人教版九年级上册数学期中考试试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
1．在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．将一元二次方程通过配方后所得的方程是（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线y＝（x﹣1）2+3的对称轴是（ ）
A．直线x＝1 B．直线x＝3 C．直线x＝﹣1 D．直线x＝﹣3
4．圆心在原点O，半径为5的⊙O，点P（4，﹣3）与⊙O的位置关系是（ ）
A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．不能确定
5．方程的根的情况是（ ）
A．一定有两个不等实数根 B．一定有两个实数根
C．一定有两个相等实数根 D．一定无实数根
6．某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为720吨．若平均每月增长率是x，则可以列方程（ ）
A．500（1+2x）＝720 B．500（1+x）2＝720
C．500（1+x2）＝720 D．720（1+x）2＝500
7．已知点P1（a，﹣2）和P2（3，b）关于原点对称，则（a+b）2016的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2016 D．﹣2016
8．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点M，AB＝10，BM＝2，则CD的长为（ ）
A．4 B．6 C．10 D．8
9．如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切，D为切点，若∠BCD＝125°，则∠ADP的大小为（ ）
A．25° B．40° C．35° D．30°
10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（b≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B坐标（﹣1，0），下面的四个结论：①OA＝3 ②a+b+c＜0 ③ac＞0 ④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的结论是（ ）
A．②④ B．①③ C．①④ D．①②④
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。
11．方程x2﹣16=0的解为_____．
12．若方程x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1、x2，则 的值为_____．
13．若关于x的函数与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为___
14．如图，将Rt△ABC（其中∠B＝32°，∠C＝90°）绕点A顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、B、C1在同一条直线上，那么旋转角等于______°．
15．如图，AB是⊙O的直径，∠AOE＝78°，点C、D是弧BE的三等分点，则∠COE＝_____．
16．如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠1+∠2＝______．
三、解答题：本大题共9小题，共72分。
17．解方程：（x－5）2=2（x－5）
18．已知x=﹣1是方程x2+mx﹣5=0的一个根，求m的值及方程的另一个根．
19．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，BD＝DC．求证：AB＝AC．
20．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，5），B（﹣4，1），和C（﹣1，3）．
（1）作出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出点A、B、C的对称点A1、B1、C1的坐标．
（2）作出将△ABC绕着点B顺时针旋转90°的△A2B2C2．
21．如图，在△ABD中，AD＝BD，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACE，使点C落在直线BD上．
（1）求证：AE∥BC；
（2）连接DE，判断四边形ABDE的形状，并说明理由．
22．为了落实国务院的指示精神，地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系：. 设这种产品每天的销售利润为w元.
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F．
（1）连接OA、OB，则∠AOB＝ ．
（2）若BD＝6，AD＝4，求⊙O的半径r．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB边上且DE⊥BE．
（1）判断直线AC与△DBE外接圆的位置关系，并说明理由；
（2）若AD＝6，AE＝6，求△DBE外接圆的半径及CE的长．
25．如图，直线y＝3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）．
（1）求A、B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．B
【详解】
试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，因此：
A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选B．
考点：轴对称图形和中心对称图形
2．C
【分析】
移项后，两边同时加上一次项系数一半的平方即可.
【详解】
∵x2-2x-2=0
∴x2-2x=2
∴x2-2x+1=1+2
∴（x-1）2=3,所以答案选择C项.
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，熟悉掌握配方法的步骤是解决本题的关键.
3．A
【分析】
二次函数的顶点式y＝（x﹣h）2+k，对称轴为x＝h．
【详解】
抛物线y＝（x﹣1）2+3的对称轴是直线x＝1．
故选A．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点式y＝（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h．
4．B
【分析】
先根据点的坐标求出的长度，再比较与圆的半径，判断点与圆的位置关系.
【详解】
解：∵OP＝，
∴d＝r＝5，
∴根据点到圆心的距离等于半径，则点P在圆上．
故选：B．
【点睛】
本题结合勾股定理考查点与圆的位置关系，熟练掌握判断方法是解答关键.
