BE＝CF，
∵GH⊥AC，EN⊥AB，
∴∠BNE＝∠CHF＝90°，
在△BNE和△CHF中，
，
∴△BNE≌△CHF（AAS），
∴EN＝FH＝1，
在Rt△DEN中，DE＝2，EN＝1，
∴sin∠EDN＝＝，
∴锐角∠EDN＝30°，
由（1）可知：OD⊥AB，
∴∠ODE＝90°﹣∠EDN＝90°﹣30°＝60°，
又OD＝OE，
∴△ODE为等边三角形，
∴∠DOE＝60°，OD＝OE＝DE＝2，
∴的长l＝．
7．（2023 恩施州）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点O为AB的中点，连接CO交⊙O于点E，⊙O与AC相切于点D．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）延长CO交⊙O于点G，连接AG交⊙O于点F，若AC＝4，求FG的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解答】（1）证明：连接OD，作OM⊥BC于M，
∵AC＝BC，O是AB中点，
∴CO平分∠ACB，CO⊥AB，
∵AC切圆于D，
∴OD⊥AC，
∴OD＝OM，
∴BC是⊙O的切线；
（2）作OH⊥AG 于H，
∴FG＝2GH，
∵△OAC是等腰直角三角形，
∴OA＝AC＝×4＝4，
∵△AOD是等腰直角三角形，
∴OD＝AO＝2，
∴OG＝2，
∴AG＝＝2，
∵cosG＝＝，
∴＝，
∴GH＝，
∴FG＝．
六．作图—基本作图（共1小题）
8．（2023 鄂州）如图，点E是矩形ABCD的边BC上的一点，且AE＝AD．
（1）尺规作图（请用2B铅笔）：作∠DAE的平分线AF，交BC的延长线于点F，连接DF．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）试判断四边形AEFD的形状，并说明理由．
【答案】（1）作图见解答．
（2）证明见解答．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BF，
∴∠DAF＝∠AFC，
∵AF平分∠DAE，
∴∠DAF＝∠FAE，
∴∠FAE＝∠AFC，
∴EA＝EF，
∵AE＝AD，
∴AD＝EF，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AE＝AD，
∴四边形AEFD是菱形．
七．黄金分割（共1小题）
9．（2023 黄石）关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0，当m＝1时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．
（1）求黄金分割数；
（2）已知实数a，b满足：a2+ma＝1，b2﹣2mb＝4，且b≠﹣2a，求ab的值；
（3）已知两个不相等的实数p，q满足：p2+np﹣1＝q，q2+nq﹣1＝p，求pq﹣n的值．
【答案】（1）；（2）2；（3）0．
【解答】解：（1）由题意，将m＝1代入x2+mx﹣1＝0得，x2+x﹣1＝0，
∴x1，2＝＝．
∵黄金分割数大于0，
∴黄金分割数为．
（2）∵b2﹣2mb＝4，
∴b2﹣2mb﹣4＝0．
∴（﹣）2+m （﹣）﹣1＝0．
又b≠﹣2a，
∴a，﹣是一元二次方程x2+mx﹣1＝0的两个根．
∴a （﹣）＝﹣1．
∴ab＝2．
（3）由题意，令p2+np﹣1＝q①，q2+nq﹣1＝p②，
∴①+②得，（p2+q2）+n（p+q）﹣2＝p+q，
（p+q）2﹣2pq+n（p+q）﹣2＝p+q．
又①﹣②得，（p2﹣q2）+n（p﹣q）＝﹣（p﹣q），
∵p，q为两个不相等的实数，
∴p﹣q≠0，
∴（p+q）+n＝﹣1．
∴p+q＝﹣n﹣1．
又（p+q）2﹣2pq+n（p+q）﹣2＝p+q．
∴（﹣n﹣1）2﹣2pq+n（﹣n﹣1）﹣2＝﹣n﹣1．
∴n2+2n+1﹣2pq﹣n2﹣n﹣2＝﹣n﹣1．
∴pq＝n．
∴pq﹣n＝0．
八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
10．（2023 襄阳）在襄阳市诸感亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度．如图，在点C处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离CE为32m，从热气球C看铜像顶部A的俯角为45°，看铜像底部B的俯角为63.4°．已知底座BD的高度为4m，求铜像AB的高度．（结果保留整数．参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，≈1.41）．
【答案】14m．
【解答】解：∵矩形BDEF中有EF＝BD＝4m，CE＝32m，
∴CF＝32﹣4＝28m，
∵tan∠CBF＝tan63.4°＝，
∴2＝，即BF＝14m，
∴CG＝BF＝14m，
∵∠GCA＝45°，
∴AG＝GC＝14m，
∴AB＝BG﹣AG＝CF﹣AG＝28﹣14＝14m．
答：铜像AB的高度为14m．
11．（2023 恩施州）小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点A，B处测出点D的仰角度数，可以求出信号塔DE的高．如图，AB的长为5m，高BC为3m．他在点A处测得点D的仰角为45°，在点B处测得点D的仰角为38.7°．A，B，C，D，E在同一平面内．
你认为小王同学能求出信号塔DE的高吗？若能，请求出信号塔DE的高；若不能，请说明理由．（参考数据：sin38.7°≈0.625，cos38.7°≈0.780，tan38.7°≈0.80，结果保留整数）
【答案】信号塔DE的高为31m．
【解答】解：能，过B作BF⊥DE于F，
则EF＝BC＝3m，BF＝CE，
在Rt△ABC中，∵AB＝5m，BC＝3m，
∴AC＝＝4（m），
在Rt△ADE中，∵∠DAE＝45°，
∴AE＝DE，
设AE＝DE＝xm，
∴BF＝（4+x）m，DF＝（x﹣3）m，
在Rt△BDF中，tan38.7°＝0.80，
解得x＝31，
∴DE＝31m，
答：信号塔DE的高为31m．
九．概率公式（共1小题）
12．（2023 黄石）健康医疗大数据蕴藏了丰富的居民健康状况、卫生服务利用等海量信息，是人民健康保障的数据金矿和证据源泉．目前，体质健康测试已成为中学生的必测项目之一．某校某班学生针对该班体质健康测试数据开展调查活动，先收集本班学生八年级的《体质健康标准登记表》，再算出每位学生的最后得分，最后得分记为x，得到下表：
成绩 频数 频率
不及格（0≤x≤59） 6
及格（60≤x≤74） 20%
良好（75≤x≤89） 18 40%
优秀（90≤x≤100） 12
（1）请求出该班总人数；
（2）该班有三名学生的最后得分分别是68，88，91，将他们的成绩随机填入表格，求恰好得到的表格是的概率；
（3）设该班学生的最后得分落在不及格，及格，良好，优秀范围内的平均分分别为a，b，c，d，若2a+3b+6c+4d＝1275，请求出该班全体学生最后得分的平均分，并估计该校八年级学生体质健康状况．
【答案】（1）45；
（2）；
（3）该班全体学生最后得分的平均分是85分，该校八年级学生体质健康状况是良好．
【解答】解：（1）由表格可知，
成绩为良好的频数为18，频率为40%，
所以该班总人数为：18÷40%＝45（人）．
（2）将68，88，91进行随机排列得，
68，88，91；68，91，88；88，68，91；88，91，68；91，68，88；91，88，68．
得到每一列数据是等可能的，
所以恰好得到88，91，68的概率是．
（3）由题知，
抽查班级的学生中，成绩是不及格，及格，良好，优秀的人数分别是6，9，18，12，
又该班学生的最后得分落在不及格，及格，良好，优秀范围内的平均分分别为a，b，c，d，
所以该班学生成绩的总分为：6a+9b+18c+12d．
又2a+3b+6c+4d＝1275，
所以6a+9b+18c+12d＝3825．
则该班全体学生最后得分的平均分为：3825÷45＝85（分）．
所以该校八年级学生体质健康状况是良好．
一十．列表法与树状图法（共2小题）
13．（2023 恩施州）春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，体现了厚重的家国情怀；在文化的传承与创新中让我们更加热爱传统文化，更加坚定文化自信，因此，端午节前，学校举行“传经典 乐端午”系列活动，活动设计的项目及要求如下：A﹣包粽子，B﹣划旱船，C﹣诵诗词，D﹣创美文；人人参加，每人限选一项．为了解学生的参与情况，校团支部随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下不完整的统计图，如图．请根据统计图中的信息，回答下列问题：
（1）请直接写出统计图中m的值，并补全条形统计图；
（2）若学校有1800名学生，请估计选择D类活动的人数；
（3）甲、乙、丙、丁四名学生都是包粽子的能手，现从他们4人中选2人参加才艺展示，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人同时被选中的概率．
【答案】（1）m＝25，图形见解析；
（2）估计选择D类活动的人数约有180人
（3）．
【解答】解：（1）抽取的学生人数为：50÷50%＝100（人），
∴m＝100×25%＝25，
选择C的人数为：100﹣25﹣50﹣10＝15，
补全条形统计图如下：
（2）1800×＝180（人），
答：估计选择D类活动的人数约有180人；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人同时被选中的结果有2种，
∴甲、乙两人同时被选中的概率为＝．
14．（2023 鄂州）2023年5月30日上午，神舟十六号载人飞船成功发射，举国振奋．为了使同学们进一步了解中国航天科技的快速发展，鄂州市某中学九（1）班团支部组织了一场手抄报比赛．要求该班每位同学从A：“北斗”，B：“5G时代”，C：“东风快递”，D：“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜爱的主题．比赛结束后，该班团支部统计了同学们所选主题的频数，绘制成如图两种不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题．
（1）九（1）班共有 　50　名学生；并补全图1折线统计图；
（2）请阅读图2，求出D所对应的扇形圆心角的度数；
（3）若小林和小峰分别从A，B，C，D四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率．
【答案】（1）50，折线图见解答；
（2）108°；
（3）．
【解答】解：（1）九（1）班共有学生人数为：20÷40%＝50（名），
D的人数为：50﹣10﹣20﹣5＝15（名），
补全折线统计图如下：
故答案为：50；
（2）D所对应扇形圆心角的大小为：360°×＝108°，
∴D所对应的扇形圆心角的度数为：108°；
（3）画树状图如图：
共有16种等可能的结果，小林和小峰选择相同主题的结果有4种，
∴小林和小峰选择相同主题的概率为＝．湖北省各地市2023-中考数学真题分类汇编-02填空题（基础题）知识点分类①
一．科学记数法—表示较大的数（共2小题）
1．（2023 十堰）2023年5月30日上午，我国载人航天飞船“神舟十六号”发射圆满成功，与此同时，中国载人航天办公室也宣布计划在2030年前实现中国人首次登陆距地球平均距离为38.4万千米的月球，将384000000用科学记数法表示为 　 　．
2．（2023 黄石）据《人民日报》（2023年5月9日）报道，我国海洋经济复苏态势强劲，在建和新开工的海上风电项目建设总规模约为18000000千瓦，比上年同期翻一番．其中18000000用科学记数法表示为 　 　．
二．算术平方根（共2小题）
3．（2023 荆州）若|a﹣1|+（b﹣3）2＝0，则＝　 　．
4．（2023 鄂州）计算：＝　 　．
三．实数大小比较（共1小题）
5．（2023 武汉）写出一个小于4的正无理数是　 　．
四．实数的运算（共2小题）
6．（2023 湖北）计算4﹣1﹣+（3﹣）0的结果是 　 　．
7．（2023 黄石）计算：（﹣）﹣2+（1﹣）0﹣2cos60°＝　 　．
五．规律型：数字的变化类（共1小题）
8．（2023 恩施州）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：
﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…①
0，7，﹣4，21，﹣26，71，…②
根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为 　 　；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为 　 　．
六．因式分解-提公因式法（共1小题）
9．（2023 黄石）因式分解：x（y﹣1）+4（1﹣y）＝　 　．
七．因式分解-运用公式法（共1小题）
10．（2023 恩施州）因式分解：a（a﹣2）+1＝　 　．
八．零指数幂（共1小题）
11．（2023 湖北）计算：＝　 　．
九．二次根式的乘除法（共1小题）
12．（2023 恩施州）计算：×＝　 　．
一十．根与系数的关系（共1小题）
13．（2023 随州）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2﹣x1x2的值为 　 　．
一十一．全等三角形的判定与性质（共1小题）
14．（2023 湖北）如图，△BAC，△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DEB＝∠AEF＝90°，点E在△ABC内，BE＞AE，连接DF交AE于点G，DE交AB于点H，连接CF．给出下面四个结论：①∠DBA＝∠EBC；②∠BHE＝∠EGF；③AB＝DF；④AD＝CF．其中所有正确结论的序号是 　 　．
一十二．直角三角形斜边上的中线（共1小题）
15．（2023 荆州）如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若AC＝8，CD＝5，则DE＝　 　．
一十三．勾股定理的应用（共1小题）
16．（2023 恩施州）《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的长分别是 　 　尺．
一十四．多边形内角与外角（共1小题）
17．（2023 湖北）若正n边形的一个外角为72°，则n＝　 　．
一十五．圆周角定理（共1小题）
18．（2023 随州）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝60°，则∠ADC的度数为 　 　．
一十六．圆内接四边形的性质（共1小题）
19．（2023 襄阳）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CD的延长线上．若∠ADE＝70°，则∠AOC＝　 　度．
一十七．位似变换（共1小题）
