2023-2024学年苏科版九年级数学上《第2章对称图形-圆》章末强化提优训练
（时间：90分钟 满分：120分）
一．选择题(30分）
1．已知⊙O的半径为5 cm，点A是线段OP的中点，当OP＝8 cm时，点A与⊙O的位置关系是( )
A．点A在⊙O外 B．点A在⊙O上 C．点A在⊙O内 D．不能确定
2．下列事件中，属于必然事件的是( )
A. 三个点确定一个圆 B．每条边都相等的多边形是正多边形
C．平分弦的直径垂直于弦 D．直径所对的圆周角是直角
3．如图，在同一平面内，将边长相等的正六边形、正方形的一边重合，则∠1的度数为( )
A．18° B．25° C．30° D．45°
4．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，则的长为( )
A．π B. C．7π D．6π
第4题图 第5题图 第6题图 第7题图 第8题图
5．如图⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE＝2，那么AB的长是( )
A．4 B．6 C．8 D．10
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E为上一点，连结BE，DE.若∠A＋∠ABC＋∠ADC＝240°，则∠E＝( )
A．55° B．60° C．65° D．70°
7．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且OD经过AC的中点E，连结DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝16°，则∠BPC的度数为( )
A．16° B．21° C．32° D．37°
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1 B．1或5 C．3 D．5
9．以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（ ）
A．0≤b＜2 B．﹣2 C．﹣22 D．﹣2＜b＜2
10．如图，⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，O1O2＝8．若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现（ ）
A．3次 B．5次 C．6次 D．7次
第10题图 第11题图 第12题图 第13题图
二．填空题(30分)
11．如图，⊙O过点B，C，圆心O在等腰直角三角形ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为______.
12．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为劣弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为________.
13．如图，在半径为2 cm，圆心角为90°的扇形AOB中，分别以OA，OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为________.
14．如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB＝1，那么曲线CDEF的长是 ．
第14题图 第15题图 第16题图
15．一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与CD是水平的，BC与水平面的夹角为60°，其中AB＝60cm，CD＝40cm，BC＝40cm，那么该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线长为 cm．
16．如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为 cm．
17．如图，从一个直径为1m的圆形铁片中剪出一个圆心角为90°的扇形，再将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为 m．
第17题图 第18题图 第19题图 第20题图
18．如图矩形纸片ABCD中AD＝6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为_____.
19．如图，点C为扇形OAB的半径OB上一点，将△OAC沿AC折叠，点O恰好落在上的点D处，且：＝1：3（表示的长），若将此扇形OAB围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为_________.
20．如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为 ．
三。解答题（60分）
21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连结BD交CF于点G，连结CD，AD，BF.
(1)求证：△BFG≌△CDG； (2)若AD＝BE＝2，求BF的长．
22．（8分）如图，⊙O的直径AB＝12 cm，有一条定长为8 cm的动弦CD在上滑动(点C不与A，B重合，点D也不与A，B重合)，且CE⊥CD交AB于点E，DF⊥CD交AB于点F.(1)求证：AE＝BF；
(2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDFE的面积是否为定值？若是定值，请给出证明，并求出这个定值；若不是，请说明理由．
23．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB、连接DO并延长交CB的延长线于点E．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并证明；
（2）若BE＝8，DE＝16，求⊙O的半径．
24.(12分)如图1,正五边形ABCDE内接于☉O,阅读以下作图过程,并回答下列问题:
作法 如图2,①作直径AF;②以点F为圆心,FO为半径作圆弧,与☉O交于点M,N;③连接AM,MN,NA.
(1)求∠ABC的度数.
(2)△AMN是正三角形吗 请说明理由.
(3)从点A开始,以DN长为半径,在☉O上依次截取点,再依次连接这些分点,得到正n边形,求n的值.
