宁波市重点中学2023-2024学年高二上学期第一次质量检测数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 某次数学竞赛中有甲、乙、丙三个方阵，其人数之比为，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为50的样本，其中方阵乙被抽取的人数为（ ）
A. 10 B. 15 C. 20 D. 25
2. 如果数据，，…，的平均数是，方差是，则，，…，的平均数和方差分别是（ ）
A. 与 B. 和 C. 和 D. 和
3. 将骰子先后抛掷2次，则向上的数之和不小于4的概率是（ ）
A. B. C. D.
4. 从1，2，3，4中随机取出一个数字，记事件“取出的数字是1或2”，“取出的数字是1或3”，“取出的数字是1或4”.命题“①与相互独立；②与相互独立；③与相互独立”中，真命题的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
5. 在下列命题中：
①若向量，共线，则向量，所在的直线平行；
②若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面；
③若三个向量，，两两共面，则向量，，共面；
④已知空间的三个不共面向量，，，则对于空间的任意一个向量，总存在实数x，y，z使得.其中正确命题的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6. 曲线在点处的切线为，则等于（ ）
A. －4 B. －2 C. 4 D. 2
7. 设是定义在上的函数，其导函数为，满足，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 关于函数，下列判断正确的是（ ）
①是的极大值点；②函数有且只有1个零点；
③存在正实数k，使得成立；
④对任意两个正实数，，且，若，则.
A. ①④ B. ②③ C. ②③④ D. ②④
二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）
9. 某士官参加军区射击比赛，打了6发子弹，报靶数据如下：7，8，9，10，6，8，（单位：环），下列说法正确的有（ ）
A. 这组数据的平均数是8 B. 这组数据的极差是4
C. 这组数据的中位数是8.5 D. 这组数据的方差是2
10. 已知事件A，B，且，，则下列结论正确的是（ ）
A. 如果，那么，
B. 如果A与B互斥，那么，
C. 如果A与B相互独立，那么，
D. 如果A与B相互独立，那么，
11. 你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵一些？高二某研究小组针对饮料瓶的大小对饮料公司利润的影响进行了研究，调查如下：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径.已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.下面结论正确的有（ ）（注：；利润可为负数）
A. 利润随着瓶子半径的增大而增大 B. 半径为6cm时，利润最大
C. 半径为2cm时，利润最小 D. 半径为3cm时，制造商不获利
12. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 某中学为了解学生的数学学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图，根据频率分布直方图，推测这3000名学生在该次数学考试中成绩不低于80分的学生人数是______.
14. 事件A、B是相互独立事件，若，，，则实数m的值等于______.
15. 若关于x的不等式有且只有2个正整数解，则实数a的取值范围为______.
16. 已知函数，若曲线过点的切线有两条，则实数a的取值范围为______.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题10分）为普及抗疫知识，弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛，比赛分两轮进行，每位选手都必须参加两轮比赛，若选手在两轮比赛中都胜出，则视为该选手赢得比赛.现已知甲、乙两位选手，在第一轮胜出的概率分别为，，在第二轮胜出的概率分别为，，甲、乙两位选手在一轮二轮比赛中是否胜出互不影响.
（Ⅰ）在甲、乙二人中选派一人参加比赛，谁赢得比赛的概率更大？
（Ⅱ）若甲、乙两人都参加比赛，求至少一人赢得比赛的概率.
18.（本小题12分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛；从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图.
（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；
（Ⅱ）求样本成绩的第75百分位数；
（Ⅲ）已知落在的平均成绩是51，方差是7，落在的平均成绩为63，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.
19.（本小题12分）
已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）求函数在区间上的值域；
（Ⅲ）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若，，求面积的最大值.
20.（本小题12分）
已知等差数列的公差为正数，，其前n项和为，数列为等比数列，，且，.
（Ⅰ）求数列与的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和.
（Ⅲ）设，求数列的前2n项和.
21.（本小题12分）
已知函数.
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）若在上是单调增函数，求实数a的取值范围.
22.（本小题12分）
已知函数.
（Ⅰ）当时，恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设，是函数的两个极值点，证明：.
