2023-2024学年上学期期中模拟考试
九年级数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷
选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
1．下列图形中，中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
3．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交于正半轴，其图象上有三点，，，则、、的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系，A的坐标为，将绕点O按顺时针方向旋转，得，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．关于的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，这是二次函数的部分图象，它与x轴的一个交点坐标为，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕O点顺时针旋转后，得到正方形，以此方式，绕O点连续旋转2023次得到正方形，如果点C坐标为，那么点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．某公司六月份的营业额为万元，七月份、八月份的营业额共为万元，如果营业额的月平均增长率相同，设七月份、八月份的营业额的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在正方形中，点分别在边上，且，连接，平分交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，其中称a为“数1”，b为“数2”，c为数“3”，为“数4”，为“数5”，则称这个过程为“换位思考”，例如：对上述代数式的“数1”和“数5”进行“换位思考”；又如对“数2”和“数3”进行“换位思考”，得到：；
①代数式进行一次“换位思考”，化简后只能得到1种结果；
②代数式进行一次“换位思考”，化简后可以得到5种结果；
③代数式进行一次“换位思考”，化简后可以得到6种结果；
④代数式进行一次“换位思考”，化简后可以得到8种结果（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷
填空题：本题共8小题，共32分。
11．方程的根为 ．
12．当 时，是关于x的二次函数．
13．已知点与点关于原点对称，则 ，
14．当 时，方程，有两个相等的实数根．
15．一种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为 s．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，E是AB的中点，F是BC边上一动点，将△BEF沿着EF翻折，使得点B落在点B′处，矩形内有一动点P，连接PB'、PC、PD，则PB′+PC+PD的最小值为 ．
17．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是整数，则符合条件的所有整数m的和为 ．
18．若对于一个四位正整数，其千位数字的倍和百位数字之和为，十位数字的倍和个位数字的倍之和为，则称这样的四位数为“凸月数”．把任意四位数A的前两位上的数字和后两位上的数字整体交换，得到新四位数，规定．则的值为 ．若（，，，，其中、、、均为整数），则当为“凸月数”，且最大时的值为 ．
三、解答题：本题共8小题，共78分。其中：19题8分，20-26题每题10分。
19．计算：
(1)； (2)
20．如图，在中，；于点D，，且．
(1)用尺规完成以下基本作图：作，使，交于点H（不写作法和证明，保留作图痕迹）
(2)在（1）所作的图形中，求证：（请补全下面的证明过程，除题目给的字母外，不添加其它字母或者符号）
证明：∵
∴
∵在和中
∴
∴__________②
∵和中．
∴___________④
∴．
21．第19届亚洲运动会将于2023年9月23日至10月08日在浙江省多地举行，此次杭州亚运会共设40个大项，现场观赛门票分项目开售，例如观众只想看田径比赛，则可以只购买田径赛事门票．近期官方平台有意愿为学校免费提供四个比赛项目的门票若干张，包括田径、游泳、篮球、拳击；为了更有针对性的发放不同赛事的门票数，学校调查了a个同学（要求每个同学只能选择一个项目观看），并将调查结果绘制成如图所示两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1) ， ；
(2)请补全条形统计图；
(3)若全校共有名学生，请你估计选择“篮球”项目的学生人数．
22．如图，在矩形中，，，点E和F分别为与边的中点，动点P从B点出发，沿折线运动，当到达D点时停止运动．设P点的运动路程为x，连接、，设的面积为y．
(1)直接写出y与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在直角坐标系中画出y与x的函数图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，当函数y满足，写出x的取值范围．