20．（2023 鄂州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且＝3．若A（9，3），则A1点的坐标是 　 　．
一十八．概率公式（共1小题）
21．（2023 襄阳）古隆中、米公祠、水镜庄、习家池是襄阳市4处有代表性的充满浓厚人文气息的旅游景点，若小平同学随机选择一处去游览，她选择古隆中的概率是 　 　．
一十九．列表法与树状图法（共1小题）
22．（2023 湖北）有四张背面完全相同的卡片，正面分别画了等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆，现将卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的图形后（不放回），再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的图形都是中心对称图形的概率为 　 　．
湖北省各地市2023-中考数学真题分类汇编-02填空题（基础题）知识点分类①
参考答案与试题解析
一．科学记数法—表示较大的数（共2小题）
1．（2023 十堰）2023年5月30日上午，我国载人航天飞船“神舟十六号”发射圆满成功，与此同时，中国载人航天办公室也宣布计划在2030年前实现中国人首次登陆距地球平均距离为38.4万千米的月球，将384000000用科学记数法表示为 　3.84×108　．
【答案】3.84×108．
【解答】解：384000000＝3.84×108．
故答案为：3.84×108．
2．（2023 黄石）据《人民日报》（2023年5月9日）报道，我国海洋经济复苏态势强劲，在建和新开工的海上风电项目建设总规模约为18000000千瓦，比上年同期翻一番．其中18000000用科学记数法表示为 　1.8×107　．
【答案】1.8×107．
【解答】解：18000000＝1.8×107，
故答案为：1.8×107．
二．算术平方根（共2小题）
3．（2023 荆州）若|a﹣1|+（b﹣3）2＝0，则＝　2　．
【答案】2．
【解答】解：|a﹣1|+（b﹣3）2＝0，
∵|a﹣1|≥0，（b﹣3）2≥0，
∴a﹣1＝0，b﹣3＝0，
则a＝1，b＝3，
那么＝＝2，
故答案为：2．
4．（2023 鄂州）计算：＝　4　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵42＝16，
∴＝4，
故答案为4．
三．实数大小比较（共1小题）
5．（2023 武汉）写出一个小于4的正无理数是　（答案不唯一）　．
【答案】（答案不唯一）．
【解答】解：一个小于4的正无理数是（答案不唯一）．
故答案为： （答案不唯一）．
四．实数的运算（共2小题）
6．（2023 湖北）计算4﹣1﹣+（3﹣）0的结果是 　1　．
【答案】1．
【解答】解：原式＝﹣+1
＝1，
故答案为：1．
7．（2023 黄石）计算：（﹣）﹣2+（1﹣）0﹣2cos60°＝　9　．
【答案】9．
【解答】解：（﹣）﹣2+（1﹣）0﹣2cos60°
＝9+1﹣2×
＝9+1﹣1
＝9，
故答案为：9．
五．规律型：数字的变化类（共1小题）
8．（2023 恩施州）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：
﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…①
0，7，﹣4，21，﹣26，71，…②
根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为 　（﹣2）10　；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为 　﹣22024+2024　．
【答案】（﹣2）10，﹣22024+2024．
【解答】解：观察数列可得，第①行数的第10个数为（﹣2）10，
第①行数的第2023个数为（﹣2）2023，第②行数的第2023个数为（﹣2）2023+2024，
∵（﹣2）2023+（﹣2）2023+2024＝﹣22024+2024，
∴取每行数的第2023个数，这两个数的和为﹣22024+2024．
故答案为：（﹣2）10，﹣22024+2024．
六．因式分解-提公因式法（共1小题）
9．（2023 黄石）因式分解：x（y﹣1）+4（1﹣y）＝　（y﹣1）（x﹣4）　．
【答案】（y﹣1）（x﹣4）．
【解答】解：x（y﹣1）+4（1﹣y）＝x（y﹣1）﹣4（y﹣1）＝（y﹣1）（x﹣4）．
七．因式分解-运用公式法（共1小题）
10．（2023 恩施州）因式分解：a（a﹣2）+1＝　（a﹣1）2　．
【答案】（a﹣1）2．
【解答】解：a（a﹣2）+1＝a2﹣2a+1
＝（a﹣1）2，
故答案为：（a﹣1）2．
八．零指数幂（共1小题）
11．（2023 湖北）计算：＝　2　．
【答案】2．
【解答】解：原式＝1+1
＝2．
故答案为：2．
九．二次根式的乘除法（共1小题）
12．（2023 恩施州）计算：×＝　6　．
【答案】6．
【解答】解：×＝
＝
＝6，
故答案为：6．
一十．根与系数的关系（共1小题）
13．（2023 随州）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2﹣x1x2的值为 　2　．
【答案】2．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别为x1和x2，
∴x1+x2＝＝3，x1x2＝＝1，
∴x1+x2﹣x1x2＝3﹣1＝2．
故答案为：2．
一十一．全等三角形的判定与性质（共1小题）
14．（2023 湖北）如图，△BAC，△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DEB＝∠AEF＝90°，点E在△ABC内，BE＞AE，连接DF交AE于点G，DE交AB于点H，连接CF．给出下面四个结论：①∠DBA＝∠EBC；②∠BHE＝∠EGF；③AB＝DF；④AD＝CF．其中所有正确结论的序号是 　①③④　．
【答案】①③④．
【解答】解：∵△BAC，△DEB都是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠DBE＝45°，
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠DBE﹣∠ABE，
∴∠EBC＝∠DBA，
故①正确；
∵△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，
∴BE＝DE，AE＝EF，∠BED＝∠AEF＝90°，
∴∠BEA＝∠DEF，
∴△BEA≌△DEF（SAS），
∴AB＝DF，∠ABE＝∠EDF，∠BAE＝∠DFE．
故③正确；
∵∠BEH＝∠GEF＝90°，
∴∠ABE+∠BHE＝90°，∠EGF+∠DFE＝90°，
∵BE＞AE，
∴∠ABE≠∠AEB，
∴∠ABE≠∠DFE，
∴∠BHE≠∠EGF；
∵∠BAC＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠FAC＝45°，
又∵∠AFD+∠EFG＝45°，∠BAE＝∠DFE，
∴∠DFA＝∠FAC，
∴DF∥AC，
∵AB＝DF，AB＝AC，
∴DF＝AC，
∴四边形DFCA为平行四边形，
∴DA＝CF．
故④正确．
故答案为：①③④．
一十二．直角三角形斜边上的中线（共1小题）
15．（2023 荆州）如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若AC＝8，CD＝5，则DE＝　3　．
【答案】3．
【解答】解：∵CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，CD＝5，
∴AB＝2CD＝10，
∵∠ACB＝90°，AC＝8，
∴BC＝＝6，
∵E为AC的中点，
∴AE＝CE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝3，
故答案为：3．
一十三．勾股定理的应用（共1小题）
16．（2023 恩施州）《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的长分别是 　8，6，10　尺．
【答案】8，6，10．
【解答】解：设门对角线的长为x尺，则门高为（x﹣2）尺，门宽为（x﹣4）尺，
根据勾股定理可得：
x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2，即x2＝x2﹣8x+16+x2﹣4x+4，
解得：x1＝2（不合题意舍去），x2＝10，
10﹣2＝8（尺），
10﹣4＝6（尺）．
答：门高8尺，门宽6尺，对角线长10尺．
故答案为：8，6，10．
一十四．多边形内角与外角（共1小题）
17．（2023 湖北）若正n边形的一个外角为72°，则n＝　5　．
【答案】5．
【解答】解：∵正n边形的一个外角为72°，
∴n＝360÷72＝5，
故答案为：5．
一十五．圆周角定理（共1小题）
18．（2023 随州）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝60°，则∠ADC的度数为 　30°　．
【答案】30°．
【解答】解：如图，连接OC，
∵OA⊥BC，
∴＝，
∴∠AOC＝∠AOB＝60°，
∴∠ADC＝∠AOC＝30°，
故答案为：30°．
一十六．圆内接四边形的性质（共1小题）
19．（2023 襄阳）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CD的延长线上．若∠ADE＝70°，则∠AOC＝　140　度．
【答案】140．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADE＝70°，
∴∠B＝∠ADE＝70°，
∴∠AOC＝2∠B＝140°．
故答案为：140．
一十七．位似变换（共1小题）
20．（2023 鄂州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且＝3．若A（9，3），则A1点的坐标是 　（3，1）　．
【答案】（3，1）．
【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1位似，且原点O为位似中心，且＝3，点A（9，3），
∴×9＝3，×3＝1，
即A1点的坐标是（3，1），
故答案为：（3，1）．
一十八．概率公式（共1小题）
21．（2023 襄阳）古隆中、米公祠、水镜庄、习家池是襄阳市4处有代表性的充满浓厚人文气息的旅游景点，若小平同学随机选择一处去游览，她选择古隆中的概率是 　　．
【答案】．
【解答】解：古隆中、米公祠、水镜庄、习家池这4处有代表性的旅游景点，被抽到的可能性是均等的，共有4种等可能出现的结果，而选择古隆中的只有1种，
所以选择古隆中的概率是，
故答案为：．
一十九．列表法与树状图法（共1小题）
22．（2023 湖北）有四张背面完全相同的卡片，正面分别画了等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆，现将卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的图形后（不放回），再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的图形都是中心对称图形的概率为 　　．
【答案】．
【解答】解：设等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆分别为A，B，C，D，
根据题意画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的图形都是中心对称图形的结果有2种，
∴抽取的两张卡片上的图形都是中心对称图形的概率为＝，
故答案为：．湖北省各地市2023-中考数学真题分类汇编-01选择题（提升题）知识点分类
一．数轴（共1小题）
1．（2023 恩施州）如图，数轴上点A所表示的数的相反数是（　　）
A．9 B．﹣ C． D．﹣9
二．有理数大小比较（共1小题）
2．（2023 襄阳）下面四个有理数中，最小的是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
三．估算无理数的大小（共1小题）
3．（2023 荆州）已知k＝（+） （﹣），则与k最接近的整数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
四．分式的化简求值（共1小题）
4．（2023 武汉）已知x2﹣x﹣1＝0，计算的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
五．由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题）
5．（2023 襄阳）我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x步，根据题意列方程正确的是（　　）
A．2x+2（x+12）＝864 B．x2+（x+12）2＝864
C．x（x﹣12）＝864 D．x（x+12）＝864
六．解一元一次不等式组（共1小题）
6．（2023 湖北）不等式组的解集为（　　）
A．x＞﹣1 B．x＜1 C．﹣1＜x＜1 D．无解
七．坐标与图形性质（共1小题）
7．（2023 鄂州）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA＝OB＝3，点C为平面内一动点，BC＝，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM：MA＝1：2．当线段OM取最大值时，点M的坐标是（　　）
A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）
八．函数的图象（共1小题）
8．（2023 恩施州）如图，取一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点O25cm（L1＝25cm）处挂一个重9.8N（F1＝9.8N）的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足FL＝F1L1，以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
九．待定系数法求一次函数解析式（共1小题）
9．（2023 鄂州）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点（﹣2，﹣1）的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（　　）
A．y＝x+1 B．y＝x﹣1 C．y＝2x+1 D．y＝2x﹣1
一十．一次函数的应用（共1小题）
10．（2023 随州）甲、乙两车沿同一路线从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，关于下列结论：①A，B两城相距300km；②甲车的平均速度是60km/h，乙车的平均速度是100km/h；③乙车先出发，先到达B城；④甲车在9：30追上乙车．正确的有（　　）
