2023- 2024学年景城学校中学初三年级 10月份月考数学试卷
一、选择题（本题共 8小题，每题 3分，共 24分）
1.下列关于 x的方程中，是一元二次方程的为 ( )
A. ax2+ bx+ c= 0 B. x2- 1x = 1 C. x
2- 1= 0 D. 2x+ 3y- 5= 0
2.已知二次函数 y=-3(x- 2)2- 3，下列说法正确的是 ( )
A.对称轴为直线 x=-2 B.顶点坐标为 (2，3)
C.函数的最大值是-3 D.函数的最小值是-3
3.将抛物线 y= x2先向右平移 3个单位，再向上平移 4个单位，得到的抛物线是 ( )
A. y= (x- 3)2+ 4 B. y= (x+ 3)2+ 4 C. y= (x- 3)2- 4 D. y= (x+ 3)2- 4
4.据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和 2022年全国居民人均可支配收
入分别为 3.2万元和 3.7万元．设 2020年至 2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为 x，依题意可
列方程为 ( )
A. 3.2(1- x)2= 3.7 B. 3.2(1+ x)2= 3.7 C. 3.7(1- x)2= 3.2 D. 3.7(1+ x)2= 3.2
5.关于 x的一元二次方程 x2+mx- 8= 0的根的情况是 ( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
6.在同一平面直角坐标系中，函数 y= ax+ 1与 y= ax2+ bx+ 1(a≠ 0)的图象可能是 ( )
A. B. C. D.
7.已知二次函数 y= ax2- 4ax+ 4，当 x分别取 x1、x2两个不同的值时，函数值相等，则当 x取 x1+ x2时，y的值为
( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
8.如图，抛物线 y= ax2+ c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在 y轴上，则 ac的值为 ( )
A. - 1 B. - 2 C. - 3 D. - 4
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二、填空题（本题共 8小题，每题 3分，共 24分）
9.一元二次方程 (x- 1)2= 2的根是 ．
10.关于 x的一元二次方程 x2- x- a= 0的一个根是 2，则该方程的另一个根为 ．
11.已知点 (-1，y1)、(-3 12 ，y2)
1
、( 2 ，y3)在函数 y= 3x
2+ x+ 12的图象上，则 y1，y2，y3的大小关系为 ．
(用“<”号连接)
12.已知二次函数 y=-ax2+ 2ax+ 3(a> 0)，若点P(m，3)在该函数的图象上，且m≠ 0，则m的值为 ．
13.如图，在长为 100m，宽为 50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的
面积是 3600m2，则小路的宽是 m.
14.已知 a是方程 x2+ 3x- 4= 0的一个根，则 a3+ 2a2- 7a+ 2的值为 ．
15.如果一个函数在某个自变量取值范围内有最大值和最小值，则最大值与最小值的差叫做这个函数在该自变量
范围内的“值域差”，如一次函数 y= x+ 1，当 0≤ x≤ 1时，函数最大值为 ymax= 2,最小值 ymin= 1,则其值域差
为 ymax- ymin= 1.已知二次函数 y= x2- 2x- 1.当 0≤ x≤ 3时，该函数的“值域差”是 .