23．如图：在矩形中，把矩形绕点C旋转，得到矩形，且点E落在边上，连接交于点H．
(1)如图1，连接，求证：平分；
(2)如图2，连接，若平分，判断与之间的数量关系，并说明理由．
24．今年七八月份世界大学生运动会在成都顺利召开，中国向世界展现了热情好客的一面，也获得了许多外国友人的喜爱与赞赏，其中我国“国宝”熊猫更是引发了一番热潮，熊猫周边供不应求：现成都一玩偶店销售“抱竹熊猫”、“打坐熊猫”两款熊猫玩偶，其中“抱竹熊猫”成本每件100元，“打坐熊猫”成本每件120元，“打坐熊猫”售价是“抱竹熊猫”售价的倍，大运会开幕第一天“抱竹熊猫”比“打坐熊猫”多卖3件，且两款玩偶当天销售额都刚好到达1800元．
(1)求两款熊猫玩偶的售价分别是多少元？
(2)为了更好的宣传国宝熊猫，第二天店家决定降价出售，但是市场规定降价之后的售价不能低于成本价的 “抱竹熊猫”的售价降低了，当天“抱竹熊猫”的销量在第一天的基础上增加了m%，“打坐熊猫”的售价打8.5折，结果“打坐熊猫”的销量在第一天的基础上增加了m%，最终开幕第二天两款熊猫玩偶的总利润为1230元，求m的值．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)求线段的长度；
(2)点P为直线下方抛物线上的一动点，且点P在抛物线对称轴左侧，过点P作轴，交于点D，作轴，交抛物线于点E．求的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿着射线方向平移个单位长度，得到一条新抛物线，M为射线上的动点，过点M作轴交新抛物线的对称轴于点F，点N为直角坐标系内一点，请直接写出所有使得以点P，F，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
26．在中，，，，E是线段上一动点，连接．
(1)如图1，若，求的面积；
(2)如图2，若，将线段绕C逆时针旋转得到线段，连接．若点G是线段的中点，过点G作交于点P，交于点H，证明；
(3)如图3，将沿翻折至，连接．D是线段上的点，且，直接写出当取得最小值时的长度．
2023-2024学年上学期期中模拟考试
九年级数学（解析版）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷
选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
1．下列图形中，中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，旋转前后图形上能够重合的点叫做对称点．
【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形．
故选B．
【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．
2．方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可得或，解方程即可得到答案．
【详解】解：，
或，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法，选择合适的方法进行计算，将一元二次方程转化为一元一次方程是解此题的关键．
3．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交于正半轴，其图象上有三点，，，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别计算出自变量为 、-1、 对应的函数值，根据 即可得到 、、的大小关系；
【详解】解：当时，
当时，，
当时，，
二次函数的图象与y轴交于正半轴，
故选：B
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式
4．如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系，A的坐标为，将绕点O按顺时针方向旋转，得，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】画出旋转后的图形即可求解．
【详解】解：如图，点的坐标为(1，3)．
故选D．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，熟练掌握网格结构作出旋转后的三角形，利用数形结合的思想求解更简便．
5．关于的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据一元二次方程有实数根，可知根的判别式，即可求解的取值范围．
解：∵ 关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：．
故选B．
【点睛】本题目考查一元二次方程，难度不大，是中考的常考点，熟练掌握一元二次方程根的判别式是顺利解题的关键．
6．如图，这是二次函数的部分图象，它与x轴的一个交点坐标为，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的对称性进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴对称轴为直线；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，且抛物线上的点关于对称轴对称，
