浙教版2023-2024学年九年级上学期期中数学模拟卷（2）
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从到的一个自然数，现将卡片背面朝上，从中任意抽出一张，正面的数是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】从9张卡片中任意抽出一张。正面的数有10中情况，
其中为奇数的情况有：1，3，5，7，9，
∴正面的数是奇数的概率为：
故答案为：D.
2．如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点不与重合，连结若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接BC，如下图：
∵为直径，
∴
∴
∵ ，
∴
由折叠得：弧AC所对的圆周角为，弧ABC所对的圆周角为
∴
∴
∴
故答案为：A.
3．如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆O，分别交AB，AC于点D，E，连接OD，OE，若∠A＝α，则∠DOE的度数为（ ）
A．180﹣2α B．180﹣α C．90﹣α D．2a
【答案】A
【解析】连接CD，
∵BC是直径，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
∴∠ACD=90°-∠A=90°-α，
∵，
∴∠DOE=2∠ACD=180°-2α.
故答案为：A.
4．如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在、之间不包含端点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵抛物线的顶点为（1，k），
∴y=a(x-1)2+k，
∵抛物线与x轴相交于点A（-1，0），
∴0=a(-1-1)2+k，则a=，
∴y=(x-1)2+k=x2+x+k，
∵抛物线与y轴的交点在（0，2）和（0，3）之间，
∴2＜k＜3，解得：＜k＜4.
故答案为：C .
5．如图，抛物线的对称轴是，并与x轴交于A，B两点，若，则下列结论中：①；②；③；④若m为任意实数，则，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由图象可知a＞0，b＞0，c＜0，
∴abc＜0，故①错误；
∵对称轴为直线x＝ 2，OA＝5OB，
∴OA＝5，OB＝1，
∴点A（ 5，0），点B（1，0），
∴当x＝1时，y＝0，
∴a＋b＋c＝0，
∴（a＋c）2 b2＝（a＋b＋c）（a＋c b）＝0，故②正确；
抛物线的对称轴为直线x＝ 2，即，
∴b＝4a，
∵a＋b＋c＝0，
∴5a＋c＝0，
∴c＝ 5a，
∴9a＋4c＝ 11a，
∵a＞0，
∴9a＋4c＜0，故③正确；
当x＝ 2时，函数有最小值y＝4a 2b＋c，
∴am2＋bm＋c≥4a 2b＋c，
∴am2＋bm＋2b≥4a，
∴若m为任意实数，则am2＋bm＋2b≥4a，故④正确；
∴正确结论的个数为3个.
故答案为：C.
6．如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，使点恰好落在上的点处，折痕为，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，连接OD，
由折叠的性质可知，CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，
∴OB=BD=OD，
∴为等边三角形，
∴∠DBO=60°，
∴，
∵∠AOB=90°，OA=3，
∴，
∴，
，
∴.
故答案为：B.
7．如图，AB 为⊙O 的直径，点 D 是弧 AC 的中点，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，延长 DE 交⊙O 于点 F，若 AC＝12，AE＝3，则⊙O 的直径长为（ ）
A．7.5 B．15 C．16 D．18
【答案】B
【解析】如图，连接OF．
∵DE⊥AB，
∴DE=EF，，
∵点D是弧AC的中点，
∴，
∴，
∴AC=DF=12，
∴EF=DF=6，
设OA=OF=x，
在Rt△OEF中，则有x2=62+（x-3）2，
解得x=，
∴AB=2x=15，
故答案为：B．
8．如图，将矩形ABCD沿着GE，EC，GF翻折，使得点A，B，D恰好都落在点O处，且点G，O，C在同一条直线上，点E，O，F 在另一条直线上. 以下结论正确的是（ ）
A．△COF∽△CEG B．OC=3OF
C．AB：AD=4：3 D．GE=DF
【答案】D
【解析】由折叠性质得：∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，
∴∠FGE＝∠FGO＋∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG＋∠OEC＝90°，
由矩形的性质，设AD=BC=2a，AB=DC=2b，
由折叠得DG=OG=a，AE=OE=BE=b，
∴CG=OG+OC=OG+BC=3a，
在Rt△CEG中，CG2=GE2+CE2，
∴（3a）2=a2+b2+b2+（2a）2，
解得，
∴AB=2b=；
∴，故C选项不符合题意；
在Rt△COF中，设OF=DF=x，则CF=2b-x=-x，
∵∠D=∠GOF=90°，
∴x2+（2a）2=，
解得，
∴，
在Rt△AGE中，
∴，故D选项符合题意；
∴，故B选项不符合题意；
在Rt△CEB中，，
∵∠GEC=∠FOC=90°，而，
∴△COF不相似于△CEG，故A选项错误，不符合题意.