16.如图，已知抛物线 y=-x2+ px+ q的对称轴为 x=-3，过其顶点M的一条直线 y= kx+ b与该抛物线的另一
个交点为N (-1，1)．要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，求点P的坐标．
三、解答题（本题共 10小题，共 82分）
17.按指定的方法解下列方程：
(1) (x+ 2)2= 3x+ 6； (2)x2+ 4x+ 2= 0 (3) 4 1； 2 - = 1．x - 4 x- 2
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18.已知抛物线 y= x2+ (m- 1)x-m，根据下列条件，分别求出m的值．
(1)若抛物线过原点；
(2)若抛物线的顶点在 x轴上；
(3)若抛物线的对称轴为直线 x= 2．
19.已知关于 x的一元二次方程 kx2- (2k+ 4)x+ k- 6= 0有两个不相等的实数根．
(1)求 k的取值范围；
(2)当 k= 1时，用配方法解方程．
20.阅读下面的例题：
解方程 x2- |x| -2= 0
解：(1)当 x≥ 0，原方程化为 x2- x- 2= 0，解得 x1= 2，x2=-1(不合题意，舍去)
(2)当 x< 0时，原方程化为 x2+ x- 2= 0，解得 x1= 1(不合题意，舍去)，x2=-2，∴原方程的根是 x1= 2，x2=-2
(3)请参照例题解方程 x2- |x- 1| -2= 0．
21.等腰三角形一条边的边长为 4，它的另两条边的边长是关于 x的一元二次方程 x2- 16x+ k= 0的两个根，则 k
的值为多少？
22.一商店销售某种商品，平均每天可售出 20件，每件盈利 40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措
施，在每件盈利不少于 25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低 1元，平均每天可多售出 2件．
(1)若降价 3元，则平均每天销售数量为 件；
(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大？
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23.已知二次函数 y=-x2+ bx+ c．
(1)当 b= 4，c= 3时，求该函数图象的顶点坐标；
(2)当 x≤ 0时，y的最大值为 2；当 x> 0时，y的最大值为 3，求二次函数的表达式．
24.已知：关于 x的一元二次方程 x2- (2m- 3)x+m2+ 3m+ 2= 0．
(1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2) 2m+ 2若方程的两个实数根 x1，x2满足 x1- x2 = 2+ m- 1 ，求m的值．
25.如图，二次函数的图象与 x轴交于A(-1，0)，B(5，0)两点，与 y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，CO=
5AO
(1)求二次函数的表达式；
(2)若E是抛物线上一点（不与点D重合），若△BCE的面积等于△BCD的面积，求点E的坐标
26.如图，抛物线过点O(0，0)，E(10，0)，矩形ABCD的边AB在线段OE上 (点B在点A的左侧)，点C，D在抛物
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线上．设B(t，0)，当 t= 2时，BC= 4．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当 t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？
(3)保持 t= 2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直
线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．
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一、选择题（本题共 8小题，每题 3分，共 24分）
1.下列关于 x的方程中，是一元二次方程的为 ( )
A. ax2+ bx+ c= 0 B. x2- 1 = 1 C. x2x - 1= 0 D. 2x+ 3y- 5= 0
【答案】C
【解答】解：A、当 a= 0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、x2- 1= 0是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、2x+ 3y- 5= 0是二元一次方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
2.已知二次函数 y=-3(x- 2)2- 3，下列说法正确的是 ( )
A.对称轴为直线 x=-2 B.顶点坐标为 (2，3)
C.函数的最大值是-3 D.函数的最小值是-3
【答案】C
【解答】解：二次函数 y=-3(x- 2)2- 3的图象的开口向下，对称轴为直线 x= 2，顶点坐标为 (2，-3)，
x= 2时，y有最大值为 y=-3，
故选：C．
3.将抛物线 y= x2先向右平移 3个单位，再向上平移 4个单位，得到的抛物线是 ( )
A. y= (x- 3)2+ 4 B. y= (x+ 3)2+ 4 C. y= (x- 3)2- 4 D. y= (x+ 3)2- 4
【答案】A
【解答】解：将抛物线 y= x2先向右平移 3个单位，再向上平移 4个单位，得到的抛物线是
y= (x- 3)2+ 4．
故选：A．
4.据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和 2022年全国居民人均可支配收
入分别为 3.2万元和 3.7万元．设 2020年至 2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为 x，依题意可
列方程为 ( )
A. 3.2(1- x)2= 3.7 B. 3.2(1+ x)2= 3.7 C. 3.7(1- x)2= 3.2 D. 3.7(1+ x)2= 3.2
【答案】B
【解答】解：由题意得：3.2(1+ x)2= 3.7，
故选：B．
5.关于 x的一元二次方程 x2+mx- 8= 0的根的情况是 ( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
【答案】A
【解答】解：∵Δ=m2- 4× 1× (-8) =m2+ 32> 0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
6.在同一平面直角坐标系中，函数 y= ax+ 1与 y= ax2+ bx+ 1(a≠ 0)的图象可能是 ( )
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A. B. C. D.