A．①② B．①③ C．②④ D．①④
一十一．反比例函数的图象（共1小题）
11．（2023 襄阳）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+k与反比例函数y＝的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
一十二．反比例函数的性质（共1小题）
12．（2023 武汉）关于反比例函数，下列结论正确的是（　　）
A．图象位于第二、四象限
B．图象与坐标轴有公共点
C．图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小
D．图象经过点（a，a+2），则a＝1
一十三．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
13．（2023 湖北）在反比例函数y＝的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则k的取值范围是（　　）
A．k＜0 B．k＞0 C．k＜4 D．k＞4
一十四．二次函数的性质（共1小题）
14．（2023 湖北）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中：①a﹣b+c＝0；②若点（﹣3，y1），（2，y2），（4，y3）均在该二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；③若m为任意实数，则am2+bm+c ﹣4a；④方程ax2+bx+c+1＝0的两实数根为x1，x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1，x2＞3．正确结论的序号为（　　）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①④
一十五．二次函数图象与系数的关系（共4小题）
15．（2023 黄石）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（﹣3，0），且对称轴为直线x＝﹣1．有以下结论：①a+b+c＝0；②2c+3b＝0；③当﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1时，有y1＜y2；④对于任何实数k＞0，关于x的方程ax2+bx+c＝k（x+1）必有两个不相等的实数根．其中结论正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．（2023 鄂州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，且过点（﹣1，0），顶点在第一象限，其部分图象如图所示．给出以下结论：①ab＜0；②4a+2b+c＞0；③3a+c＞0；④若A（x1，y1）B（x2，y2）（其中x1＜x2）是抛物线上的两点，且x1+x2＞2，则y1＞y2，其中正确的选项是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
17．（2023 湖北）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0）．下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3b+2c＝0；④若点P（m﹣2，y1），Q（m，y2）在抛物线上，且y1＜y2，则m≤﹣1．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18．（2023 随州）如图，已知开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（6，0），对称轴为直线x＝2．则下列结论正确的有（　　）
①abc＜0；
②a﹣b+c＞0；
③方程cx2+bx+a＝0的两个根为x1＝，x2＝﹣；
④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜2＜x2且x1+x2＞4，则y1＜y2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
一十六．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
19．（2023 十堰）已知点A（x1，y1）在直线y＝3x+19上，点B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝x2+4x﹣1上，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则x1+x2+x3的取值范围是（　　）
A．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9 B．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣6
C．﹣9＜x1+x2+x3＜0 D．﹣6＜x1+x2+x3＜1
一十七．平行线的性质（共1小题）
20．（2023 荆州）如图所示的“箭头”图形中，AB∥CD，∠B＝∠D＝80°，∠E＝∠F＝47°，则图中∠G的度数是（　　）
A．80° B．76° C．66° D．56°
一十八．矩形的性质（共2小题）
21．（2023 襄阳）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，下列结论一定正确的是（　　）
A．AC平分∠BAD B．AB＝BC C．AC＝BD D．AC⊥BD
22．（2023 十堰）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是（　　）
A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B．对角线BD的长度减小
C．四边形ABCD的面积不变
D．四边形ABCD的周长不变
一十九．垂径定理的应用（共1小题）
23．（2023 荆州）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，B为上一点，OB⊥AC于D．若AC＝300m，BD＝150m，则的长为（　　）
A．300πm B．200πm C．150πm D．100πm
二十．圆周角定理（共1小题）
24．（2023 湖北）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，连接AC，AD，BD，若∠C＝20°，∠BPC＝70°，则∠ADC＝（　　）
A．70° B．60° C．50° D．40°
二十一．三角形的外接圆与外心（共2小题）
25．（2023 湖北）如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（　　）
A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣
26．（2023 十堰）如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，AE＝DE，BC＝CE，过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，若DE＝3，EG＝2，则AB的长为（　　）
A．4 B．7 C．8 D．
二十二．切线的性质（共1小题）
27．（2023 武汉）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相
切，切点为E，若，则sinC的值是（　　）
A． B． C． D．
二十三．相交两圆的性质（共1小题）
28．（2023 恩施州）如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，若O1O2＝2，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．2π B．π C．π D．π
二十四．扇形面积的计算（共1小题）
29．（2023 鄂州）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，OB长为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．5π B．5﹣4π C．5﹣2π D．10﹣2π
二十五．圆锥的计算（共1小题）
30．（2023 十堰）如图，已知点C为圆锥母线SB的中点，AB为底面圆的直径，SB＝6，AB＝4，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（　　）
A．5 B． C． D．
二十六．作图—基本作图（共2小题）
31．（2023 黄石）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，EF和BC交于点O；②以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D；③分别以点D，C为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧相交于点M，连接AM，AM和CD交于点N，连接ON．若AB＝9，AC＝5，则ON的长为（　　）
A．2 B． C．4 D．
32．（2023 湖北）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C作BP的垂线分别交BD，AD于点M，N，则CN的长为（　　）
A． B． C． D．4
二十七．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
33．（2023 黄石）如图，有一张矩形纸片ABCD．先对折矩形ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN．观察所得的线段，若AE＝1，则MN＝（　　）
A． B．1 C． D．2
二十八．中心对称图形（共1小题）
34．（2023 恩施州）如所示4个图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
二十九．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
35．（2023 十堰）如图所示，有一天桥高AB为5米，BC是通向天桥的斜坡，∠ACB＝45°，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使∠D＝30°，则CD的长度约为（　　）（参考数据：≈1.414，≈1.732）
A．1.59米 B．2.07米 C．3.55米 D．3.66米
三十．由三视图判断几何体（共1小题）
36．（2023 黄石）如图，根据三视图，它是由（　　）个正方体组合而成的几何体．
A．3 B．4 C．5 D．6
三十一．概率公式（共1小题）
37．（2023 十堰）掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数为偶数的概率是（　　）
A． B． C． D．
湖北省各地市2023-中考数学真题分类汇编-01选择题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．数轴（共1小题）
1．（2023 恩施州）如图，数轴上点A所表示的数的相反数是（　　）
A．9 B．﹣ C． D．﹣9
【答案】D
【解答】解：∵A点表示的数为9，
∴数轴上点A所表示的数的相反数是﹣9．
故选：D．
二．有理数大小比较（共1小题）
2．（2023 襄阳）下面四个有理数中，最小的是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【答案】A
【解答】﹣2＜﹣1＜0＜1，故选：A．
三．估算无理数的大小（共1小题）
3．（2023 荆州）已知k＝（+） （﹣），则与k最接近的整数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：∵k＝（+） （﹣）＝×2＝2，
而1.4＜＜1.5，
∴2.8＜2＜3，
∴与k最接近的整数是3，
故选：B．
四．分式的化简求值（共1小题）
4．（2023 武汉）已知x2﹣x﹣1＝0，计算的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【答案】A
【解答】解：原式＝[﹣]
＝
＝，
∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x2＝x+1，
∴原式＝＝1．
故选：A．
五．由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题）
5．（2023 襄阳）我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x步，根据题意列方程正确的是（　　）
A．2x+2（x+12）＝864 B．x2+（x+12）2＝864
C．x（x﹣12）＝864 D．x（x+12）＝864
【答案】D
【解答】解：设宽为x步，长为（x+12）步，
根据题意列方程x（x+12）＝864，
故选：D．
六．解一元一次不等式组（共1小题）
6．（2023 湖北）不等式组的解集为（　　）
A．x＞﹣1 B．x＜1 C．﹣1＜x＜1 D．无解
【答案】C
【解答】解：解不等式x﹣1＜0，得：x＜1，
解不等式x+1＞0，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x＜1，
故选：C．
七．坐标与图形性质（共1小题）
7．（2023 鄂州）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA＝OB＝3，点C为平面内一动点，BC＝，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM：MA＝1：2．当线段OM取最大值时，点M的坐标是（　　）
A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）
【答案】D
【解答】解：∵点C为平面内一动点，BD＝，
∴点C在以点B为圆心，为半径的OB上，
在x轴的负半轴上取点D（﹣，0），
连接BD，分别过C、M作CF⊥OA，ME⊥OA，垂足为F、E，
∵OA＝OB＝，
∴AD＝OD+OA＝，
∴＝，
∵CM：MA＝1：2，
∴＝＝，
∵∠OAM＝∠DAC，
∴△OAM∽△DAC，
∴＝＝，
∴当CD取得最大值时，OM取得最大值，结合图形可知当D，B，C三点共线，且点B在线段DC上时，CD取得最大值，
∵OA＝OB＝，OD＝，
∴BD＝＝，
∴CD＝BC+BD＝9，
∵＝，
∴OM＝6，
∵y轴⊥x轴，CF⊥OA，
∴∠DOB＝∠DFC＝90°，
∵∠BDO＝∠CDF，
