2023～2024年第一学期九年级数学试卷
说明：1．全卷共4页，满分120分，考试用时90分钟．
2．答案写在答题卷上，在试卷上作答无效．
3．用黑色字迹钢笔或签字笔按各题要求写在答题卷上，不能用铅笔和红色字迹的笔．
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．下列属于一元二次方程的是（ ）．
A． B． C． D．
2．若，是方程的两个根，则（ ）．
A． B． C． D．
3．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）．
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
4．如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是（ ）．
A． B．
C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而减小
5．用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
6．要得到抛物线，可以将抛物线（ ）．
A．向左平移4份单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向左平移4份单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移4份单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向右平移4份单位长度，再向下平移1个单位长度
7．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
9．将函数的图象绕原点O旋转，得到新的二次函数解析式为（ ）．
A． B．
C． D．
10．如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
11．方程的二次项系数是__________，一次项系数是__________，常数项是__________．
12．若1是关于x的一元二次方程的一个根，则__________．
13．抛物线的顶点坐标是__________．
14．如图，正方形的顶点B恰好在函数的图象上，若正方形的边长为，且边与x轴的正半轴夹角为，则a的值为__________．
15．已知抛物线经过，两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则n的取值范围是__________．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共4分）
16．解方程：
（1） （2）
17．解方程：
（1） （2）
18．已知一个二次函数的图象经过点，，，求这个二次函数的解析式．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份的盈利达到3456元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同．
（1）求每月盈利的平均增长率；
（2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？
20．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为p，q，且，求m的值．
21．小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系式；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系式．
（1）求点P的坐标和a的值；
（2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网，要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．（提示：，，）
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
22．如图，在边长为的等边三角形中，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若点P，Q分别从点A，B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动．设运动时间为．
（1）经过，__________cm，__________cm．
（2）经过几秒，是直角三角形？
（3）经过几秒，的面积等于？
23．已知抛物线（b常数）与x轴的正半轴相交于点A，与y轴相交于点B，点在线段上（不与O，A重合），过点E作x轴的垂线交直线于点N，交抛物线于点P．
（1）如图，若抛物线的对称轴为y轴．
①求点A的坐标和直线的函数解析式；
②当时，求m的值；
（2）若，，点Q为抛物线对称轴上一动点，当的最小值为时，求b的值．