宁波市重点中学2023-2024学年高二上学期第一次质量检测数学答案
1. B 2. C 3. D 4. C 5. B 6. C 7. A 8. D
9. AB 10. BD 11. BCD 12. ABD
1.【分析】
本题主要考查了分层随机抽样，属于基础题.
利用分层抽样的性质即可求解方阵乙被抽取的人数.
【解答】
解：由题意，可知方阵乙被抽取的人数：.
故选B.
2.【分析】
本题考查平均数和方差的计算公式和性质，属于较易题.
方法一，由平均数和方差公式直接计算求解；
方法二，根据平均数和方差的性质可知原数据乘以2加上3得到一组新数据，则由平均数、方差的性质可知得到的新数据的平均数和方差分别是和，即可求解.
【解答】
解：方法一：平均数为
；
方差为
.
方法二：原数据乘以2加上3得到一组新数据，
则由平均数、方差的性质可知得到的新数据的平均数和方差分别是和.
故选C.
3.【分析】
本题考查古典概型的概率和对立事件的概率，是基础题.
先求出基本事件总数，再利用列举法求出所得的两个点数和小于4包含的基本事件个数，由此能求出所得的两个点数和不小于4的概率.
【解答】
解：将骰子先后抛掷2次，所有结果的总数如下表：
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6
共36种.
因为向上的数之和小于4的结果有，，共3种，
所以向上的数之和小于4的概率，
从而向上的数的和不小于4的概率，
故选D.
4.【分析】
本题考查相互独立事件、古典概型及其概率计算，属于较难题.
根据古典概型的概率公式分别求出、、、、、，结合相互独立事件的定义即可判断三个命题的真假.
【解答】
解：从1，2，3，4中取随机选出一个数字，记事件“取出的数字是1或2”，“取出的数字是1或3”，“取出的数字是1或4”，
，，，
，，，
对于命题①，，
所以与相互独立，故①是真命题；
对于命题②，，
所以与相互独立，故②是真命题；
对于③，，
所以与相互独立，故③是真命题.
故选：C.
5.【分析】
本题考查了空间向量的基本定理及应用、共线与共面向量定理及应用、空间向量的加减运算及数乘运算的相关知识，属于基础题.
①②空间向量，共线不代表所在直线平行，且空间任意两向量都共面，即可判断；③利用四面体三条侧棱说明即可；④根据空间向量基本定理即可判断.
【解答】
解：①若向量，共线，则向量，所在的直线平行或重合，错误；
②若向量，所在的直线为异面直线，由向量位置的任意性，
空间中两向量可平移至一个平面内，故，共面，错误；
③若三个向量，，两两共面，如下图：
显然，，不共面，错误；
④已知空间的三个不共面向量，，，则对于空间的任意一个向量，
根据空间向量基本定理知：总存在实数x，y，z使，正确.
只有④正确.
故选B.
6.【分析】
本题考查导数的几何意义和导数的定义，属于基础题.
根据切点处的导数即为切线斜率，即可求得，代入所求即可.
【解答】
解：由已知得曲线在点处切线斜率为2，
即，
则..
故选：C.
7.【分析】
本题考查利用导数比较大小，属于中档题.
依题意令，进而根据题意得在上单调递减，故，进而得答案.
【解答】
解：因为满足，令，
则，所以在上单调递减，
所以，即，所以，
所以.
故选A.
8.【分析】
本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的单调性和极值，函数零点个数的判断，以及构造法证明不等式，综合性较强，运算量较大，属于难题.
①求函数的导数，结合函数极值的定义进行判断；
②求函数的导数，结合函数的单调性，结合函数单调性和零点个数进行判断即可；
③利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值进行判断即可；
④令，求函数的导数，研究函数的单调性进行证明即可.
【解答】
解：①函数的定义域为，
函数的导数，∴在上，，函数单调递减，在上，，函数单调递增，
∴是的极小值点，即①错误；
②，∴，
函数在上单调递减，
且，，
∴函数有且只有1个零点，即②正确；
③若，可得，令，则，
令，则，
∴在上，，函数单调递增，上，，函数单调递减，
∴，∴，
∴在上函数单调递减，函数无最小值，
∴不存在正实数，使得恒成立，即③不正确；
④令，则，，
令，
则，
∴在上单调递减，
则，
令，
由，得，
则，
当时，显然成立，
∴对任意两个正实数，，且，若，则，④正确，
故正确的是②④，
故选：D.