则：抛物线与x轴的另一个交点坐标为；
故选C．
【点睛】本题考查抛物线的对称性，熟练掌握抛物线上的点关于对称轴对称，
是解题的关键．
7．如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕O点顺时针旋转后，得到正方形，以此方式，绕O点连续旋转2023次得到正方形，如果点C坐标为，那么点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由图形可知：点在以为圆心，以为半径的圆上运动，再由旋转可找出每次点的坐标，然后发现规律，进而得出答案．
【详解】解：∵点C坐标为，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
连接，如图：
由勾股定理得：，
由旋转的性质得：
，
∵将正方形绕O点顺时针旋转后，得到正方形，
，
……
发现是8次一循环，则，
∴点的坐标为．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，坐标与图形，勾股定理等知识，其中找出点坐标的规律是解题的关键．
8．某公司六月份的营业额为万元，七月份、八月份的营业额共为万元，如果营业额的月平均增长率相同，设七月份、八月份的营业额的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意和题目中的数据，那么七月份为，八月份为，因为七月份、八月份的营业额共为万元，那么，即可解答本题．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程．
9．如图，在正方形中，点分别在边上，且，连接，平分交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正方形的性质及全等三角形的判定可得，再根据全等三角形的性质及平行线的性质得到，最后根据角平分线的定义即可解答．
【详解】解：∵在正方形中，
∴，，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵,
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故选．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
10．对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，其中称a为“数1”，b为“数2”，c为数“3”，为“数4”，为“数5”，则称这个过程为“换位思考”，例如：对上述代数式的“数1”和“数5”进行“换位思考”；又如对“数2”和“数3”进行“换位思考”，得到：；
①代数式进行一次“换位思考”，化简后只能得到1种结果；
②代数式进行一次“换位思考”，化简后可以得到5种结果；
③代数式进行一次“换位思考”，化简后可以得到6种结果；
④代数式进行一次“换位思考”，化简后可以得到8种结果（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据题意，分别讨论每种“换为思考”的运算结果，再求解即可．
【详解】解：①中括号前都是加号，所以无论怎么换位，
∴化简后是1种，故符合题意；
②当a、b“换位思考”，
，
当a、c“换位思考”，
，
当a、e“换位思考”，
，
当a、d“换位思考”，
当b、c“换位思考”，
；
当b、d“换位思考”，
当b、e“换位思考”，
当c、d“换位思考”，
，
当c、e“换位思考”，
，
当d、e“换位思考”，
，
∴化简后可以得到5种结果；故符合题意；
③当a、b“换位思考”，
；
当a、c“换位思考”，
；
当a、e“换位思考”，
，
当a、d“换位思考”，
，
当b、c“换位思考”，
，
当b、d“换位思考”，
，
当b、e“换位思考”，
，
当c、d“换位思考”，
，
当c、e“换位思考”，
，
当d、e“换位思考”，
，
∴化简后可以得到7种结果；故不符合题意；
④当a、b“换位思考”，
，
当a、c“换位思考”，
，
当a、e“换位思考”，
，
当a、d“换位思考”，
，
当b、c“换位思考”，
，
当b、d“换位思考”，
，
当b、e“换位思考”，
，
当c、d“换位思考”，
当c、e“换位思考”，
，
当d、e“换位思考”，
，
∴化简后可以得到8种结果；故符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查去括号，熟练掌握去括号的法则，弄清定义，准确计算是解题的关键．
第Ⅱ卷
填空题：本题共8小题，共32分。
11．方程的根为 ．
【答案】
【分析】直接开方法解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．
12．当 时，是关于x的二次函数．
【答案】1
【分析】根据二次函数的定义，可得，并且注意二次项系数不能为0，即，即可解答．
【详解】解：由题意得，
解得，
，
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，注意二次项系数不能为0是解题的关键．
