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天津市河西区名校2024届高三上学期第一次月考
数学
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷（选择题）
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共9小题，每小题5分，共45分。
参考公式：
·如果事件，互斥，那么.
·如果事件，相互独立，那么.
·球的体积公式，其中表示球的半径.
·圆锥的体积公式，其中表示圆锥的底面面积，表示圆锥的高.
一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.若，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.函数的图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）
A. B. C. D.
4.已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
5.在中，内角，，所对应的边分别为，，，若，且，则的面积为（ ）
A. B. C.3 D.
6.已知，，则（ ）
A. B. C. D.
7.设是定义域为的奇函数，且，若，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知是奇函数，关于该函数，有下列四个说法：
（1）的最小正周期为；
（2）在上单调递增；
（3）当时，的取值范围为；
（4）的图象可由的图象向左平移个单位长度得到.
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
9.已知函数设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
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第Ⅱ卷
注意事项：
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2.本卷共11小题，共105分。
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.
10.命题：，的否定是________.
11.若幂函数过点，则函数的单调减区间为是________.
12.已知，则是________.（用数字作答）
13.函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则________.
14.若实数，满足，且，则的最小值是________，的最大值为________.
15.设，函数，若在区间内恰有4个零点，则的取值范围是________.
三.解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本小题14.0分）
已知函数，.
（Ⅰ）求的最小正周期，对称轴方程，对称中心坐标；
（Ⅱ）求在闭区间上的最大值和最小值，
17.（本小题15.0分）
在中，角，，所对的边分别是，，.已知，，.
（Ⅰ）求的值：
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求.
18.（本小题15.0分）
已知是定义在上的奇函数，当时，.
（Ⅰ）求在上的解析式；
（Ⅱ）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）关于的方程在上有两个不相等的实根，求实数的取值范围.
19.（本小题15.0分）
已知函数，，.
（Ⅰ）若曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线，求的值及该切线的方程；
（Ⅱ）设函数，当存在庋小值时，求其最小值的解析式；
（Ⅲ）对（Ⅱ）中的，证明：当时，.
20.（本小题16.0分）
已知函数，.
（Ⅰ）若，求函数的极值；
（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；
（Ⅲ）当时，函数恰有两个不同的零点，，且，求证：.
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数学学科答案
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算.
可以求出集合，，然后进行交集的运算即可.
【解答】
解：∵，，
∴.
故选：C.
2.【答案】B
【解析】【分析】根据不等式的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解．
【详解】由，可得，又因为，所以，所以充分性不成立，
反之：由不等式，可得，可得，即必要性成立；
所以是的必要不充分条件.故选：B.
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查函数的图象，属于基础题.
由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案.
【解答】
解：由图知：函数图象关于轴对称，其为偶函数，且，
由且定义域为，即B中函数为奇函数，排除；
当时、，即A、C中上函数值为正，排除；故选：D
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查指数函数、对数函数的性质，属于基础题.
关键是理解指数函数，与对数函数的性质，以及，即可得.
【解答】
解：，
，
，
故，所以.故选：A.
5.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查余弦定理、三角形面积公式，属于基础题.
先求得，进而利用面积公式求解.
【解答】
解：∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选D.
6.【答案】B
【解析】解：∵，，得平方得，
即，
由，则.
故选：B.
利用同角三角函数的基本关系求得和的值，再利用二倍角公式求得的值.
本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题.
7.【答案】C
【解析】【分析】根据奇函数的性质，结合已知等式判断函数的周期，利用周期进行求解即可
【详解】解：因为是定义域为的奇函数，
由，得，
该函数的周期为2，
所以.
故选：C
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查正弦型函数的图象和性质，属于较易题.
由题意，利用正弦函数的图象和性质，即可得出结论.
【解答】
解：∵，
∴最小正周期为，故①错误；
∵当时，，
∴函数在上单调递增，故②正确；
∵当时，，
∴的取值范围为，故③错误；
∵函数的图象可由得图象向右平移个单位长度得到，故④错误.
故选A.
9.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查分段函数的运用，不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论和分离参数法，以及转化思想的运用，分别求出二次函数和基本不等式求最值是解题的关键，属于中档题.
【解答】
解：当时，关于的不等式在上恒成立，即为，
即有，由的对称轴为，可得处取得最大值；
由的对称轴为，可得处取得最小值，则①，
当时，关于的不等式在上恒成立，即为，即有，
由，（当且仅当）取得最大值；
由，（当且仅当）取得最小值2，
则②，由①②可得.
故选B.
10.【答案】，
【解析】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，
命题：，的否定是：，.
故答案为：，.
利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可.
本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题.
11.【答案】
【解析】解：∵幂函数过点，
∴，即.
则函数.
由，解得：或.
∴函数的定义域为，
函数在上为减函数，
而外函数为定义域内的增函数，
∴函数得单调减区间为.
故答案为：.
