第4单元 相似三角形（压轴题45道）
一．选择题（共14小题）
1．如图，在矩形ABCD中，E、F分别在BC、CD上运动（不与端点重合），连接BF、AE，交于点P，且满足．连接CP，若AB＝4，BC＝6，则CP的最小值为（ ）
A．2﹣3 B．2﹣2 C．5 D．3
2．如图，O为矩形ABCD的中心，将直角△OPQ的直角顶点与O重合，一条直角边OP与OA重合，使三角板沿逆时针方向绕点O旋转，两条直角边始终与边BC、AB相交，交点分别为M、N．若AB＝4，AD＝6，BM＝x，AN＝y，则y与x之间的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，正方形ABCD的边长是3，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2＝OE OP；③S△AOD＝S四边形OECF；其中正确结论的个数（ ）
A．1 B．3 C．2 D．0
4．如图，正方形ABCD中，BE＝EF＝FC，CG＝2GD，BG分别交AE、AF于M、N，下列结论：①AF⊥BG；②；③S四边形CGNF＝S△ABN；④．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE分别是高和角平分线，已知△BEC的面积是15，△CDE的面积为3，则△ABC的面积为（ ）
A．22.5或20 B．22.5 C．24或20 D．20
6．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的两点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于M、N．下列结论：①AB2＝BN DM；②AF平分∠DFE；③AM AE＝AN AF；④．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
7．如图， ABCD中，E为AD的中点．已知△DEF的面积为1，则 ABCD的面积为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
8．如图：把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半，若AB＝，则此三角形移动的距离AA′是（ ）
A．﹣1 B． C．1 D．
9．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若＝，DE＝4，则EF的长是（ ）
A． B． C．6 D．10
10．如图，正方形ABCD的边长为25，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则每个小正方形的边长为（ ）
A．6 B．5 C． D．
11．如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF＝（ ）
A． B． C． D．
12．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C和D的坐标分别为（ ）
A．（2，2），（3，2） B．（2，4），（3，1）
C．（2，2），（3，1） D．（3，1），（2，2）
13．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB＝6，AD＝5，则AE的长为（ ）
A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.2
14．如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共11小题）
15．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，点E在AB上且AE＝3，点F在AC上，连接EF，若△AEF与△ABC相似，则AF＝ ．
16．如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，连接OD，则OD长的最大值为 ．
17．如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 ．
18．如图，四边形ABCD是平行四边形，E为BC边的中点，DE、AC相交于点F，若△CEF的面积为6，则△ADF的面积为 ．
19．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，M为CD的中点，N为BC的中点，连接AM和DN交于点E，连接BE，作AH⊥BE于点H，延长AH与DN交于点F，连接BF并延长与CD交于点G，则MG的长度为 ．
20．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为 米．
21．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：
①△ABE≌△DCF；②＝；③DP2＝PH PB；④＝．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
22．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC＝3，AD＝2，EF＝EH，AD⊥BC，那么EH的长为 ．
23．如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，＝，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于 ．
24．如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是 米．
25．把标准纸一次又一次对开，可以得到均相似的“开纸”．现在我们在长为2、宽为1的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行，或小矩形的边在原矩形的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，然后将它们剪下，则所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是 ．
三．解答题（共20小题）
26．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，且CD＞DA，DA＝2，点P、Q同时从点D出发，以相同的速度分别沿射线DC、射线DA运动．过点Q作AC的垂线段QR，使QR＝PQ，连接PR，当点Q到达点A时，点P、Q同时停止运动、设PQ＝x，△PQR与△ABC重叠部分的面积为S，当x＝时，点R恰好在AB边上．
（1）填空：点R恰好经过AB边时，S的值为 ；
（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
27．在△ABC中，∠ACB＝45°．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）如果AB＝AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．
（2）如果AB＞AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？
（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝，BC＝3，CD＝x，求线段CP的长．（用含x的式子表示）
28．如图，在矩形ABCD中对角线AC、BD相交于点F，延长BC到点E，使得四边形ACED是一个平行四边形，平行四边形对角线AE交BD、CD分别为点G和点H．
（1）证明：DG2＝FG BG；
（2）若AB＝5，BC＝6，则线段GH的长度．
29．如图，已知矩形OABC，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A（2，0），C（0，3），点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO上运动，连接BP，作BE⊥PB交x轴于点E，连接PE交AB于点F，设运动时间为t秒．
