第二十二章 二次函数
一、选择题
1．下列函数中是二次函数的是（ ）
A．y＝x2+1 B．y＝8x+1 C．y＝ D．y＝﹣﹣4
2．对于下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴为直线
C．顶点为 D．随增大而减小
3．若点是抛物线上的两点，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．下列图像中，当时，函数与的图像是（ ）
A． B． C． D．
5．在二次函数y=x2-2x-3中，当时，y的最大值和最小值分别是（ ）
A．0，-4 B．0，-3 C．-3，-4 D．0，0
6．在二次函数y =x2+ 2x＋1的图像上，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（ ）
A．x<1 B．x>1 C．x<-1 D．x>-1
7．如图，铅球的出手点 距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度 米，则铅球运行路线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图是抛物线 的部分图象，其对称轴为直线 ，与 轴的交点坐标为 ，下列结论：① ；② ；③方程 的两根分别是0和2；④方程 有一个实根大于2；⑤当 时， 随着 的增大而减小. 其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
9．抛物线与轴只有一个交点，则 ．
10．二次函数y＝﹣（x+5）2﹣4的最大值是 ．
11．已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是 ．
12．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当拱顶（拱桥洞的最高点）离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为 m.
13．二次函数 的对称轴为x=1，若关于x的一元二次方程 （c为实数），在﹣1≤x≤4范围内有解，则c的取值范围为 ．
三、解答题
14．已知二次函数 ，当 当 ;当 .求该二次函数的图象的开口方向、顶点坐标及对称轴.
15．如图，已知二次函数 的图象经过点 ， ．
（1）求b和c的值；
（2）点 在该二次函数图象上，当 时，该二次函数有最小值11，请根据图象求出m的值．
16．已知抛物线 经过 两点.
（1）求b的值；
（2）当 时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；
（3）若方程 的两实根 ，满足 ，且 ，求P的最大值.
17．跳长绳时，当绳用到最高处时的形状是抛物线，如图正在用绳的两名同学拿绳的手间距为8米，手到地面的距离和均为米，身高为米的小红站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子用到最高处时刚好通过她的头顶点E，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如果小明站在之间，且离点O的距离为3米，当绳子用到最高处时刚好通过他的头顶正上方米处，求小明的身高是多少？
18．某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价，单价降低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出．
（1）如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个纪念品的销售价格为多少元？
（2）请你计算，这批旅游纪念品总获利的最大值与最小值相差多少．
参考答案
1．A
2．D
3．C
4．D
5．A
6．D
7．C
8．C
9．9
10．-4
11．
12．
13．
14．解：由二次函数
根据题意得： ，解得
所以抛物线解析式为y=x2-x-2，即
所以二次函数的图象的开口方向向上，二次函数图象的顶点坐标为（ ， ），对称轴为直线x= .
15．（1）解：二次函数 的图象经过点 ，
所以 解之得，
（2）解：∵ ，
∴该函数图象开口向上，当 时取得最小值2，
∵当 时，该二次函数有最小值11，
∴当 时， ，得 （舍去）， ；
当 时，该函数的最小值为2，不符合题意；
当 时， ，得 （舍去）， ；
由上可得，m的值是2或－7．
16．（1）解： 抛物线 经过 两点，
此抛物线的对称轴为直线 ，
解得 ；
（2）解：由（1）可知，抛物线的解析式为 ，
则当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大，
由对称性可知， 时的函数值与 的函数值相同，
要使得当 时，抛物线与 轴有且只有一个公共点，
①当这个公共点是顶点时，
则关于 的一元二次方程 只有一个实数根，
所以其根的判别式 ，
解得 ；
②当这个公共点不是顶点时，
则当 时， ；当 时， ，
即 ，
解得 ，
综上， 的取值范围是 或 ；
（3）解： 方程 的两实根为 ，且 ，
，即 ，
，
解得 ，
，
整理得： ，
则在 内， 随 的增大而减小，
所以当 时， 取得最大值，最大值为 .
17．（1）解：由题意可得，点E的坐标为，点B的坐标为，
∵点E和点B均在抛物线的图像上，
∴，
解得
∴该抛物线的解析式为.
（2）解：把代入，
得：，
（米），
即小明的身高是米.
18．解：（1）设该商店第二周降低x元销售（0≤x≤4），则销售数量为（200＋50x）个，
∴第二周获得利润为(10﹣6﹣x)(200＋50x)＝(﹣50x2＋800)元，
∵清仓处理的单价为4元/个，处理的数量为600﹣200﹣(200＋50x)＝200﹣50x个，
∴清仓处理利润为(4﹣6)(200﹣50x)＝(100x﹣400)元，
∴该商店对剩余纪念品清仓处理后的利润为(10﹣6)×200＋(﹣50x2＋800)＋(100x﹣400)＝(﹣50x2＋100x＋1200)元，
∴﹣50x2＋100x＋1200＝1250，
整理得：x2﹣2x＋1＝0，
解得：x1＝x2＝1，
∴10﹣x＝9．
答：第二周每个旅游纪念品的销售价格为9元；
（2）设这批旅游纪念品总获利为w元，
则w＝﹣50x2＋100x＋1200＝﹣50(x﹣1)2＋1250，
∵﹣50＜0，
∴当x＝1时，w有最大值，最大值为1250，
又∵0≤x≤4，
∴当x＝4时，w最小，最小值为800，
∴1250﹣800＝450，
∴这批旅游纪念品总获利的最大值与最小值相差450元．
