建平中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试卷
2023.10
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1.若集合，，则 .
2.不等式的解集为 .
3．不等式的解集为 .
4.已知复数，为虚数单位，则 .
5．函数的极值点为 .
6.若幂函数（m为整数）的定义域为R，则 .
7.函数的最小正周期为 .
8．已知，，且，，则 .
9.已知关于x的方程（）有两个虚根与，且，实数k的值是 .
10.已知对任意成立，则实数a的取值范围为 .
11.对任意的均有，则的最大值为 .
12.已知为定义在R上的奇函数，当，，且关于直线对称．设方程（，）的正数解为，，…，…，且对无穷多个，总存在实数M，使得成立，则实数M的最小值为 .
二、选择题（本大题共有4小题，满分18分，其中第13、14题每题4分，第14、15题每题5分）
13．若a，b为实数，则“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要
14．已知函数为定义在R上的奇函数，对于任意的，有，，则的解集为（ ）
A. B. C. D.
15．已知函数的图像关于点P中心对称，则点P的坐标是（ ）
A. B. C. D.
16.已知函数，则以下4个命题：
①是偶函数；②在上是增函数；
③的值域为Q﹔④对于任意的正有理数a，存在奇数个零点.
其中正确命题的个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
三、解答题（本大题共5题，满分78分）
17．已知
（1）求的值；
（2）若，，且，求.
18.已知复数（是虚数单位）是关于x的实系数方程的一个根.
（1）求的值；
（2）复数满足是实数，且，求复数.
19.某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（万元）随投资收益x（万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.
（1）若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要求；
（2）现有两个奖励函数模型：
①；②；问这两个函数模型是否符合公司要求，并说明理由？
20.已知椭圆C：，其右焦点为F，过点F且与坐标轴不垂直的直线与椭圆C交于P，Q两点.
（1）求椭圆C的离心率；
（2）设O为坐标原点，线段OF上是否存在点，使得？若存在，求出n的取值范围；若不存在，说明理由；
（3）过点的直线与椭圆C交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为E，试证明：直线AE过定点.
21．若定义域为D的函数满足是定义域为D的严格增函数，则称是一个“T函数”.
（1）分别判断，是否为T函数，并说明理由；
（2）已知常数，若定义在上的函数是T函数，判断和的大小关系，并证明；
（3）已知T函数的定义域为R，不等式的解集为．证明：在R上严格增.
参考答案
一、填空题
1. 2. 3. 4. 5.0 6.0或1或2 7. 8. 9.
10. 11.2 12.2
二、选择题
13.D 14.A 15.B 16.B
三、解答题
17.【详解】
（1）原式=.
由可得，，
∴，
∴.
（20由和，
解得，
又，，
所以，，
所以，
所以
.
18.解：
（1）易知实系数方程在复数范围内的另一个根是，结合韦达定理得，解得，所以；
（2）设复数（a，），所以，因为实数，所以，即，又因为，所以，
联立，解得或，因此复数或.
19.解：
（1）设奖励函数模型为，则公司对奖励函数模型的基本要求是：
当时，是严格增函数，恒成立，恒成立。
（2）①对于函数模型，当时，，所以为增函数，且，所以恒成立，但是，不满足恒成立，所以不符合公司要求；
②对于函数模型，当时，所以为增函数，且，所以恒成立；令，则，所以，所以恒成立，所以符合公司要求。
20.【详解】
（1）因为椭圆的方程为，所以离心率为.
（2）设直线PQ的方程为：，，代入，得：
，恒成立.
设，，线段PQ的中点为，则
，，
由，得：，
所以直线NR为直线PQ的垂直平分线，直线NR的方程为：，
令得：N点的横坐标，所以，所以，所以，即线段OF上存在点，使得，其中.
（3）设直线AB的方程为：，，代入，得：
，因为过点的直线与椭圆交于A，B两点，
所以由，得：，
设，，，则，，
则直线AE的方程为，令得：
，
当时，也满足题意，所以直线AE过定点.
21．【详解】
（1），定义域为R，是R上的严格增函数，故是“T函数”；
，定义域为R，不是R上的严格增函数，故不是“T函数”；
（2），证明如下
因为定义在上的函数是T函数，则在上严格增，
设，则，
故在上单调递增，故，
即，即
（3）T函数的定义域为R，故在R上严格增，
，设，则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
故，
即，
当时，恒成立，则恒成立，故，
若存在，使，则当时，，
这与，矛盾，故不存在使，故恒成立，
故在R上严格增.