（1）当t＝2时，求点E的坐标；
（2）若AB平分∠EBP时，求t的值；
（3）在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
30．已知：如图边长为2的正方形ABCD中，∠MAN的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠MAN＝45°
①求证：MN＝BM+DN；
②若AM、AN交对角线BD于E、F两点．设BF＝y，DE＝x，求y与x的函数关系式．
31．如图，已知ED∥BC，∠EAB＝∠BCF，
（1）四边形ABCD为平行四边形；
（2）求证：OB2＝OE OF；
（3）连接OD，若∠OBC＝∠ODC，求证：四边形ABCD为菱形．
32．如图，在一块如图所示的三角形余料上裁剪下一个正方形，如果△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，正方形的四个顶点D、E、F、G分别在三角形的三条边上．求正方形的边长．
33．一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
（1）求证：△AEF∽△ABC；
（2）求这个正方形零件的边长；
（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？
34．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0＜t＜），连接MN．
（1）若△BMN与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．
35．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E，∠ADB＝∠ACB．
（1）求证：＝；
（2）若AB⊥AC，AE：EC＝1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形．
36．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE CA．
（1）求证：BC＝CD；
（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB＝OB，CD＝，求DF的长．
37．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．
（1）若AE＝CF；
①求证：AF＝BE，并求∠APB的度数；
②若AE＝2，试求AP AF的值；
（2）若AF＝BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．
38．如图，已知在矩形ABCD中，AD＝8cm，CD＝4cm，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1cm的速度向点A方向移动，同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒2cm的速度移动，当B、E、F三点共线时，两点同时停止运动．设点E移动的时间为t（秒），
（1）求证：△BCF∽△CDE；
（2）求t的取值范围；
（3）连接BE，当t为何值时，∠BEC＝∠BFC？
39．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若DE＝3，BD﹣AD＝2，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．
40．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE＝45度．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式；
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
41．【提出问题】
（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等边△AMN，连接CN．求证：∠ABC＝∠ACN．
【类比探究】
（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，在等腰△ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC．连接CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．
42．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点O在BC上（与B，C不重合），连接AO，F是线段AO上的点（与A，O不重合），∠EAF＝90°，AE＝AF，连接FE，FC，BE，BF．
（1）如图1，若AO⊥BC，求证：BE＝BF；
（2）如图2，若将△AEF绕点A旋转，使边AF在∠BAC的内部，延长CF交AB于点G，交BE于点K．
①求证：△AGC∽△KGB；
②当△BEF为等腰直角三角形时，请你直接写出AB：BF的值．
43．在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm．
（1）如图①，若动点Q从点C出发，在对角线CA上以每秒3cm的速度向A点匀速移动，同时动点P从点B出发，在BC上以每秒2cm的速度向点C匀速移动，运动时间为t秒（0≤t＜3），t取何值时，四边形ABPQ的面积最小？
（2）如图②，若点Q在对角线CA上，CQ＝4cm，动点P从点B出发，以每秒1cm的速度沿BC运动至点C停止．设点P运动了t秒，当t为何值时，以Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形？
44．数学课上，王老师出示问题：如图1，将边长为5的正方形纸片ABCD折叠，使顶点A落在边CD上的点P处（点P与C、D不重合），折痕为EF，折叠后AB边落在PQ的位置，PQ与BC交于点G．
（1）观察操作结果，在图1中找到一个与△DEP相似的三角形，并证明你的结论；
（2）当点P在边CD的什么位置时，△DEP与△CPG面积的比是9：25？请写出求解过程；
（3）将正方形换成正三角形，如图2，将边长为5的正三角形纸片ABC折叠，使顶点A落在边BC上的点P处（点P与B、C不重合），折痕为EF，当点P在边BC的什么位置时，△BEP与△CPF面积的比是9：25？请写出求解过程．
45．已知：如图，△ABC中，AD⊥BC，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，连接EF，
（1）若AD2＝BD DC，
①求证：∠BAC＝90°．
②AB＝4，DC＝6，求EF．
（2）如图2，若AD＝4，BD＝2，DC＝4，求EF．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第4单元 相似三角形（压轴题45道）
一．选择题（共14小题）
1．如图，在矩形ABCD中，E、F分别在BC、CD上运动（不与端点重合），连接BF、AE，交于点P，且满足．连接CP，若AB＝4，BC＝6，则CP的最小值为（ ）
A．2﹣3 B．2﹣2 C．5 D．3
【答案】B
【解答】解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，
则∠BAE+∠BEP＝90°，
又∵，
∴
∴△ABE∽△BCF，
∴∠BAE＝∠CBF，
∴∠CBF+∠BEP＝90°，即AE⊥BF，
∴点P为以AB的中点O为圆心，AB为直径的圆上一点，
则当点O、P、C三点共线时，OC的值为最小值，即CP的值也为最小值．
∴当CP取最小值时，CP＝OC﹣OP，
∵AB＝4，BC＝6，∠ABC＝90°，
∴OB＝OP＝AB＝×4＝2，则OC＝＝＝，
∴CP＝OC﹣OP＝﹣2．
故选：B．