9.【分析】
本题考查命题真假的判断，平均数、极差、中位数、方差的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
利用平均数、极差、中位数、方差的定义直接判断各选项即可.
【解答】
解：对于A，这组数据的平均数是，故A正确；
对于B，这组数据的极差是，故B正确；
对于C，这组数据从小到大为6，7，8，8，9，10，
∴这组数据的中位数是8，故C错误；
对于D，这组数据的方差是，故D错误.
故选：AB.
10.【分析】
本题考查互斥事件、对立事件、相互独立事件的概念，属于中档题.
根据互斥事件的概率计算公式以及相互独立事件的概念，结合概率的基本性质，即可逐项判断出结果.
【解答】
解：因为，.
选项A：如果，那么，，故A错误；
选项B：如果与互斥，说明事件与不可能同时发生，那么，，故B正确；
选项C：如果与相互独立，说明事件的发生与否与事件的发生与否互不影响，那么，
，故C错误；
选项D：如果与相互独立，说明事件的发生与否与事件的发生与否互不影响，
那么，，故D正确.
故选BD.
11.【分析】
本题考查函数模型的应用，属于一般题.
根据已知条件写出利润关于瓶子半径的函数式，由于是的三次函数，所以可利用导数来分析和处理并回答问题.
【解答】
解：由已知，每个瓶子的利润
，，
∵，
∴当时，，函数单调递减，∴A错误；
又当时，，函数单调递增，
∵，
∴当时，函数取得最大值，∴B正确；
当时，函数取得最小值，∴C正确；
又∵，∴D正确.
故选BCD.
12.【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数比较大小，属于较难题.
易知，构造，利用导数可得，从而可判断A；构造函数，利用导数推出可判断B；取可得，从而可判断C；消去可得，令，则，构造，，利用导数即可判断D.
【解答】
解：，，
∵，∴，∴，
构造，则，
所以函数在上单调递增，所以，
所以.
∴，
∴，故A正确；
令，
则，
所以函数在上单调递增，所以，
所以，
所以，
∴，故B正确；
当时，则，∵，∴，
∴，故C错误；
，∴，，
令，则，，，
设，，
，
令，，则，
可知函数在上单调递增，，
则，
∴在上单调递增，，
∴，故D正确.
13. 840 14. 15. 16.
13.【分析】
本题考查频率分布直方图，属于基础题.
首先计算成绩不低于80的两个小矩形的面积之和，即成绩不低于80的学生的频率，再乘以3000即可.
【解答】
解：由频率分布直方图成绩不低于80的学生的频率为：
，
所以成绩不低于80分的学生数是.
故答案为：840.
14.【分析】
本题考查相互独立事件，互斥事件和对立事件的概率公式，属于基础题目.
根据题意可得，代入数值即可得解.
【解答】解：∵
，
即，
解得.
故答案为.
15.【分析】
本题考查利用导数研究函数性质的应用.
将不等有且只有2个正整数解，转化为有且只有2个正整数解，令，利用导数研究其性质，作出图象分析即可得到答案.
【解答】
解：不等式即，
令，则，
当时，，为单调增函数，
当时，，为单调减函数，
表示过点的直线，
画出图象如下：
由题意可知：，解得：，
故答案为.
16.【分析】
本题考查导数几何意义应用，属中档题.
依题意，设切点，求导得切线斜率，写出切线方程，将代入化简得，
则方程又两个不同的实数解，求解即可.
【解答】
解：设切点，直线斜率为，
，则，
所以切线方程为，
将代入化简得，
所以方程又两个不同的实数解，
，
得或，即实数的取值范围为.
17. 解：（1）∵每组小矩形的面积之和为1，
∴，
∴；
（2）成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
设第75百分位数为，
由，
得，故第75百分位数为84；
（3）由图可知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，
故，
设成绩在中10人的分数分别为，，，…，；
成绩在中20人的分数分别为，，，…，，
则由题意可得，，，
即，，
∴
，
所以两组市民成绩的总平均数是59，总方差是37.
