郑州市重点中学校2023-2024学年高二上学期10月月考
数学
（120分钟 150分）
一、选择题（每题5分，1-10题为单选；11、12为多选，少选得2分，多选、错选得0分，共60分）
1．已知，，是空间的一个基底，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则
B．，，两两共面，但，，不共面
C．一定存在x，y，使得
D．，，一定能构成空间的一个基底
2．已知直线：，与：平行，则a的值是（ ）
A．0或1 B．1或 C．0或 D．
3．已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．对方程表示的图形，下列叙述中正确的是（ ）
A．斜率为2的一条直线
B．斜率为的一条直线
C．斜率为2的一条直线，且除去点
D．斜率为的一条直线，且除去点
5．已知空间四点，，，共面，则（ ）
A．4 B．1 C．10 D．11
6．已知直线l的方程为，，则直线l的倾斜角范围是（ ）
A．． B．
C． D．
7．一条光线从点射出，经x轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
8．方程表示的曲线为（ ）
A．两个半圆 B．一个圆 C．半个圆 D．两个圆
9．已知EF是圆C：的一条弦，且，P是EF的中点，当弦EF在圆C上运动时，直线l：上存在两点A，B，使得恒成立，则线段AB长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10．已知点P为平面直角坐标系xOy内的圆上的动点，定点，现将坐标平面沿y轴折成的二面角，使点A翻折至，则，P两点间距离的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（多选）如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，则（ ）
A．M，N，B，D 四点共面 B．异面直线与MN所成角的余弦值为
C．平面BMN截正方体所得截面为等腰梯形 D．三棱锥的体积为
12．（多选）设直线l：，圆C：，若直线l与圆C恒有两个公共点A，B，则下列说法正确的是（ ）
A．r的取值范围是
B．若r的值固定不变，则当时，最小
C．若r的值固定不变，则的面积的最大值为
D．若，则当的面积最大时直线l的斜率为1或
二、填空题（每题5分，共20分）
13．若圆与圆外离，则实数m的取值范围是______．
14．已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是______．
15．已知两点，，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，Q点的坐标______．
16．已知点在动直线上的投影为点M，若点，则的最大值为______．
三、解答题（写清楚必要的解题步骤、文字说明以及计算过程，17题10分，18-22题每题12分，共70分）
17．（1）求与直线垂直．且与原点的距离为6的直线方程；
（2）求经过直线：与：的交点．且平行于直线的直线方程．
18．已知实数x，y满足方程．
（1）求的最值；（2）求的最值．
19．平面直角坐标系中有一个，已知，，且．
（Ⅰ）求顶点A的轨迹方程；
（Ⅱ）求的面积的最大值．
20．如图，是正三角形，四边形是矩形，平面平面ABC，平面ABC，点M为AB中点，，．
（1）设直线l为平面ABC与平面的交线，求证：；
（2）若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值．
21．如图，在三棱柱中，四边形是菱形，，平面平面ABC．
（1）证明：；
（2）已知，，平面与平面的交线为l．在l上是否存在点P，使直线与平面ABP所成角的正弦值为？若存在，求线段的长度；若不存在，试说明理由．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆：和圆：．
（1）若直线l过点，且被圆截得的弦长为，求直线l的方程；
（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．
郑州市重点中学校2023-2024学年高二上学期10月月考
数学参考答案
1-10CCBCDBDABB 11．BCD 12．BD
13． 14．且 15． 16．
17．【解答】解：（1）设与直线垂直的直线方程为：．
又与原点的距离为6，∴，解得．
∴满足条件的直线方程为：．…5分
（2）联立，解得．
设平行于直线的直线方程为．
把代入上述方程可得：．∴要求的直线方程为：．……10分
18．【解答】解：（1）令，即对应直线l
将直线l平移，当l与圆C：相切时，t达到最大或最小值
由，得，∴t的最小值为，最大值为；…6分
（2）满足的点在以为圆心，半径为的圆上，，
∵当P、O、C三点共线时，达到最大值或最小值
∴当圆C上的点P在OC延长线上时，的最大值为，
得到的最大值为；
当圆C上的点P在线段OC上时，的最小值为，
得到的最大值为．
综上所述，的最大值为；最小值为．…12分
19．【解答】解：（Ⅰ）设，则∵，，且，
∴，∴，
∴顶点A的轨迹方程为；…6分
（Ⅱ）可化为，∴A到x轴的最大距离为，
∴的面积的最大值为．…12分
20．【解答】解：（1）证明：∵四边形是矩形，∴，
∵平面，平面，∴平面，…3分
又平面ABC，平面平面，∴；…5分
（2）连接MC，∵平面平面ABC，，∴平面，
而平面ABC，平面，∴平面，…6分
∴，∴，，8分
设中点为N，由（1）知，AB，MC，MN两两垂直，
以点M为坐标原点，MB，MC，MN所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，…9分
∴，，
设平面的法向量为，
则，则可取，…11分
取平面的法向量为，
则，
∴平面与平面夹角的余弦值是．…12分
21．【解答】解：（1）证明：∵平面平面ABC，又平面平面，
，平面ABC，∴平面，…2分
又平面，∴，∵四边形是菱形，∴，
又，AC、平面，∴平面，…4分
又平面，∴；…5分
（2）取中点D，连接AD，∵四边形为菱形，∴，
又，∴为等边三角形，由菱形的几何性质可知，，
∴也为等边三角形，又D为的中点，∴，又，∴，
由（1）知，平面，
∴以AB、AD、AC所在直线分别为x、y、z轴，建系如图，则根据题意可得：
、、、、，…7分
∴，设，则，，
∵，平面，平面，
∴平面，又平面平面，平面，
∴，由（1）知平面，…8分
设平面ABP的法向量，
则，取，…10分
∵直线与平面ABP所成角的正弦值为，
∴，解得，…11分
∴存在点P，线段的长为1．…12分
22．【解答】解：（1）由于直线与圆不相交；
∴直线l的斜率存在，设l方程为：，
圆的圆心到直线l的距离为d，∵l被截得的弦长为，∴，…2分
从而即或，…4分
∴直线l的方程为：或．…6分
（2）设点满足条件，
不妨设直线的方程为，，则直线方程为：，
∵和的半径相等，及直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，
∴的圆心到直线l 的距离和圆的圆心到直线的距离相等，
即，…8分
整理得，∴，
即或，…10分
因k的取值有无穷多个，所以或，
解得或，这样的点只可能是点或点．
经检验点和满足题目条件…12分
法2:直线和分别过，圆心时，点P在中垂线上时满足要求，依次可以确定两个点，，可以证明，和垂直且绕点，旋转时，直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等．