【答案】C
【解答】解：A、根据一次函数图象知道 a< 0，与 y轴的交点不是 (0，1)，故选项错误；
B、根据二次函数的图象知道 a< 0，同时与 y轴的交点是 (0，1)，但是根据一次函数的图象知道 a> 0，故选项错
误；
C、根据图象知道两个函数图象与 y轴的交点坐标为 (0，1)，同时也知道 a> 0，故选项正确；
D、根据一次函数图象知道 a< 0，根据二次函数的图象知道 a> 0，故选项错误．
故选：C．
7.已知二次函数 y= ax2- 4ax+ 4，当 x分别取 x1、x2两个不同的值时，函数值相等，则当 x取 x1+ x2时，y的值为
( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】C
【解答】解：∵ y= ax2- 4ax+ 4= a(x- 2)2- 4a+ 4，当 x分别取 x1、x2两个不同的值时，函数值相等，
∴ x1+ x2= 4，
∴当 x取 x1+ x2时，y= a(4- 2)2- 4a+ 4= 4，
故选：C．
8.如图，抛物线 y= ax2+ c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在 y轴上，则 ac的值为 ( )
A. - 1 B. - 2 C. - 3 D. - 4
【答案】B
【解答】解：过A作AH⊥ x轴于H，
∵四边形ABCO是正方形，
∴∠AOB= 45°，
∴∠AOH= 45°，
∴AH=OH，
设A(m，m)，则B(0，2m)，
∴ m= am
2+ c
= ，2m c
解得 am=-1 c，m= 2 ，
∴ ac的值为-2，
故选：B．
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二、填空题（本题共 8小题，每题 3分，共 24分）
9.一元二次方程 (x- 1)2= 2的根是 x1= 1+ 2,x2= 1- 2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：x- 1=± 2，
x1= 1+ 2,x2= 1- 2．
10.关于 x的一元二次方程 x2- x- a= 0的一个根是 2，则该方程的另一个根为 -1 ．
【答案】-1．
【解答】解：设该方程的另一个根为 t，
根据根与系数的关系得 2+ t= 1，
解得 t=-1，
即该方程的另一个根为-1．
故答案为：-1．
11.已知点 (-1，y ) (-3 11 、 2 ，y2)、(
1
2 ，y3)在函数 y= 3x
2+ x+ 12的图象上，则 y1，y2，y3的大小关系为 y 3<
y1< y2 ． (用“<”号连接)
【答案】y3< y1< y2．
【解答】解：x=-1时，y1= 3× (-1)2+ (-1) + 12= 14，
x=-3 12 时，y2= 3× (-
7 2 7
2 ) + (- 2 ) + 12= 45
1
4 ，
x= 1 1 2 12 时，y3= 3× ( 2 ) + 2 + 12= 0.75+ 3+ 12= 13
1
4 ，
所以，y1，y2，y3的大小关系为 y3< y1< y2．
故答案为：y3< y1< y2．
12.已知二次函数 y=-ax2+ 2ax+ 3(a> 0)，若点P(m，3)在该函数的图象上，且m≠ 0，则m的值为 2 ．
【答案】2．
【解答】解：∵点P(m，3)在二次函数 y=-ax2+ 2ax+ 3(a> 0)的图象上，
∴ 3=-am2+ 2am+ 3，
∴-am(m- 2) = 0，
解得m= 2或m= 0(舍去)，
故答案为：2．
13.如图，在长为 100m，宽为 50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的
面积是 3600m2，则小路的宽是 m
【答案】5m
【解答】解：设小路的宽是 xm，则余下的部分可合成长为 (100- 2x)m，宽为 (50- 2x)m的矩形，
根据题意得：(100- 2x) (50- 2x) = 3600，
整理得：x2- 75x+ 350= 0，
解得：x1= 5，x2= 70(不符合题意，舍去)，
∴小路的宽是 5m．
故选：5m
14.已知 a是方程 x2+ 3x- 4= 0的一个根，则 a3+ 2a2- 7a+ 2的值为 ．
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【答案】-2．
【解答】解：将 a代入 x2+ 3x- 4= 0；
得 a2= 4- 3a，
∴ a3+ 2a2- 7a+ 2= a(4- 3a) + 2a2- 7a+ 2= 4a- (4- 3a) - 7a+ 2=-4+ 2=-2
故答案为：-2．