5．A
【分析】
对于一元二次方程y=（a≠0，且a、b、c为常数），当△=－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根.
【详解】
解：根据题意可得：△==16+4＞0，则方程有两个不相等的实数根.
故应选用A
考点：根的判别式
6．B
【分析】
可设平均每月增长率是，根据题目中的数量关系先求二月份产量，进而得到三月份产量.
【详解】
解：设平均每月增率是x，
二月份的产量为：500×（1+x）；
三月份的产量为：500（1+x）2＝720；
故选：B．
【点睛】
本题考查用一元二次方程解决问题中的增长率问题，理解题意，找准数量关系并列方程是解答的关键.
7．A
【分析】
根据平面直角坐标系中关于原点对称的两点的特征求出的值，再代数求值.
【详解】
解：由和关于原点对称，得
．
∴，
故选：A．
【点睛】
本题主要是考查平面直角坐标系中关于原点对称的两点的特征，熟练掌握该特征是解答关键.
8．D
【分析】
观察图形，连接，根据垂径定理构造直角三角形，再根据勾股定理求解即可.
【详解】
解：连接OC，
∵AB＝10，
∴OC＝OB＝OA＝5，
∴OM＝OB﹣BM＝5﹣2＝3，
由勾股定理得，CM＝，
∵直径AB⊥弦CD，
∴CD＝2CM＝8，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查的是垂径定理的简单应用，一般思路都是构造直角三角形根据勾股定理去解答.
9．C
【分析】
连接AC，OD，根据直径所对的圆周角是直角得到∠ACB是直角，求出∠ACD的度数，根据圆周角定理求出∠AOD的度数，再利用切线的性质即可得到∠ADP的度数．
【详解】
连接AC，OD．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD=125°﹣90°=35°，
∴∠AOD=2∠ACD=70°．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠ADO=55°．
∵PD与⊙O相切，
∴OD⊥PD，
∴∠ADP=90°﹣∠ADO=90°﹣55°=35°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了切线的性质、圆周角定理及推论，正确作出辅助线是解答本题的关键．
10．C
【分析】
根据二次函数的图象与性质逐一判断，①需要根据其对称性解答，②可以令，在图象上看其对应的函数值，③需要根据图象得到的正负，再判断，④观察函数值大于零时对应的自变量取值范围即可.
【详解】
解：∵点B坐标（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，
∴A的坐标是（3，0），
∴OA＝3，∴①正确；
∵由图象可知：当x＝1时，y＞0，
∴把x＝1代入二次函数的解析式得：y＝a+b+c＞0，∴②错误；
∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴a＜0，c＞0，
∴ac＜0，∴③错误；
∵由图象可知：当y＞0时，﹣1＜x＜3，∴④正确；
故选：C．
【点睛】
本题综合考查了二次函数的图象与性质，结合图象，熟练掌握二次函数的性质是解答关键.
11．x=±4
【详解】
解：方程x2﹣16=0，
移项，得x2=16，
开平方，得x=±4，
故答案为：x=±4．
12．-3
【详解】
解：因为的两根为x1，x2，
所以
=
故答案为：-3
13．0或－1．
【解析】
由于没有交待是二次函数，故应分两种情况：
当k=0时，函数是一次函数，与x轴仅有一个公共点．
当k≠0时，函数是二次函数，若函数与x轴仅有一个公共点，则有两个相等的实数根，即．
综上所述，若关于x的函数与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为0或－1．
14．122°
【分析】
根据旋转角的定义，应该是图中或者，可见它与互补，据此解答即可.
【详解】
解：∵∠B＝32°，∠C＝90°，
∴∠BAC＝58°，
∵将Rt△ABC绕点A顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、B、C1在同一条直线上，
∴∠BAB1＝180°﹣58°＝122°，
∴旋转角等于122°，
故答案为122°
【点睛】
本题结合直角三角形的性质考查旋转角的计算求解，理解掌握旋转角的意义是解答关键.
