江苏省江都中学、仪征中学高二年级 10 月联考
数学试题
一、单选题（本大题共 8 小题，共 40.0 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知直线 过点 ( 1, 3) 2 ， (2, )两点，若直线 的倾斜角是 3，则 =( )
A. 2 3 B. 0 C. 2 3 D. 4 3
2.若方程 2 + 2 + + 2 + 2 = 0 表示圆，则实数 的取值范围是 ( )
A. ≤ 2 B. ≥ 2 C. < 2或 > 2 D. ≤ 2或 ≥ 2
3.圆 1： 2 + 2 2 + 6 = 0 和圆 2： 2 + 2 6 = 0 的公共弦 的垂直平分线的方程是 ( )
A. 2 3 + 3 = 0 B. 2 3 5 = 0 C. 3 2 9 = 0 D. 3 2 + 7 = 0
4.若直线 = + 经过第一、二、四象限，则圆( + )2 + ( + )2 = 1 的圆心位于 ( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2 2
5 3.已知椭圆 + = 1，则以点(2, 2 )为中点的弦所在的直线方程为( )16 9
A. 8 6 7 = 0 B. 3 + 4 = 0
C. 3 + 4 12 = 0 D. 6 + 8 25 = 0
6.过点 2, 1 引直线 与曲线 = 1 2相交于 两点，则直线 的斜率取值范围是( )
A. 1, 34 B.
4
3 , 1 C. 1,
3
4 D.
4 3
3 , 4
7.17世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明，方程 2 2 = 2( > 0， ≠ 1， ≠
0)表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质：若从椭圆上任意一点 向长轴 (异于 ， 两点)引
2
垂线，垂足为 ，则 为常数.据此推断，此常数的值为( )
A. 椭圆的离心率 B. 椭圆离心率的平方
C. 短轴长与长轴长的比 D. 短轴长与长轴长比的平方
8.已知 ， 分别是圆 ：( 4)2 + 2 = 8、圆 ： 2 + ( 4)2 = 1 上的动点， 是坐标原点，则| | +
2 | |的最小值是( )2
A. 4 2 B. 4 2 1 C. 2 5 D. 2 5 1
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二、多选题（本大题共 4 小题，共 20.0 分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知直线 1： 3 = 0，直线 2：4 + 6 = 0，则下列命题正确的有( )
A. 直线 1恒过点(0, 3) B. 存在 使得直线 2的倾斜角为90
C. 若 1// 2，则 = 2 或 = 2 D. 不存在实数 使得 1 ⊥ 2
10.下列命题错误的是：( )
A. 两平行直线 5 + 12 + 3 = 0 与 10 + 24 + 5 = 0 1之间的距离是26
B. 若点 ( 2, 3)， ( 3, 2)，直线 过点 (1,1)且与线段 相交，则 的斜率 的取值范围是
≤ 4 33或 ≥ 4
C. 若点 ( 0, 0)在圆 2 + 2 = 2外，则直线 0 + 0 = 2与圆相离
D. 若 3 2 + 3 2 4 2 = 0，则直线 + + = 0 被圆 2 + 2 = 1 所截得的弦长为 1
11.已知圆 : 2 + 2 = 4 和圆 : ( 3)2 + ( 3)2 = 4， ， 分别是圆 ，圆 上的动点，则下列说
法正确的是 ( )
A. 圆 与圆 有四条公切线
B. | |的取值范围是[3 2 4,3 2 + 4]
C. = 2 是圆 与圆 的一条公切线
D. 过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，则存在点 ，使得∠ = 90
2 2
12.已知椭圆 : + 2 2 = 1( > > 0)的左右焦点分别为 1， 2，长轴长为 4，点 ( 2, 1)在椭圆内
部，点 在椭圆上，则以下说法正确的是 ( )
A. 1离心率的取值范围为 0, 2
B. 当离心率为 2时，| 1| + | |的最大值为4 2 +
6
2
C. 存在点 使得 1 2 = 0
1 1
D. | |+1 | |的最小值为 12
三、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
2 2
13.过点( 3, 5)，且与椭圆 25 +
= 1 有相同焦点的椭圆的标准方程为 ．9
14.已知点 (4,5)，点 在 轴上，点 在直线 ：2 + 2 = 0 上，则△ 周长最小值为 ，此
时点 的坐标为 ．
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2 2 2
15.已知椭圆 ： + 1 2 2 = 1 > > 0 与圆 2： 2 + 2 =
4 ，若在椭圆 1上不存在点 ，使得由 5
点 所作的圆 2的两条切线互相垂直，则椭圆 1的离心率的取值范围是 ．
16.曲线 是平面内与两个定点 1( 1,0)和 2(1,0)的距离的积等于常数 2( > 1)的点的轨迹．给出
下列三个结论：①曲线 过坐标原点；②曲线 关于坐标原点对称；③若点 在曲线 上，则△ 1 2
1
的面积不大于 22 .其中正确命题的序号为__________．
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题 10.0分)
已知点 (2,4)和直线 ：2 + + 1 = 0．
(1)求经过点 且与 平行的直线方程；
(2)求经过点 且在两坐标轴上截距相等的直线方程．
18.(本小题 12.0分)
已知圆 的 方程为 2 + 2 = 1．
(1)求过点 1,2 且与圆 相切的直线 的方程；
(2)直线 过点 (1,2)，且与圆 交于 , 两点，当△ 是等腰直角三角形时，求直线 的方程．
19.(本小题 12.0分)
已知圆 经过点 (0,0)， (1,1)，从下列 3个条件选取一个__________．
①过点 (2,0)；②圆 恒被直线 = 0( ∈ )平分；③与 轴相切．
(1)求圆 的方程；
(2)过点 (3,0)的直线 与圆 相交于 , 两点，求 中点 的轨迹方程．
共 4页，第 3页
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20.(本小题 12.0分)
2 2
设 1， 2分别是椭圆 ：
2 +
2 = 1( > > 0)的左、右焦点，过点 1的直线交椭圆 于 ， 两点，
| 1| = 3| 1|.
