2023-2024学年湖南省娄底市九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列函数中，是的反比例函数的是( )
A. B. C. D.
2.如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且的面积为，则等于( )
A.
B.
C.
D.
3.在同一直角坐标系中，函数与的大致图象可能为( )
A. B.
C. D.
4.某开发公司年投入的研发资金为亿元，为了扩大产品的竞争力，该公司不断增加研发投资，计划年投入亿元研发资金若年到年投入的研发资金年平均增长率均为，则下列方程中正确的是( )
A. B.
C. D.
5.若为方程的解，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知一元二次方程，下列配方正确的是( )
A. B. C. D.
7.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. 且 D. 且
8.若，是方程的两个根，则的值为( )
A. B. C. D.
9.已知一个三角形三边长为，，，且满足，，，则此三角形的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形
10.如图，点是反比例函数与的一个交点，图中阴影部分的面积为，则该反比例函数的表达式为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11.已知与成反比例，且当时，，则当时，的值为______ ．
12.若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______ ．
13.如图是函数，和在同一个平面直角坐标系中的部分图象，根据图象的位置判断、和间的大小关系为______ ．
14.当三角形的面积为时，它的底边长与底边上的高之间的函数表达式为______ ．
15.方程的解是______ ．
16.关于的方程的两根分别为，，则的值为______ ．
17.若，，则与的大小关系为______．
18.已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.本小题分
已知函数 ，
当，为何值时是一次函数？
当，为何值时，为正比例函数？
当，为何值时，为反比例函数？
20.本小题分
解方程：
；
．
21.本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
求反比例函数与一次函数的表达式；
若为轴上一点，的面积为，求点的坐标；
结合图象，关于的不等式的解集为______．
22.本小题分
若，是一元二次方程的两个根，求下列式子的值．
；
．
23.本小题分
根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示．
关于的函数关系式为______ ．
求当时，物体所受的压强是______ ．
当时，求受力面积的变化范围．
24.本小题分
已知关于的一元二次方程有两个实数根．
求的取值范围；
设是方程的一个实数根，且满足，求的值．
25.本小题分
某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种新品，如图是某天恒温系统从开始到关闭及关闭后，大棚里温度随时间变化的函数图象，其中段是恒温阶段，段是双曲线的一部分，请根据图中信息解答下列问题：
求的值；
恒温系统在一天内保持大棚内温度不低于的时间有多少小时？
26.本小题分
【阅读材料】
若，求，的值．
解：，，
，，
，．
【解决问题】
已知，求的值；
【拓展应用】
已知，，是的三边长，且，满足，是中最长的边，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、该函数是正比例函数，故本选项不符合题意；
B、该函数不是反比例函数，故本选项不符合题意；
C、该函数是正比例函数，故本选项不符合题意；
D、该函数是反比例函数，故本选项符合题意．
故选：．
根据反比例函数的定义回答即可．
本题考查了反比例函数的定义，关键是注意反比例函数的一般形式是．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了反比例函数系数的几何意义，熟练掌握“在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值”是解题的关键．
由反比例函数系数的几何意义结合的面积为即可得出，再根据反比例函数在第二象限有图象即可得出，此题得解．
【解答】解：点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，
，
．
又反比例函数在第二象限有图象，
．
故选A．
3.【答案】
【解析】解：一次函数，
直线经过点，、不合题意；
B、由一次函数的图象经过第一、三、四象限可知，反比例函数的图象在一、三象限可知，矛盾，不合题意；
D、由一次函数的图象经过第一、三、四象限可知，反比例函数的图象在一、三象限可知，一致，符合题意；
故选：．
根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答．
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的性质，一次函数的图象上点的坐标特征，重点是注意系数的取值．
4.【答案】
【解析】解：根据题意得，，
故选：．
根据题意得到关系式为：年研发资金投入年平均增长率年研发资金投入，把相关数值代入即可
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，平均增长率问题，一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量．
5.【答案】
【解析】解：将代入原方程得，
，
．
故选：．
将代入原方程，可得出，进而可求出的值．
本题考查了一元二次方程的解，将方程的解代入原方程，找出是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：方程移项得：，
配方得：，即，
故选C．
方程常数项移到右边，两边加上配方得到结果，即可做出判断．
此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，
解得：且，
故选：．
根据根的判别式和一元二次方程的定义得出且，求出的取值范围即可．
本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能根据题意得出关于的不等式是解此题的关键．
8.【答案】
【解析】解：
．
故选：．
把式子变形，再利用根与系数的关系，代入数据求值即可．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，做题关键是掌握根与系数的关系式．
9.【答案】
【解析】解：是等腰三角形，理由是：
，，，
，
，
，，，
是等腰三角形．
故选：．
将已知三个等式相加，进行配方可得结论．
本题考查了三角形三边关系，配方法的应用．熟记完全平方公式是解题的关键，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：设圆的半径是，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：．