图1 图2
25、（12分）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，是中的遥望角，若，请用含的代数式表示．
（2）如图2，四边形内接于，，四边形的外角平分线交于点，连结并延长交的延长线于点．求证：是中的遥望角．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结，，若是的直径．
①求的度数；
②若，，求的面积．
26．（12分）【问题提出】
如图①，AB，AC是⊙O的两条弦，AC＞AB，M是的中点，MD⊥AC，垂足为D，求证：CD＝AB＋AD.
小敏在解答此题时，利用了“补短法”进行证明，她的方法如下：
证明：如图②，延长CA至点E，使AE＝AB，连结MA，MB，MC，ME，BC.
∵M是的中点，∴＝，
∴∠MCB＝∠MBC，MB＝MC.(请你在下面的空白处补全小敏的证明过程)
【推广运用】
如图③，等边三角形ABC内接于⊙O，AB＝1，D是上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD，垂足为E，则△BDC的周长是________．
【拓展研究】
如图④，若将【问题提出】中的“M是的中点”改成“M是的中点”，其余条件不变，“CD＝AB＋AD”这一结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出CD，AB，AD三者之间的数量关系，并说明理由．
教师样卷
一．选择题(30分）
1．已知⊙O的半径为5 cm，点A是线段OP的中点，当OP＝8 cm时，点A与⊙O的位置关系是( C )
A．点A在⊙O外 B．点A在⊙O上 C．点A在⊙O内 D．不能确定
2．下列事件中，属于必然事件的是( C )
A. 三个点确定一个圆 B．每条边都相等的多边形是正多边形
C．平分弦的直径垂直于弦 D．直径所对的圆周角是直角
3．如图，在同一平面内，将边长相等的正六边形、正方形的一边重合，则∠1的度数为( A )
A．18° B．25° C．30° D．45°
4．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，则的长为( C )
A．π B. C．7π D．6π
第4题图 第5题图 第6题图 第7题图 第8题图
5．如图⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE＝2，那么AB的长是( D )
A．4 B．6 C．8 D．10
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E为上一点，连结BE，DE.若∠A＋∠ABC＋∠ADC＝240°，则∠E＝( B )
A．55° B．60° C．65° D．70°
7．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且OD经过AC的中点E，连结DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝16°，则∠BPC的度数为( B )
A．16° B．21° C．32° D．37°
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（ B ）
A．1 B．1或5 C．3 D．5
9．以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（ D ）
A．0≤b＜2 B．﹣2 C．﹣22 D．﹣2＜b＜2
10．如图，⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，O1O2＝8．若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现（ B ）
A．3次 B．5次 C．6次 D．7次
解：∵⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，设O1O2交圆O于M，∴PM＝8﹣3﹣1＝4，圆O1与以P为圆心，以4为半径的圆相外切，∴根据图形得出有5次．故选：B．
第10题图 第11题图 第12题图 第13题图
二．填空题(30分)
11．如图，⊙O过点B，C，圆心O在等腰直角三角形ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为______.
12．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为劣弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为________.
13．如图，在半径为2 cm，圆心角为90°的扇形AOB中，分别以OA，OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为___（ -1）cm2______.
解：∵扇形AOB的圆心角为90°，半径为2 cm，∴扇形AOB的面积为＝π(cm2)，两个半圆形的面积均为×π×12＝(cm2)．如图，连结OD，BD，DA，易知A，B，D三点共线．易得BD＝OD＝DA＝ cm，且两个半圆形内的4个小弓形面积相等．在半圆形OA中，S弓形AD＝(S半圆形OA－S△OAD)＝（ -1）cm2，∴S阴影＝S扇形AOB－S△AOB－2S弓形AD＝π－×2×2－2×（ -1）＝－1 (cm2)．
14．如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB＝1，那么曲线CDEF的长是 4π ．
解：弧CD的长是＝，弧DE的长是：＝，弧EF的长是：＝2π，则曲线CDEF的长是：++2π＝4π．故答案为：4π．
第14题图 第15题图 第16题图
15．一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与CD是水平的，BC与水平面的夹角为60°，其中AB＝60cm，CD＝40cm，BC＝40cm，那么该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线长为 （） cm．
解：A点滚动到D点其圆心所经过的路线＝（60+40+40）﹣+
＝（cm）．故答案为：（）．
16．如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为 6π cm．
解：该莱洛三角形的周长＝3×＝6π（cm）．故答案为6π．
17．如图，从一个直径为1m的圆形铁片中剪出一个圆心角为90°的扇形，再将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为 m．
解：∵如图所示可知，圆锥的高为4，底面圆的直径为6，∴圆锥的母线为：5，∴根据圆的侧面积公式：πrl＝π×3×5＝15π，底面圆的面积为：πr2＝9π，∴该几何体的表面积为24π．
故答案为：24π．
第17题图 第18题图 第19题图 第20题图
18．如图矩形纸片ABCD中AD＝6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为4cm_.
