第2章 实数（单元测试·基础卷）
【要点回顾】
【要点1】平方根、立方根
1．平方根定义 一般地，如果一个正数x的平方根等于a，即：那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”；
2．立方根定义 如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根．这就是说，如果，那么叫做的立方根．求一个数的立方根的运算，叫做开立方．
【要点2】二次根式的相关概念和性质
1． 二次根式
形如的式子叫做二次根式叫做二次根式．
2．二次根式的性质
（1）；（2）；（3）．
3．最简二次根式
（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式．满足这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
4．同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式．
【要点3】二次根式的运算
1． 乘除法法测
（1）乘法法则：，（2）除法法则
2．加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式．
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各数中，属于无理数的是（ ）
A． B．1.414 C． D．
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．的计算结果估计在（ ）
A．1至1.5之间 B．1.5至2之间 C．2至2.5之间 D．2.5至3之间
4．下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列说法错误的是( )
A．的平方根是 B．的立方根是
C．是的平方根 D．是的平方根
6．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．的平方根为（ ）
A．2 B． C．4 D．
8．已知，与是同一个数的平方根，则m的值是（ ）
A． B．1 C．或1 D．
9．已知，，，，那么精确到的近似值是（ ）
A． B． C． D．
10．以单位长度为边长画一个正方形，以顶点为圆心、对角线长为半径画弧，与数轴的交点为（点在点左侧），再以顶点为圆心，对角线长为半径画弧，与数轴的交点为（点在点右侧），已知正方形两条对角线相等，设点在数轴上表示的数是，则点在数轴上表示的数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．的绝对值是 ．
12．若有意义，则a的取值范围为 ．
13．化简： ．
14．已知，则 ．
15．已知，则代数式的值为 ．
16．如图，在原点为O的数轴上，作一个两直角边长分别是1和2，斜边为的直角三角形，点A在点O左边的数轴上，且，则点A表示的实数是 ．
17．（1）若，则代数式的值为 ．
（2）如下是按规律排列的一列单项式：
，…
则第10个单项式是 ．
18．【动手实践】小明学习了《数学》第63页的“实验与探究”后做了如下探索：他按图1方法把边长为5厘米和3厘米的两个正方形切割成5块，按图2方式拼成的一个大正方形，则大正方形的边长是 厘米．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（1）；
（2）
20．求代数式的值，其中．如图是小明和小颖的解答过程：
(1)填空：_______________的解法是错误的；
(2)求代数式的值，其中．
21．解答下列问题．
（1）已知，，求．
（2）已知实数，满足，求的平方根．
22．观察下列等式：
；
；
；
；
……
(1)请你按上述规律写出第5个等式：_______；
(2)用含字母n（n为正整数）的等式表示这一规律，并给出证明．
23．如图是一块正方形纸片．
(1)如图1，若正方形纸片的面积为，则此正方形的边长的长为 ，对角线的长为 ；
(2)如图2，若正方形纸片的面积为，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长和宽之比为，他能裁出吗？请说明理由．
24．阅读下列材料，然后回答问题：
阅读：在进行二次根式的化简与运算时，可以将进一步化简：
方法一:
方法二:
【探究】选择恰当的方法计算下列各式：
（1）；
（2）．
【猜想】＝ ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：属于无理数的是．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
2．A
【分析】根据被开方数中不含分母，不含能开得尽方的因数或因式即为最简二次根式，根据最简二次根式的定义依次判断即可．
【详解】解：A是最简二次根式，故符合题意；
B不是最简二次根式，不符合题意；
C不是最简二次根式，不符合题意；
D不是最简二次根式，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，熟记定义是解题的关键．
3．B
【分析】根据二次根式的乘法，可化简二次根式，根据2.25，3，4的关系，可得答案．
【详解】解：原式＝，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，先化简二次根式，再比较二次根式的大小．
4．D
【分析】把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，由此即可判断．
【详解】解：A、＝2，故A不符合题意；
B、＝2，故B不符合题意；
C、＝2，故C不符合题意；
D、＝2，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是同类二次根式的含义，熟记同类二次根式的定义是解本题的关键．
5．A
【分析】根据平方根与立方根的定义逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 的平方根是，故该选项不正确，符合题意；
B. 的立方根是，故该选项正确，不符合题意；
C. 是的平方根，故该选项正确，不符合题意；
D. 是的一个平方根，故该选项正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了平方根、立方根的定义，熟练掌握平方根、立方根的定义是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根．
6．C
【分析】根据二次根式的性质和运算法则对各选项逐一进行判断即可．
【详解】A、为无理数，不能与有理数进行加减运算，故错误，不符合题意；
B、根据二次根式计算法则，同类二次根式相减时，系数相减，应该为，故错误，不符合题意；
C、根据二次根式乘法法则，计算正确，符合题意；
D、根据二次根式除法法则，应该为，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查二次根式的四则运算，解决本题的关键是熟悉二次根式计算法则．
