专题1.11 勾股定理的应用（分层练习）（提升篇）
一、单选题
1．一架长的梯子斜靠在墙上，梯子底端到墙的距离为．若梯子顶端下滑，那么梯子底端在水平方向上滑动了（ ）
A． B．小于 C．大于 D．无法确定
2．小刚想测量教学楼的高度，他用一根绳子从楼顶垂下，发现绳子垂到地面后还多了，当他把绳子的下端拉开后，发现绳子下端刚好接触地面，则教学楼的高度是（ ）
A． B． C． D．
3．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝正北方向挖，每分钟挖8cm，另一只朝正东方向挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（ ）
A．50cm B．120cm C．140cm D．100cm
4．“折竹抵地”问题源自《九章算术》，即今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是一根竹子，原高1丈（1丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断处离地面的高度为（ ）
A．5.8尺 B．4.2尺 C．3尺 D．7尺
5．将一根长25cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的取值范围是（ ）
A．0≤h≤13 B．12≤h≤13 C．11≤h≤12 D．13≤h≤25
6．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则∠NOF的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
7．为了求出湖两岸的A、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形．如图，通过测量，得到AC长160 m，BC长128 m，则从点A穿过湖到点B的距离是( )
A．48 m B．90 m C．96 m D．69 m
8．如图所示：是一段楼梯，高BC是3m，斜边AC是5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（ ）
A．5m B．6m C．7m D．8m
9．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（ ）
A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒．
10．圆柱形杯子的高为，底面周长为，已知蚂蚁在外壁处(距杯子上沿)发现一滴蜂蜜在杯子内(距杯子下沿)，则蚂蚁从处爬到处的最短距离为( )
A．10 B．28 C．20 D．24
二、填空题
11．某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的是样子离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜塞在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为1.5m，则这两面直立墙壁之间的安全道的宽BE为 m．
12．如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米．
13．在一棵树的10米高的B处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树20米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米．
14．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高两丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部9尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为 ．
15．将一根24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱体中，如图，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的最小值 ，h的最大值 ．
16．如图， 有三条两两相交的公路，从地测得公路的走向是北偏东48°，从地测得公路的走向是北偏西42°，若、、的长分别为12千米，5千米、13千米．如果点是公路上任意一点，则线段的最小值为 .
17．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，则该河流的宽度为 m.
18．如图，矩形中，，，点、分别、边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为 ．
三、解答题
19．“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上两点相距50km，为两村庄，于，于，已知，，现在要在公路上建一个土特产品市场，使得两村庄到市场的距离相等，则市场应建在距多少千米处 并判断此时的形状，请说明理由．
20．如图，在倾斜角为（即）的山坡上有一棵树，由于大风，该树从点E处折断，其树顶B恰好落在另一棵树的根部C处，已知， ．
(1)求这两棵树的水平距离；
(2)求树的高度．
21．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320 km的B处，以每小时40 km的速度向北偏东60°的方向移动，距离台风中心200 km的范围内是受台风影响的区域．
(1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？
(2)若A城受到这次台风影响，则A城遭受这次台风影响有多长时间？
22．某城市规定小汽车在街道上的行驶速度不得超过70千米/时，一辆小汽车在一条城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方30米C处，过了2秒后，测得小汽车位置B与“车速检测仪A”之间的距离为50米，这辆小汽车超速了吗？请说明理由．
23．如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米，，它们到河CD的距离分别是1千米和3千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A，B两村输送水．
(1)在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M．（只需作图，不需要证明）
(2)经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元．
24．太原的五一广场视野开阔，是一处设计别致，造型美丽的广场园林，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度，他们进行了如下操作：
①测得的长为15米（注：）；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；
③牵线放风筝的小明身高1.7米．
(1)求风筝的高度．
(2)过点D作，垂足为H，求的长度．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】根据题意作图，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：根据题意作图如下，
由题意知，，，
，
，
，
，
梯子底端在水平方向上滑动的距离是．
故选A．
【点睛】本题主要考查勾股定理，解题的关键是根据题意作图分析求解．
2．D
【分析】根据题意画出图形，再根据勾股定理列式计算即可．
【详解】解：如图，为教学楼的高度，为绳子的长度，则，，
∵，
∴根据勾股定理得，
∴，
解得：，