13．已知点与点关于原点对称，则 ，
【答案】
【分析】根据关于原点对称的点横纵坐标互为相反数直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，，
∴，，
故答案为：，；
【点睛】本题考查关于原点对称的点横纵坐标互为相反数．
14．当 时，方程，有两个相等的实数根．
【答案】或
【分析】根据方程有两个相等的实数根得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，，
故答案为：或
【点睛】本题主要考查根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根．
15．一种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为 s．
【答案】8
【分析】先把二次函数的一般形式转化成顶点式，即可求解．
【详解】解：由题意可得：，
∵，
∴此二次函数图象开口向下．
∴当时，升到最高点．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，E是AB的中点，F是BC边上一动点，将△BEF沿着EF翻折，使得点B落在点B′处，矩形内有一动点P，连接PB'、PC、PD，则PB′+PC+PD的最小值为 ．
【答案】
【分析】将△PDC绕点D逆时针旋转60°，得到△DP′C′，连接PP′，CP′，EC′．由作图可知，△PDP′，△DCC′都是等边三角形，推出DP＝PP′，由CP＝P′C′，推出PB′＋PD＋PC＝PB′＋PP′＋P′C′，根据EB′＋PB′＋PP′＋P′C′≥EC′，可得结论．
【详解】解：将△PDC绕点D逆时针旋转60°，得到△DP′C′，连接PP′，CP′，EC′，由题意，AE＝EB＝EB′，
∴点B′在上运动，
由作图可知，△PDP′，△DCC′都是等边三角形，
∴DP＝PP′，
∵CP＝P′C′，
∴PB′＋PD＋PC＝PB′＋PP′＋P′C′，
∵EB′＋PB′＋PP′＋P′C′≥EC′，
如图，连接，交于点，
中，
又
∴PB′＋PP′＋P′C′≥12＋-4，
∴PB′＋PP′＋P′C′≥8＋，
∴PB′＋PC＋PD的最小值为8＋，
故答案为：8＋．
【点睛】本题考查旋转的性质，最短路线问题，矩形的性质，两点之间线段最短，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线．
17．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是整数，则符合条件的所有整数m的和为 ．
【答案】
【分析】分别解出两个一元一次不等式的解集，根据不等式组的解集为，列出不等式求得m的范围；解分式方程，根据方程有非负整数解，且列出不等式，求得m的范围；综上所述，求得m的范围．根据m为整数，求出m的值，最后求和即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组的解集为，
∴；
分式方程两边都乘以得：，
解得：，
∵分式方程的解是整数，
∴或或或，
∵，
∴的值为，3，0，，，，
a为偶数，
∵分式要有意义，
∴，即，
∴，即，
∴符合条件的所有整数m的数有3，0，，，
∴符合条件的所有整数的和为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，熟知相关计算方法是解题的关键，解分式方程时一定记得要检验．
18．若对于一个四位正整数，其千位数字的倍和百位数字之和为，十位数字的倍和个位数字的倍之和为，则称这样的四位数为“凸月数”．把任意四位数A的前两位上的数字和后两位上的数字整体交换，得到新四位数，规定．则的值为 ．若（，，，，其中、、、均为整数），则当为“凸月数”，且最大时的值为 ．
【答案】
【分析】根据新定义进行解答；分两种情况：当时，当时，根据新定义分别列出方程进行解答求得，并求得最大时，的值．
【详解】解：∵，，
∴是“凸月数”．
∴．
当时，
∵为“十四五数”，
∴，．
即，．
∵，，，，其中、、、均为整数，
∴，或，；，．
∴或．
当时，
∵为“十四五数”，
∴，．
即，，
∵，，，，其中、、、均为整数，
∴，或，；，．
∴或．
故满足条件的值为或或或．
当时，．
即当最大时的值为．
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了新定义，二元一次方程的整数解的求解，理解新定义是解本题的关键．
三、解答题：本题共8小题，共78分。其中：19题8分，20-26题每题10分。
19．计算：
(1)； (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并即可得到结果；
（2）括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分即可得到结果．
【详解】（1）解：原式=
=；
（2）解：原式=
=
=．
【点睛】本题考查整式、分式的运算，解题的关键是掌握整式运算的相关法则及分式的基本性质．
20．如图，在中，；于点D，，且．
(1)用尺规完成以下基本作图：作，使，交于点H（不写作法和证明，保留作图痕迹）
(2)在（1）所作的图形中，求证：（请补全下面的证明过程，除题目给的字母外，不添加其它字母或者符号）