∴△BDO∽△CDF，
∴＝，即＝，
解得CF＝，
同理可得，△AEM∽△AFC，
∴＝＝，即＝，
解得ME＝，
∴OE＝＝，
∴当线段OM取最大值时，点M的坐标是（，），
故选D．
八．函数的图象（共1小题）
8．（2023 恩施州）如图，取一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点O25cm（L1＝25cm）处挂一个重9.8N（F1＝9.8N）的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足FL＝F1L1，以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：根据杠杆原理可得，F L＝25×9.8，
∵把弹簧秤与中点O的距离L记作x，弹簧秤的示数F记作y，
∴xy＝245（0＜x≤50）；
∵5×49＝245，
7×35＝245，
∴图象经过点（35，7），故选项C不符合题意；
∵F是L的反比例函数，
∴选项A、D不符合题意；
故F关于L的函数图象大致是选项B．
故选：B．
九．待定系数法求一次函数解析式（共1小题）
9．（2023 鄂州）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点（﹣2，﹣1）的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（　　）
A．y＝x+1 B．y＝x﹣1 C．y＝2x+1 D．y＝2x﹣1
【答案】A
【解答】解：∵“帅”位于点（﹣2，﹣1）可得出“马”（1，2），
设经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x+1，
故选：A．
一十．一次函数的应用（共1小题）
10．（2023 随州）甲、乙两车沿同一路线从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，关于下列结论：①A，B两城相距300km；②甲车的平均速度是60km/h，乙车的平均速度是100km/h；③乙车先出发，先到达B城；④甲车在9：30追上乙车．正确的有（　　）
A．①② B．①③ C．②④ D．①④
【答案】D
【解答】解：由图象可知，A，B两城相距300km，乙车先出发，甲车先到达B城，
故①符合题意，③不符合题意；
甲车的平均速度是300÷3＝100（千米/小时），
乙车的平均速度是300÷5＝60（千米/小时），
故②不符合题意；
设甲车出发后x小时，追上乙车，
100x＝60（x+1），
解得x＝1.5，
∴甲车出发1.5小时追上乙车，
∵甲车8：00出发，
∴甲车在9：30追上乙车，
故④符合题意，
综上所述，正确的有①④，
故选：D．
一十一．反比例函数的图象（共1小题）
11．（2023 襄阳）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+k与反比例函数y＝的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：分两种情况进行讨论：
①当k＞0时，一次函数y＝kx+k经过第一、二、三象限；反比例函数y＝k/x的图象在第一、三象限；
②当k＜0时，一次函数y＝kx+k经过第二、三、四象限；反比例函数y＝k/x的图象在第二、四象限；
∴一次函数y＝kx+k与反比例函数y＝k/x的图象可能是A．
故选：A．
一十二．反比例函数的性质（共1小题）
12．（2023 武汉）关于反比例函数，下列结论正确的是（　　）
A．图象位于第二、四象限
B．图象与坐标轴有公共点
C．图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小
D．图象经过点（a，a+2），则a＝1
【答案】C
【解答】解：反比例函数，图象在第一、三象限，与坐标轴没有交点，故A选项错误，B选项错误；
反比例函数，在每一个象限内，y随着x的增大而减小，故C选项正确；
反比例函数图象经过点（a，a+2），
∴a（a+2）＝3，
解得a＝1或a＝﹣3，
故D选项错误，
故选：C．
一十三．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
13．（2023 湖北）在反比例函数y＝的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则k的取值范围是（　　）
A．k＜0 B．k＞0 C．k＜4 D．k＞4
【答案】C
【解答】解：∵当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，
∴反比例函数y＝的图象位于一、三象限，
4﹣k＞0，
解得k＜4，
故选：C．
一十四．二次函数的性质（共1小题）
14．（2023 湖北）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中：①a﹣b+c＝0；②若点（﹣3，y1），（2，y2），（4，y3）均在该二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；③若m为任意实数，则am2+bm+c ﹣4a；④方程ax2+bx+c+1＝0的两实数根为x1，x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1，x2＞3．正确结论的序号为（　　）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①④
【答案】B
【解答】解：∵抛物线经过（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，①正确，
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
点（﹣3，y1），（2，y2），（4，y3）均在该二次函数图象上，且点（﹣3，y1）到对称轴的距离最大，点（2，y2）到对称轴的距离最小，
∴y1＜y3＜y2，②错误；
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∵a﹣b+c＝0，
∴c＝b﹣a＝﹣3a，
∵抛物线的最大值为a+b+c，
∴若m为任意实数，则am2+bm+c a+b+c，
∴am2+bm+c ﹣4a，③正确；
∵方程ax2+bx+c+1＝0的两实数根为x1，x2，
∴抛物线与直线y＝﹣1的交点的横坐标为x1，x2，
由抛物线对称性可得抛物线与x轴另一交点坐标为（3，0），
∴抛物线与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∵抛物线开口向下，x1＜x2，
∴x1＜﹣1，x2＞3，④正确．
故选：B．
一十五．二次函数图象与系数的关系（共4小题）
15．（2023 黄石）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（﹣3，0），且对称轴为直线x＝﹣1．有以下结论：①a+b+c＝0；②2c+3b＝0；③当﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1时，有y1＜y2；④对于任何实数k＞0，关于x的方程ax2+bx+c＝k（x+1）必有两个不相等的实数根．其中结论正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：因为二次函数的图象过点C（﹣3，0），且对称轴为直线x＝﹣1，
所以由抛物线的对称性可知，点（1，0）也在抛物线上．
将（1，0）代入二次函数解析式得，
a+b+c＝0．
故①正确．
因为抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，
所以，即b﹣2a＝0．
又a+b+c＝0，
则将a＝﹣b﹣c代入b﹣2a＝0得，
2c+3b＝0．
故②正确．
因为﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，
所以点A离对称轴更近．
则当a＞0时，y1＜y2；
当a＜0时，y1＞y2．
故③错误．
由ax2+bx+c＝k（x+1）得，
ax2+（b﹣k）x+c﹣k＝0．
又a+b+c＝0，2c+3b＝0，
得．
则（b﹣k）2﹣4a（c﹣k）
＝（）2﹣4×（）（c﹣k）
＝．
又k＞0，
所以＞0．
即该方程有两个不相等的实数根．
故④正确．
故选：C．
16．（2023 鄂州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，且过点（﹣1，0），顶点在第一象限，其部分图象如图所示．给出以下结论：①ab＜0；②4a+2b+c＞0；③3a+c＞0；④若A（x1，y1）B（x2，y2）（其中x1＜x2）是抛物线上的两点，且x1+x2＞2，则y1＞y2，其中正确的选项是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【答案】D
【解答】解：二次函数开口向下，则a＜0，
二次函数对称轴为x＝1，则，
∴b＝﹣2a，b＞0，
∴ab＜0，故①正确；
∵过点（﹣1，0），
∴由对称可得二次函数与x轴的另一交点为（3，0），
由函数图象可得x＝2时y＞0，
∴4a+2b+c＞0，故②正确；
∵x＝﹣1时y＝0，
∴a﹣b+c＝0，
b＝﹣2a代入得：3a+c＝0，故③错误；
∵对称轴是直线x＝1，
∴若，
当x1+x2＞2时，点A（x1，y1）到对称轴的距离小于点B（x2，y2）到对称轴的距离，
∵二次函数图象开口向下，
∴y1＞y2，故④正确．
综上所述，正确的选项是①②④．
故选D．
17．（2023 湖北）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0）．下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3b+2c＝0；④若点P（m﹣2，y1），Q（m，y2）在抛物线上，且y1＜y2，则m≤﹣1．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解答】解：①由题意得：y＝ax2+bx+c＝a（x+3）（x﹣1）＝ax2+2ax﹣3a，
∴b＝2a，c＝﹣3a，
∵a＜0，
∴b＜0，c＞0，
∴abc＞0，
故①是错误的；
②∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0）．
∴ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，
故②是正确的；
③∵b＝2a，c＝﹣3a，
∴3b+2c＝6a﹣6a＝0，
故③是正确的；
④∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0）．
∴抛物线的对称轴为：x＝﹣1，
当点P（m﹣2，y1），Q（m，y2）在抛物线上，且y1＜y2，
∴m≤﹣1或，
解得：m＜0，
故④是错误的，
故选：B．
18．（2023 随州）如图，已知开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（6，0），对称轴为直线x＝2．则下列结论正确的有（　　）
①abc＜0；
②a﹣b+c＞0；
③方程cx2+bx+a＝0的两个根为x1＝，x2＝﹣；
④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜2＜x2且x1+x2＞4，则y1＜y2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴c＞0，
∵﹣＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵抛物线对称轴为直线x＝2，x＝5时，y＞0，
∴x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，故②正确；
由cx2+bx+a＝0可得方程的解x1+x2＝﹣，x1x2＝，
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（6，0），对称轴为直线x＝2，
∴抛物线与x轴另一个交点为（﹣2，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根为﹣2，6，
∴﹣＝4，＝﹣12，
∴﹣＝＝﹣，＝﹣
而若方程cx2+bx+a＝0的两个根为x1＝，x2＝﹣，则﹣＝＝，＝）＝﹣，故③错误；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，
若x1＜2＜x2且x1+x2＞4，则点P（x1，y1）到对称轴的距离小于Q（x2，y2）到直线的距离，
∴y1＞y2，故不正确．
故选：B．
一十六．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
19．（2023 十堰）已知点A（x1，y1）在直线y＝3x+19上，点B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝x2+4x﹣1上，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则x1+x2+x3的取值范围是（　　）
A．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9 B．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣6
C．﹣9＜x1+x2+x3＜0 D．﹣6＜x1+x2+x3＜1
【答案】A
【解答】解：令3x+19＝x2+4x﹣1，整理得x2+x﹣20＝0，
解得x1＝﹣5，x2＝4，
∴直线y＝3x+19与抛物线的交点的横坐标为﹣5，4，
∵y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，顶点为（﹣2，﹣5），
把y＝﹣5代入y＝3x+19，解得x＝﹣8，
若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则﹣8＜x1＜﹣5，x2+x3＝﹣4，
∴﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9，
故选：A．
一十七．平行线的性质（共1小题）
20．（2023 荆州）如图所示的“箭头”图形中，AB∥CD，∠B＝∠D＝80°，∠E＝∠F＝47°，则图中∠G的度数是（　　）
A．80° B．76° C．66° D．56°
【答案】C
【解答】解：延长AB交EG于M，延长CD交FG于N，过G作GK∥AB，
∵AB∥CD，
∴GK∥CD，
∴∠KGM＝∠EMB，∠KGN＝∠DNF，
∴∠KGM+∠KGN＝∠EMB+∠DNF，
∴∠EGF＝∠EMB+∠DNF，
∵∠ABE＝80°，∠E＝47°，
∴∠EMB＝∠ABE﹣∠E＝33°，
同理：∠DNF＝33°，
∴∠EGF＝∠EMB+∠DNF＝33°+33°＝66°．
故选：C．
一十八．矩形的性质（共2小题）