2．如图，O为矩形ABCD的中心，将直角△OPQ的直角顶点与O重合，一条直角边OP与OA重合，使三角板沿逆时针方向绕点O旋转，两条直角边始终与边BC、AB相交，交点分别为M、N．若AB＝4，AD＝6，BM＝x，AN＝y，则y与x之间的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：过点O分别作OF⊥AB于F，OE⊥BC于E，
∵∠POQ＝∠EOF＝90°，
∴∠NOF＝∠MOE，
∵∠NFO＝∠MEO＝90°，
∴△NOF∽△MOE，
∴＝，
∵AB＝4，AD＝6，BM＝x，AN＝y，
∴NF＝2﹣y，ME＝3﹣x，OF＝3，OE＝2，
∴＝，
∴y＝x﹣，
∵0≤y≤4，
∴0≤≤4，
∴，
∴y＝x﹣（≤x≤），
故选：C．
3．如图，正方形ABCD的边长是3，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2＝OE OP；③S△AOD＝S四边形OECF；其中正确结论的个数（ ）
A．1 B．3 C．2 D．0
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵BP＝CQ，
∴AP＝BQ，
在△DAP与△ABQ中，
，
∴△DAP≌△ABQ（SAS），
∴∠P＝∠Q，
∵∠Q+∠QAB＝90°，
∴∠P+∠QAB＝90°，
∴∠AOP＝90°，
∴AQ⊥DP，故结论①正确；
∵∠DOA＝∠AOP＝90°，∠ADO+∠P＝∠ADO+∠DAO＝90°，
∴∠DAO＝∠P，
∴△DAO∽△APO，
∴＝，
∴AO2＝OD OP，
∵AE＞AB，
∴AE＞AD，
∴OD≠OE，
∴OA2≠OE OP；故结论②错误；
在△CQF与△BPE中，
，
∴△CQF≌△BPE（ASA），
∴CF＝BE，
∴DF＝CE，
在△ADF与△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴S△ADF＝S△DCE，
∴S△ADF﹣S△DFO＝S△DCE﹣S△DOF，
即S△AOD＝S四边形OECF；故结论③正确；
故选：C．
4．如图，正方形ABCD中，BE＝EF＝FC，CG＝2GD，BG分别交AE、AF于M、N，下列结论：①AF⊥BG；②；③S四边形CGNF＝S△ABN；④．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】D
【解答】解：∵正方形ABCD中，BE＝EF＝FC，CG＝2GD，
∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠C＝90°，
∴BE＝EF＝FC＝BC，BF＝BC，CG＝CD＝BC，
∴BF＝CG，
在△ABF和△BCG中，
，
∴△ABF≌△BCG（SAS），
∴∠AFB＝∠BGC，
∵∠BGC+∠CBG＝90°，
∴∠AFB+∠CBG＝90°，
∴∠BNF＝90°，
∴AF⊥BG；
故结论①正确．
∵∠BNF＝∠C，∠FBN＝∠GBC，
∴△BFN∽△BGC，
∴＝＝＝，
∴BN＝NF，
故结论②错误；
∵△ABF≌△BCG，
∴S△ABF＝S△BCG，
即：S△ABN+S△BNF＝S△BNF+S四边形CGNF，
∴S四边形CGNF＝S△ABN，
故结论③正确；
延长AD、BG交于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AD∥BC，CG＝2GD，BE＝BC，
∴△HDG∽△HAB，△BEM∽△HAM，
∴＝＝＝，＝，
∴HG＝BH，AH＝AD＝BC，
∴＝＝＝，
∴＝，
∴BM＝BH，
∴MG＝BH﹣BM﹣HG＝BH﹣BH﹣BH＝BH，
∴＝＝．
故结论④正确．
故选：D．
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE分别是高和角平分线，已知△BEC的面积是15，△CDE的面积为3，则△ABC的面积为（ ）
A．22.5或20 B．22.5 C．24或20 D．20
【答案】A
【解答】解：过点E作EM⊥BC于M，EN⊥AC于N，
∵CE是△ABC的角平分线，
∴EM＝EN，
设S△ACD＝x，
∵S△ACE＝AC EN＝AE CD，S△BCE＝BC EM＝BE CD，
∴＝＝＝，
∵∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴＝（）2，
∵＝，
∴＝（）2，
解得：x＝2或4.5，
∴S△ABC＝2+18＝20或S△ABC＝18+4.5＝22.5．
故选：A．
6．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的两点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于M、N．下列结论：①AB2＝BN DM；②AF平分∠DFE；③AM AE＝AN AF；④．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【解答】解：①∵∠BAN＝∠BAM+∠MAN＝∠BAM+45°，
∠AMD＝∠ABM+∠BAM＝45°+∠BAM，
∴∠BAN＝∠AMD．
又∠ABN＝∠ADM＝45°，
∴△ABN∽△MDA，
∴AB：BN＝DM：AD．
∵AD＝AB，
∴AB2＝BN DM．
故①正确；
把△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADH．
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°．
∴∠EAF＝∠HAF．
∵AE＝AH，AF＝AF，
∴△AEF≌△AHF，
∴∠AFH＝∠AFE，即AF平分∠DFE．
故②正确；
③∵AB∥CD，∴∠DFA＝∠BAN．
∵∠AFE＝∠AFD，∠BAN＝∠AMD，
∴∠AFE＝∠AMN．
又∠MAN＝∠FAE，
∴△AMN∽△AFE．
∴AM：AF＝AN：AE，即
AM AE＝AN AF．
故③正确；
④由②得BE+DF＝DH+DF＝FH＝FE．
过A作AO⊥BD，作AG⊥EF．
则△AFE与△AMN的相似比就是AG：AO．
易证△ADF≌△AGF（AAS），
则可知AG＝AD＝AO，从而得证
故④正确．
故选：D．
7．如图， ABCD中，E为AD的中点．已知△DEF的面积为1，则 ABCD的面积为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】B
【解答】解：如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴S△DEF：S△BCF＝（）2，
又∵E是AD中点，
∴DE＝AD＝BC，
∴DE：BC＝DF：BF＝1：2，
∴S△DEF：S△BCF＝1：4，
∴S△BCF＝4，
又∵DF：BF＝1：2，
∴S△DCF＝2，
∴S ABCD＝2（S△DCF+S△BCF）＝12．
故选：B．
8．如图：把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半，若AB＝，则此三角形移动的距离AA′是（ ）
A．﹣1 B． C．1 D．
【答案】A
【解答】解：设BC与A′C′交于点E，
由平移的性质知，AC∥A′C′
∴△BEA′∽△BCA
∴S△BEA′：S△BCA＝A′B2：AB2＝1：2
∵AB＝
∴A′B＝1
∴AA′＝AB﹣A′B＝﹣1
故选：A．
9．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若＝，DE＝4，则EF的长是（ ）
A． B． C．6 D．10
【答案】C
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
即，
解得：EF＝6．
故选：C．
10．如图，正方形ABCD的边长为25，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则每个小正方形的边长为（ ）
A．6 B．5 C． D．
【答案】D
【解答】解：如图所示：
∵正方形ABCD边长为25，
∴∠A＝∠B＝90°，AB＝25，