解得：．
点是反比例函与的一个交点．
且．
．
，
则反比例函数的解析式是：．
故选：．
根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积，即可求得圆的半径，再根据在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得的值．
本题主要考查反比例函数图象的对称性的知识点，解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系．
11.【答案】
【解析】解：设反比例函数为，
当，时，，解得．
反比例函数为．
当时，，
故答案为：．
根据待定系数法，可得反比例函数，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
本题考查了反比例函数的定义，利用待定系数法求函数解析式是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：反比例函数，，
函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内随的增大而减小，
，，，
点在第四象限，点、在第一象限，
，，，
，
，
．
故答案为：
先根据函数解析式判断出函数图象在二四象限，再判断出函数图象的增减性，根据各点纵坐标的值即可得出结论．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：由函数图象可知正比例函数经过第二、四象限，
，
又反比例函数和图象在第一象限，且更远离坐标轴，
，
．
故答案为：．
根据正比例函数图象的性质：时，图象占一、三象限；时，图象占二、四象限，可判断根据反比例函数图象的性质：时，图象占一、三象限；时，图象占二、四象限，的绝对值越大，图象越远离坐标轴，可判断，即可求解．
本题考查了正比例函数的性质，反比例函数的性质，根据函数图象判断出的取值范围是解题的关键．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的根据实际问题列反比例函数关系式根据等量关系“三角形的面积底边底边上的高”即可列出与的关系式．
【解答】
解：由题意得 ．
15.【答案】，
【解析】解：，
因式分解得：，
可得或，
解得：，．
故答案为：，．
将方程右边看作一个整体，移项到左边，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解．
16.【答案】
【解析】解：关于的方程的两根分别为，，
，
故答案为：．
根据一元二次方程的根与系数的关系：求解即可．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：
．
，
．
故答案为：．
利用求差法判定两式的大小，将与代入中，去括号合并得到最简结果，根据结果的正负即可做出判断．
本题考查了配方法的应用和非负数的性质．解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
18.【答案】
【解析】解：，是方程的两个实数根，
，
．
故答案为：．
先根据根与系数的关系得，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
19.【答案】解：当函数是一次函数时，
，且，
解得：且；
当函数是正比例函数时，，
解得：，．
当函数是反比例函数时，，
解得：，．
【解析】根据一次函数的定义知，且，据此可以求得、的值；
根据正比例函数的定义知，，，据此可以求得、的值；
根据反比例函数的定义知，，，据此可以求得、的值．
本题考查了一次函数、正比例函数、反比例函数的定义．关键是掌握正比例函数是一次函数的一种特殊形式以及三种函数的关系是形式．
20.【答案】解：，
则，
，
或，
，；
，
，，，
则，
，
，．
【解析】利用提公因式法把方程的左边变形，进而解出方程；
利用公式法解出方程．
本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法、公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
21.【答案】或
【解析】解：把代入得：，
即反比例函数的表达式是，
把代入得：，
即，
把、的坐标代入，得，
解得，
所以一次函数的表达式是；
，
当时，，
即直线与轴的交点坐标是，
，，的面积为，
，
，
点的坐标是或；
根据图象可知：关于的不等式的解集为或，
故答案为：或．
把点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出，得出反比例函数的解析式，再把点的坐标代入反比例函数的解析式，求出，再求出一次函数的解析式即可；
根据一次函数的解析式求得与轴的交点，然后根据的面积为求得的长度，进而即可求得点的坐标；
根据函数的图象和、两点的坐标得出答案即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，能用待定系数法求出函数的解析式是解此题的关键．
22.【答案】解：，是一元二次方程的两个根，
，，
；
．
【解析】根据根与系数的关系可得，，再进一步求解即可．
本题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
23.【答案】，
【解析】解：设，
点在这个函数的图象上，
．
．
与的函数关系式为，．
故答案为：，．
当时，．
故答案为：．
令，，
令，，
当时，．
观察图象易知与之间的是反比例函数关系，所以可以设，依据图象上点的坐标可以求得与之间的函数关系式．
将代入上题求得的反比例函数的解析式即可求得压强．
将压强代入函数关系式即可求得受力面积的取值范围．
本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
24.【答案】解：根据题意得，解得；
是方程的一个实数根，则，则，
则即，
解得：舍去或．
故的值为．
【解析】若一元二次方程有两实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．
是方程的一个实数根，则，则，代入，求得的值．
本题考查了方程的根的定义以及根的判别式，中注意求得的要满足中的范围．
25.【答案】解：把代入中得：
；
如图，
设的解析式为：．
把、代入中得：
，
解得：，
的解析式为：，
当时，，．
，
解得：，
．
答：恒温系统在一天内保持大棚里温度不低于的时间有小时．
【解析】直接将点的坐标代入即可；
观察图象可知：三段函数都有的点，而且段是恒温阶段，，所以计算和两段当时对应的值，相减就是结论．
本题考查了反比例函数和一次函数的性质和应用，解答此题时要先利用待定系数法确定函数的解析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一次函数的性质作答．
26.【答案】解：，
将拆分为和，可得：
，
根据完全平方公式得，
，，
，，
．
，
将拆分为和，可得：
，
根据完全平方公式得，
，
，，
，．
是中最长的边，
，即的取值范围为．
【解析】将拆分为和，再根据完全平方公式配方解答；
先根据阅读材料求出、的值，再根据三角形三边关系解答．
本题考查了配方法的应用，根据完全平方公式进行配方是解题的关键．
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