故答案为：D.
9．若点与分别是两个函数图象与上的任一点．当时，有-1≤y1-y2≤1成立，则称这两个函数在上是“相邻函数”．例如，点与分别是两个函数与图象上的任一点，当时，，它在上，-1≤y1-y2≤1成立，因此这两个函数在上是“相邻函数”．若函数与在上是“相邻函数”，求a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵函数y=x2-x与y=ax在0≤x≤2上是“相邻函数”，
∴函数y=x2-(a+1)x在0≤x≤2上-1≤y≤1，
根据抛物线y=x2-(a+1)x的对称轴位置不同，分四种情况：
①当，即a≤-1时，y最小=0，y最大=4-2（a+1）≤1，解得a≥，∴此种情况无解；
②当0≤≤1，即-1≤a≤1时，y最小=，y最大=4-2（a+1）≤1，解得≤a≤1；
③当1≤≤2，即1＜a≤-3时，y最小=，y最大=0，解得-3≤a≤1，∴此种情况无解；
④当2＜，即a＞3时，y最小=4-2（a+1）≥-1，y最大=0，解得a≤，∴此种情况无解，
综上可知，函数y=x2-x与y=ax在0≤x≤2上是“相邻函数”，则a的取值范围为：≤a≤1.
故答案为：B.
10．如图，矩形中，点E在边上，且，作于点F，连接的延长线交于点O，交于点G．以下结论：①；②为的角平分线；③若，则；④若平分，，则矩形ABCD的面积为．则正确结论的个数是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【解析】∵四边形是矩形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确；
②∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为的角平分线，故②正确；
③连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵平分，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴矩形的面积为：，故④正确；
故答案为：D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．二次函数的最小值是 ，最大值是 ．
【答案】-7；1
【解析】∵，
∵开口向上，对称轴为：
∴当时，有最小值为：-7，
∵对称轴为：
∴x离对称轴越远值越大，
∴当x=0时，有最大值为：1，
故答案为：-7，0.
12．如图是郑州圆形“戒指桥”，其数学模型为如图所示.已知桥面跨径AB＝20米，D为圆上一点，DC⊥AB于点C，且CD＝BC＝14米，则该圆的半径长为
米.
【答案】26
【解析】作 ，作 ，如下图：
则四边形 为矩形， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
由勾股定理可得： ，
，
∵ ，∴ ，
解得 ，
，
故半径长为26米.
故答案为：26.
13．已知抛物线经过，两点，若，分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵a＜0，
∴抛物线的开口向下，
∵抛物线的对称轴为：直线x=，
且y1＜y2，
若点A在对称轴x=1的左侧，点B在对称轴x=1的右侧，
则可得不等式组：，
解得：，不等式组无解；
若点A在对称轴x=1的右侧，点B在对称轴x=1的左侧，
则可得不等式组：，
解得：0＜n＜2，
∴n的取值范围是：0＜n＜2.
故答案为：0＜n＜2.
14．如图，四边形ABCD内接于以BD为直径的⊙O，CA平分∠BCD，若四边形ABCD的面积是30cm2，则AC= cm.
【答案】
【解析】如图，过A点作AE⊥AC，交CD的延长线与点E.
∵AE⊥AC
∴∠CAE＝90°
∵BD为⊙O的直径
∴∠BAD＝∠BCD＝90°
∵CA平分∠BCD
∴∠BCA＝∠ACD＝45°
∴∠E＝∠ACD＝45°
∴AC＝AE
∵∠CAD+∠DAE＝90°，∠BAC+∠CAD＝90°
∴∠BAC＝∠DAE
又∵∠BCA＝∠E＝45°
在△ABC≌△ADE中，
∴△ABC≌△ADE（ASA）
∴
∴
∴
∴
故答案为：.