证明：∵
∴
∵在和中
∴
∴__________②
∵和中．
∴___________④
∴．
【答案】(1)见解析
(2)①EF；②；③；④
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的尺规作图步骤处理；
（2）求证，得，运用方法，添加条件证得．
【详解】（1）如图所示
（2）证明：∵
∴
∵在和中
∴
∴②
∵和中．
∴④
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，尺规作图作垂线；掌握全等三角形的判定是解题的关键．
21．第19届亚洲运动会将于2023年9月23日至10月08日在浙江省多地举行，此次杭州亚运会共设40个大项，现场观赛门票分项目开售，例如观众只想看田径比赛，则可以只购买田径赛事门票．近期官方平台有意愿为学校免费提供四个比赛项目的门票若干张，包括田径、游泳、篮球、拳击；为了更有针对性的发放不同赛事的门票数，学校调查了a个同学（要求每个同学只能选择一个项目观看），并将调查结果绘制成如图所示两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1) ， ；
(2)请补全条形统计图；
(3)若全校共有名学生，请你估计选择“篮球”项目的学生人数．
【答案】(1)；
(2)见解析
(3)名
【分析】（1）用拳击人数及其所占百分比可得总人数；用总人数－其它各类人数得出游泳人数，再÷总人数可得；
（2）根据（1）中游泳人数从而补全条形图；
（3）总人数乘以样本中选择“篮球”项目对应的百分比即可．
【详解】（1）解：本次共调查学生名，
游泳人数为：（名），
∴，
故答案为：；．
（2）解：补全图形如下：
（3）解：喜欢篮球运动的学生约有名，
故估计选择“篮球”项目的学生人数名．
【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．如图，在矩形中，，，点E和F分别为与边的中点，动点P从B点出发，沿折线运动，当到达D点时停止运动．设P点的运动路程为x，连接、，设的面积为y．
(1)直接写出y与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在直角坐标系中画出y与x的函数图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，当函数y满足，写出x的取值范围．
【答案】(1)
(2)函数图象见解析，该函数的一条性质为：函数的最大值为3
(3)
【分析】（1）分两种情况：当点在上运动时，当点在上运动时，结合梯形、三角形面积公式即可求解；
（2）结合（1）中解析式即可画出函数图象，然后根据图象得出函数的性质；
（3）求出时对应的x的值，然后观察图象找出时所对应的自变量的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，，点和分别为与边的中点，
∴，，，
设点的运动路程为，
当点在上运动时，即时，，
∴的面积
，
当点在上运动时，即时，如图，，
∴的面积
，
综上，；
（2）函数图象如图所示，
由图象可知：函数的最大值为3；
（3）当时，即或，
解得：或，
由图象可知：当函数满足，的取值范围为．
【点睛】本题考查了矩形的性质，一次函数的应用，一次函数的图象和性质，正确理解题意，利用梯形、三角形的面积公式列出函数关系式是解本题的关键．
23．如图：在矩形中，把矩形绕点C旋转，得到矩形，且点E落在边上，连接交于点H．
(1)如图1，连接，求证：平分；
(2)如图2，连接，若平分，判断与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）由旋转得，得，由，得，则，即可证明平分；
（2）连接，作于点，先证明，得，，再由平分，推导出，则，再证明，得，由，，推导出，设，，中根据勾股定理得，求得，则．
【详解】（1）证明：如图1，连接，
由旋转得，
，
四边形是矩形，
，
，
，
平分．
（2）解：．
理由：如图2，连接，作于点，则，
，
，，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，平分，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
设，，则，，，
，
，
，
．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
24．今年七八月份世界大学生运动会在成都顺利召开，中国向世界展现了热情好客的一面，也获得了许多外国友人的喜爱与赞赏，其中我国“国宝”熊猫更是引发了一番热潮，熊猫周边供不应求：现成都一玩偶店销售“抱竹熊猫”、“打坐熊猫”两款熊猫玩偶，其中“抱竹熊猫”成本每件100元，“打坐熊猫”成本每件120元，“打坐熊猫”售价是“抱竹熊猫”售价的倍，大运会开幕第一天“抱竹熊猫”比“打坐熊猫”多卖3件，且两款玩偶当天销售额都刚好到达1800元．
(1)求两款熊猫玩偶的售价分别是多少元？
(2)为了更好的宣传国宝熊猫，第二天店家决定降价出售，但是市场规定降价之后的售价不能低于成本价的 “抱竹熊猫”的售价降低了，当天“抱竹熊猫”的销量在第一天的基础上增加了m%，“打坐熊猫”的售价打8.5折，结果“打坐熊猫”的销量在第一天的基础上增加了m%，最终开幕第二天两款熊猫玩偶的总利润为1230元，求m的值．