即教学楼的高度为8米．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意，画出简图是解题关键．
3．D
【分析】画出图形，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，cm，cm，
∴在中，cm，
故选：D
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，画出图形是解题的关键．
4．B
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10 x）尺，利用勾股定理解题即可．
【详解】设竹子折断处离地面的高度为尺，则斜边长为尺．
根据勾股定理，得，
解得，
∴折断处离地面的高度为4.2尺．故选B．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
5．B
【分析】根据杯子内筷子长度的取值范围得出杯子外面筷子长度的取值范围，即可得出答案．
【详解】解：∵将一根长为25cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，
∴在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于以杯子高和底面直径为直角边的直角三角形的斜边长度，
∴当杯子中筷子最短是等于杯子的高时长度为12cm，
最长时等于以杯子高和底面直径为直角边的直角三角形的斜边长度是：，
∴h的取值范围是：25 13 h 25 12，
即12 h 13，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的取值范围是解决问题的关键．
6．C
【详解】解：∵OM=60海里，ON=80海里，MN=100海里，
∴OM2+ON2=MN2，
∴∠MON=90°，
∵∠EOM=20°，
∴∠NOF=180°﹣20°﹣90°=70°．
故选C．
【点睛】本题考查直角三角形的判定，掌握方位角的定义及勾股定理逆定理是本题的解题关键．
7．C
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB即可得出答案．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
由勾股定理得，AB2+BC2=AC2，
∴AB2=AC2-BC2，
=1602-1282=9216，
∴AB=96（m），
故选C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
8．C
【详解】楼梯竖面高度之和等于BC的长，横面宽度之和等于AB的长．
由于，
所以至少需要地毯长4＋3＝7（m）．
故选C
9．B
【分析】过点A作AC⊥ON，利用锐角三角函数的定义求出AC的长与200m相比较，发现受到影响，然后过点A作AD=AB=200m，求出BD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间．
【详解】解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米，
∵∠QON=30°，OA=240米，
∴AC=120米，
当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米，
∵AB=200米，AC=120米，
∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，
∵72千米/小时=20米/秒，
∴影响时间应是：320÷20=16秒．
故选B．
【点睛】本题考查勾股定理、点与圆的位置关系，根据火车行驶的方向，速度，以及它在以A为圆心，200米为半径的圆内行驶的BD的弦长，求出对A处产生噪音的时间，解题关键是根据勾股定理求BD的长.．
10．C
【分析】将杯子侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．
【详解】解：如图所示，将杯子侧面展开，作关于的对称点，
连接，则即为最短距离，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理、最短路径等知识．将圆柱侧面展开，化曲面为平面并作出关于的对称点是解题的关键．
11．2.7
【分析】先根据勾股定理求出AD的长，同理可得出AB的长，进而可得出结论．
【详解】在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，AE=0.7米，DE=2.4米，
∴AD2=0.72+2.42=6.25．
在Rt△A′BD中，∵∠ABC=90°，BC=1.5米，AB2+BC2=AC2，
∴AB2+1.52=6.25，
∴AB2=4．
∵AB＞0，
∴AB=2米．
∴BE=AE+AB=0.7+2=2.7米．
故答案为 2.7．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
12．13
【分析】如图，AB，CD为树，且AB=13，CD=8，BD为两树距离12米，过C作CE⊥AB于E，则CE=BD=12，AE=AB-CD=5，在直角三角形AEC中利用勾股定理即可求出AC．
【详解】解： 如图所示，AB，CD为树，且AB=13，CD=8，BD为两树距离12米， 过C作CE⊥AB于E，
则CE=BD=12，AE=AB-CD=5，
在直角三角形AEC中，
，
则小鸟至少要飞13米．
故答案为：13．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，解答本题的关键是从实际问题中构建出数学模型，转化为数学知识，然后利用直角三角形的性质解题．
13．15
【详解】试题解析：如图，
设树的高度为x米，因两只猴子所经过的距离相等都为30米．
由勾股定理得：x2+202=[30-（x-10）]2，解得x=15m．
故这棵树高15m．
【点睛】根据两只猴子所经过的距离相等，将两只猴子所走的路程表示出来，根据勾股定理列出方程求解．
14．
【分析】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可．
【详解】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，
则尺，尺，
在中，，
即．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．
15． 11cm 12cm
【分析】根据筷子的摆放方式得到：当筷子与杯底垂直时h最大，当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，利用勾股定理计算即可．
【详解】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24﹣12=12（cm）．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
此时，在杯子内的长度==13（cm），
故h=24﹣13=11（cm）．
故h的取值范围是11≤h≤12cm．
故答案为：11cm；12cm．
【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意、掌握勾股定理的计算公式是解题的关键．
16．
【分析】过B作BD⊥AC于D，依据∠ABC=90°，可得Rt△ABC中， AB×BC=×AC×BD，进而得出BD=，代入数值求解即可．
【详解】如图，过B作BD⊥AC于D，
由题可得，AE∥BF，∠BAE=48°，∠CBF=42°，
∴∠ABC=180°-48°-42°=90°，
∴Rt△ABC中，AB×BC=×AC×BD，
∴BD==，
即线段BP的最小值为，
故答案为．
【点睛】此题是一道方向角问题，结合生活中的实际问题，将解三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
17．480
【详解】分析：本题考查的是利用勾股定理求出直角边的长.
