2023-2024学年上海师大附中高二（上）第一次月考数学试卷
一、填空题（本大题共10小题，共60.0分）
1.直线的倾斜角为______ ．
2.已知，，三点在同一条直线上，则的值为______ ．
3.若直线：和直线：平行，则______．
4.直线过，且的一个法向量，则直线的点法向式方程为______．
5.经过两直线：与：的交点，且平行于直线的直线方程为：______ ．
6.已知直线与直线的夹角为，则实数 ______ ．
7.已知线段的端点，，直线：与线段相交，则的取值范围是______ ．
8.在等腰直角三角形中，，点是边上异于，的一点，光线从点出发，经，发射后又回到点如图若光线经过的重心三角形三条中线的交点，则 ______ ．
9.已知直线：，给出以下命题：直线的一个法向量是；直线的斜率是；对任意，直线都不过原点；存在，使直线与坐标轴围成的三角形面积小于，所有正确命题的序号是______ ．
10.设，，三条直线，，，则与的交点到的距离的最大值为________．
二、解答题（本大题共3小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
11.本小题分
已知的顶点，，且重心的坐标为．
求的面积；
数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线求的欧拉线的一般式方程．
12.本小题分
已知直线经过点，且与轴、轴的正半轴分别交于点、点，是坐标原点．
当的面积最小时，求直线的一般式方程；
当取最小值时，求直线的一般式方程，并求此最小值．
13.本小题分
已知点和非零实数，若两条不同的直线，均过点，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线：和：是一组“共轭线对”，其中是坐标原点．
已知，是一组“共轭线对”，求，的夹角的最小值；
已知点、点和点分别是三条直线，，上的点与，，均不重合，且直线，是“共轭线对”，直线，是“共轭线对”，直线，是“共轭线对”，求点的坐标；
已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线，的距离之积的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由于直线，整理得，
故直线的倾斜角为．
故答案为：．
直接利用直线的方程求出直线的倾斜角．
本题考查的知识要点：直线的倾斜角，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
2.【答案】或
【解析】解：已知，，三点在同一条直线上，
则，整理得：，解得或．
故答案为：或．
根据已知条件，结合直线的斜率公式，即可求解．
本题主要考查三点共线，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为直线：和直线：平行，
所以，解得．
故答案为：．
根据两条直线平行的充要条件即可求解．
本题主要考查两条直线平行的充要条件，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：直线过，且的一个法向量，
则直线的点法向式方程为，
故答案为：．
由题意直接求出直线的点法式方程．
本题主要考查直线的点法式方程，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：联立，
解得，
得到交点．
设过点且与直线平行的直线方程为．
把点代入可得：，
解得．
因此所求的直线方程为：，即．
故答案为：．
联立，即可解得交点设过点且与直线平行的直线方程为把点代入可得即可．
本题考查了相交直线的交点、相互平行的直线之间的关系，属于基础题．
6.【答案】或
【解析】解：直线的斜率为，直线的斜率为，它们夹角为，
，
，即或．
由，解得；由，可得，故．
综上，或．
故答案为：或．
由题意，根据两条直线的夹角公式，反三角函数，求得的值．
本题主要考查两条直线的夹角公式，反三角函数的应用，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：由于线段的端点，，直线：与线段相交，
直线整理得，故直线恒过点，
由于直线与线段相交，
故直线的斜率满足．
即的取值范围满足：．
故答案为：．
首先求出直线恒过的定点，再利用直线的斜率关系式求出结果．