【答案】(1)“抱竹熊猫”的售价是元，“打坐熊猫”的售价是元
(2)
【分析】（1）设“抱竹熊猫”的售价是元，则“打坐熊猫”的售价是元，利用数量=总价÷单价，结合大运会开幕第一天“抱竹熊猫”比“打坐熊猫”多卖3件，可列出关于的分式方程，解之经检验后可得出“抱竹熊猫”的售价，再将其代入中，即可求出“打坐熊猫”的售价；
（2）利用总利润=每个的销售利润×销售数量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设“抱竹熊猫”的售价是元，则“打坐熊猫”的售价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴；
故“抱竹熊猫”的售价是元，“打坐熊猫”的售价是元．
（2）解：根据题意得：整理得：，
解得：，，
当时，，
，，符合题意；
当时，，
，，不符合题意，舍去．
故的值是．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)求线段的长度；
(2)点P为直线下方抛物线上的一动点，且点P在抛物线对称轴左侧，过点P作轴，交于点D，作轴，交抛物线于点E．求的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿着射线方向平移个单位长度，得到一条新抛物线，M为射线上的动点，过点M作轴交新抛物线的对称轴于点F，点N为直角坐标系内一点，请直接写出所有使得以点P，F，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】(1)
(2)最大值6，P的坐标为
(3)N的坐标为或或或
【分析】（1）在中，得，即可得线段的长度为；
（2）由，得抛物线的对称轴是直线，设，可得 ，故 ，根据二次函数性质可得答案；
（3）将抛物线沿着射线方向平移个单位长度相当于先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，故新抛物线解析式为，新抛物线的对称轴为直线；设，，分三种情况：①若为对角线，则的中点重合，且，②若为对角线，则的中点重合，且，③若为对角线，则的中点重合，且，分别列方程组即可解得答案．
【详解】（1）在中，令，得；
∴；
令得：，
解得，或，
∴，
∴，
∴线段的长度为；
（2）∵，
∴抛物线的对称轴是直线，
设，
设直线的解析式为，
把代入，得：
，
解得，
∴直线的解析式为，
∵轴，
∴，
∴,
∵关于直线对称，
∴,
∴，
∵，
∴当时，取最大值6，
此时P的坐标为；
（3）∵，
∴将抛物线沿着射线方向平移个单位长度相当于先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，
∴新抛物线解析式为，
∴新抛物线的对称轴为直线；
设，则，
而，
①若为对角线，则的中点重合，且，
∴，
解得：或（此时M不在射线上，舍去）；
∴；
②若为对角线，则的中点重合，且，
∴，
解得：（此时N，P重合，舍去）或，
∴；
③若为对角线，则的中点重合，且，
∴，
解得：或，
∴或；
综上所述，N的坐标为或或或．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及二次函数图象上点坐标的特征，菱形等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
26．在中，，，，E是线段上一动点，连接．
(1)如图1，若，求的面积；
(2)如图2，若，将线段绕C逆时针旋转得到线段，连接．若点G是线段的中点，过点G作交于点P，交于点H，证明；
(3)如图3，将沿翻折至，连接．D是线段上的点，且，直接写出当取得最小值时的长度．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)6
【分析】(1)作于点， 解， 求得和， 进而解， 求得从而进一步得出结果；
(2)取的中点 连接可证明，从而得出， 进而求得， 进而得出，从而得到 在的垂直平分线上，进一步得出点在的垂直平分线上，从而和点重合，进而得出结论；
(3)在的下方作， 截取， 连接， 交于点，作关于对称连接， 可证明，从而得出， 进而得出当共线时， 最小， 此时点在处， 点在， 可得出， 进而得出 作于， 可得出，进一步得出结果.
【详解】（1）如图，作于点，
在中，，
，
在中， ，
，
，
．
（2）证明: 如图，取的中点连接
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
在的垂直平分线上，
∵，
∴，
∴是的中点，
∴，
∴，
∴点在的垂直平分线上，
和点重合，
∴；
（3）如图，在的下方作， 截取， 连接，，交于点，作关于对称 连接
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当共线时，最小，此时点在处，点在
连接，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴四边形是等腰梯形，
∴
∴，，
，
∴，作于，
∴
，
，
即:
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形.