(1)若| | = 4，△ 2的周长为 16，求| 2|；
(2) 3若 cos∠ 2 = 5，求椭圆 的离心率．
21.(本小题 12.0分)
2 2 1 1
已知椭圆 ： 2 +
2 = 1( > > 0)经过如下四个点中的三个， 1( 3, 2 )， 2(0,1)， 3( 3, )， 2
4( 3, 1)．
(Ⅰ)求椭圆 的方程；
(Ⅱ)设直线 与椭圆 交于 ， 两点，且以线段 为直径的圆经过椭圆 的右顶点 ( , 均不与点
重合)，证明：直线 过定点．
22.(本小题 12.0分)
2 2
已知椭圆 ： 2 +
2 = 1( > > 0)的长轴长是 2 2，以其短轴为直径的圆过椭圆的左、右焦点 1，
2．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过椭圆 左焦点 1作不与坐标轴垂直的直线，交椭圆于 ， 两点，线段 MN的垂直平分线与 轴
1
负半轴交于点 ，若点 的纵坐标的最大值是 3，求△MN 2面积的取值范围．
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高二年级 10 月联考
数学试题答案
一、单选题（本大题共 8 小题，共 40.0 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
A C C D C B D D
二、多选题（本大题共 4 小题，共 20.0 分。在每小题有多项符合题目要求）
AB BC ABD BD
三、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
2 213. + = 1 14.20 4 4 10；(1,4)
15. 0, 64 16.②③
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.解：(1)设与直线 平行的直线方程为 2 + + = 0( ≠ 1)，
因为直线经过点 (2,4)，所以 2 × 2 + 4 + = 0，解得 = 8，
所以直线方程为 2 + 8 = 0； 4分
(2)当经过点 (2,4)且在两坐标轴上截距都为 0时，
= 4 0斜率 2 0 = 2，此时所求直线为 = 2 ； 6分
当经过点 (2,4)且在两坐标轴上截距都不为 0时，
由已知可设直线方程为 + + = 0( ≠ 0)，
因为直线经过点 (2,4)，所以 2 + 4 + = 0，解得 = 6，
所以直线方程为 + 6 = 0；
综上所述，直线的方程为 = 2 或 + 6 = 0． 10分
18.解：(1)当直线斜率不存在时， = 1 显然与 2 + 2 = 1 相切； 2分
当直线斜率存在时，可设 : = 1 + 2 ，
2 3
由过点 1,2 的直线与圆 相切可得 = = = 1
1+ 2
，解得 = 4 ，
: = 3故 4 1 + 2 ，即 3 4 + 5 = 0 ，
故过点 1,2 且与圆 相切的直线 的方程为 = 1 或 3 4 + 5 = 0 ； 6分
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(2)设 : = 1 1 + 2 ，设 中点为 ，
因为 △ 是等腰直角三角形，
所以 = 2
2 1 2
，即圆心到直线距离 = = 2 =
2
2 2 ， 9分2 1+ 1
解得 1 = 1 或 7，故直线 : = 1 + 2或 = 7 1 + 2，
即 + 1 = 0 或 7 5 = 0 ． 12分
19.解：(1)若选①设圆的方程为 2 + 2 + + + = 0，( 2 + 2 4 > 0)，
= 0 = 2
由题意可得 2 + + + = 0，解得{ = 0 ,
4 + 2 + = 0 = 0
则圆 的方程为 2 + 2 2 = 0即( 1)2 + 2 = 1； 5分
若选②圆 恒被直线 = 0 平分，而直线方程恒过定点(1,0)，
所以圆心坐标为(1,0)，则半径为 1，所以圆 方程为( 1)2 + 2 = 1； 5分
若选③圆与 轴相切，设圆方程为( )2 + ( )2 = 2，
2 2 2
将 (0,0)， (1,1) + = 代入圆方程得： (1 )2 + (1 )2 = 2 ,解得 = 0， = 1，
所以圆 方程为( 1)2 + 2 = 1． 5分
(2)因为 为 中点， 为圆心，根据垂径定理，得： ⊥ ，
所以点 落在以 为直径的圆上，其方程为( 2)2 + 2 = 1． 10分
即点 的轨迹为以 为直径的圆落在圆 内的一段弧，
1 2 + 2 = 1 3
由 ，解得 = ，
2 2 + 2 = 1 2
3