本题考查频率分布直方图、百分位数、平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
（1）由频率分布直方图列出方程能求出；
（2）由频率分布直方图列出方程能求出第75百分位数；
（3）由频率分布直方图中数据结合方差计算公式即可解答.
18. 解：（1）设“甲在第一轮比赛中胜出”，
“甲在第二轮比赛中胜出”，
“乙在第一轮比赛中胜出”，
“乙在第二轮比赛中胜出”，
则“甲赢得比赛”，
.
“乙赢得比赛”，
.
因为，
所以派甲参赛获胜的概率更大.
（2）由（1）知，
设“甲赢得比赛”，“乙贏得比赛”，
则；
.
于是“两人中至少有一人赢得比赛”
.
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.
（1）设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”，“乙在第一轮比赛中胜出”，“乙在第二轮比赛中胜出”利用相互独立事件概率乘法公式分别求出相应的概率，能求出派甲参赛赢得比赛的可能性最大；
（2）设“甲赢得比赛”，“乙贏得比赛”，利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出至少有一人赢得比赛的概率.
19. 解：（1），
∴的最小正周期.
由，得：，，
∴的单调递增区间为.
（2）∴，
∴，则，即，
∴函数在区间上的值域为
（3）由，由，得.
由余弦定理，得，
∴，当且仅当时等号成立.
∴.
∴面积的最大值为.
本题考查三角函数化简计算，辅助角公式运用，单调性，值域和解三角形求面积最值问题，属于中档题.
（1）应用二倍角余弦公式、辅助角公式可得，根据正弦函数的性质即可求最小正周期、递增区间；
（2）由给定区间可知，根据正弦函数性质求区间值域即可.
（3）由题设可得，应用余弦定理及三角形面积公式，结合基本不等式求面积的最大值.
20. 解：（1）设等差数列的公差为，等比数列公比为q，
∴，解得：，
∴；；
（2）由（1）得：，
∴，
，
两式作差得：，
∴.
（3）由（1）得：，
则.
本题考查等差、等比数列的通项公式，错位相减法、裂项相消法，分组求和，属于综合题.
（1）假设公差和公比，由等差和等比数列通项与求和公式可构造方程求得，，由等差和等比通项公式可求得结果；
（2）由（1）可得，利用错位相减法可求得结果；
（3）由（1）可得，利用分组求和的方法，结合等比数列求和公式和裂项相消法可求得结果.
21. 解：（Ⅰ）∵函数，
∴函数的定义域为.
当时，，
.
当变化时，和的值的变化情况如下表：
1
0
递减 极小值 递增
由上表可知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是，
极小值是，无极大值.
（Ⅱ）由，得.
若函数为上的单调增函数，
则在上恒成立，
即不等式在上恒成立.
也即在上恒成立.
令，则.
当时，，
∴在上为减函数，
∴.
∴.
∴a的取值范围为.
本题考查函数的单调区间和极值的求法，考查实数的取值范围的求法，属于中档题.
（Ⅰ）函数的定义域为.当时，，由此利用导数性质能求出函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）由，得，令，则，由此利用导数求出最值能得出的取值范围.
22. 解：依题意，，
（1）①当时，，所以在上单调递减，
所以当时，，所以不符合题设；
②当时，令，得，
解得，或，
所以当时，，
所以在上单调递减，
此时，所以不符合题设；
③当时，，所以，
所以在上单调递增，所以当时，；
综上，实数的取值范围是.
（2）由（1）知，当时，取，，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极大值点，是的极小值点，
由（1）知，，，，
所以要证，只要证，
因为
，
设，
，，
所以，
所以在上单调递增，所以，
所以，
即得成立，
所以原不等式成立.
本题考查利用导数求解或证明不等式，考查利用导数研究函数的极值问题，属于难题.
（1）对函数进行求导，再分、、三种情况进行讨论即可；
（2）结合（1）中的结论可知，是的极大值点，是的极小值点，且，，，所以转化为证明，而，接下来利用换元法构造新函数进行求解即可.
