2023—2024学年（上）厦门九年级第一阶段测试
数学
（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）2023.10.07
考号______姓名______座位号______
注意事项：
1.全卷三大题，25小题，试卷共4页，另有答题卡.
2.答案必须写在答题卡上，否则不能得分.
3.可以直接使用2B铅笔作图.
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题的四个选项中，只有一个选项正确）
1.如图是抛物线的示意图，则的值可以是（ ）
A.2 B.0 C. D.
2.关于的一元二次方程，根的判别式中的表示的数是（ ）
A.1 B. C. D.5
3.方程的根是（ ）
A. B. C. D.，
4.二次函数与轴的交点情况是（ ）
A.有一个交点 B.没有交点 C.有两个交点 D.无法确定
5.用配方法解方程时，原方程应变为（ ）
A. B. C. D.
6.要组织一次篮球赛，参赛的形式是单循环赛.根据时间和场地条件，整个赛程计划安排36场比赛，设比赛组织者应邀请支球队参赛，则由题意可列方程（ ）
A. B. C. D.
7.已知是关于的一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A.3 B.2 C.1 D.
8.若点在抛物线上，则下列各点在抛物线上的是（ ）
A. B. C. D.
9.已知，，是抛物线上的点，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
10.已知点，，均在抛物线上，其中.下列说法正确的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11.抛物线的顶点坐标是______.
12.是方程的一个根，则的值为______.
13.因为物价上涨，某商品连续两次提价，每件由100元提高到121元.则平均每次提高的百分率为______.
14.不等式组的解集为______.
15.九年级某学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系式为，由此可知该生此次实心球训练的成绩为______米.
16.二次函数的图象过点，，.现给出以下结论：
①；
②；
③对于任意实数，不等式一定成立；
④关于的方程有实数根.
其中正确的是______.（写出所有正确结论的序号）
三、解答题（本大题有9大题，共86分）
17.（本题满分8分）
解方程：（1）. （2）
18.（本题满分8分）
如图，的对角线和交于点，、分别是、上的点且.求证：.
19.（8分）先化简，再求值：，其中.
20.（本题满分8分）
如图，已知二次函数图象经过点和.
（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标.
（2）当时，请根据图象直接写出的取值范围.
21.（本题满分8分）
已知关于的一元二次方程.
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求的值.
22.（本题满分10分）
设二次函数，（，是实数）.已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：
… 0 1 2 3 …
… 1 1 …
（1）若，求二次函数的表达式；
（2）写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而减小.
（3）若在、、这三个实数中，只有一个是正数，求的取值范围.
23.（本题满分11分）
某数学兴趣小组活动，准备将一张三角形纸片（如图）进行如下操作，并进行猜想和证明.
（1）用三角板分别取，的中点，，连接，画于点；
（2）用（1）中所画的三块图形经过旋转或平移拼出一个四边形（无缝隙无重叠），并用三角板画出示意图；
（3）请判断（2）中所拼的四边形的形状，并说明理由.
24.（本题满分11分）
已知抛物线与轴交于、两点，其中点在点的右侧，与轴交于点.
（1）求点、的坐标；
（2）点为抛物线上一点且在第一象限内，求面积的最大值；
25.（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，已知点在轴正半轴上.
图1 图2
（1）如果四个点、、、中恰有三个点在二次函数（为常数，且）的图象上.
①______；
②如图1，已知菱形的顶点、、在该二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长；
③如图2，已知正方形的顶点、在该二次函数的图象上，点、在轴的同侧，且点在点的左侧，设点、的横坐标分别为、，试探究是否为定值.如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由.
（2）已知正方形的顶点、在二次函数（为常数，且）的图象上，点在点的左侧，设点、的横坐标分别为、，直接写出、满足的等量关系式.
