2023-2024 学年度第一学期学业水平诊断月测量
九年级数学 10.7
一、选择题（本题共 8道小题，每题 2分，共 16分）
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
2 2
A．2x+1＝0 B．y +x＝0 C．x -x＝0 D．
2
2．抛物线y＝2（x+3） +4的顶点坐标是（ ）
A．（3，4） B．（-3，4） C．（3，-4） D．（-3，-4）
2
3．将抛物线y＝x 先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ）
2 2
A．y＝（x﹣3） -4 B．y＝（x+3） +4
2 2
C．y＝（x+3） ﹣4 D．y＝（x-3） +4
4. 如图，在正方形网格中，△MPN绕某一点旋转某一角度得到
△M′P′N′，则旋转中心可能是（ ）
A. 点 A B. 点 B C. 点 C D. 点 D
5. 关于方程 x2 3x 1= 0的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断
2
6．已知二次函数y＝-x -2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程
2
-x -2x+m＝0的解为（ ）
A．3或1 B．-3或1 C．3或-3 D．-3或-1
7. 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列关系式中正确的是
（ ）
A. ac＞0 B. b+2a＜0 C. b2-4ac＞0 D. a-b+c＜0
8. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 ( 1，y 21)，(2，y2)，(4，y3)在抛物线 y = ax 2ax+c上，当a 0时，
下列说法一定正确的是( ) A. 若 y1 y2 0，则 y3 0
B. 若 y2 y3 0，则 y1 0 C. 若 y1 y3 0，则 y2 0 D. 若 y1y2 y3 = 0，则 y2 = 0
1
二、填空题（本题共 8道小题，每题 2分，共 16分）
9. 点(2，3)关于原点对称的点的坐标是 ．
10. 若关于 x的一元二次方程 (a 1)x2 +a2x a = 0有一个根是 x =1，则a = ___________．
11．已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，-1），请你写出一个满足条件的二次函数的解
析式 ．
12. 二次函数 y = ax2 +bx+c的图象如图所示，直接写出不等式
ax2 +bx+c 0的解集为 ．
13. 若抛物线 y = 2x2 4x+ k与 x 轴有．且．只．有．一个公共点，则 k的值为___________．
14. 某工厂 2020年共生产1000件 A 型商品，2022年共生产1440件 A型商品，设平均年增长率为 x，根
据题意可列方程 ，解得 x = ______．
15. 如图，将⊿ABC绕点 A逆时针旋转 100°，得到⊿ADE．若点 D在
线段BC 的延长线上，则 B的度数为 .
2
16.抛物线 y = ax +bx + c (a 0)的图象如图所示，抛物线经过点 ( 1,0)，则下列结论：①abc <0 ；
② 2a b = 0；③3a + c 0；④a+b am2 +bm（m为一切实数）；⑤b2 4ac；正确的是
（填写序号）．
2
三、解答题（本题共 68分，第 17题 8 分，第 18题～19 题每题 5分，第 20～25题每小题 6分，第 25～
27题每小题 7分）
2 2
17. （本题 8分）解下列方程 （1）x－4x＋3＝0 ；（2）2x－5x＋1＝0
18. （本题 5分）已知二次函数 y = ax2 +bx+c经过点(0,-3)，
且当 x = 2时，y取得最大值为 1．
（1）直接写出该二次函数图象的顶点坐标为______；
（2）求该二次函数的表达式；
（3）在坐标系中画出该二次函数的图象．
19. （本题 5分）关于 x的一元二次方程 x2 + 2x 3m = 0有两个不相等实数根．
（1）求 m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的 m的值，并求此时方程的根．
20. （本题 6分）如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位 1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如
图．
（1）画出将△ABC向右平移 2个单位得到△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕点 O顺时针方向旋转 90°得到的△A2B2C2；
3
2
21. （本题 6分）二次函数 y = ax +bx + c (a 0)图象上部分点的横坐标 x，纵坐标 y的对应值如下
表：
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
5 3 3 5
y … 0 2 0 …
2 2 2 2
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在上图中画出此二次函数的图象；
（3）结合图象，直接写出当 y 0时，自变量 x的取值范围．
（4）当抛物线 y = ax2 +bx+c的顶点在直线 y = x + n 的下方时，n的取值范围是______．
22. （本题 6分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是 AB边上一点（点 D与 A，B不重合），连
结 CD，将线段 CD绕点 C逆时针旋转 90°得到线段 CE，连结 DE交 BC于点 F，连接 BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）当∠BDE=25°时，求∠BEF的度数．
23. （本题 6分）小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为 x
轴方向，1m为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从 y轴上的A 点出手，运动路径可
看作抛物线，在B点处达到最高位置，落在 x 轴上的点C 处．小明某次试投时的数据如图所示．
（1）在图中画出铅球运动路径的示意图；
（2）根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；
（3）若铅球投掷距离（铅球落地点 C与出手点 A的水平距离 OC的长度）不小于 10m，成绩为优秀．请通
过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀．
4
24.（本题 6分） 某工厂设计了一款成本为 20元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下
数据：
销售单价 x （元/件） … 30 40 50 60 …
每天销售量 y （件） … 500 400 300 200 …
（1）研究发现，每天销售量 y 与单价 x 满足一次函数关系，求出 y 与 x 的关系式；
（2）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过 45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂
试销该工艺品每天获得的利润 8000元？
25. （本题 6分）已知二次函数 y = ax2 4ax + 3a ．
（1）直接写出二次函数图象的对称轴是直线______；
（2）若该二次函数的图象开口向下，且 y的最大值是 2，求抛物线的解析式；
（3）对于该抛物线上的两点 P (x1, y1 )，Q (x2 , y2 )，当 t x x1 t +1， 2 5 时，总有 y1 y2 ，请结合
函数图象，求出 t的取值范围．
26.（本题 7分）已知：如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点 D在 AB边上，点 A关于直线 CD 的对称
点为 E，射线 BE交直线 CD于点 F，连接 AF．
（1）设∠ACD=α，用含α的代数式表示∠CBF的大小，并求∠CFB的度数；
（2）用等式表示线段 AF，CF，BF之间的数量关系，并证明．
5
27.（本题 7分）
在平面直角坐标系 xO 中，对于图形 G，若存在一个正方形γ，这个正方形的某条边与 x轴垂直，且图
形 G 上的所有的点都在该正方形的内部或者边上，则称该正方形γ为图形 G的一个正覆盖．很显然，
如果图形 G 存在一个正覆盖，则它的正覆盖有无数个，我们将图形 G 的所有正覆盖中边长最小的一个，
称为它的紧覆盖．如图所示，图形 G 为三条线段和一个圆弧组成的封闭图形，图中的三个正方形均为
图形 G 的正覆盖，其中正方形 ABCD 就是图形 G 的紧覆盖．
（1）对于一个圆心在坐标原点（0,0）半径为 2 的圆，它的紧覆盖的边长为___________ ．
（2）如图 1，点 P 为直线 y=﹣2x+3 上一动点，若线段 OP 的紧覆盖的边长为 2，求点 P 的坐标．
（3）如图 2，直线 y=3x+3 与 x 轴，y 轴分别交于 A, B．
若在抛物线 上存在点 C，使得△ABC 的紧覆盖的边长为 3，
直接写出 a 的取值范围．
6
