弘文高级中学2023-2024学年高三上学期10月第一次质量检测
数学答案
一、单选题
1．C2．A3．B4．B5．A6．C7．C8．B
二、多选题
9．BCD 10．AC 11．AB 12．BD
三、填空题13． 14． 15． 16．
四、解答题
17．
【详解】（1）解：因为函数的定义域为集合，
则.
（2）解：因为或，，
所以，，或，
则或.
18．(1) (2)
【分析】（1）根据幂函数的定义与单调性可得出关于的等式与不等式，解出的值，即可得出函数的解析式；
（2）由已知可得对任意的恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：因为幂函数在上单调递减，
则，解得，故.
（2）解：由（1）可知，对任意的恒成立，
由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，，因此，实数的取值范围是.
19．(1) (2)最大值为，最小值为
【分析】（1）根据函数图象的对称轴可得周期，再根据最高点可得函数解析式，再利用整体法可得单调递增区间；
（2）利用整体代入法求值域.
【详解】（1）由已知得，则，
所以，
又，所以，
由函数最大值为，所以，
所以，
又函数过点，
所以，解得，
又因为，所以取，
所以，
则，
解得，
所以函数的单调增区间为；
（2）由（1）得，
又，则，
所以当，即时，函数取最大值为，
当，即时，函数取最小值为.
20．(1)定义域，
(2)函数为偶函数，证明见解析 (3)．
【分析】（1）根据真数大于0求解定义域，由求的值.
（2）根据奇偶性的定义判断.
（3），根据真数的范围求解.
【详解】（1）由可得，故函数的定义域，
因为，
由题意，故
（2）因为，
又定义域关于原点对称，所以函数为偶函数，
（3）由（1）可知，，
，所以，
所以函数的值域为．
21．(1)
(2)年产量为10万件时，该厂所获利润最大，最大利润为15万元.
【分析】（1）根据年利润年销售收入固定成本流动成本，分和两种情况得到的解析式即可；
（2）当时，根据二次函数求最大值的方法来求最大值，当时，利用基本不等式来求最大值，最后综合即可．
【详解】（1）因为每件产品售价为6元，则万件产品销售收入为万元，
依题意得，当时，，
当时， ，
所以.
（2）当时，，
此时，当时，取得最大值万元，
当时，，
此时，当且仅当，即时，取得最大值15万元.
综上所述，由于，最大值为15万元.
所以当年产量为10万件时，该厂所获利润最大，最大利润为15万元.
22．(1)
(2)．
【分析】（1）先化简函数的解析式，结合对称轴可得答案；
（2）把零点问题转化为方程根的问题，利用三角函数的值域求法可得答案.
【详解】（1）
，
由，，解得，，
即函数的对称轴为，．
∵的图象关于直线对称，∴当时，有最小值．
（2）若函数在上有零点，
即在上有解，即在上有解，
当，，即，，
由，解得，故实数的取值范围是。保密★启用前
弘文高级中学2023-2024学年高三上学期10月第一次质量检测
数学试题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单项选泽题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．或
2．命题的否定为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知是第三象限的角，，则（ ）
A． B． C． D．
4．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．设，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知定义在上的奇函数在上单调递增，且满足，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．把函数的图象向左平移个单位，再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象．若函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分。）
9．下列四个命题中的假命题为（ ）
A．，
B．集合与集合是同一个集合
C．“为空集”是“A与B至少一个为空集”的充要条件
D．命题p：．命题q：．则p是q的充分不必要条件
10．已知函数对都有，若函数的图象关于直线对称，且对，当时，都有，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．是奇函数
C．是周期为4的周期函数
D．
11．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，例如．令函数，以下结论正确的有（ ）
A． B．
C．的最大值为1，最小值为0 D．与的图象有2个交点
12．已知函数，以下结论正确的是（ ）
A．它是周期为的周期函数
B．它是偶函数
C．它在这个区间有且只有1个零点
D．它的值域为
三、填空题：（本题共 4 小题，每小题 5分）
13．“，”是假命题，则实数的取值范围为 .
14．建于明朝的杜氏雕花楼被誉为“松江最美的一座楼”，该建筑内有很多精美的砖雕，砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖墙精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知，弧，弧，则此扇环形砖雕的面积为 ．
15．已知，则 ．
16．已知函数，若函数恰有6个零点，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：（本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．已知函数的定义域为集合，集合.
(1)求集合；
(2)求，.
18．已知幂函数在上单调递减.
(1)求的解析式；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围.
19．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的单调增区间；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
20．设函数，，且，．
(1)求的值及的定义城；
(2)判断的奇偶性，并给出证明；
(3)求函数在上的值域．
21．为助力乡村振兴，某村决定建一果袋厂.经过市场调查，生产需投入年固定成本为2万元，每生产x万件，需另投入流动成本为万元，在年产量不足8万件时，（万元）.在年产量不小于8万件时，（万元）.每件产品售价为6元.通过市场分析，该厂生产的果袋能当年全部售完.
(1)写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入固定成本流动成本）
(2)年产量为多少万件时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？
22．已知函数，．
(1)若函数的图象关于直线对称，求的最小值；
(2)若函数在上有零点，求实数的取值范围