21．（2023 襄阳）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，下列结论一定正确的是（　　）
A．AC平分∠BAD B．AB＝BC C．AC＝BD D．AC⊥BD
【答案】C
【解答】解：由矩形ABCD的对角线相交于点O，
根据矩形的对角线相等，
可得AC＝BD．
故选：C．
22．（2023 十堰）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是（　　）
A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B．对角线BD的长度减小
C．四边形ABCD的面积不变
D．四边形ABCD的周长不变
【答案】C
【解答】解：向左扭动矩形框架ABCD，只改变四边形的形状，四边形变成平行四边形，A不符合题意；
此时对角线BD减小，对角线AC增大，B不合题意．
BC边上的高减小，故面积变小，C符合题意，
四边形的四条边不变，故周长不变，D不符合题意．
故选：C．
一十九．垂径定理的应用（共1小题）
23．（2023 荆州）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，B为上一点，OB⊥AC于D．若AC＝300m，BD＝150m，则的长为（　　）
A．300πm B．200πm C．150πm D．100πm
【答案】B
【解答】解：如图所示：
∵OB⊥AC，
∴AD＝AC＝150m，∠AOC＝2∠AOB，
在Rt△AOD中，
∵AD2+OD2＝OA2，OA＝OB，
∴AD2+（OA﹣BD）2＝OA2，
∴+（OA﹣150）2＝OA2，
解得：OA＝300m，
∴sin∠AOB＝＝，
∴∠AOB＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∴的长＝＝200πm．
故选：B．
二十．圆周角定理（共1小题）
24．（2023 湖北）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，连接AC，AD，BD，若∠C＝20°，∠BPC＝70°，则∠ADC＝（　　）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【答案】D
【解答】解：∵∠C＝20°，∠BPC＝70°，
∴∠BAC＝∠BPC﹣∠C＝50°＝∠BDC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝∠ADB﹣∠BDC＝40°，
故选：D．
二十一．三角形的外接圆与外心（共2小题）
25．（2023 湖北）如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（　　）
A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣
【答案】D
【解答】解：如图：作AB的垂直平分线MN，作BC的垂直平分线PQ，设MN与PQ相交于点O，连接OA，OB，OC，则点O是△ABC外接圆的圆心，
由题意得：OA2＝12+22＝5，
OC2＝12+22＝5，
AC2＝12+32＝10，
∴OA2+OC2＝AC2，
∴△AOC是直角三角形，
∴∠AOC＝90°，
∵AO＝OC＝，
∴图中阴影部分的面积＝扇形AOC的面积﹣△AOC的面积﹣△ABC的面积
＝﹣OA OC﹣AB 1
＝﹣××﹣×2×1
＝﹣﹣1
＝﹣，
故选：D．
26．（2023 十堰）如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，AE＝DE，BC＝CE，过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，若DE＝3，EG＝2，则AB的长为（　　）
A．4 B．7 C．8 D．
【答案】B
【解答】解：如图，连接CD，在△AEB和△DEC中，
，
∴△AEB≌△DEC（ASA），
∴EB＝EC，
∵BC＝CE，
∴BE＝CE＝BC，
∴△EBC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
如图，作BM⊥AC于点M，
∵OF⊥AC，
∴AF＝CF，
∵△EBC为等边三角形，
∴∠GEF＝60°，
∴∠EGF＝30°，
∵EG＝2，
∴EF＝1，
∵AE＝ED＝3，
∴CF＝AF＝4，
∴AC＝8，EC＝5，
∴BC＝5，
∵∠BCM＝60°，
∴∠MBC＝30°，
∴CM＝，BM＝CM＝，
∴AM＝AC﹣CM＝，
∴AB＝＝7．
故选：B．
二十二．切线的性质（共1小题）
27．（2023 武汉）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相
切，切点为E，若，则sinC的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：连接DB、DE，设AB＝m，
∵＝，
∴CD＝3AB＝3m，
∵AD是⊙D的半径，AD⊥AB，
∴AB是⊙D的切线，
∵⊙D与BC相切于点E，
∴BC⊥OE，EB＝AB＝m，∠CBD＝∠ABD，
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴CB＝CD＝3m，
∴CE＝CB﹣EB＝3m﹣m＝2m，
∵∠CED＝90°，
∴DE＝＝＝m，
∴sinC＝＝＝，
故选：B．
二十三．相交两圆的性质（共1小题）
28．（2023 恩施州）如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，若O1O2＝2，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．2π B．π C．π D．π
【答案】D
【解答】解：连接BO1，BO2，
∵⊙O1和⊙O2是等圆，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，
∴BO1＝BO2＝O1O2，
∴∠BO2O1＝60°，
∵O1O2⊥AB，
∴HO1＝HO2，
∵∠AHO1＝∠BHO2＝90°，AH＝BH
∴△AHO1≌△BHO2，
∴阴影的面积＝扇形O2O1B的面积，
∵扇形O2O1B的面积＝＝，
∴阴影的面积＝．
故选：D．
二十四．扇形面积的计算（共1小题）
29．（2023 鄂州）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，OB长为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．5π B．5﹣4π C．5﹣2π D．10﹣2π
【答案】C
【解答】解：连接OD．
在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，
∴BC＝AB＝4，
∴OC＝OD＝OB＝2，
∴∠DOB＝2∠C＝60°，
∴S阴＝S△ACB﹣S△COD﹣S扇形ODB＝×4×4﹣﹣
＝8﹣3﹣2π
＝5﹣2π．
故选：C．
二十五．圆锥的计算（共1小题）
30．（2023 十堰）如图，已知点C为圆锥母线SB的中点，AB为底面圆的直径，SB＝6，AB＝4，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（　　）
A．5 B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由题意知，底面圆的直径AB＝4，
故底面周长等于4π，
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得4π＝，
解得n＝120°，
所以展开图中∠ASC＝120°÷2＝60°，
因为半径SA＝SB，∠ASB＝60°，
故三角形SAB为等边三角形，
又∵C为SB的中点，
所以AC⊥SB，在直角三角形SAC中，SA＝6，SC＝3，
根据勾股定理求得AC＝3，
所以蚂蚁爬行的最短距离为3．
故选：B．
二十六．作图—基本作图（共2小题）
31．（2023 黄石）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，EF和BC交于点O；②以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D；③分别以点D，C为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧相交于点M，连接AM，AM和CD交于点N，连接ON．若AB＝9，AC＝5，则ON的长为（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【解答】解：由作图可知EF垂直平分线段BC，AM垂直平分线段CD，
∴OB＝OC，DN＝CN，
∴ON＝BD，
∵AB＝9，AC＝AD＝5，
∴BD＝AB﹣AD＝9﹣5＝4，
∴ON＝×4＝2．
故选：A．
32．（2023 湖北）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C作BP的垂线分别交BD，AD于点M，N，则CN的长为（　　）
A． B． C． D．4
【答案】A
【解答】解：如图，设BP交CD与点J，交CN与点T．过点J作JK⊥BD于点K．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，∠BCD＝90°，
∵CN⊥BT，
∴∠CTB＝∠CDN＝90°，
∴∠CBT+∠BCM＝90°，∠BCT+∠DCN＝90°，
∴∠CBT＝∠DCN，
∴△BTC∽△CDN，
∴＝，
∴BM CN＝CD CB＝3×4＝12，
∵∠BCD＝90°，CD＝3，BC＝4，
∴＝＝5，
由作图可知BP平分∠CBD，
∵JK⊥BD，JC⊥BC，
∴JK＝JC，
∵S△BCD＝S△BDJ+S△BCJ，
∴×3×4＝×5×JK+×4×JC，
∴JC＝KJ＝，
∴BJ＝＝＝，
∵cos∠CBJ＝＝，
∴＝，
∴BT＝，
∵CN BT＝12，
∴CN＝．
故选：A．
二十七．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
33．（2023 黄石）如图，有一张矩形纸片ABCD．先对折矩形ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN．观察所得的线段，若AE＝1，则MN＝（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解答】解：∵对折矩形ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，
∴AE＝BE＝1，AB＝2AE＝2，∠AEF＝∠BEN＝90°，
∵折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，
∴BN＝AB＝2，∠ABM＝∠NBM，∠BNM＝∠A＝90°，
∴BE＝，
∴∠BNE＝30°，
∴∠EBN＝60°，
∴∠ABM＝∠MBN＝30°，
∴MN＝BN＝，
故选：C．
二十八．中心对称图形（共1小题）
34．（2023 恩施州）如所示4个图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是中心对称图形，故此选项合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
二十九．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
35．（2023 十堰）如图所示，有一天桥高AB为5米，BC是通向天桥的斜坡，∠ACB＝45°，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使∠D＝30°，则CD的长度约为（　　）（参考数据：≈1.414，≈1.732）
A．1.59米 B．2.07米 C．3.55米 D．3.66米
【答案】D
【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴AC＝AB＝5米，
在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠D＝30°，
∴∠ABD＝60°，
∴＝tan∠ABD＝tan60°＝，
∴AD＝AB，
∴CD＝AD﹣AC＝AB﹣AC≈1.732×5﹣5≈3.66（米），
∴CD的长度约为3.66米，
故选：D．
三十．由三视图判断几何体（共1小题）
36．（2023 黄石）如图，根据三视图，它是由（　　）个正方体组合而成的几何体．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解答】解：由俯视图可知，小正方形的个数＝2+1+1＝4个．
故选：B．
三十一．概率公式（共1小题）
37．（2023 十堰）掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数为偶数的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：根据题意可得：掷一次骰子，向上一面的点数有6种情况，其中有3种为向上一面的点数偶数，
故其概率是＝．
故选：C．湖北省各地市2023-中考数学真题分类汇编-02填空题（提升题）知识点分类
一．科学记数法—表示较大的数（共1小题）
1．（2023 武汉）新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系，其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加到13.6亿，参保率稳定在95%．将数据13.6亿用科学记数法表示为1.36×10n的形式，则n的值是　 　（备注：1亿＝100000000）．
二．根与系数的关系（共3小题）
2．（2023 鄂州）若实数a、b分别满足a2﹣3a+2＝0，b2﹣3b+2＝0，且a≠b，则+＝　 　．
3．（2023 湖北）已知一元二次方程x2﹣3x+k＝0的两个实数根为x1，x2，若x1x2+2x1+2x2＝1，则实数k＝　 　．
4．（2023 宜昌）已知x1，x2是方程2x2﹣3x+1＝0的两根，则代数式的值为 　 　．
三．不等式的解集（共1小题）
5．（2023 黄石）若实数a使关于x的不等式组的解集为﹣1＜x＜4，则实数a的取值范围为 　 　．
四．一次函数的应用（共1小题）
6．（2023 武汉）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之．问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程s（单位：步）关于善行者的行走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是　 　．
五．反比例函数系数k的几何意义（共2小题）
7．（2023 黄石）如图，点A（a，） 和B（b，）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，其中a＞b＞0．过点A作AC⊥x轴于点C，则△AOC的面积为 　 　；若△AOB的面积为，则＝　 　．