过点G作GP⊥AD，垂足为P，则∠4＝∠5＝90°，
∴四边形APGB是矩形，
∴∠2+∠3＝90°，PG＝AB＝25，
∵六个大小完全一样的小正方形如图放置在大正方形中，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠1＝∠FGB，
∴△BGF∽△PGE，
∴，
∴，
∴GB＝5．
∴AP＝5．
同理DE＝5．
∴PE＝AD﹣AP﹣DE＝15，
∴EG＝＝5，
∴小正方形的边长为．
故选：D．
11．如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：设AD＝k，则DB＝2k，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC＝3k，∠A＝∠B＝∠C＝∠EDF＝60°，
∴∠EDA+∠FDB＝120°，
又∵∠EDA+∠AED＝120°，
∴∠FDB＝∠AED，
∴△AED∽△BDF，
∴，
设CE＝x，则ED＝x，AE＝3k﹣x，
设CF＝y，则DF＝y，FB＝3k﹣y，
∴，
∴，
∴＝，
∴CE：CF＝4：5．
故选：B．
解法二：解：设AD＝k，则DB＝2k，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC＝3k，∠A＝∠B＝∠C＝∠EDF＝60°，
∴∠EDA+∠FDB＝120°，
又∵∠EDA+∠AED＝120°，
∴∠FDB＝∠AED，
∴△AED∽△BDF，由折叠，得
CE＝DE，CF＝DF
∴△AED的周长为4k，△BDF的周长为5k，
∴△AED与△BDF的相似比为4：5
∴CE：CF＝DE：DF＝4：5．
故选：B．
12．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C和D的坐标分别为（ ）
A．（2，2），（3，2） B．（2，4），（3，1）
C．（2，2），（3，1） D．（3，1），（2，2）
【答案】C
【解答】解：∵线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），
以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
∴端点的坐标为：（2，2），（3，1）．
故选：C．
13．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB＝6，AD＝5，则AE的长为（ ）
A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.2
【答案】B
【解答】解：如图1，连接BD、CD，
，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝，
∵弦AD平分∠BAC，
∴CD＝BD＝，
∴∠CBD＝∠DAB，
在△ABD和△BED中，
∴△ABD∽△BED，
∴＝，即＝，
解得DE＝，
∴AE＝AD﹣DE＝5﹣＝2.8．
故选：B．
14．如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：设正方形的ABCD的边长为a，
则BF＝BC＝，AN＝NM＝MC＝a，
∴阴影部分的面积为（）2+（a）2＝a2，
∴小鸟在花圃上的概率为＝
故选：C．
二．填空题（共11小题）
15．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，点E在AB上且AE＝3，点F在AC上，连接EF，若△AEF与△ABC相似，则AF＝ 或4 ．
【答案】或4．
【解答】解：当△AEF∽△ABC时，则，，AF＝；
当△AEF∽△ACB时，则，，，AF＝4．
16．如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，连接OD，则OD长的最大值为 2+1 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，作△COE，使得∠CEO＝90°，∠ECO＝60°，则CO＝2CE，OE＝2，∠OCP＝∠ECD，
∵∠CDP＝90°，∠DCP＝60°，
∴CP＝2CD，
∴＝＝2，
∴△COP∽△CED，
∴＝＝2，
即ED＝OP＝1（定长），
∵点E是定点，DE是定长，
∴点D在半径为1的⊙E上，
∵OD≤OE+DE＝2+1，
∴OD的最大值为2+1，
故答案为．
17．如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝5，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线OP′，
∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，
∴△CAB∽△CP′O，
∴，
∴，
∴OP′＝，
∴则PQ的最小值为2OP′＝，
方法二：不用相似的方法，只利用等面积得，OC AB＝BC OP'，求得OP′，而其他部分的步骤共用．
故答案为：．
18．如图，四边形ABCD是平行四边形，E为BC边的中点，DE、AC相交于点F，若△CEF的面积为6，则△ADF的面积为 24 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，E为BC边的中点，
∴＝，
∴S△CFE：S△ADF＝1：4，
又∵△CEF的面积为6，
∴△ADF的面积为24．
故答案为：24．
19．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，M为CD的中点，N为BC的中点，连接AM和DN交于点E，连接BE，作AH⊥BE于点H，延长AH与DN交于点F，连接BF并延长与CD交于点G，则MG的长度为 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，延长AB，DN交于点P，
∵在正方形ABCD中，AB＝2，M为CD的中点，N为BC的中点，
∴BN＝1＝CN，DM＝1，
∵AD＝2，DM＝1，
∴AM＝＝＝，
∵BC∥AD，
∴△PBN∽△PAD，
∴，
∴＝，
∴BP＝AB＝2，
∴AP＝4，
∴DP＝＝＝2，
∵DM＝CN＝1，∠ADC＝∠C＝90°，AD＝CD，
∴△ADM≌△DCN（SAS），
∴DN＝AM＝，∠DAM＝∠CDN，
∵∠ADN+∠CDN＝90°，
∴∠DAM+∠ADN＝90°＝∠DEM，
∴DN⊥AM，
∵S△ADM＝×AD×DM＝×AM×DE，
∴DE＝＝，
又∵AB＝BP，
∴BE＝AB＝BP＝2，
∴∠AEB＝∠BAE，
∵∠BAE+∠DAE＝90°，∠DAE+∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠BAE＝∠AEB，
∴90°﹣∠ADE＝90°﹣∠AEB，
∴∠DAE＝∠EAF，
又∵AE＝AE，∠AED＝∠AEF＝90°，
∴△ADE≌△AFE（ASA），
∴DE＝EF＝，
∴DF＝，
∴FP＝DP﹣DF＝，
∵DC∥AB，
∴，
∴，
∴DG＝，
∴MG＝DG﹣DM＝，
故答案为：．
20．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为 5 米．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意，易得△MBA∽△MCO，
根据相似三角形的性质可知＝，即＝，
解得AM＝5m．则小明的影长为5米．
21．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：
①△ABE≌△DCF；②＝；③DP2＝PH PB；④＝．
其中正确的是 ①③④ ．（写出所有正确结论的序号）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
在正方形ABCD中，
∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝∠DCF＝30°，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△DCF（ASA），故①正确；