15．68°
【分析】
根据∠AOE的度数求出劣弧的度数，得到劣弧的度数，根据圆心角、弧、弦的关系定理解答即可．
【详解】
∵∠AOE=78°，∴劣弧的度数为78°．
∵AB是⊙O的直径，∴劣弧的度数为180°﹣78°=102°．
∵点C、D是弧BE的三等分点，∴∠COE102°=68°．
故答案为68°．
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理，掌握在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解题的关键．
16．90°
【分析】
观察到都是圆周角，可连接，根据“同弧所对圆周角是圆心角的一半”即可得到为平角的一半.
【详解】
解：连接OE，
∵∠1＝∠AOE，∠2＝∠BOE，
∴∠1+∠2＝∠AOE+∠BOE＝（∠AOE+∠BOE）＝×180°＝90°．
故答案为：90°．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理，深刻理解并熟练运用圆周角定理是解答关键.
17．x1=5，x2=7 ．
【分析】
先移项得，再提取公因式，可解此方程．
【详解】
解：
所以=0，=0
即x1=5，x2=7．
【点睛】
本题考查因式分解法解一元二次方程．
18．m=﹣4， 另一根是5．
【详解】
试题分析：先根据方程的根的定义：方程的根就是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入方程即可得到关于m的方程，求得m的值，然后代入原方程，最后再解方程即可.
试题解析：由题意得，解得
则原方程可化为，解得，
所以另一个根为-5．
考点：1.方程的根的定义；2.解一元二次方程
19．见解析
【分析】
观察图形可连接，根据“直径所对的圆周角是直接”可得，结合条件，根据等腰三角形的判定定理即可证明.
【详解】
证明：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°＝∠ADC，
∵BD＝DC，
∴∠BAD＝∠EAD，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC．
【点睛】
本题综合考查了圆周角定理和等腰三角形的判定，观察图形，熟练运用相关知识是解答关键.
20．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据作中心对称图形的方法与步骤，先找到三个顶点的对称点，再连接即可；根据关于原点中心对称的点的坐标的特征解答.
（2）根据旋转的特征与性质先将两条边旋转找到对应线段，再连接.
【详解】
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．A1（2，﹣5），B1（4，﹣1），C1（1，﹣3）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
【点睛】
本题考查了作中心对称图形的方法与步骤，旋转图形的作法等，熟练掌握作图的方法是解答关键.
21．（1）见解析；（2）四边形ABDE是平行四边形，理由见解析
【分析】
（1）根据旋转图形的性质可判定，得到对应角相等，再结合等腰三角形两底角相等得到内错角相等，即可解答.
（2）根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质得到与平行且相等，根据“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”即可证明.
【详解】
证明：（1）由旋转性质得∠BAD＝∠CAE，AB＝AC，
∵AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠DCA；
∴∠CAE＝∠DCA，
∴AE∥BC．
（2）四边形ABDE是平行四边形，
理由如下：
由旋转性质得AD＝AE，
∵AD＝BD，
∴AE＝BD，
又∵AE∥BC，
∴四边形ABDE是平行四边形．
【点睛】
本题综合考查了旋转的性质，全等三角形的性质，平行线的判定和平行四边形的判定等，熟练掌握各个知识点是解答关键.
22．（1）；（2）该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元.
【解析】
试题分析：（1）根据销售额=销售量×销售价单x，列出函数关系式；（2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值.
试题解析：（1）由题意得：，
∴w与x的函数关系式为：.
（2），
∵﹣2＜0，∴当x=30时，w有最大值．w最大值为200.
答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元.
考点：1.二次函数的应用；2.由实际问题列函数关系式；3.二次函数的最值.
23．（1）135°；（2）r＝2
【分析】
（1）根据三角形的内心的性质即可解答.
（2）连接，根据圆的切线的性质和角平分线的性质，加之为直角证明四边形为正方形，设，用表示出的三边，运用勾股定理列方程解答即可.