15.如果一个函数在某个自变量取值范围内有最大值和最小值，则最大值与最小值的差叫做这个函数在该自变量
范围内的“值域差”，如一次函数 y= x+ 1，当 0≤ x≤ 1时，函数最大值为 ymax= 2,最小值 ymin= 1,则其值域差
为 ymax- ymin= 1.已知二次函数 y= x2- 2x- 1.当 0≤ x≤ 3时，该函数的“值域差”是 2 .；
【答案】2
b -2
【解答】二次函数 y= x2- 2x- 1的对称轴为- 2a =- 2× 1 = 1,1在 0≤ 1≤ 3,
∵ a> 0,则当 x= 1时，y 2min= 1 - 2× 1- 1=-2,x= 3时，y 2max= 3 - 2× 3- 1= 2
故答案为：2
16.如图，已知抛物线 y=-x2+ px+ q的对称轴为 x=-3，过其顶点M的一条直线 y= kx+ b与该抛物线的另一
个交点为N (-1，1)．要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，求点P的坐标．
【答案】(0，2)．
【解答】解：如图，∵抛物线 y=-x2+ px+ q的对称轴为 x=-3，点N (-1，1)是抛物线上的一点，
- p∴ 2 =-3 ，-1-P+ q= 1
p=-6解得 q=- ．4
∴该抛物线的解析式为 y=-x2- 6x- 4=- (x+ 3)2+ 5，
∴M (-3，5)．
∵△PMN的周长=MN+PM+PN，且MN是定值，所以只需 (PM+PN )最小．
如图 1，过点M作关于 y轴对称的点M ′，连接M ′N，M ′N与 y轴的交点即为所求的点P．则M ′ (3，5)．
设直线M ′N的解析式为：y= ax+ t(a≠ 0)，
5= 3a+ t a= 1则 1=- + ，解得 = ，a t t 2
故该直线的解析式为 y= x+ 2．
当 x= 0时，y= 2，即P(0，2)．
同理，如图 2，过点M作关于 x轴对称的点M ″，连接M ″N，则只需M ′N与 x 4轴的交点即为所求的点P(- 3 ，
0)．
如果点P在 y轴上，则三角形PMN的周长= 4 2 +MN；如果点P在 x轴上，则三角形PMN的周长= 2 10 +
MN；
所以点P在 (0，2)时，三角形PMN的周长最小．
综上所述，符合条件的点P的坐标是 (0，2)．
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三、解答题（本题共 10小题，共 82分）
17.按指定的方法解下列方程：
(1) (x+ 2)2= 3x+ 6； (2)x2+ 4x+ 2= 0（；用公式法） (3) 4 - 1
x2- 4 x- 2
= 1．
【答案】（1）x1=-2,x2= 1
（2）x1=-2+ 2,x2=-2- 2
(3) x1=-3
【解答】解（：1）(x+ 2)2= 3(x+ 2)
(x+ 2- 3) (x+ 2) = 0
x1=-2,x2= 1
（2）a= 1,b= 4,c= 2,△= b2- 4ac= 42- 4× 1× 2= 8> 0
x= -b± △ = -4± 2 22a 2 =-2± 2
x1=-2+ 2,x2=-2- 2
(3)4- (x+ 2) = x2- 4 x2+ x- 6= 0
(x+ 3) (x- 2) = 0,x1=-3,x2= 2(舍)
18.已知抛物线 y= x2+ (m- 1)x-m，根据下列条件，分别求出m的值．
(1)若抛物线过原点；
(2)若抛物线的顶点在 x轴上；
(3)若抛物线的对称轴为直线 x= 2．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：(1) ∵抛物线过原点，
∴ 0= 02+ (m- 1) × 0-m，
解得m= 0；
(2) ∵抛物线的顶点在 x轴上．
∴△= (m- 1)2+ 4m= 0．
解得：m=-1；
(3) ∵抛物线的对称轴是直线 x= 2，
∴-m- 12 = 2．
解得m=-3．
19.已知关于 x的一元二次方程 kx2- (2k+ 4)x+ k- 6= 0有两个不相等的实数根．
(1)求 k的取值范围；
(2)当 k= 1时，用配方法解方程．
【答案】(1)k>- 25 且 k≠ 0；
(2)x1= 3+ 14，x2= 3- 14．
【解答】解：(1) ∵关于 x的一元二次方程 kx2- (2k+ 4)x+ k- 6= 0有两个不相等的实数根，
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∴Δ= (2k+ 4)2- 4k(k- 6)> 0，且 k≠ 0，
k>- 2解得： 5 且 k≠ 0；
(2)当 k= 1时，
原方程为 x2- (2× 1+ 4)x+ 1- 6= 0，
即 x2- 6x- 5= 0，