∵PC＝CD，∠PCD＝30°，
∴∠PDC＝75°，
∴∠FDP＝15°，
∵∠DBA＝45°，
∴∠PBD＝15°，
∴∠FDP＝∠PBD，
∵∠DFP＝∠BPC＝60°，
∴△DFP∽△BPH，
∴＝＝＝，故②错误；
∵∠PDH＝∠PCD＝30°，
∵∠DPH＝∠DPC，
∴△DPH∽△CDP，
∴＝，
∴PD2＝PH CD，
∵PB＝CD，
∴PD2＝PH PB，故③正确；
如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，
设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，
∴∠PBC＝∠PCB＝60°，PB＝PC＝BC＝CD＝4，
∴∠PCD＝30°
∴PN＝PB sin60°＝4×＝2，PM＝PC sin30°＝2，
S△BPD＝S四边形PBCD﹣S△BCD＝S△PBC+S△PDC﹣S△BCD＝×4×2+×2×4﹣×4×4＝4+4﹣8＝4﹣4，
∴＝．
故答案为：①③④．
22．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC＝3，AD＝2，EF＝EH，AD⊥BC，那么EH的长为 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵四边形EFGH是矩形，
∴EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∵AM⊥EH，AD⊥BC，
∴＝，
设EH＝3x，则有EF＝2x，AM＝AD﹣EF＝2﹣2x，
∴＝，
解得：x＝，
则EH＝．
故答案为：．
23．如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，＝，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵＝，
∴设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝2a，
∴AC＝a，
∵BF⊥AC，
∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，
∴BC2＝CE CA，AB2＝AE AC
∴a2＝CE a，2a2＝AE a，
∴CE＝，AE＝，
∴＝，
∵△CEF∽△AEB，
∴＝（）2＝，
故答案为：．
24．如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是 54 米．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：法一：∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，
∴AB∥CD∥EF，
∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，
∴＝，＝，
∵CD＝DG＝EF＝2m，DF＝52m，FH＝4m，
∴＝，
＝，
∴＝，
解得BD＝52m，
∴＝，
解得AB＝54m．
法二：设AB＝x．则BH＝2x，BG＝x，
则有2x﹣x＝54，
解得x＝54，
故答案为：54．
25．把标准纸一次又一次对开，可以得到均相似的“开纸”．现在我们在长为2、宽为1的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行，或小矩形的边在原矩形的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，然后将它们剪下，则所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是 4+ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵在长为2、宽为1的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行，或小矩形的边在原矩形的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，
∴要使所剪得的两个小矩形纸片周长之和最大，则这两个小矩形纸片长与宽的和最大．
∵矩形的长与宽之比为2：1，
∴剪得的两个小矩形中，一个矩形的长为1，宽为＝，
∴另外一个矩形的长为2﹣＝，宽为＝，
∴所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是2（1+++）＝4+．
故答案为：4+．
三．解答题（共20小题）
26．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，且CD＞DA，DA＝2，点P、Q同时从点D出发，以相同的速度分别沿射线DC、射线DA运动．过点Q作AC的垂线段QR，使QR＝PQ，连接PR，当点Q到达点A时，点P、Q同时停止运动、设PQ＝x，△PQR与△ABC重叠部分的面积为S，当x＝时，点R恰好在AB边上．
（1）填空：点R恰好经过AB边时，S的值为 ；
（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
【答案】（1）；
（2）S＝．
【解答】解：（1）如图1，
，
当x＝时，△PQR与△ABC重叠部分的面积就是△PQR的面积，
∵PQ＝，QR＝PQ，
∴QR＝，
∴S＝×（）2＝×＝．
故答案为：．
（2）如图2，
，
根据S关于x的函数图象，可得S关于x的函数表达式有两种情况：
当0＜x≤时，
S＝×PQ×RQ＝x2，
当点Q点运动到点A时，
x＝2AD＝4，
∴m＝4．
当＜x≤4时，
S＝S△APF﹣S△AQE＝AP FG﹣AQ EQ，
AP＝2+，AQ＝2﹣，
∵△AQE∽△AQ1R1，，
∴QE＝，
设FG＝PG＝a，
∵△AGF∽△AQ1R1，，
∴AG＝2+﹣a，
∴a＝，
∴S＝S△APF﹣S△AQE
＝AP FG﹣AQ EQ
＝（2）（2）﹣（2﹣） （2）
＝﹣x2+
∴S＝﹣x2+．
综上可得，S＝．
27．在△ABC中，∠ACB＝45°．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）如果AB＝AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．
（2）如果AB＞AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？
（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝，BC＝3，CD＝x，求线段CP的长．（用含x的式子表示）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）CF与BD位置关系是垂直；
证明如下：
∵AB＝AC，∠ACB＝45°，
∴∠ABC＝45°．
由正方形ADEF得AD＝AF，
∵∠DAF＝∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝∠FAC，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠ACF＝∠ABD．
∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．
∴CF⊥BC．
∴CF⊥BD．
（2）AB＞AC时，CF⊥BD的结论成立．
理由是：
过点A作GA⊥AC交BC于点G，
∵∠ACB＝45°，
∴∠AGD＝45°，
∴AC＝AG，
同理可证：△GAD≌△CAF
∴∠ACF＝∠AGD＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°，
即CF⊥BD．
（3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，
①点D在线段BC上运动时，
∵∠BCA＝45°，可求出AQ＝CQ＝4．