【详解】
解：（1）
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴O为△ACB的内心，
∴∠OBA＝∠ABC，∠OAB＝∠CAB，
∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∴∠OBA+∠OAB＝×90°＝45°，
∴∠AOB＝180°﹣∠45°＝135°，
故答案为：135°；
（2）连接EO，FO，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴OE⊥BC，OF⊥AC，BD＝BE，AD＝AF，EC＝CF，
又∵∠C＝90°，
∴四边形ECFO是矩形，
又∵EO＝FO，
∴矩形OECF是正方形，
设EO＝x，
则EC＝CF＝x，
在Rt△ABC中
BC2+AC2＝AB2
故（x+6）2+（x+4）2＝102，
解得：x＝2，
即⊙O的半径r＝2．
【点睛】
本题综合考查了直角三角形与其内切圆的性质，切线的性质，正方形的判定与性质等知识点，熟练掌握各个知识点是解答关键.
24．（1）直线AC与△DBE外接圆相切，理由见解析；（2）外接圆的半径为3，CE的长为2
【分析】
（1）连接，根据直线与圆相切的判定定理，需证明，即，已知，则需证明，根据等腰三角形结合平分的条件即可证明.
（2）根据已知条件，可设圆的半径为，在中根据勾股定理列方程解答即可；求，可过作于，根据角平分线的性质可得，故在中用等面积法求即可.
【详解】
解：（1）直线AC与△DBE外接圆相切．理由：
∵DE⊥BE
∴BD为△DBE外接圆的直径
取BD的中点O（即△DBE外接圆的圆心），连接OE
∴OE＝OB
∴∠OEB＝∠OBE
∵BE平分∠ABC
∴∠OBE＝∠CBE
∴∠OEB＝∠CBE
∵∠CBE+∠CEB＝90°
∴∠OEB+∠CEB＝90°
即OE⊥AC
∴直线AC与△DBE外接圆相切；
（2）设⊙O的半径为r，则在Rt△AOE中，AD＝6，AO＝r+6，AE＝6，
OA2＝OE2+AE2，
即：（r+6）2＝r2+（6）2，
解得：r＝3
则△BDE的外接圆的半径为3．
过点E作EF⊥AB于F，
∵BE平分∠ABC，∠C＝90°
∴EF＝EC
在Rt△AOE中，AO＝6+3＝9，
EF＝
∴CE＝EF＝2
∴外接圆的半径为3，CE的长为2．
【点睛】
本题结合直角三角形综合考查了圆的性质与切线的判定，熟练掌握相关性质，观察图形，根据条件合理作出辅助线是解答关键.
25．（1）A（﹣1，0），B（0，3）；（2）y＝﹣x2+2x+3；（3）存在，Q（1，1），（1，0），（1，），（1，﹣）．
【分析】
（1）已知一次函数解析式，分别令即可解决.
（2）设出抛物线的一般式，将三点坐标代入用待定系数法即可解决.
（3）抛物线解析式后可得其对称轴为，可设，此时需要分三种情况讨论：，每一种的线段长度用表示出来，列方程求解即可.
【详解】
解：（1）∵y＝3x+3，
∴当x＝0时，y＝3，
当y＝0时，x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（0，3）．
（2）设抛物线的解析式为，由题意，得
，
解得
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3.
（3）∵y＝﹣x2+2x+3，
∴y＝﹣（x﹣1）2+4
∴抛物线的对称轴为x＝1，设，
（1）当AQ＝BQ时，如图，
由勾股定理可得
BQ＝，
AQ＝
AQ＝BQ
即，
解得，
∴Q（1，1）；
（2）如图：
当AB是腰时，Q是对称轴与x轴交点时，AB＝BQ，
∴
解得：或6，
当Q点的坐标为（1，6）时，其在直线AB上，A、B和Q三点共线，舍去，
则此时Q的坐标是（1，0）；
（3）当AQ＝AB时，如图：
，
解得，
则Q的坐标是（1，）和（1，﹣）．
综上所述：Q（1，1），（1，0），（1，），（1，﹣）．
【点睛】
本题是结合了一次函数与二次函数的图象与性质，等腰三角形的判定等知识的动点问题，熟练掌握各个知识点，作出符合题意要求的图形，分情况讨论解答是关键.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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