解：设AB＝xcm，则DE＝（6﹣x）cm，根据题意，得＝π（6﹣x），解得x＝4．
19．如图，点C为扇形OAB的半径OB上一点，将△OAC沿AC折叠，点O恰好落在上的点D处，且：＝1：3（表示的长），若将此扇形OAB围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为____2：9______.
解：连接OD交AC于M．由折叠的知识可得：OM＝OA，∠OMA＝90°，∴∠OAM＝30°，
∴∠AOM＝60°，∵且：＝1：3，∴∠AOB＝80°设圆锥的底面半径为r，母线长为l，＝2πr，∴r：l＝2：9．
20．如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为 ．
解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，
此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D＝CD′，由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，∴∠COD′＝90°，∴CD′＝＝＝2，
的长l＝＝，∴阴影部分周长的最小值为2+＝．
故答案为：．
三。解答题（60分）
21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连结BD交CF于点G，连结CD，AD，BF.
(1)求证：△BFG≌△CDG； (2)若AD＝BE＝2，求BF的长．
解：(1)证明：∵C是的中点，∴＝.∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，∴＝，∴＝∴CD＝BF.在△BFG和△CDG中，∵∴△BFG≌△CDG(AAS)．
(2)解：连结OF，设⊙O的半径为r，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∴BD2＝AB2－AD2，即BD2＝(2r)2－22.在Rt△OEF中，OF2＝OE2＋EF2，即EF2＝r2－(r－2)2.
由(1)知＝＝，∴＝，∴BD＝CF，易得EF＝CE，∴BD2＝CF2＝(2EF)2＝4EF2，
即(2r)2－22＝4[r2－(r－2)2]，解得r＝1(舍去)或r＝3，∴BF2＝EF2＋BE2＝32－(3－2)2＋22＝12，∴BF＝2.
22．（8分）如图，⊙O的直径AB＝12 cm，有一条定长为8 cm的动弦CD在上滑动(点C不与A，B重合，点D也不与A，B重合)，且CE⊥CD交AB于点E，DF⊥CD交AB于点F.(1)求证：AE＝BF；
(2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDFE的面积是否为定值？若是定值，请给出证明，并求出这个定值；若不是，请说明理由．
解：(1)证明：过点O作OH⊥CD于点H，易得H为CD的中点．
∵CE⊥CD，DF⊥CD，∴EC∥OH∥FD，易得O为EF的中点，即OE＝OF.
又∵OA＝OB，∴AE＝OA－OE＝OB－OF＝BF，即AE＝BF.
(2)解：四边形CDFE的面积为定值．证明如下：∵动弦CD在滑动的过程中，条件EC⊥CD，FD⊥CD不变，∴CE∥DF不变．由此可知，四边形CDFE为直角梯形或矩形，易得S四边形CDFE＝OH·CD.连结OC，由勾股定理得OH＝＝＝2(cm)．又∵CD＝8 cm，∴S四边形CDFE＝OH·CD＝2×8＝16(cm2)，是常数．综上，四边形CDFE的面积为定值，为16cm2.
