考点专练5：基本不等式及其应用
（一）学考真题
1.【2023年2月广东省学考T3】已知、，且，则的最小值是（ ）
A.10 B.12
C.13 D.15
2.【2022年1月广东省学考T11】已知m>0，n>0，mn=81，则m+n的最小值是（ ）
A.9 B.18
C. D.27
3.【2021年1月广东省学考T15】已知的最小值是（ ）
A. B.6
C. D.4
4.【2017年广东省学考T13】下列不等式一定成立的是( )
A.x＋≥2(x≠0) B.x2＋≥1(x∈R)
C.x2＋1≤2x(x∈R) D.x2＋5x＋6≥0(x∈R)
（二）考点专练
5.若0
C.2ab D.a
6.已知x>0，则＋x的最小值为( )
A.6 B.5
C.4 D.3
7.设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )
A.80 B.77
C.81 D.82
8.已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)·(1＋y)的最大值为( )
A.16 B.25
C.9 D.36
9.“x>0”是“x＋≥2成立”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
10.设a，b为正数，且a＋b≤4，则( )
A.＋≤1 B.＋≥2
C.ab≤4 D.ab≥8
11.已知x>2，则x＋的最小值为________
12.已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值是________
13.已知x>0，y>0，＋＝1，则x＋y的最小值为________
14.已知正数a，b满足a＋2b＝2，则＋的最小值为________
15.已知t>0，则函数y＝的最小值为________
16.已知a＞b＞c，则与的大小关系是________
参考答案及解析：
1.B 2.B
3.C
4.B
解析：A选项中，当x＜0时，不成立；C选项中，当x＝－1时，不成立；D选项中，当x∈(－3，－2)时，x2＋5x＋6＜0，所以不成立；B选项中，x2＋＝(x2＋1)＋－1≥2－1＝1(x∈R)，当且仅当x＝0时取“＝”．
5.B
6.A 解析：∵x>0，∴＋x≥2＝6，当且仅当x＝，即x＝3时取得最小值6．
7.C
8.B 解析：因为x>0，y>0，且x＋y＝8，所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋＝9＋42＝25，因此当且仅当x＝y＝4时，(1＋x)·(1＋y)取最大值25.
9.C
解析：当x>0时，x＋≥2＝2.
∵x，同号，∴若x＋≥2，则x>0，>0，∴“x>0”是“x＋≥2成立”的充要条件
10.C 解析：∵a，b为正数，且a＋b≥2，∴ab≤≤4，当且仅当a＝b＝2时取等号．
11.答案：6
解析:x＋＝x－2＋＋2，∵x－2>0，∴x－2＋＋2≥2＋2＝4＋2＝6.
当且仅当x－2＝，即x＝4时取“＝”．
12.答案：9
解析：∵x＋y＝1，∴＋＝(x＋y)＝1＋4＋＋
∵x>0，y>0，∴>0，>0，∴＋≥2＝4，
∴5＋＋≥9，当且仅当x＝，y＝时等号成立∴min＝9
13.答案：16
解析：∵＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)·＝1＋＋＋9＝＋＋10，又∵x>0，y>0，∴＋＋10≥2＋10＝16，当且仅当＝，即y＝3x时，等号成立．由得即当x＝4，y＝12时，x＋y取得最小值16．
14.答案：4
解析:＋＝×(a＋2b)＝≥(4＋2)＝4.当且仅当＝，即a＝1，b＝时等号成立，∴＋的最小值为4.
15.答案：－2
解析:∵t>0，∴y＝＝t＋－4≥2－4＝－2，当且仅当t＝1时取等号．
16.答案：≤
解析：因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0．所以＝≥，
当且仅当a－b＝b－c时，等号成立．
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