15．如图，若△ABC内一点P满足∠PAC＝∠PCB＝∠PBA，则称点P为△ABC的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现的，后来被数学爱好者、法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名．布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮．已知△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，点P为△ABC的布罗卡尔点．若PB＝4，则PA+PC＝ ．
【答案】6
【解析】∵∴
∵点P为△ABC的布罗卡尔点，
∴，
∴
∴，
∴，
∴
∴
故答案为：.
16．如图，在矩形中，，点E为上一点，，连接，作的平分线交于点F，连接交于点G．当时，的长为 ．
【答案】
【解析】延长BF交AD延长线于M ，延长AF交BC延长线于N
ABCD为矩形，AB=8 AE=6
∴
∵AB=BG=8
∴EG=BE-BG=10-8=2
∵ADBC
∴
∴
∴NB=4AE=24 NG=4AG即
在Rt中，
∴
∵AMBCN且BF平分
∴
∴BE=ME=10
∴AM=AE+ME=6+10=16
∴AMBN
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．为传承中华民族优秀传统文化，提高学生文化素养，学校举办“经典诵读”比赛，比赛题目分为“诗词之风”、“散文之韵”和“小说之趣”三组（依次记为A，B，C）.彤彤和祺祺两名同学参加比赛，其中一名同学从三组题目中随机抽取一组，然后放回，另一名同学再随机抽取一组.
（1）彤彤抽到A组题目的概率是 ；
（2）请用列表法或画树状图的方法，求彤彤和祺祺抽到相同题目的概率.
【答案】（1）
（2）解：根据题意画出树状图，如图所示：
∵共有9种等可能的情况，彤彤和祺祺抽到相同题目的情况数有3种，
∴彤彤和祺祺抽到相同题目的概率为.
【解析】（1）彤彤抽到A组题目的概率是；
故答案为：.
18．如图，在等腰三角形中，，点是的中点，点，分别在线段，上，连结，交于点，.
（1）求证：；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）证明：∵，点是的中点，
∴.
∵，
∴.
又∵，
∴
（2）解：如图，过点作，交于点.
∵点是的中点，∴.
∵，∴.
∵，∴.
∵，∴，
∴，即.
∵，
∴.
∴.
19．如图，是⊙O的直径，点A在⊙O上且平分弧，于点，分别交，于，.
（1）求证：；
（2）若，求阴影部分面积.
【答案】（1）证明：∵A点平分弧
弧=弧，
.
∵是⊙O的直径，
.
，
.
（2）解：连接AO、EO、EC，作EH⊥BC于H ，
.
又
是等边三角形，
.
∵弧=弧，
.
∵OE=OC
是等边三角形，
=
=
=
20．在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，其中，设抛物线的对称轴为．
（1）当时，如果，直接写出，的值；
（2）当，时，总有，求t的取值范围．
【答案】（1）解：，
（2）解：根据题意可知，当时，，
∵，
∴图象开口向下，满足，，
∴当时，y随着x的增大而增大，
∴设抛物线对称轴为，
∴
∴点关于对称轴对称的点为，
∵，图象开口向下，，，
∴解得，
∴．
【解析】【解答】（1）解：根据题意，当时，，
∵抛物线的对称轴为，
∴关于对称轴对称的点的坐标为，
∵，且，
∴，
21．在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，其中，，点为公共顶点，．如图②，若固定不动，把绕点逆时针旋转，使、与边的交点分别为、，点不与点重合，点不与点重合．
（1）求证：；
（2）已知等腰直角三角形的斜边长为4．
①请求出的值；
②若，请求出的长．
【答案】（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，
同理，∠DAE＝45°，