∴DQ＝4﹣x，△AQD∽△DCP，
∴，
∴，
∴．
②点D在线段BC延长线上运动时，
∵∠BCA＝45°，
∴AQ＝CQ＝4，
∴DQ＝4+x．
过A作AQ⊥BC，
∵CF⊥BD，
∴∠P+∠PDC＝90°，
∵∠PDC+∠ADQ＝90°，
∴∠ADQ＝∠P，
∵∠Q＝∠PCD＝90°，
∴△AQD∽△DCP，
∴，
∴，
∴．
28．如图，在矩形ABCD中对角线AC、BD相交于点F，延长BC到点E，使得四边形ACED是一个平行四边形，平行四边形对角线AE交BD、CD分别为点G和点H．
（1）证明：DG2＝FG BG；
（2）若AB＝5，BC＝6，则线段GH的长度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）证明：∵ABCD是矩形，且AD∥BC，
∴△ADG∽△EBG．
∴＝．
又∵△AGF∽△EGD，
∴＝．
∴＝．
∴DG2＝FG BG．
（2）∵ACED为平行四边形，AE，CD相交点H，
∴DH＝DC＝AB＝．
∴在直角三角形ADH中，AH2＝AD2+DH2
∴AH＝．
又∵△ADG∽△EBG，
∴＝＝．
∴AG＝GE＝×AE＝×13＝．
∴GH＝AH﹣AG＝﹣＝．
29．如图，已知矩形OABC，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A（2，0），C（0，3），点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO上运动，连接BP，作BE⊥PB交x轴于点E，连接PE交AB于点F，设运动时间为t秒．
（1）当t＝2时，求点E的坐标；
（2）若AB平分∠EBP时，求t的值；
（3）在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）当t＝2时，PC＝2，
∵BC＝2，
∴PC＝BC，
∴∠PBC＝45°，
∴∠BAE＝90°，
∴∠AEB＝45°，
∴AB＝AE＝3，
，
∴点E的坐标是（5，0）；
（2）当AB平分∠EBP时，
∠PBF＝45°，
则∠CBP＝∠CPB＝45°，
，
∴t＝2；
（3）存在，
∵∠ABE+∠ABP＝90°，
∠PBC+∠ABP＝90°，
∴∠ABE＝∠PBC，
∵∠BAE＝∠BCP＝90°，
∴△BCP∽△BAE，
∴，
∴，
∴，
当点P在点O上方时，
若＝时，△POE∽△EAB，
∵OP＝3﹣t，OE＝2+t，
∴＝，
∴t1＝，
t2＝（舍去），
∴OP＝3﹣＝，
∴P的坐标为（0，），
当点P在点O下方时，
①若＝，
则△OPE∽△ABE，
＝，
解得：t1＝3+，t2＝3﹣（舍去），
OP＝t﹣3＝3+﹣3＝，
P的坐标为（0，﹣），
②若＝，
则△OEP∽△ABE，＝，
解得：t2＝﹣9，
∴这种情况不成立，
∴P的坐标为：
（0，），（0，﹣）．
30．已知：如图边长为2的正方形ABCD中，∠MAN的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠MAN＝45°
①求证：MN＝BM+DN；
②若AM、AN交对角线BD于E、F两点．设BF＝y，DE＝x，求y与x的函数关系式．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADM′，
∴∠M′AN＝∠DAN+∠MAB＝45°，AM′＝AM，BM＝DM′，
∵M′AN＝∠MAN＝45°，AN＝AN，
∴△AMN≌△AM′N′，
∴MN＝NM′，
∴M′N＝M′D+DN＝BM+DN，
∴MN＝BM+DN．
（2）解：∵∠AED＝45°+∠BAE，∠FAB＝45°+∠BAE，
∴∠AED＝∠FAB，
∵∠ABF＝∠ADE，
∴△BFA∽△DAE，
∴＝，
∴＝，
∴y＝．
31．如图，已知ED∥BC，∠EAB＝∠BCF，
（1）四边形ABCD为平行四边形；
（2）求证：OB2＝OE OF；
（3）连接OD，若∠OBC＝∠ODC，求证：四边形ABCD为菱形．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵DE∥BC，
∴∠D＝∠BCF，
∵∠EAB＝∠BCF，
∴∠EAB＝∠D，
∴AB∥CD，
∵DE∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）∵DE∥BC，
∴，
∵AB∥CD，
∴，
∴＝，
∴OB2＝OE OF；
（3）连接BD，交AC于点H，连接OD．
∵DE∥BC，
∴∠OBC＝∠E，
∵∠OBC＝∠ODC，
∴∠ODC＝∠E，
∵∠DOF＝∠DOE，
∴△ODF∽△OED，
∴，
∴OD2＝OE OF，
∵OB2＝OF OE，
∴OB＝OD，
∵平行四边形ABCD中BH＝DH，
∴OH⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形．
32．如图，在一块如图所示的三角形余料上裁剪下一个正方形，如果△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，正方形的四个顶点D、E、F、G分别在三角形的三条边上．求正方形的边长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：作CH⊥AB于H，
∵四边形DEFG为正方形，
∴CM⊥GF，
由勾股定理可得：AB＝5，
根据三角形的面积不变性可求得CH＝，
设GD＝x，
∵GF∥AB，
∴∠CGF＝∠A，∠CFG＝∠B，
∴△ABC∽△GFC，
∴，
即 ，
整理得：12﹣5x＝x，
解得：x＝，
答：正方形的边长为．
33．一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
（1）求证：△AEF∽△ABC；
（2）求这个正方形零件的边长；
（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵四边形EGFH为正方形，
∴BC∥EF，
∴△AEF∽△ABC；
（2）设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD⊥BC，
∴，
∴，
解得x＝48．
答：正方形零件的边长为48mm．
（3）设EF＝x，EG＝y，
∵△AEF∽△ABC
∴，
∴＝
∴y＝80﹣x
∴矩形面积S＝xy＝﹣x2+80x＝﹣（x﹣60）2+2400（0＜x＜120）
故当x＝60时，此时矩形的面积最大，最大面积为2400mm2．
34．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0＜t＜），连接MN．
（1）若△BMN与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意知，BM＝3tcm，CN＝2tcm，
∴BN＝（8﹣2t）cm，BA＝＝10（cm），
当△BMN∽△BAC时，，
∴，解得：t＝；
当△BMN∽△BCA时，，
∴，解得：t＝，
∴△BMN与△ABC相似时，t的值为或；
（2）过点M作MD⊥CB于点D，由题意得：
DM＝BMsinB＝3t＝（cm），BD＝BMcosB＝3t＝t（cm），
BM＝3tcm，CN＝2tcm，
∴CD＝（8﹣）cm，
∵AN⊥CM，∠ACB＝90°，
∴∠CAN+∠ACM＝90°，∠MCD+∠ACM＝90°，
∴∠CAN＝∠MCD，
∵MD⊥CB，
∴∠MDC＝∠ACB＝90°，
∴△CAN∽△DCM，
∴，
∴＝，解得t＝或t＝0（舍弃）．
∴t＝．
35．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E，∠ADB＝∠ACB．
（1）求证：＝；
（2）若AB⊥AC，AE：EC＝1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABE，
又∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠ABE＝∠ACB，
又∵∠BAE＝∠CAB，
∴△ABE∽△ACB，
∴＝，
又∵AB＝AD，
∴＝；
（2）设AE＝x，