8．（2023 湖北）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（﹣1，﹣2）和点B（2，m），则△AOB的面积为 　 　．
六．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
9．（2023 鄂州）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝k1x+b与双曲线y2＝（其中k1 k2≠0）相交于A（﹣2，3），B（m，﹣2）两点，过点B作BP∥x轴，交y轴于点P，则△ABP的面积是 　 　．
七．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
10．（2023 武汉）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，c＜0）经过（1，1），（m，0），（n，0）三点，且n≥3．下列四个结论：
①b＜0；
②4ac﹣b2＜4a；
③当n＝3时，若点（2，t）在该抛物线上，则t＞1；
④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根，则．
其中正确的是 　 　（填写序号）．
八．二次函数的应用（共2小题）
11．（2023 襄阳）如图，一位篮球运动员投篮时，球从A点出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度y（m）与篮球距离出手点的水平距离m）之间的函数关系式是y＝﹣（x﹣）2+．下列说法正确的是 　 　（填序号）．
①篮球行进过程中距离地面的最大高度为3.5m；
②篮球出手点距离地面的高度为2.25m．
12．（2023 宜昌）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣（x﹣10）（x+4），则铅球推出的距离OA＝　 　m．
九．等边三角形的性质（共1小题）
13．（2023 武汉）如图，DE平分等边△ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE，AC分别与DF，EF相交于G，H两点．若DG＝m，EH＝n，用含m，n的式子表示GH的长是 　 　．

一十．勾股定理（共1小题）
14．（2023 随州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的角平分线，则AD＝　 　．
一十一．勾股定理的证明（共1小题）
15．（2023 湖北）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中AF＝a，DF＝b，连接AE，BE，若△ADE与△BEH的面积相等，则＝　 　．
一十二．三角形的内切圆与内心（共1小题）
16．（2023 湖北）如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD＝　 　．
一十三．翻折变换（折叠问题）（共3小题）
17．（2023 襄阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是AC的中点，将BCD沿BD折叠得到△BED，连接AE．若DE⊥AB于点F，BC＝10，则AF的长为 　 　．
18．（2023 随州）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，M是边AB上一动点（不含端点），将△ADM沿直线DM对折，得到△NDM．当射线CN交线段AB于点P时，连接DP，则△CDP的面积为 　 　；DP的最大值为 　 　．
19．（2023 宜昌）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点A落在长边CD上的点A处，并得到折痕DE，小宇测得长边CD＝8，则四边形A'EBC的周长为 　 　．
一十四．图形的剪拼（共1小题）
20．（2023 十堰）在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形ABC（∠A＝90°）硬纸片剪切成如图所示的四块（其中D，E，F分别AB，AC，BC的中点，G，H分别为DE，BF的中点），小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最小值为 　 　，最大值为 　 　．
一十五．旋转的性质（共1小题）
21．（2023 黄石）如图，将 ABCD绕点A逆时针旋转到 AB′C′D′的位置，使点B′落在BC上，B′C′与CD交于点E．若AB＝3，AD＝4，BB′＝，则∠BAB′＝　 　（从“∠1，∠2，∠3”中选择一个符合要求的填空）；DE＝　 　．
一十六．坐标与图形变化-旋转（共1小题）
22．（2023 湖北）如图，已知点A（3，0），点B在y轴正半轴上，将线段AB绕点A顺时针旋转120°到线段AC，若点C的坐标为（7，h），则h＝　 　．
一十七．解直角三角形（共1小题）
23．（2023 武汉）如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是 　 　cm（结果精确到0.1cm，参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
一十八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
24．（2023 荆州）如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30°，底部C的俯角为60°，无人机与旗杆的水平距离AD为6m，则该校的旗杆高约为 　 　m．（≈1.73，结果精确到0.1）
湖北省各地市2023-中考数学真题分类汇编-02填空题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．科学记数法—表示较大的数（共1小题）
1．（2023 武汉）新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系，其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加到13.6亿，参保率稳定在95%．将数据13.6亿用科学记数法表示为1.36×10n的形式，则n的值是　9　（备注：1亿＝100000000）．
【答案】9．
【解答】解：13.6亿＝1360000000＝1.36×109．
故答案为：9．
二．根与系数的关系（共3小题）
2．（2023 鄂州）若实数a、b分别满足a2﹣3a+2＝0，b2﹣3b+2＝0，且a≠b，则+＝　　．
【答案】．
【解答】解：∵a、b分别满足a2﹣3a+2＝0，b2﹣3b+2＝0，
∴可以a、b看作是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个实数根，
∴a+b＝3，ab＝2，
∴+＝＝．
故答案为：．
3．（2023 湖北）已知一元二次方程x2﹣3x+k＝0的两个实数根为x1，x2，若x1x2+2x1+2x2＝1，则实数k＝　﹣5　．
【答案】﹣5．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+k＝0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝3，x1 x2＝k，
∵x1x2+2x1+2x2＝1，
∴k+2×3＝1，
解得k＝﹣5，
又∵方程有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4k≥0，
解得k≤，
综合以上可知实数k＝﹣5．
故答案为：﹣5．
4．（2023 宜昌）已知x1，x2是方程2x2﹣3x+1＝0的两根，则代数式的值为 　1　．
【答案】1．
【解答】解：∵x1，x2是方程2x2﹣3x+1＝0的两根，
∴x1+x2＝，x1x2＝，
∴＝＝1．
故答案为：1．
三．不等式的解集（共1小题）
5．（2023 黄石）若实数a使关于x的不等式组的解集为﹣1＜x＜4，则实数a的取值范围为 　a≤﹣1　．
【答案】a≤﹣1．
【解答】解：解不等式组，得．
∵它的解集为﹣1＜x＜4，
∴a≤﹣1．
故答案为：a≤﹣1．
四．一次函数的应用（共1小题）
6．（2023 武汉）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之．问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程s（单位：步）关于善行者的行走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是　250　．
【答案】250．
【解答】解：由题意可知，不善行者函数解析式为s＝60t+100，
善行者函数解析式为s＝100t，
联立，
解得，
∴两图象交点P的纵坐标为250，
故答案为：250．
五．反比例函数系数k的几何意义（共2小题）
7．（2023 黄石）如图，点A（a，） 和B（b，）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，其中a＞b＞0．过点A作AC⊥x轴于点C，则△AOC的面积为 　　；若△AOB的面积为，则＝　2　．
【答案】，2．
【解答】解：因为点A（a，）在反比例函数y＝的图象上，
则，又a＞0，
解得k＝5．
根据k的几何意义可知，
．
过点B作x轴的垂线，垂足为D，
则S△OBD+S梯形ACDB＝S△AOC+S△AOB，
又根据k的几何意义可知，
S△OBD＝S△AOC，
则S梯形ACDB＝S△AOB．
又△AOB的面积为，且A（a，），B（b，），
所以，
即．
解得．
又a＞b＞0，
所以．
故答案为：，2．
8．（2023 湖北）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（﹣1，﹣2）和点B（2，m），则△AOB的面积为 　　．
【答案】．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点A（﹣1，﹣2），
∴k＝（﹣1）×（﹣2）＝2，
∴反比例函数解析式为y＝，
∵反比例函数y＝的图象经过点B（2，m），
∴m＝＝1，
∴B（2，1），
设直线AB与x轴交于C，解析式为y＝kx+b，
则，
解答，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣1，
当y＝0时，x＝1，
∴C（1，0）
∴△AOB的面积＝×1×1+×1×2＝．
故答案为：．
六．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
9．（2023 鄂州）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝k1x+b与双曲线y2＝（其中k1 k2≠0）相交于A（﹣2，3），B（m，﹣2）两点，过点B作BP∥x轴，交y轴于点P，则△ABP的面积是 　　．
【答案】．
【解答】解：∵直线y1＝k1x+b与双曲线y2＝（其中k1 k2≠0）相交于A（﹣2，3），B（m，﹣2）两点，
∴k2＝﹣2×3＝﹣2m
∴m＝3，
∴B（3，﹣2），
∵BP∥x轴，
∴BP＝3，
∴S△ABP＝＝．
故答案为：．
七．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
10．（2023 武汉）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，c＜0）经过（1，1），（m，0），（n，0）三点，且n≥3．下列四个结论：
①b＜0；
②4ac﹣b2＜4a；
③当n＝3时，若点（2，t）在该抛物线上，则t＞1；
④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根，则．
其中正确的是 　②③④　（填写序号）．
【答案】②③④．
【解答】解：①图象经过（1，1），c＜0，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的交点 都在（1，0）的左侧，
∵（n，0）中n≥3，
∴抛物线与x轴的一个交点一定在（3，0）或（3，0）的右侧，
∴抛物线的开口一定向下，即a＜0，
把（1，1）代入y＝ax2+bx+c 得：a+b+c＝1，
即b＝1﹣a﹣c，
∵a＜0，c＜0，
∴b＞0，
故①错误；
②∵a＜0，b＞0，c＜0，，
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根的积大于0，
即mn＞0，
∵n≥3，
∴m＞0，
∴，
即抛物线的对称轴在直线x＝1.5的右侧，
∴抛物线的顶点在点（1，1）的上方或者右上方，
∴，
∵4a＜0，
∴4ac﹣b2＜4a，
故②正确；
③∵m＞0，
∴当 n＝3 时，，
∴抛物线对称轴在直线x＝1.5的右侧，
∴（1，1）到对称轴的距离大于（2，t）到对称轴的距离，
∵a＜0，抛物线开口向下，
∴距离抛物线越近的函数值越大，
∴t＞1，
故③正确；
④方程ax2+bx+c＝x可变为ax2+（b﹣1）x+c＝0，
∵方程有两个相等的实数解，
∴Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0．
∵把（1，1）代入 y＝ax2+bx+c 得a+b+c＝1，即1﹣b＝a+c，
∴（a+c）2﹣4ac＝0，
即a2+2ac+c2﹣4ac＝0，
∴（a﹣c）2＝0，
∴a﹣c＝0，
即a＝c，
∵（m，0），（n，0）在抛物线上，
∴m，n为方程 ax2+bx+c＝0 的两个根，
∴，
∴，
∵n≥3，
∴，
∴．
故④正确．
综上，正确的结论有：②③④．
故答案为：②③④．
八．二次函数的应用（共2小题）
11．（2023 襄阳）如图，一位篮球运动员投篮时，球从A点出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度y（m）与篮球距离出手点的水平距离m）之间的函数关系式是y＝﹣（x﹣）2+．下列说法正确的是 　①　（填序号）．
①篮球行进过程中距离地面的最大高度为3.5m；
②篮球出手点距离地面的高度为2.25m．
【答案】①．
【解答】解：由y＝﹣（x﹣）2+的顶点为（1.5，3.5），
得篮球行进过程中距离地面的最大高度为3.5m，即①正确；
由y＝﹣（x﹣）2+当x＝0时，y＝﹣0.2×2.25+3.5＝3.05，即②不正确；
故答案为：①．
12．（2023 宜昌）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣（x﹣10）（x+4），则铅球推出的距离OA＝　10　m．
【答案】10．
【解答】解：令y＝0，则﹣（x﹣10）（x+4）＝0，
解得：x＝10或x＝﹣4（不合题意，舍去），
∴A（10，0），
∴OA＝10．
故答案为：10．
九．等边三角形的性质（共1小题）