∵∠BAN＝∠BAM+∠DAE＝∠BAM+45°，
∠AMC＝∠BAM+∠B＝∠BAM+45°，
∴∠BAN＝∠AMC，
∴△BAN∽△CMA；
（2）解：①∵等腰直角三角形的斜边长为4，
∴AB＝AC＝，
∵△BAN∽△CMA，
∴ ，
∴，
∴BN CM＝8，
故BN CM的值为8；
②∵BM＝CN，
∴BN＝CM，
∵BN CM＝8，
∴BN＝CM＝，
∴MN＝BN+CM﹣BC＝，
故MN的长为．
22．从三角形不是等腰三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中，一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图，在中，为角平分线，，，求证：为的完美分割线；
（2）在中，，是的完美分割线，且为等腰三角形，求的度数；
（3）如图，在中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，求完美分割线的长．
【答案】（1）证明：，，
，
，
不是等腰三角形．
平分，
，
，
为等腰三角形．
，
，
∽，
是的完美分割线
（2）解：如图所示，
当时，，
根据完美分割线的定义，可得∽，
，则．
如图所示，
当时，，
根据完美分割线的定义，可得∽，
，
．
如图所示，
当时，．
∽，
，
根据完美分割线的定义，可得∽，
，
这与矛盾，
所以图的情况不符合题意．
综上所述，的度数为或；
（3）解：是以为底边的等腰三角形，
，
，
，
是的完美分割线，
∽，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
．
23．如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请求出点E的坐标和四边形面积的最大值；
（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线于点M，连接，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵直线 与轴交于点，与 轴交于点，
∴点的坐标是， 点的坐标是，
∵抛物线 经过两点，
，解得
；
（2）解：如图1，过点作轴的平行线交直线于点， 交轴于点，
∵点是直线上方抛物线上的一动点，
∴设点的坐标是则点的坐标是
，
，
，
∴，
∴当时， 即点的坐标是时，的面积最大，最大面积是.
（3），或．
【解析】（3）在抛物线上存在点P， 使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形.
①如图，当四边形为平行四边形时
由，可得点的横坐标是，
∵点在直线 上，
∴点的坐标是，
又∵点的坐标是，
∴点向右平移4个单位单位，再向上平移个单位长度可以得到点，
的对称轴是直线，
∴设点的坐标是， 点的坐标是，
∵根据平行四边形的性质可知，点向右平移4个单位单位，再向上平移个单位长度可以得到点，
即，解得，
∴点的坐标是；
②如图，当四边形为平行四边形时，
根据平行四边形的性质可知，点向右平移4个单位单位，再向上平移个单位长度可以得到点，
即，解得，
∴点的坐标是；
③如图，当四边形为平行四边形时，
∴且，
由平移可知：，解得
∴点的坐标是；
综上所述，点的坐标是，或．
24．如图1，，是半圆上的两点，若直径上存在一点，满足，则称是的“幸运角”.
（1）如图2，是的直径，弦，是上一点，连结交于点，连结，是的“幸运角”吗？请说明理由；
（2）设的度数为，请用含的式子表示的“幸运角”度数；
（3）在（1）的条件下，直径，的“幸运角”为.
①如图3，连结，求弦的长；
②当时，求的长.
【答案】（1）解：是的“幸运角”，理由：
是的直径，弦，
平分，
即为的垂直平分线，
，
，
.
，
，
是的“幸运角”；
（2）解：的度数为，
，
，
.
，
.
∵的“幸运角”度数.
∴的“幸运角”度数为；
（3）解：①连接，，如图，
∵的“幸运角”为，.，
，，
.
直径，
，
；
②，，
为等腰直角三角形，
.
设，则，
在中，
，
，
解得：或，或，
或8.