∵AE：EC＝1：2，
∴EC＝2x，
由（1）得：AB2＝AE AC，即AB2＝x 3x
∴AB＝x，
又∵BA⊥AC，
∴BC＝2x，
∴∠ACB＝30°，
∵F是BC中点，
∴BF＝x，
∴BF＝AB＝AD，
连接AF，则AF＝BF＝CF，∠ACB＝30°，∠ABC＝60°，
又∵∠ABD＝∠ADB＝30°，
∴∠CBD＝30°，
∴∠ADB＝∠CBD＝∠ACB＝30°，
∴AD∥BF，
∴四边形ABFD是平行四边形，
又∵AD＝AB，
∴四边形ABFD是菱形．
36．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE CA．
（1）求证：BC＝CD；
（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB＝OB，CD＝，求DF的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵DC2＝CE CA，
∴＝，
∵∠DCE＝∠ACD，
∴△CDE∽△CAD，
∴∠CDB＝∠DAC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴BC＝CD；
（2）解：方法一：如图，连接OC，
∵BC＝CD，
∴∠DAC＝∠CAB，
又∵AO＝CO，
∴∠CAB＝∠ACO，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∴＝，
∵PB＝OB，CD＝，
∴＝
∴PC＝4
又∵PC PD＝PB PA
∴4 （4+2）＝OB 3OB
∴OB＝4，即AB＝2OB＝8，PA＝3OB＝12，
在Rt△ACB中，
AC＝＝＝2，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°
∴∠FDA+∠BDC＝90°
∠CBA+∠CAB＝90°
∵∠BDC＝∠CAB，
∴∠FDA＝∠CBA，
又∵∠AFD＝∠ACB＝90°，
∴△AFD∽△ACB
∴
在Rt△AFP中，设FD＝x，则AF＝，
∴在Rt△APF中有，，
求得DF＝．
方法二；连接OC，过点O作OG垂直于CD，
易证△PCO∽△PDA，可得＝，
△PGO∽△PFA，可得＝，
可得，＝，由方法一中PC＝4代入，
即可得出DF＝．
37．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．
（1）若AE＝CF；
①求证：AF＝BE，并求∠APB的度数；
②若AE＝2，试求AP AF的值；
（2）若AF＝BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）①证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠C＝∠CAB＝60°，
又∵AE＝CF，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（SAS），
∴AF＝BE，∠ABE＝∠CAF．
又∵∠APE＝∠BPF＝∠ABP+∠BAP，
∴∠APE＝∠BAP+∠CAF＝60°．
∴∠APB＝180°﹣∠APE＝120°．
②∵∠C＝∠APE＝60°，∠PAE＝∠CAF，∴△APE∽△ACF，
∴，即，所以AP AF＝12
（2）①如图1所示：当AE＝CF时，点P的路径是一段弧．
由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且∠ABP＝∠BAP＝30°，
∴∠AOB＝120°，
又∵AB＝6，
∴OA＝2．
∴点P的路径是l＝＝＝．
②如图2所示，当AF＝BE时，过点C作CH⊥AB垂足为H．
点P的路径就是过点C向AB作的垂线段HC的长度．
∵等边三角形ABC的边长为6，CH⊥AB．
∴BH＝3．
∴点P的路径CH＝＝＝3．
③当F从C出发到达BC中点然后返回C，此时点P的运动路径＝+2，
④当F从B出发到达BC中点后再返回B，此时点P的运动路径＝+
综上所述，点P经过的运动轨迹的长度为或3或+2或+．
38．如图，已知在矩形ABCD中，AD＝8cm，CD＝4cm，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1cm的速度向点A方向移动，同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒2cm的速度移动，当B、E、F三点共线时，两点同时停止运动．设点E移动的时间为t（秒），
（1）求证：△BCF∽△CDE；
（2）求t的取值范围；
（3）连接BE，当t为何值时，∠BEC＝∠BFC？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠BCD＝90°，
∵ED＝t，FC＝2t，
∴，
∵AD＝8cm，CD＝4cm，
∴，
∴，
∴△BCF∽△CDE；
（2）已知如图：
∵AD∥BC，
∴△FED∽FBC，
∴，
∴，
∴t＝4，
∴0≤t≤4；
（3）∵△BCF∽△CDE，
∴∠DEC＝∠BFC
∵AD∥BC，∠DEC＝∠ECB，
∴∠BFC＝∠ECB，
∵∠BEC＝∠BFC，
∴∠BEC＝∠ECB，
∴BC＝BE，
∵BC＝8cm，
∴AB＝4cm，∠A＝90°，
∴AE＝cm，
∴DE＝（8﹣4）cm，
∵8﹣4＜4，
∴t＝（8﹣4）秒．
39．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若DE＝3，BD﹣AD＝2，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AB是圆O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝DC；
（2）解：∵AB＝AC，
∠B＝∠C，
∵∠B＝∠E，
∴∠E＝∠C，
∴BD＝DC＝DE＝3，
∵BD﹣AD＝2，
∴AD＝1，
在RT△ABD中，AB＝＝，
∴⊙O的半径为；
（3）解：∵AB＝AC＝，BD＝DC＝3，
∴BC＝6，
∵∠B＝∠E，∠C＝∠C，
∴△EDC∽△BAC，
∵AC EC＝DC BC，
∴ EC＝3×6，
∴EC＝，
∴AE＝EC﹣AC＝﹣＝．
40．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE＝45度．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式；
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°．
∵∠ADE＝45°，
∴∠BDA+∠CDE＝135°．
又∠BDA+∠BAD＝135°，
∴∠BAD＝∠CDE．
∴△ABD∽△DCE．
（2）解：∵△ABD∽△DCE，
∴；
∵BD＝x，
∴CD＝BC﹣BD＝﹣x．
∴，
∴CE＝x﹣x2．
∴AE＝AC﹣CE＝1﹣（x﹣x2）＝x2﹣x+1．
即y＝x2﹣x+1．
（3）解：∠DAE＜∠BAC＝90°，∠ADE＝45°，
∴当△ADE是等腰三角形时，第一种可能是AD＝DE．
又∵△ABD∽△DCE，
∴△ABD≌△DCE．
∴CD＝AB＝1．
∴BD＝﹣1．
∵BD＝CE，
∴AE＝AC﹣CE＝2﹣．
当△ADE是等腰三角形时，第二种可能是ED＝EA．
∵∠ADE＝45°，
∴此时有∠DEA＝90°．
即△ADE为等腰直角三角形．
∴AE＝DE＝AC＝．
当AD＝EA时，点D与点B重合，不合题意，所以舍去，
因此AE的长为2﹣或．
41．【提出问题】
（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等边△AMN，连接CN．求证：∠ABC＝∠ACN．
【类比探究】
（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，在等腰△ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC．连接CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAM＝∠CAN，