解析： 根据题意，
故答案为480.
18．4
【分析】因为，点为的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出，所以是以为圆心，以为半径的圆弧上的点，作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以为半径的圆于，此时的值最小，最小值为的长；根据勾股定理求得，即可求得，从而得出的最小值；
【详解】解：，点为的中点，
，
是以为圆心，以为半径的圆弧上的点，
作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以为半径的圆于，此时的值最小，最小值为的长；
，
，，
，
，
；
的最小值为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，判断出点的位置是解题的关键．
19．市场应建在距的20千米处；是等腰直角三角形，理由见解析．
【分析】可以设，则，在直角中根据勾股定理可以求得，在直角中根据勾股定理可以求得，根据可以求得x的值，即可求得的值．
【详解】解：设，则，
在直角中，，
在直角中，，
，
解得：，
即；
市场应建在距的20千米处；
，，
在和中，
可得，
∴，
又 ，
∴，
∴
又，
是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，本题中根据和求x的值是解题的关键．
20．(1)3m
(2)6m
【分析】（1）根据平行的性质，证得，根据勾股定理即可求得．
（2）在中，根据勾股定理即可解得．
【详解】（1）由题可知，
∴，
∴
在中，
，
∴，
∴（m）．
即这两棵树的水平距离为3m．
（2）在中，
∴，
∴（m）．
即树的高度为6m．
【点睛】此题考查了勾股定理，解题的关键是熟悉勾股定理的实际应用．
21．(1)要，理由见解析
(2)
【分析】（1）由A点向作垂线，垂足为C，根据勾股定理求得的长，与200比较即可得结论；
（2）上分别取D、G，则是等腰三角形，由，则C是的中点，在中，解出的长，则可求长，在长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．
【详解】（1）解：由A点向作垂线，垂足为C，
在中，，，则，
因为，所以A城要受台风影响；
（2）设上点D，，则还有一点G，有．
∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴是的垂直平分线，，
在中，，，
由勾股定理得，，
则，
遭受台风影响的时间是：（h）．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及点到直线的距离，构造出直角三角形是解题关键．
22．该小汽车超速了，平均速度大于70千米/时．
【分析】直接利用勾股定理得出BC的长，进而得出汽车的速度，即可比较得出答案．
【详解】解：由题意知，AB＝50米，AC＝30米，且在Rt△ABC中，AB是斜边，
根据勾股定理，可以求得BC＝40米＝0.04千米，
且2秒时，所以速度为千米/时，
∵72>70，∴该小汽车超速了．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意得出汽车的速度是解题关键．
23．(1)见解析；
(2)50万元.
【分析】（1）作点A关于直线的对称点，连接，交于M点，即M为所求；
（2）连接交于H点，过点B作，根据勾股定理求出，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，作点A关于直线的对称点，连接，交于M点，即M为所求.
（2）解：如图，连接交于H点，过点B作，
由题意可知：，，，
∴，
∴在中，，
∴在中，，
由对称性质可知：，
水管长，
完成这项工程乡政府投入的资金至少为（万元）
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，题目比较典型，是一道比较好的题目，考查了学生的动手操作能力和计算能力．
24．(1)风筝的高度为21.7米
(2)的长度为9米
【分析】（1）在中由勾股定理求得CD的长，再加上DE即可；
（2）利用等积法求出DH的长，再在中由勾股定理即可求得BH的长．
【详解】（1）在中，由勾股定理，得：
（米），
所以（米），
答：风筝的高度为21.7米．
（2）由等积法知：，
解得：（米）．
在中，（米），
答：的长度为9米．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，正确运用勾股定理是关键，注意计算准确．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