()
浙教版2023-2024学年九年级上学期期中数学模拟卷（2）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从到的一个自然数，现将卡片背面朝上，从中任意抽出一张，正面的数是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点不与重合，连结若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
（第2题） （第3题） （第4题） （第5题） （第6题）
3．如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆O，分别交AB，AC于点D，E，连接OD，OE，若∠A＝α，则∠DOE的度数为（ ）
A．180﹣2α B．180﹣α C．90﹣α D．2a
4．如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在、之间不包含端点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，抛物线的对称轴是，并与x轴交于A，B两点，若，则下列结论中：①；②；③；④若m为任意实数，则，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，使点恰好落在上的点处，折痕为，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，AB 为⊙O 的直径，点 D 是弧 AC 的中点，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，延长 DE 交⊙O 于点 F，若 AC＝12，AE＝3，则⊙O 的直径长为（ ）
A．7.5 B．15 C．16 D．18
（第7题） （第8题）
8．如图，将矩形ABCD沿着GE，EC，GF翻折，使得点A，B，D恰好都落在点O处，且点G，O，C在同一条直线上，点E，O，F 在另一条直线上. 以下结论正确的是（ ）
A．△COF∽△CEG B．OC=3OF C．AB：AD=4：3 D．GE=DF
9．若点与分别是两个函数图象与上的任一点．当时，有-1≤y1-y2≤1成立，则称这两个函数在上是“相邻函数”．例如，点与分别是两个函数与图象上的任一点，当时，，它在上，-1≤y1-y2≤1成立，因此这两个函数在上是“相邻函数”．若函数与在上是“相邻函数”，求a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
10．如图，矩形中，点E在边上，且，作于点F，连接的延长线交于点O，交于点G．以下结论：①；②为的角平分线；③若，则；④若平分，，则矩形ABCD的面积为．则正确结论的个数是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
（第10题） （第12题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．二次函数的最小值是 ，最大值是 ．
12．如图是郑州圆形“戒指桥”，其数学模型为如图所示.已知桥面跨径AB＝20米，D为圆上一点，DC⊥AB于点C，且CD＝BC＝14米，则该圆的半径长为
米.
13．已知抛物线经过，两点，若，分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是 ．
14．如图，四边形ABCD内接于以BD为直径的⊙O，CA平分∠BCD，若四边形ABCD的面积是30cm2，则AC= cm.
（第14题） （第15题） （第16题）
15．如图，若△ABC内一点P满足∠PAC＝∠PCB＝∠PBA，则称点P为△ABC的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现的，后来被数学爱好者、法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名．布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮．已知△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，点P为△ABC的布罗卡尔点．若PB＝4，则PA+PC＝ ．
16．如图，在矩形中，，点E为上一点，，连接，作的平分线交于点F，连接交于点G．当时，的长为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．为传承中华民族优秀传统文化，提高学生文化素养，学校举办“经典诵读”比赛，比赛题目分为“诗词之风”、“散文之韵”和“小说之趣”三组（依次记为A，B，C）.彤彤和祺祺两名同学参加比赛，其中一名同学从三组题目中随机抽取一组，然后放回，另一名同学再随机抽取一组.
（1）彤彤抽到A组题目的概率是 ；
（2）请用列表法或画树状图的方法，求彤彤和祺祺抽到相同题目的概率.
18．如图，在等腰三角形中，，点是的中点，点，分别在线段，上，连结，交于点，.
（1）求证：；
（2）若，，求的值.
19．如图，是⊙O的直径，点A在⊙O上且平分弧，于点，分别交，于，.
（1）求证：；
（2）若，求阴影部分面积.
20．在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，其中，设抛物线的对称轴为．
（1）当时，如果，直接写出，的值；
（2）当，时，总有，求t的取值范围．
21．在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，其中，，点为公共顶点，．如图②，若固定不动，把绕点逆时针旋转，使、与边的交点分别为、，点不与点重合，点不与点重合．
（1）求证：；
（2）已知等腰直角三角形的斜边长为4．
①请求出的值；
②若，请求出的长．
22．从三角形不是等腰三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中，一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图，在中，为角平分线，，，求证：为的完美分割线；
（2）在中，，是的完美分割线，且为等腰三角形，求的度数；
（3）如图，在中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，求完美分割线的长．
23．如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请求出点E的坐标和四边形面积的最大值；
（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线于点M，连接，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
24．如图1，，是半圆上的两点，若直径上存在一点，满足，则称是的“幸运角”.
（1）如图2，是的直径，弦，是上一点，连结交于点，连结，是的“幸运角”吗？请说明理由；
（2）设的度数为，请用含的式子表示的“幸运角”度数；
（3）在（1）的条件下，直径，的“幸运角”为.
①如图3，连结，求弦的长；
②当时，求的长.
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