本题考查的知识要点：直线的倾斜角和斜率的关系式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：建立如图所示的坐标系：
可得，，故直线的方程为，
的重心为，
设，其中，
则点关于直线的对称点，满足，
解得，
即，易得关于轴的对称点，
由光的反射原理可知，，，四点共线，
直线的斜率为，故直线的方程为．
由于直线过的重心，代入化简可得，
解得，或舍去，故，故A，
故答案为．
建立坐标系，设点的坐标，可得关于直线的对称点的坐标，和关于轴的对称点的坐标，由，，，四点共线可得直线的方程，由于过的重心，代入可得关于的方程，解之可得的坐标，进而可得的值．
本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析个命题：
对于，当时，直线的方程变形可得，
此时直线的一个方向向量为，
其一个法向量为，错误；
对于，当时，直线的方程为或，直线的斜率不存在，错误；
对于，对于直线：，将的坐标代入有，不成立，
则对任意，直线都不过原点，正确；
对于，当且时，直线与轴、轴都相交，直线与坐标轴可以围成的三角形，
此时，当时，，直线与轴的交点为，
当时，，直线与轴的交点为，
此时，直线与坐标轴围成三角形的面积，
当且仅当时等号成立，
故对任意，直线与坐标轴围成的三角形面积都大于等于，错误．
故答案为：．
根据题意，依次分析个命题，举出反例可得命题错误，将原点坐标代入可得正确，对于，分析可得当且时，直线与轴、轴都相交，直线与坐标轴可以围成的三角形，求出此时三角形的面积可得是错误，综合可得答案．
本题考查直线的一般式方程，涉及直线的方向向量、直线的斜率的计算以及三角函数的恒等变形，属于中档题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆的轨迹方程，考查了转化思想．
根据直线，的方程易知，而直线，分别过定点，，所以与的交点在以为直径的圆上，直线过定点，即可利用圆心到的距离加半径解出．
【解答】
解：因为，所以．
而直线：即过定点，
：即过定点，
所以与的交点在以为直径的圆上，
可求得圆心为，半径为，方程为，
因为：为过原点的直线，
所以到的距离的最大值为．
故答案为：．
11.【答案】解：设点的坐标为，
因为，，重心，
所以，解得，即，
而，直线的方程为，即，
所以点到直线的距离，
所以的面积为．
因为，，，
所以直线的中垂线方程为，直线的斜率为，线段的中点坐标为，
所以直线的中垂线方程为，即，
联立，解得，
所以的外心为，
由点和点，知的欧拉线方程为，即，
故的欧拉线的一般式方程为．
【解析】利用重心公式求得点的坐标，再求出点到直线的距离，由，得解；
写出直线和的中垂线方程，联立求得的外心，再由外心和重心两点的坐标，根据直线方程的点斜式写出欧拉线方程，得解．
本题考查直线与圆的综合问题，熟练掌握重心公式，点到直线的距离公式，三角形外接圆圆心的求法等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】解：设的方程为，
由直线过得，
由基本不等式得：，即，解得：，
当且仅当，时取等号，此时的方程为，即；
因为直线与轴、轴的正半轴分别交于点、点，
所以直线的斜率存在，
可设直线的方程为，
所以，，所以，，
所以，
当且仅当时取等号，此时，
此时直线的方程为，的最小值为．
【解析】设出直线的截距式方程，代入点的坐标，得到，结合基本不等式求出面积最值，得到的方程；
表达出，得到，，由基本不等式得到的最小值，得到，得到直线方程，
本题主要考查直线的一般式方程与直线的性质，属于中档题．
13.【答案】解：设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为，
则，
当且仅当时取等号，
，的夹角的最小值为；
设直线，，的斜率分别为，，，
则，得或．
当时，直线的方程为，直线的方程为，
联立得；
当时，直线的方程为，直线的方程为，联立得
故所求为或；
设：，：，其中，
故
，
由于当且仅当时取等号，
故，
【解析】本题考查两直线夹角公式的应用，考查点到直线距离公式的运用，训练了利用基本不等式求最值，是拔高题．
设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为，利用夹角公式及基本不等式求最值，即可得到，的夹角的最小值；
设直线，，的斜率分别为，，，可得，求解可得，，的值，进一步得到直线与直线的方程，联立得的坐标；
设：，：，其中，利用两点间的距离公式可得原点到直线，的距离，变形后利用基本不等式求解．
第1页，共1页