7．B
【分析】先求得，再求4的平方根即可．
【详解】∵，
∴4平方根为，
故选B．
【点睛】本题考查了求立方根，平方根，熟练掌握求根的基本方法是解题的关键．
8．C
【分析】依据平方根的性质列方程求解即可．
【详解】解：当时，；
当时，；
综上分析可得：或，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平方根的性质，明确与相等或互为相反数是解题的关键．
9．B
【分析】先根据无理数的估算确定的取值范围，再利用四舍五入找出近似值即可．
【详解】解：，
，
，，
精确到的近似值是，
故选B．
【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键．
10．A
【分析】由勾股定理求出的长，从而可求出的长，由在数轴上表示的数是，即可得到点在数轴上表示的数．
【详解】解：由题意知，
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
，
点在数轴上表示的数是，
点在数轴上表示的数是．
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理，实数与数轴，关键是由勾股定理求出的长．
11．
【分析】直接利用绝对值的性质得出答案．
【详解】解：∵，
∴的绝对值是：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了实数的性质，正确掌握绝对值的性质是解题关键．
12．
【分析】利用被开方数的非负性即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的被开方数的非负性，掌握二次根式的被开方数大于等于零是解题关键．
13．
【分析】进行分母有理化运算即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】此题考查分母有理化运算，掌握分母有理化是解题的关键．
14．
【分析】由非负数的性质可得，，再代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是算术平方根的非负性的应用，负整数指数幂的含义，利用非负数的性质求解，是解本题的关键．
15．
【分析】直接把代入代数式求值即可．
【详解】解：把代入代数式得：
故答案为：
【点睛】本题考查的是代数式的求值，同时考查了二次根式的平方运算，掌握以上知识是解题的关键．
16．
【分析】根据勾股定理求出直角三角形斜边的长度，也就求出了的长，结合图中点A的位置确定点A表示的数．
【详解】解：由题知，在直角三角形中，根据勾股定理得，
直角三角形的斜边，
则，
∵如图，点A是以原点O为圆心为半径作弧与数轴的交点，
∴点A表示的数为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数与数轴，根据勾股定理确定斜边的长度，即确定的长度是解答本题的关键．
17．
【分析】（1）根据实数的运算法则进行计算即可求解；
（2）根据单项式的系数的绝对值为，字母都为，指数的规律为对应的序号，系数的符号奇数个时为正，偶数个时为负，乘以即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴
故答案为：；
（2），…
∴第个单项式为，
∴第10个单项式是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的计算，单项式规律，掌握实数的运算法则以及找到单项式的规律是解题的关键．
18．
【分析】先求解边长为5厘米和3厘米的两个正方形的面积之和为34，可得大正方形的面积为34，从而可得答案．
【详解】解：由题意可得：边长为5厘米和3厘米的两个正方形的面积之和为，
∴拼成的大正方形的面积为34，
∴大正方形的边长为，
故答案为：
【点睛】本题考查的是等面积法的应用，算术平方根的应用，理解拼接前后的面积不变是解本题的关键．
19．（1）3；（2）4
【分析】（1）利用平方根的性质化简，再结合零指数幂的性质以及绝对值的性质化简即可求出答案．
（2）利用平方根的性质化简，再根据实数的运算法则即可解答．
【详解】解：（1）
原式
（2）
原式
【点睛】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
20．(1)小明
(2)
【分析】（1）由于当，，由此可知小明的解法是错误的；
（2）仿照题意中小颖的解法求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，小明的解法是错误的，因为小明在化简二次根式的时候没有注意符号问题，当，，
故答案为：小明
（2）解：
，
当时，，
∴原式．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟知是解题的关键．
21．（1）19；（2）．
【分析】（1）先把x、y分母有理化，求出x+y与xy，再将原式配方后，整体代入计算即可，
（2）利用二次根式被开方数有意义，求出x，y的值，代入求出值，再求平方根即可．
【详解】（1），
．
，
，
．
（2），
，，，
，
6的平方根为．
【点睛】本题考查二次根式的条件求值问题，掌握二次根式的条件求值方法，会分母有理化，会利用被开方数有意义求字母的值是解题关键．
22．(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据所给式子的形式进行求解；
（2）根据所给式子的形式不难看出式子的值与序号之间的关系：第n个等式：．
【详解】（1）解：∵；
；
；
；
……
∴第5个等式：，
故答案为：；
（2）解：第n个等式：，
证明：
，
∵n为正整数，
∴．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，掌握将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式是解题关键．
23．(1)，2
(2)他不能裁出，理由见解析
【分析】（1）由正方形面积，确定出正方形边长，即可利用勾股定理确定正方形的对角线长；
（2）利用方程思想求出长方形的长边，然后与正方形边长比较大小即可．
【详解】（1）解：∵正方形纸片的面积为，
∴此正方形的边长的长为
∴正方形的对角线长为：，
故答案为：，2．
（2）解：他不能裁出，理由如下：
根据题意设长方形的长和宽分别为和．
∴，
解得：，
∴长方形的长为．
∵正方形的面积为，
∴正方形的边长为，
∵，
∴，
∴他不能裁出．
【点睛】本题考查了二次根式和算术平方根在长方形和正方形面积中的应用，勾股定理，灵活的进行二次根式和算术计算及无理数大小比较是解题的关键．
24．（1）（2）（3）．
【分析】（1）利用分母有理化计算；
（2）先分别分母有理化，然后合并即可；
（3）猜想部分与（2）计算一样，利用规律即可求解.
【详解】（1）
（2）
=
＝
（3）猜想：原式＝
=
＝
=．
故答案为．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