13．（2023 武汉）如图，DE平分等边△ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE，AC分别与DF，EF相交于G，H两点．若DG＝m，EH＝n，用含m，n的式子表示GH的长是 　　．

【答案】．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵折叠△BDE得到△FDE，
∴△BDE≌△FDE，
∴S△BDE＝S△FDE，∠F＝∠B＝60°＝∠A＝∠C，
∵DE平分等边△ABC的面积，
∴图形ACED的面积＝S△BDE＝S△FDE，
∴S△FHG＝S△ADG+S△CHE，
∵∠AGD＝∠FGH，∠CHE＝∠FHG，
∴△ADG∽△FHG，△CHE∽△FHG，
∴2＝，
∴，
∴GH2＝m2+n2，
解得GH＝或GH＝﹣（不合题意舍去），
故答案为：．
一十．勾股定理（共1小题）
14．（2023 随州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的角平分线，则AD＝　5　．
【答案】5．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠C＝90°，
∴CD⊥BC，
∵BD是∠ABC的角平分线，CD⊥BC，DE⊥AB，
∴CD＝DE，
在Rt△BCD和Rt△BED中，
，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴BC＝BE＝6，
在Rt△ABC中，＝＝10，
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4，
设CD＝DE＝x，则AD＝AC﹣CD＝8﹣x，
在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，
∴42+x2＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
∴AD＝8﹣x＝5．
故答案为：5．
一十一．勾股定理的证明（共1小题）
15．（2023 湖北）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中AF＝a，DF＝b，连接AE，BE，若△ADE与△BEH的面积相等，则＝　3　．
【答案】3．
【解答】解：∵图中AF＝a，DF＝b，
∴ED＝AF＝a，EH＝EF＝DF﹣DE＝b﹣a，
∵△ADE与△BEH的面积相等，
∴，
∴a2＝（b﹣a）b，
∴a2＝b2﹣ab，
∴1＝（）2﹣，
∴，
解得＝（负值舍去），
∴，
故答案为：3．
一十二．三角形的内切圆与内心（共1小题）
16．（2023 湖北）如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD＝　35°　．
【答案】35°．
【解答】解：连接OD，OE，OB，OB交ED于点G，
∵∠ACB＝70°，
∴∠CAB+∠CBA＝110°，
∵点O为△ABC的内切圆的圆心，
∴∠OAB+∠OBA＝55°，
∴∠AOB＝125°，
∵OE＝OD，BD＝BE，
∴OB垂直平分DE，
∴∠OGE＝90°，
∴∠AFD＝∠AOB﹣∠OGF＝125°﹣90°＝35°，
故答案为：35°．
一十三．翻折变换（折叠问题）（共3小题）
17．（2023 襄阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是AC的中点，将BCD沿BD折叠得到△BED，连接AE．若DE⊥AB于点F，BC＝10，则AF的长为 　2　．
【答案】2．
【解答】解：取BC中点H，连接AH，过点D作DG⊥BC于点G，DM⊥BE于点M．
设EF＝a，AD＝CD＝DE＝x，则DF＝x﹣a．
∵AB＝AC，
∴AB＝2x，∠ABC＝∠ACB，BH＝HC＝5．
又由折叠得∠ACB＝∠BED，BE＝BC＝10，
∴∠ABC＝∠BED，
∴cos∠ABC＝cos∠BED，即 ＝，
∴＝，
解得：a＝，
∴DF＝x﹣a＝x﹣，
∵D 是AC中点，DG⊥BC，
∴DG是△AHC的中位线，
∴CG＝CH＝，
∴BG＝，
由折叠知∠DEM＝∠DCG，ED＝CD，
在△EMD和△CGD中，
，
∴△EMD≌△CGD（AAS），
∴DG＝MD．
∵DE⊥AB，
∴∠EFB＝90°，
∴∠DEB+∠EBF＝90°．
又∵∠CAH+∠ACB＝90°，且∠ACB＝∠DEB，
∴∠EBF＝∠CAH，
∴∠EBF+∠ABC＝90°，
∴∠DMB＝∠MBG＝∠BGD＝90°
∴四边形 MBGD是正方形，
∴DG＝BG＝，
∴AH＝2DG＝15．
在 Rt△AHC中，AH2+HC2＝AC2，
∴152+52＝（2x）2，
解得：x＝，
∴a＝，x﹣a＝，即AD＝，DF＝，
在 Rt△AFD中，AF＝＝2．
18．（2023 随州）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，M是边AB上一动点（不含端点），将△ADM沿直线DM对折，得到△NDM．当射线CN交线段AB于点P时，连接DP，则△CDP的面积为 　10　；DP的最大值为 　2　．
【答案】10，2，
【解答】解：△CDP的面积为 ；
由题意可得△CDP的面积等于矩形ABCD的一半，∴△CDP的面积为 ；
在R△APD中，PD＝，
当AP最大时，DP最大，
由题意可得点N是在以D为圆心4为半径的圆上运动，当射线CN与圆相切时，AP最大，此时C、N、M三点共线，此时点P和M重合，DP的值最大，如图；
设AP＝x，则PB＝5﹣x，DN＝4，
∴CN＝3，
在Rt△PBC中，根据勾股定理有：（5﹣x）2+42＝（x+3）2，
解得x＝2，
∴DP＝2，
故答案为：10，2，
19．（2023 宜昌）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点A落在长边CD上的点A处，并得到折痕DE，小宇测得长边CD＝8，则四边形A'EBC的周长为 　16　．
【答案】16．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠AED＝∠A′DE，
由折叠得∠ADE＝∠A′ED，AD＝A′D，AE＝A′E，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴AD＝AE＝A′D＝A′E，
∴AB﹣BE＝CD﹣A′D，
∴A′C＝BE，
∴四边形A′EBC是平行四边形，
∴四边形A'EBC的周长＝2（A′C+A′E）＝2（A′C+A′D）＝2CD＝16．
故答案为：16．
一十四．图形的剪拼（共1小题）
20．（2023 十堰）在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形ABC（∠A＝90°）硬纸片剪切成如图所示的四块（其中D，E，F分别AB，AC，BC的中点，G，H分别为DE，BF的中点），小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最小值为 　8　，最大值为 　8+2　．
【答案】8；8+2．
【解答】解：如图，
BC＝4，AC＝4×＝2，CI＝BD＝CE＝AC＝，DI＝BC＝4，
∴四边形BCID周长＝4+4+2＝8+2；
如图，
AF＝AI＝IC＝FC＝2，
∴四边形AFCI周长为2×4＝8；
故答案为：8，8+2．
一十五．旋转的性质（共1小题）
21．（2023 黄石）如图，将 ABCD绕点A逆时针旋转到 AB′C′D′的位置，使点B′落在BC上，B′C′与CD交于点E．若AB＝3，AD＝4，BB′＝，则∠BAB′＝　∠1　（从“∠1，∠2，∠3”中选择一个符合要求的填空）；DE＝　　．
【答案】∠1；．
【解答】解：由旋转的性质得：∠BAD＝∠B′AD′，
∵∠BAB′+∠B′AD＝∠BAD，∠1+∠B′AD＝∠B′AD′，
∴∠BAB′＝∠1，
如图，连接DD'，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，
∴CB′＝BC﹣BB′＝4﹣＝，
由旋转得：AB′＝AB＝3，AD′＝AD＝4，
∵∠BAB′＝∠1，
∴∠AD′D＝∠AD′D＝∠AB′B＝∠B，
∴△BAB′∽△DAD′，
∴＝，即＝，
解得：DD′＝2，
由旋转的性质得：四边形AB′C′D′是平行四边形，∠AB′C′＝∠B，AB′＝AB＝3，∠C′＝∠ECB′，B′C′＝BC＝4，
∴∠AD′C′＝∠AB′C′＝∠B，C′D′＝AB′＝3，
∵∠AD′D＝∠B＝∠AB′B，
∴∠AD′C′＝∠AD′D，即点D′、D、C′在同一条直线上，
∴DC′＝C′D′﹣DD′＝3﹣2＝1，
∵∠C′＝∠ECB′，∠DEC′＝∠B′EC，
∴△CEB′∽△C'ED，
∴＝＝，
即＝＝＝，
设DE＝x，B′E＝y，
∴＝＝，
解得：x＝，
∴DE＝，
故答案为：∠1；．
一十六．坐标与图形变化-旋转（共1小题）
22．（2023 湖北）如图，已知点A（3，0），点B在y轴正半轴上，将线段AB绕点A顺时针旋转120°到线段AC，若点C的坐标为（7，h），则h＝　　．
【答案】．
【解答】解：方法一：在x轴上取点D和点E，使得∠ADB＝∠AEC＝120°，过点C作CF⊥x轴于点F，
∵点C的坐标为（7，h），
∴OF＝7，CF＝h，
在Rt△CEF中，∠CEF＝180°﹣∠AEC＝60°，CF＝h，，，∠BAC＝120°，∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD＝180°﹣120°＝60°，
∴∠CAE＝∠ABD，
∵AB＝CA，
∴△CAE≌△ABD（AAS），
∴，AE＝BD，
∵点A（3，0），
∴OA＝3，
∴
在Rt△BOD中，∠BDO＝180°﹣∠ADB＝60°，BD＝，
∴，
∵OA+AE+EF＝OF，
∴，
解得 ，
方法二：将△AOB绕点A顺时针旋转120度，得到三角形ACD，延长DC交x轴于点E，在直角三角形ADE中，∠DAE＝60°，则AE＝2AD＝2OA＝6，过点C作CF⊥x轴于点F，
则CF＝h，AF＝7﹣3＝4，
所以EF＝6﹣4＝2，
在直角三角形CEF中h＝EF tan30°＝
.故答案为：．
一十七．解直角三角形（共1小题）
23．（2023 武汉）如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是 　2.7　cm（结果精确到0.1cm，参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
【答案】2.7cm．
【解答】解：如图，过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E，
在△BOD中，∠BDO＝90°，∠DOB＝45°，
∴CE＝BD＝2cm，
在△OCE中，∠COE＝37°，∠CEO＝90°，
∴tan37°＝，
∴OE＝2.7cm，
即OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是2.7cm．
故答案为：2.7cm．
一十八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
24．（2023 荆州）如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30°，底部C的俯角为60°，无人机与旗杆的水平距离AD为6m，则该校的旗杆高约为 　13.8　m．（≈1.73，结果精确到0.1）
【答案】13.8．
【解答】解：由题意可得：tan30°＝，
解得：BD＝2（米），
tan60°＝，
解得：DC＝6（米），
故该校的旗杆高约为：BC＝BD+DC＝8≈13.8（米），
故答案为：13.8．湖北省各地市2023-中考数学真题分类汇编-01选择题（基础题）知识点分类①
一．实数大小比较（共2小题）
1．（2023 黄石）实数a与b在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关系是（　　）
A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．无法确定
2．（2023 恩施州）下列实数：﹣1，0，，﹣其中最小的是（　　）
A．﹣1 B．0 C． D．﹣
二．同底数幂的除法（共1小题）
3．（2023 襄阳）下列各式中，计算结果等于a2的是（　　）
A．a2 a3 B．a5÷a3 C．a2+a3 D．a5﹣a0
三．整式的混合运算（共1小题）
4．（2023 黄石）下列运算正确的是（　　）
A．3x2+2x2＝6x4 B．（﹣2x2）3＝﹣6x6
C．x3 x2＝x6 D．﹣6x2y3÷2x2y2＝﹣3y
四．解分式方程（共1小题）
5．（2023 恩施州）分式方程＝的解是（　　）
A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝2 D．x＝0
五．在数轴上表示不等式的解集（共1小题）
6．（2023 襄阳）如图，数轴上表示的是组成不等式组的两个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是（　　）
A．x≤1 B．x＞1 C．﹣1＜x D．﹣1＜x≤1
六．解一元一次不等式组（共1小题）
7．（2023 鄂州）已知不等式组的解集是﹣1＜x＜1，则（a+b）2023＝（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．2023
七．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
8．（2023 恩施州）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点位于（2，0），（3，0）两点之间．下列结论：
①2a+b＞0；
②bc＜0；
③a＜﹣c；
④若x1，x2为方程ax2+bx+c＝0的两个根，则﹣3＜x1 x2＜0；
其中正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
八．平行线的性质（共2小题）
9．（2023 恩施州）将含60°角的直角三角板按如图方式摆放，已知m∥n，∠1＝20°，则∠2＝（　　）
A．40° B．30° C．20° D．15°
10．（2023 鄂州）如图，直线AB∥CD，GE⊥EF于点E．若∠BGE＝60°，则∠EFD的度数是（　　）
A．60° B．30° C．40° D．70°
九．勾股定理（共1小题）
11．（2023 湖北）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在边AC上，且BD平分△ABC的周长，则BD的长是（　　）
A． B． C． D．
一十．坐标与图形变化-平移（共1小题）
12．（2023 黄石）如图，已知点A（1，0），B（4，m），若将线段AB平移至CD，其中点C（﹣2，1），D（a，n），则m﹣n的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
一十一．相似三角形的判定与性质（共1小题）
13．（2023 恩施州）如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AC，AB于点D，E，EF∥AC交BC于点F，，BF＝8，则DE的长为（　　）