移项得：x2- 6x= 5，
配方得：x2- 6x+ 9= 5+ 9，
即 (x- 3)2= 14，
直接开平方得：x- 3=± 14
解得：x1= 3+ 14，x2= 3- 14．
20.阅读下面的例题：
解方程 x2- |x| -2= 0
解：(1)当 x≥ 0，原方程化为 x2- x- 2= 0，解得 x1= 2，x2=-1(不合题意，舍去)
(2)当 x< 0时，原方程化为 x2+ x- 2= 0，解得 x1= 1(不合题意，舍去)，x2=-2，∴原方程的根是 x1= 2，x2=-2
(3)请参照例题解方程 x2- |x- 1| -2= 0．
【答案】见试题解答内容
1+ 5 1- 5
【解答】解：当 x≥ 1，原方程化为 x2- x- 1= 0，解得 x1= 2 ，x2= 2 (不合题意，舍去)
当 x< 1时，原方程化为 x2+ x- 3= 0 x = -1+ 13 ( ) x = -1- 13，解得 1 2 不合题意，舍去 ， 2 2 ，
∴ 1+ 5 -1- 13原方程的根是 x1= 2 ，x2= 2 ．
21.等腰三角形一条边的边长为 4，它的另两条边的边长是关于 x的一元二次方程 x2- 16x+ k= 0的两个根，则 k
的值为多少？
【答案】64．
【解答】解：当 4为等腰三角形的腰时，将 x= 4代入原方程得 16- 16× 4+ k= 0，
解得：k=-48，
此时原方程为 x2- 16x+ 48= 0，即 (x- 12) (x- 4) = 0，
解得：x1= 4，x2= 12，
∵ 4+ 4= 8< 12，
∴ 4不能为等腰三角形的腰；
当 4为等腰三角形的底时，方程 x2- 16x+ k有两个相等的实数根，
∴Δ= (-16)2- 4k= 256- 4k= 0，
解得：k= 64，
此时 x1= x2= 8，
∵ 3、8、8可以围成等腰三角形，
∴ k= 64．
故答案为：64．
22.一商店销售某种商品，平均每天可售出 20件，每件盈利 40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措
施，在每件盈利不少于 25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低 1元，平均每天可多售出 2件．
(1)若降价 3元，则平均每天销售数量为 26 件；
(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大？
【答案】(1)26．
(2)当每件商品降价 15元时，商店可获得最大利润，最大利润为 1250元．
【解答】解：(1)根据题意得：20+ 3× 2= 26(件)，
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故答案为：26．
(2)设每件商品降价 x元，则每件盈利 (40- x)元，平均每天可售出 (20+ 2x)元，
设商店可获得利润为w元，
根据题意得：w= (40- x) (20+ 2x)
=-2x2+ 60x+ 800
=-2(x- 15)2+ 1250，
∵-2< 0，x≤ 15，
∴当 x= 15时，w有最大值，最大值为 1250，
答：当每件商品降价 15元时，商店可获得最大利润，最大利润为 1250元．
23.已知二次函数 y=-x2+ bx+ c．
(1)当 b= 4，c= 3时，求该函数图象的顶点坐标；
(2)当 x≤ 0时，y的最大值为 2；当 x> 0时，y的最大值为 3，求二次函数的表达式．
【答案】(1) (2，7)；
(2) - 2≤ y≤ 7；
(3)y=-x2+ 2x+ 2．
【解答】解：(1) ∵ b= 4，c= 3 时，
∴ y=-x2+ 4x+ 3=- (x- 2)2+ 7，
∴顶点坐标为 (2，7)．
(2) ∵ x≤ 0时，y的最大值为 2；x> 0时，y的最大值为 3，
∴ b抛物线的对称轴 x= 2 在 y轴的右侧，
∴ b> 0，
∵抛物线开口向下，x≤ 0时，y的最大值为 2，
∴ c= 2，
∵ 4× (-1) × c- b
2
又 × (- ) = 3，4 1
∴ b=±2，
∵ b> 0，
∴ b= 2．
∴二次函数的表达式为 y=-x2+ 2x+ 2．
24.已知：关于 x的一元二次方程 x2- (2m- 3)x+m2+ 3m+ 2= 0．
(1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2) x x x - x = 2+ 2m+ 2若方程的两个实数根 1， 2满足 1 2 m- 1 ，求m的值
【答案】见试题解答内容
【解答】(1)证明：∵Δ=[- (2m+ 3)]2- 4(m2+ 3m- 2) = 4m2+ 12m+ 9- 4m2- 12m- 8= 1> 0