∵在△BAM和△CAN中，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴∠ABC＝∠ACN．
（2）解：结论∠ABC＝∠ACN仍成立；
理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAM＝∠CAN，
∵在△BAM和△CAN中，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴∠ABC＝∠ACN．
（3）解：∠ABC＝∠ACN；
理由如下：∵BA＝BC，MA＝MN，顶角∠ABC＝∠AMN，
∴底角∠BAC＝∠MAN，
∴△ABC∽△AMN，
∴＝，
又∵∠BAM＝∠BAC﹣∠MAC，∠CAN＝∠MAN﹣∠MAC，
∴∠BAM＝∠CAN，
∴△BAM∽△CAN，
∴∠ABC＝∠ACN．
42．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点O在BC上（与B，C不重合），连接AO，F是线段AO上的点（与A，O不重合），∠EAF＝90°，AE＝AF，连接FE，FC，BE，BF．
（1）如图1，若AO⊥BC，求证：BE＝BF；
（2）如图2，若将△AEF绕点A旋转，使边AF在∠BAC的内部，延长CF交AB于点G，交BE于点K．
①求证：△AGC∽△KGB；
②当△BEF为等腰直角三角形时，请你直接写出AB：BF的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AO⊥BC，
∴∠OAC＝∠OAB＝45°，
∴∠EAB＝∠EAF﹣∠BAF＝45°，
∴∠EAB＝∠BAF，
在△EAB和△FAB中，
，
∴△EAB≌△FAB（SAS），
∴BE＝BF；
（2）①证明：∵∠BAC＝90°，∠EAF＝90°，
∴∠EAB+∠BAF＝∠BAF+∠FAC＝90°，
∴∠EAB＝∠FAC，
在△AEB和△AFC中，
，
∴△AEB≌△AFC（SAS），
∴∠EBA＝∠FCA，
又∵∠KGB＝∠AGC，
∴△AGC∽△KGB；
②
当∠EBF＝90°时，∵BE＝BF，
∴∠BFE＝45°，
∵∠EAF＝90°，AE＝AF，
∴∠AFE＝45°，
∴∠AFB＝90°，
此时，点F和点O重合（不符合题意），
当∠EFB＝90°时，AB：BF＝：2．
当∠BEF＝90°时，AB：BF＝：2．
43．在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm．
（1）如图①，若动点Q从点C出发，在对角线CA上以每秒3cm的速度向A点匀速移动，同时动点P从点B出发，在BC上以每秒2cm的速度向点C匀速移动，运动时间为t秒（0≤t＜3），t取何值时，四边形ABPQ的面积最小？
（2）如图②，若点Q在对角线CA上，CQ＝4cm，动点P从点B出发，以每秒1cm的速度沿BC运动至点C停止．设点P运动了t秒，当t为何值时，以Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形？
【答案】（1）当t＝2时，四边形ABPQ的面积最小，为；
（2）当t为4或1.6或5.5时，以Q，P，C为顶点的三角形是等腰三角形．
【解答】解：（1）如图，过点Q作QE⊥BC于点E．
∵矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝＝10，
由题意得CQ＝3t，BP＝2t，
∵QE⊥BC，AB⊥BC，
∴QE∥AB，
∴△CQE∽△CAB，
∴，
∴，
∴，
∴S四边形ABPQ＝S△ABC﹣S△PQC
＝
＝24﹣（8﹣2t）
＝，
∴当t＝2时，四边形ABPQ的面积最小，为；
（2）当CP＝CQ＝4时，BP＝8﹣4＝4，则点P运动了4秒；
当QP＝QC时，如图，过点Q作QE⊥BC于点E，
由（1）可知△CQE∽△CAB，
∴，
∴，
∴CE＝3.2，
∵QP＝QC，QE⊥BC，
∴PE＝CE＝3.2，
∴BP＝8﹣6.4＝1.6，则点P运动了1.6秒；
当GC＝GQ时，如图，过点G作GH⊥AC，则CH＝HQ＝2，
∵AB⊥BC，GH⊥AC
∴△CGH∽△CAB，
∴，
∴，
解得CG＝2.5，
∴BG＝8﹣2.5＝5.5，则点P运动了5.5秒，
综上所述，当t为4或1.6或5.5时，以Q，P，C为顶点的三角形是等腰三角形．
44．数学课上，王老师出示问题：如图1，将边长为5的正方形纸片ABCD折叠，使顶点A落在边CD上的点P处（点P与C、D不重合），折痕为EF，折叠后AB边落在PQ的位置，PQ与BC交于点G．
（1）观察操作结果，在图1中找到一个与△DEP相似的三角形，并证明你的结论；
（2）当点P在边CD的什么位置时，△DEP与△CPG面积的比是9：25？请写出求解过程；
（3）将正方形换成正三角形，如图2，将边长为5的正三角形纸片ABC折叠，使顶点A落在边BC上的点P处（点P与B、C不重合），折痕为EF，当点P在边BC的什么位置时，△BEP与△CPF面积的比是9：25？请写出求解过程．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）△DEP∽△CPG．
∵∠EPG＝90°，
∴∠EPD+∠GPC＝90°，∠EPD+∠DEP＝90°，
∴∠DEP＝∠GPC，
∵∠D＝∠C＝90°，
∴△DEP∽△CPG；
（2）∵△DEP∽△CPG，
∴S△DEP：S△CPG＝9：25，
∴DP：GC＝3：5，
设PD＝3x，则CG＝5x，PC＝5﹣3x，DE＝PC＝3﹣x，
∴EP＝2+x，
∴Rt△DEP中，（3﹣x）2+（3x）2＝（2+x）2，
解得x1＝（舍去），x2＝，
∴DP＝3x＝1，
即当DP＝1时，△DEP与△CPG面积的比是9：25；
（3）由题可得，∠B＝∠C＝∠EPF＝60°，
∴∠BEP+∠BPE＝∠CPF+∠BPE＝120°，
∴∠BEP＝∠CPF，
∴△BEP∽△CPF，
设EP＝3x，FP＝5x，则FC＝5﹣5x，EB＝5﹣3x，BP＝CF＝3﹣3x，
∴PC＝2+3x，
∴＝＝，
解得x＝，
∴PC＝2+3x＝．
即当PC＝时，△BEP与△CPF面积的比是9：25．
45．已知：如图，△ABC中，AD⊥BC，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，连接EF，
（1）若AD2＝BD DC，
①求证：∠BAC＝90°．
②AB＝4，DC＝6，求EF．
（2）如图2，若AD＝4，BD＝2，DC＝4，求EF．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠CDA＝90°，
又∵AD2＝BD DC，
∴＝，
∴△ABD∽△CAD，
∴∠BAD＝∠C，
又∵∠B+∠BAD＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∴∠BAC＝90°；
②∵DE⊥AB，DF⊥AC，∠BAC＝90°，
∴∠EAF＝∠AED＝∠AFD＝90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∴EF＝AD，
∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴AB2＝BD×BC，即42＝BD×（BD+6），
解得BD＝2，
∴Rt△ABD中，AD＝＝2，
∴EF＝2；
（2）∵AD＝4，DC＝4，DF⊥AC，BD＝2，
∴AC＝4，AB＝2，
∴AF＝AC＝2，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD⊥BC，
∴AD2＝AE×AB，AD2＝AF×AC，
∴AE×AB＝AF×AC，即，
又∵∠EAF＝∠CAB，
∴△AEF∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
解得EF＝．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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