23．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB、连接DO并延长交CB的延长线于点E．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并证明；
（2）若BE＝8，DE＝16，求⊙O的半径．
解：（1）相切，理由如下，如图，连接OC，在△OCB与△OCD中，，
∴△OCB≌△OCD（SSS），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴OD⊥DC，∴DC是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，在Rt△OBE中，∵OE2＝EB2+OB2，∴（16﹣r）2＝r2+82，
∴r＝6，∴⊙O的半径为6．
24.(12分)如图1,正五边形ABCDE内接于☉O,阅读以下作图过程,并回答下列问题:
作法 如图2,①作直径AF;②以点F为圆心,FO为半径作圆弧,与☉O交于点M,N;③连接AM,MN,NA.
(1)求∠ABC的度数.
(2)△AMN是正三角形吗 请说明理由.
(3)从点A开始,以DN长为半径,在☉O上依次截取点,再依次连接这些分点,得到正n边形,求n的值.
图1 图2
解:(1)∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠ABC==108°.
(2)△AMN是正三角形.理由如下:连接ON,NF,如图.由题意可得,FN=ON=OF,∴△FON是等边三角形,∴∠NFA=60°,∴∠NMA=60°.同理可得,∠ANM=60°,∴∠MAN=60°,∴△MAN是正三角形.
(3)连接OD,如图.∵∠AMN=60°,∴∠AON=120°.∵∠AOD=×2=144°,∴∠NOD=∠AOD-∠AON=144°-120°=24°.∵360°÷24°=15,∴n的值是15.
25、（12分）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，是中的遥望角，若，请用含的代数式表示．
（2）如图2，四边形内接于，，四边形的外角平分线交于点，连结并延长交的延长线于点．求证：是中的遥望角．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结，，若是的直径．
①求的度数；
②若，，求的面积．
解：（1）平分，平分，
，
（2）如图1，延长到点，四边形内接于，，
又，，平分，，
，，是的平分线，，，，，，
，是的外角平分线，是中的遥望角．
（3）①如图2，连接，是中的遥望角，，
，，，，
，，又，，，，，是的直径，
，，，
②如图3，过点作于点，过点作于点，是的直径，
，平分，，，
，，，，，，，
在中，，在中，，，
在中，，设，，则有，
，，，，，
，，，，，
．
26．（12分）【问题提出】
如图①，AB，AC是⊙O的两条弦，AC＞AB，M是的中点，MD⊥AC，垂足为D，求证：CD＝AB＋AD.
小敏在解答此题时，利用了“补短法”进行证明，她的方法如下：
证明：如图②，延长CA至点E，使AE＝AB，连结MA，MB，MC，ME，BC.
∵M是的中点，∴＝，
∴∠MCB＝∠MBC，MB＝MC.(请你在下面的空白处补全小敏的证明过程)
【推广运用】
如图③，等边三角形ABC内接于⊙O，AB＝1，D是上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD，垂足为E，则△BDC的周长是________．
【拓展研究】
如图④，若将【问题提出】中的“M是的中点”改成“M是的中点”，其余条件不变，“CD＝AB＋AD”这一结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出CD，AB，AD三者之间的数量关系，并说明理由．
解:【问题提出】∵∠MAC＝∠MBC，∴∠EAM＝180°－∠MAC＝180°－∠MBC.
又∵∠BAM＝180°－∠MCB，∴∠EAM＝∠BAM.在△EAM 和△BAM 中，∴△EAM≌△BAM，∴ME＝MB＝MC.又∵MD⊥AC，∴ED＝CD，
∴CD＝AE＋AD＝AB＋AD.
【推广运用】1＋
【拓展研究】不成立，AD＝AB＋CD，理由：如图，延长MD交⊙O于点E，连结EA，EC，EB，EB交AC于点N.∵M是的中点，∴＝.∴∠BEM＝∠CEM.在△EDN 和△EDC 中， ∴△EDN≌△EDC，∴ND＝CD，∠END＝∠ECD.又∵∠ECD＝∠ABE，∠END＝∠ANB，∴∠ANB＝∠ABE，∴AN＝AB，∴AD＝AN＋ND＝AB＋CD.