∴不论m取何值，方程总有两个不相等实数根；
(2m- 3) ± 1
解：(2)由原方程可得 x= 2
∴ x1=m- 2． x2=m- 1，
∴ |x1- x2| = 3，
∵ x - x = 2+ 2m+ 2又 1 2 m- 1 ，
∴ 1= 2+ 2m+ 2m- 1 ，
∴m=- 13
经检验：m=- 13 符合题意．
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∴m - 1的值为 3．
25.如图，二次函数的图象与 x轴交于A(-1，0)，B(5，0)两点，与 y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，CO=
5AO
(1)求二次函数的表达式；
(2)若E是抛物线上一点（不与点D重合），若△BCE的面积等于△BCD的面积，求点E的坐标
【答案】(1)y=-x2+ 4x+ 5；
(2)30；
【解答】解：(1) ∵AO= 1，CO= 5AO，
∴OC= 5，即C的坐标为 (0，5)，
∵二次函数的图象与 x轴交于A(-1，0)，B(5，0)两点且过C的坐标 (0，5)，
0= ya- b+ c D
设二次函数的解析式为 y= ax2+ bx+ c，代入得： 0= 25a+ 5b+ c，5= c E1
a=-1
解得： b= 4 ，c= 5 C
∴二次函数的解析式为 y=-x2+ 4x+ 5；
(2)y=-x2+ 4x+ 5=- (x- 2)2+ 9，
∴顶点的坐标为 (2，9)，
过D作DE BC，BC:y=-x+ 5,设 lDF:y=-x+ b过D（2,9） O
则 lDF:y=-x+ 11 A E2 B x
联立 y=-x+ 11 x1= 2 ,则E点坐标为（3,8）y=-x2+ 4x+ 5 x2= 3
在直线BC下方还有两个点
y=-x- 1 x联立 1= 6 =- 2+ + =- ，则E点坐标为 (6,-7),(-1,0)y x 4x 5 x2 1 E
综上:E点坐标为 (3,8),(6,-7),(-1,0) 3
26.如图，抛物线过点O(0，0)，E(10，0)，矩形ABCD的边AB在线段OE上 (点B在点A的左侧)，点C，D在抛物
线上．设B(t，0)，当 t= 2时，BC= 4．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当 t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？
(3)保持 t= 2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直
线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．
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【答案】(1)y= x2- x；
(2)当 t= 1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为 ；
(3)抛物线向右平移的距离是 4个单位．
【解答】解：(1)设抛物线解析式为 y= ax(x- 10)，
∵当 t= 2时，BC= 4，
∴点C的坐标为 (2，-4)，
∴将点C坐标代入解析式得 2a(2- 10) =-4，
解得：a= ，
∴抛物线的函数表达式为 y= x2- x；
(2)由抛物线的对称性得AE=OB= t，
∴AB= 10- 2t，
当 x= t时，点C的纵坐标为 t2- t，
∴矩形ABCD的周长= 2(AB+BC)
= 2[(10- 2t) + (- t2+ t)]
=- t2+ t+ 20
=- (t- 1)2+ ，
∵- < 0，
∴当 t= 1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为 ；
(3)如图，连接AC，BD相交于点P，连接OC，取OC的中点Q，连接PQ，
∵ t= 2，
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∴B(2，0)，
∴A(8，0)，
∵BC= 4．
∴C(2，-4)，
∵直线GH平分矩形ABCD的面积，
∴直线GH过点P，
由平移的性质可知，四边形OCHG是平行四边形，
∴PQ=CH，
∵四边形ABCD是矩形，
∴点P是AC的中点，
∴P(5，-2)，
∴PQ= OA，
∵OA= 8，CH=PQ= OA= 4，
∴抛物线向右平移的距离是 4个单位
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