A． B． C．2 D．3
一十二．简单组合体的三视图（共1小题）
14．（2023 襄阳）先贤孔子曾说过“鼓之舞之“，这是“鼓舞“一词最早的起源，如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
一十三．由三视图判断几何体（共1小题）
15．（2023 湖北）如图是一个立体图形的三视图，该立体图形是（　　）
A．三棱柱 B．圆柱 C．三棱锥 D．圆锥
一十四．众数（共2小题）
16．（2023 黄石）我市某中学开展“经典诵读”比赛活动，810班在此次比赛中的得分分别是：9.1，9.8，9.1，9.2，9.9，9.1，9.9，9.1，这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．9.1，9.1 B．9.1，9.15 C．9.1，9.2 D．9.9，9.2
17．（2023 湖北）某班9名学生参加定点投篮测试，每人投篮10次，投中的次数统计如下：3，6，4，6，4，3，6，5，7．这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A．5，4 B．5，6 C．6，5 D．6，6
一十五．随机事件（共1小题）
18．（2023 武汉）掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是（　　）
A．点数的和为1 B．点数的和为6
C．点数的和大于12 D．点数的和小于13
一十六．概率的意义（共1小题）
19．（2023 襄阳）襄阳气象台发布的天气预报显示，明天襄阳某地下雨的可能性是75%，则“明天襄阳某地下雨”这一事件是（　　）
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件
一十七．列表法与树状图法（共1小题）
20．（2023 武汉）某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“100米”与“400米”两个项目的概率是（　　）
A． B． C． D．
一十八．利用频率估计概率（共1小题）
21．（2023 恩施州）县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：
移植的棵数a 100 300 600 1000 7000 15000
成活的棵数b 84 279 505 847 6337 13581
成活的频率 0.84 0.93 0.842 0.847 0.905 0.905
根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到0.1）（　　）
A．0.905 B．0.90 C．0.9 D．0.8
湖北省各地市2023-中考数学真题分类汇编-01选择题（基础题）知识点分类①
参考答案与试题解析
一．实数大小比较（共2小题）
1．（2023 黄石）实数a与b在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关系是（　　）
A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．无法确定
【答案】C
【解答】解：由题意得，
a＜0＜b，
∴a＜b，
故选：C．
2．（2023 恩施州）下列实数：﹣1，0，，﹣其中最小的是（　　）
A．﹣1 B．0 C． D．﹣
【答案】A
【解答】解：∵|﹣1|＝1，|﹣|＝，
∴1＞，
∴﹣1＜﹣，
在﹣1，0，，﹣这四个数中，
∵﹣1＜﹣＜0＜，
∴最小的数是﹣1，
故选：A．
二．同底数幂的除法（共1小题）
3．（2023 襄阳）下列各式中，计算结果等于a2的是（　　）
A．a2 a3 B．a5÷a3 C．a2+a3 D．a5﹣a0
【答案】B
【解答】解：A．a2 a3＝a2+3＝a5，因此选项A不符合题意；
B．a5÷a3＝a5﹣3＝a2，因此选项B符合题意；
C．a2与a3不是同类项，不能合并，因此选项C不符合题意；
D．a5与a0不是同类项，不能合并，因此选项D不符合题意．
故选：B．
三．整式的混合运算（共1小题）
4．（2023 黄石）下列运算正确的是（　　）
A．3x2+2x2＝6x4 B．（﹣2x2）3＝﹣6x6
C．x3 x2＝x6 D．﹣6x2y3÷2x2y2＝﹣3y
【答案】D
【解答】解：A、3x2+2x2＝5x2，原选项计算错误，不符合题意；
B、（﹣2x2）3＝﹣8x6，原选项计算错误，不符合题意；
C、x3 x2＝x5，原选项计算错误，不符合题意；
D、﹣6x2y3÷2x2y2＝﹣3y，原选项计算正确，符合题意．
故选：D．
四．解分式方程（共1小题）
5．（2023 恩施州）分式方程＝的解是（　　）
A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝2 D．x＝0
【答案】B
【解答】解：＝，
方程两边同乘最简公分母（x﹣3）（x﹣1），
去分母得x（x﹣1）＝（x+1）（x﹣3），
解得x＝﹣3，
把x＝﹣3代入（x﹣3）（x﹣1）＝24≠0，
∴原分式方程的解是x＝﹣3，
故选：B．
五．在数轴上表示不等式的解集（共1小题）
6．（2023 襄阳）如图，数轴上表示的是组成不等式组的两个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是（　　）
A．x≤1 B．x＞1 C．﹣1＜x D．﹣1＜x≤1
【答案】D
【解答】解：由不等式组解集的定义可知，数轴所表示的两个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是1﹣＜x≤1，
故选：D．
六．解一元一次不等式组（共1小题）
7．（2023 鄂州）已知不等式组的解集是﹣1＜x＜1，则（a+b）2023＝（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．2023
【答案】B
【解答】解：由x﹣a＞2，得：x＞a+2，
由x+1＜b，得：x＜b﹣1，
∵解集为﹣1＜x＜1，
∴a+2＝﹣1，b﹣1＝1，
解得a＝﹣3，b＝2，
则（a+b）2023＝（﹣3+2）2023＝（﹣1）2023＝﹣1．
故选：B．
七．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
8．（2023 恩施州）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点位于（2，0），（3，0）两点之间．下列结论：
①2a+b＞0；
②bc＜0；
③a＜﹣c；
④若x1，x2为方程ax2+bx+c＝0的两个根，则﹣3＜x1 x2＜0；
其中正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故①错误；
∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，b＝﹣2a＞0，c＞0，
∴bc＞0，故②错误；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，x＝3时y＜0，
∴x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，
∴a﹣（﹣2a）+c＜0，
∴a＜﹣c，故③正确；
若x1，x2为方程ax2+bx+c＝0的两个根，由函数图象与x轴交点可知﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，
∴﹣3＜x1 x2＜0，故④正确，
∴正确的有：③④，共2个，
故选：B．
八．平行线的性质（共2小题）
9．（2023 恩施州）将含60°角的直角三角板按如图方式摆放，已知m∥n，∠1＝20°，则∠2＝（　　）
A．40° B．30° C．20° D．15°
【答案】A
【解答】解：如图，
由题意得：∠3＝30°，∠A＝90°，
∴∠ABC＝∠1+∠3＝50°，
∵m∥n，
∴∠ADE＝∠ABC＝50°，
∴∠2＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝40°．
故选：A．
10．（2023 鄂州）如图，直线AB∥CD，GE⊥EF于点E．若∠BGE＝60°，则∠EFD的度数是（　　）
A．60° B．30° C．40° D．70°
【答案】B
【解答】解：过点E作直线HI∥AB．
∵AB∥CD，AB∥HI，
∴CD∥HI．
∴∠BGE＝∠GEH＝60°，
∴∠HEF＝∠GEF﹣∠GEH＝90°﹣60°＝30°．
∴∠EFD＝∠HEF＝30°．
故选：B．
九．勾股定理（共1小题）
11．（2023 湖北）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在边AC上，且BD平分△ABC的周长，则BD的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝5，
∴△ABC的周长＝3+4+5＝12，
∵BD平分△ABC的周长，
∴AB+AD＝BC+CD＝6，
∴AD＝3，CD＝2，
过D作DE⊥BC于E，
∴AB∥DE，
∴△CDE∽△CAB，
∴，
∴，
∴DE＝，CE＝，
∴BE＝，
∴BD＝＝＝，
故选：C．
一十．坐标与图形变化-平移（共1小题）
12．（2023 黄石）如图，已知点A（1，0），B（4，m），若将线段AB平移至CD，其中点C（﹣2，1），D（a，n），则m﹣n的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【答案】B
【解答】解：∵线段CD由线段AB平移得到，
且A（1，0），C（﹣2，1），B（4，m），D（a，n），
∴m﹣n＝0﹣1＝﹣1．
故选：B．
一十一．相似三角形的判定与性质（共1小题）
13．（2023 恩施州）如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AC，AB于点D，E，EF∥AC交BC于点F，，BF＝8，则DE的长为（　　）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AC，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∴DE＝CF，
设DE＝CF＝x，
∵BF＝8，
∴BC＝BF+CF＝8+x，
∵DE∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝，即＝，
解得x＝，
故选：A．
一十二．简单组合体的三视图（共1小题）
14．（2023 襄阳）先贤孔子曾说过“鼓之舞之“，这是“鼓舞“一词最早的起源，如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：这个立体图形的主视图为：
故选：B．
一十三．由三视图判断几何体（共1小题）
15．（2023 湖北）如图是一个立体图形的三视图，该立体图形是（　　）
A．三棱柱 B．圆柱 C．三棱锥 D．圆锥
【答案】D
【解答】解：根据三视图的知识，正视图和左视图都为一个三角形，而俯视图为一个圆，故可得出这个图形为一个圆锥．
故选：D．
一十四．众数（共2小题）
16．（2023 黄石）我市某中学开展“经典诵读”比赛活动，810班在此次比赛中的得分分别是：9.1，9.8，9.1，9.2，9.9，9.1，9.9，9.1，这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．9.1，9.1 B．9.1，9.15 C．9.1，9.2 D．9.9，9.2
【答案】B
【解答】解：将数据9.1，9.8，9.1，9.2，9.9，9.1，9.9，9.1按照从小到大排列是：9.1，9.1，9.1，9.1，9.2，9.8，9.9，9.9，
则这组数据的众数是9.1，中位数是（9.1+9.2）÷2＝9.15，
故选：B．
17．（2023 湖北）某班9名学生参加定点投篮测试，每人投篮10次，投中的次数统计如下：3，6，4，6，4，3，6，5，7．这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A．5，4 B．5，6 C．6，5 D．6，6
【答案】B
【解答】解：将数据从小到大排列为：3，3，4，4，5，6，6，6，7，
∴这组数据的中位数为5，众数为6．
故选：B．
一十五．随机事件（共1小题）
18．（2023 武汉）掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是（　　）
A．点数的和为1 B．点数的和为6
C．点数的和大于12 D．点数的和小于13
【答案】B
【解答】解：A、两枚骰子的点数的和为1，是不可能事件，故不符合题意；
B、两枚骰子的点数之和为6，是随机事件，故符合题意；
C、点数的和大于12，是不可能事件，故不符合题意；
D、点数的和小于13，是必然事件，故不符合题意；
故选：B．
一十六．概率的意义（共1小题）
19．（2023 襄阳）襄阳气象台发布的天气预报显示，明天襄阳某地下雨的可能性是75%，则“明天襄阳某地下雨”这一事件是（　　）
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件
【答案】C
【解答】解：明天襄阳某地下雨的可能性是75%，是说“明天襄阳某地下雨”的可能性较大，但也不一定会下雨，因此是随机事件，
故选：C．
一十七．列表法与树状图法（共1小题）
20．（2023 武汉）某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“100米”与“400米”两个项目的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：跳高（记为项目1）、跳远（记为项目2）、100米短跑（记为项目3）、400米中长跑（记为项目4），
画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，恰好抽到“100米”和“400米”两项的有2种情况，
∴恰好抽到“100米”和“400米”的概率是：．
故选：C．
一十八．利用频率估计概率（共1小题）
21．（2023 恩施州）县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：
移植的棵数a 100 300 600 1000 7000 15000
成活的棵数b 84 279 505 847 6337 13581
成活的频率 0.84 0.93 0.842 0.847 0.905 0.905
根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到0.1）（　　）
A．0.905 B．0.90 C．0.9 D．0.8
【答案】C
【解答】解：由表格数据可得，随着样本数量不断增加，这种树苗移植成活的频率稳定在0.9左右，
故估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为0.9．
故选：C．