所以 的轨迹方程为：( 2)2 + 2 = 1，( < 2 ). 12分
20.解：(1) ∵ | | = 4，| 1| = 3| 1 |，∴ | 1| = 3，| 1 | = 1，
∵△ 2的周长为 16，∴ 4 = 16，∴ | 1| + | 2| = 2 = 8，
∴ | 2| = 5； 4分
(2)设| 1 | = ( > 0)，则| 1| = 3 ，| | = 4 ，
∴ | 2| = 2 3 ，| 2| = 2
∵ cos∠ 2 =
3
5，
在△ 2中，由余弦定理得，| |2 = | 2 22| + | 2| 2| 2| | 2|cos∠ 2 ，
∴ (4 )2 = (2 3 )2 + (2 )2 65 (2 3 )(2 )，
化简可得( + )( 3 ) = 0，而 + > 0，故 = 3 ，
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∴ | 2| = | 1| = 3 ，| 2| = 5 ，
∴ | 2|2 = | 2|2 + | |2，
∴ 1 ⊥ 2，
∴△ 1 2是等腰直角三角形， 10分
∴ = 2 ，2
∴ = = 2． 12分 2
21.解：解：(Ⅰ)由题意，点 1( 3,
1 1
2 )与点 3( 3, 2 )关于 轴对称，
1 1
根据椭圆的对称性可知，点 1( 3, 2 )和点 3( 3, 2 )都在椭圆上，
1
又因为点 3( 3, 2 )与点 4( 3, 1)不可能同时在椭圆上，
即椭圆过点 ( 3, 11 2 )，
1
3( 3, 2 )， 2(0,1)，
1
所以( 3)
2 ( 22) ，
2 + 2 = 1
02 12且
2 + 2 = 1，
故 2 = 4， 2 = 1，
2
所以，椭圆 的方程为 + 2 = 1． 4分4
( 6Ⅱ)证明：直线 恒过点( 5 , 0)．
由题意，可设直线 的方程 = + ( ≠ 2)，
2 2
联立 4 + = 1消去 ，得( 2 + 4) 2 + 2 + 2 4 = 0，
= +
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
+ = 2
2
= 4则有 1 2 2+4， 1 2 2+4 ① 6分
又以线段 为直径的圆过椭圆的右顶点 ，∴ = 0，
由 = ( 1 2, 1)， = ( 2 2, 2)，
得( 1 2)( 2 2) + 1 2 = 0，
将 1 = 1 + ， 2 = 2 + 代入上式得( 2 + 1) 1 2 + ( 2)( 1 + 2) + ( 2)2 = 0，
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6
将①代入上式求得 = 5或 = 2(舍)，
6
则直线 恒过点( 5 , 0)． 12分
2 = 2 2
22.解：(1)由题意可得 = ，解得 = 2， = = 1，
2 = 2 + 2
2
所以椭圆 的方程为 + 2 = 1； 3分2
(2)椭圆 左焦点 1( 1,0)，右焦点 2(1,0)，
由题意可知过椭圆 左焦点的直线的斜率存在，设直线为 = 1( ≠ 0)，
= 1
联立 2 2 2 + 2
，得( + 2) 2 1 = 0，
2 = 1
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
则 = 4 2 + 4( 2 + 2) = 8 2 + 8 > 0 + = 2 ，且 1 2 2+2 , 1 2 =
1
2+2， 5分
( 2 2所以 的中点为 2+2 , 2+2 )，因此线段 的垂直平分线为 2+2 = ( 2+2 )，
令 = 0，则 = 2+2，
因为与 轴交于负半轴，所以 > 0，
1 1
又因为点 的纵坐标的最大值是 3，所以 2+2 ≤ 3，即 1 ≤ ≤ 2， 7分
2 1 2 2(1+ 2而| | = 1 + 2 ( 1 + 2)2 4 1 2 = 1 + 2 ( 2 2+2 ) 4 × 2+2 =
)，
2+2
2
2到直线 的距离 = ， 2+1
1 2 2 = 2 | | = 2 2·
+1
2 ， 10分 +2
令 = 2 + 1( 2 5),则 1 2 = 2 2· 2+1 = 2 2· +1．
１ １ ３ ２ ６ ５ 10 4
易知ｔ + 在区间 ２, ５ 上单调递增，所以ｔ + ∈ , ，易得Ｓ△ ∈ [ｔ ｔ ２ ５ ＭＮ 2 3 , 3 ]．
4
且当 = 2时，函数取得最大值为3； = 5时，函数取得最小值
10．
3
故△ 2面积的取值范围[
10 , 4 ]. 12分3 3
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