新泰市重点中学2023-2024学年高三上学期10月第一次质量检测
【数学参考答案】
一、单项选择题
1-8.DCDB ACAB
二、多项选择题
9.CD 10.AB 11.ACD 12.BCD
三、填空题
13.5 14.-2 15. . 16.2023
四、解答题
17.
，∴函数的最小正周期．
（2）由（1）知：．
当．
又因为在上单调递增，在上单调递减，
令，得，
∴函数在上的单调递增区间为（注：同样给分）
18．（1）依题意得，，
则有，
故：．
即：，
因为，所以，所以，
又，所以．
（2）如图，由，所以，，．
在中，由余弦定理得，
即．①
又由于，
所以，
两边平方得，
即，所以．②
②－①得，所以，代入①得，
在中，，
所以是以为直角的三角形，
所以的面积为，
由于，知，
故的面积为．
19.（1）由题意知，，，
①当时，，在上单调递减，
所以，当时，，不合题意；
②当时，由得，，则在上单调递增，
由得，，则在上单调递减，
所以，，不合题意；
③当时，由得，，则在上单调递增，
由得，，则在上单调递减，
所以，对于任意的，，符合题意；
④当时，由得，，则在上单调递增，
由得，，则在上单调递减，
所以，，不合题意．
综上所述，．
（2）由（1）知，时，即，当且仅当时等号成立．
令，其中且，则有，
又，所以，，即
所以．
所以，原不等式得证．
20.（1）零假设为：性别因素与学生体育锻炼的经常性无关联
根据列联表中的数据，经计算得到
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为性别因素与学生体育钹炼的经常性有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005，
（2）用A表示事件“选到经常参加体育锻炼的学生”，B表示事件“选到男生”，则．
（3）由题知的所有可能取值为，
；
；
；
所以的分布列为：
0 1 2
．
21.（1）由题意得，，
，
所以.
对于函数的单调增区间，令，
得到；
对于函数的单调减区间，令，
得到；
所以函数的单调增区间为，
函数的单调减区间为
（2），因为锐角中，，
所以，所以，得，
在中，由正弦定理得，
在锐角中，，解得，
所以，所以，
即的取值范围为
22.（1）定义域为，，
①当时，令，得，此时单调递增，
令，得，此时单调递减；
②当时，令，得，此时单调递增，
令，得，此时单调递减；
综上所述，当时，在单调递增，在单调递减；
当时，在单调递增，在单调递减.
（2）记，
由（1）知，当时，，
则，则，
当时，恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
则，即对恒成立，
令，对恒成立，
则在单调递增，所以，
所以，即实数的取值范围为.新泰市重点中学2023-2024学年高三上学期10月第一次质量检测
数学试题
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集，集合，，则（ ）A． B． C． D．
2．设，则 （ ）
A． B． C． D．
3．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．若，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数（），若在区间内有且仅有3个零点和3条对称轴，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．设复数在复平面内对应的点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．若，则的虚部为
C．若，则点的集合所构成的图形的面积为
D．若点坐标为，且是关于的实系数方程的一个根，则
10．已知，，且，下列结论中正确的是（ ）
A． 的最小值是 B． 的最小值是
C．的最小值是 D．的最小值是2
11．已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，若点P是边BC上一点，Q是AC的中点，点O是所在平面内一点，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若在方向上的投影向量为，则的最小值为
C．若点P为BC的中点，则
D．若，则为定值18
12．已知函数，函数的四个零点分别为，，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题，共90分）
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知直线是函数的图象在点处的切线，则 .
14．函数是奇函数，则实数 .
15．如图，在边长为2的正方形中．以为圆心，1为半径的圆分别交，于点，．当点在劣弧上运动时，的最小值为 ．
16．已知函数，的定义域均为，为奇函数，为偶函数，，，则 .
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数在上的单调递增区间．
18．已知的三个内角A，B，C对应的三条边分别为a，b，c，且有：．
(1)求角B的大小；
(2)设，若点M是边上一点，且，，求的面积
19．已知函数．
(1)若恒成立，求的值；
(2)证明：当且时，．
20．为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据：
性别 锻炼
不经常 经常
女生 80 20
男生 60 40
(1)根据小概率值的独立性检验，分析性别因素与学生体育锻炼的经常性有无关联；
(2)从这200人中随机选择1人，已知选到的学生经常参加体育锻炼，求他是男生的概率；
(3)为了提高学生体育锻炼的积极性，学校设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动的某次排球训练课上，甲乙丙三人相互做传球训练．已知甲控制球时，传给乙的概率为，传给丙的概率为；乙控制球时，传给甲和丙的概率为；丙控制球时，传给甲的概率为，传给乙的概率为．若先由甲控制球，经过3次传球后，乙队员控制球的次数为X，求X的分布列与数学期望E(X)．
0.010 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
附：
21．已知，函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若锐角的三内角的对边分别是，且，求的取值范围．
22．已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.