由题意求出，然后求出对数型函数的定义域，根据内函数在上为减函数，
结合复合函数的单调性可得原复合函数的单调减区间.
本题考查复合函数的单调性，复合的两个函数同增则增，同减则减，一增一减则减，注意对数函数的定义域是求解的前提，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题.
12.【答案】2
【解析】解：由题意可得，，则，，
故.
故答案为：2.
先根据对数的定义求出，，再根据换底公式和对数的运算性质计算即可.
本题主要考查对数的运算性质，属于基础题.
13.【答案】
【解析】【详解】由题意，其中，所以，
又，所以，所以，，由得，
故，于是.
【考点】求三角函数的解析式
【名师点睛】有关问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定，再根据周期或周期或周期求出，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求或的值或最值或范围等.
14.【答案】；
【解析】【分析】
利用基本不等式的性质直接求解可得的最小值，通过转化，再运用基本不等式即可求得答案.
本题主要考查基本不等式的应用，涉及对数函数的运算，要求学生有转化的思想，属于基础题.
【解答】
解：∵，∴.
实数、满足，
∴（当且仅当，时等式成立）.
（当且仅当，时等式成立）.
故答案为：；.
15.【答案】
【解析】解：①当在区间有4个零点且在区间没有零点时，满足，无解；
②当在区间有3个零点且在区间有1个零点时，满足，
或者解得；
③当在区间有2个零点且在区间有2个零点时，
满足，解得
综上所述，的取值范围是.
分类讨论，分在区间有4个零点且在区间没有零点，在区间有3个零点且在区间有1个零点和在区间有2个零点且在区间有2个零点三种情况求解即可.
本题考查了分段函数，函数的零点与方程根的关系，属于难题.
16.【答案】解：（Ⅰ）∵函数
故它的最小正周期为，
由得对称轴方程为；
由得，所以对称中心坐标为.
（Ⅱ）由，得，
则，
即函数.
所以函数在闭区间上的最大值为，最小值为.
【解析】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题.
（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、图象的对称性，得出结论.
（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域求得在闭区间上的最大值和最小值.
17.【答案】解：（Ⅰ）由正弦定理可得，，
即，解得：；
（Ⅱ）由余弦定理可得，，即，
解得：或（舍去）．
（Ⅲ）由正弦定理可得，，即，解得：，
而，
所以，都为锐角，因此，，
故.
【解析】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题.
（1）根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理即可解出；
（3）由正弦定理求出，再由平方关系求出，，即可由两角差的正弦公式求出.
18.【答案】解：（Ⅰ）因为是定义在上的奇函数，当时，，
所以，所以，
所以当时，，
当时，，
所以；
（Ⅱ）当时，恒成立，
即恒成立，
设，易知在上是减函数，，
所以，即实数的取值范围为；
（Ⅲ）方程在上有两个不相等的实根，
即函数在上有两个零点，
令，
则关于的方程在上有两个不相等的实根，
由于，
则直线与的图象有两个交点．如图，
因为在上单调递减，在上单调递增，
且，，，
所以，
解得，
即实数的取值范围为.
【解析】（1）根据函数的奇偶性求出的值，进而求出函数的解析式即可；
（2）利用分离参数法将原不等式转化为在上恒成立，结合函数的单调性求出即可；
（3）令，将原方程转化为直线与的图象有两个交点，利用数形结合的思想即可求解.
本题考查了转化思想、数形结合思想、奇函数的性质、双勾函数的性质，作出图象是关键点，属于中档题.
19.【答案】（Ⅰ）切线的方程为.
（Ⅱ）.
（Ⅲ）证明见解析
【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ），，
由已知得解得，
∴两条曲线交点的坐标为切线的斜率为
∴切线的方程为
（Ⅱ）由条件知，
（Ⅰ）当时，，在上递增，无最小值.
（Ⅱ）当时，令，解得，
∴当时，，在上递减；
当时，，在上递增.
∴是在上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是的最小值点.
∴最小值.
故的最小值的解析式为.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知.
则，令解得.
当时，，∴在上递增；
当时，，∴在上递减.
∴在处取得最大值，
∵在上有且只有一个极值点，所以也是的最大值.
∴当时，总有.
考点：本题考查了导数的运用
点评：导数本身是个解决问题的工具，是高考必考内容之一，高考往往结合函数甚至是实际问题考查导数的应用，求单调、最值、完成证明等，请注意归纳常规方法和常见注意点
20.【答案】（1）单调增区间为
（2）2
（3）证明见解析
【分析】（Ⅰ）先求出，再利用导数求出的单调增区间；
（Ⅱ）先利用分离参数法得到对恒成立.令，求导得
到，再令，判断出，
使，得到在上单调递增，
在上单调递减，求出，得到.
由，求出整数的最小值；
（Ⅲ）用分析法证明：当时，把题意转化为只需证.
先整理化简得到，
只需证.
令，构造函数，
利用导数证明出.即证.
【详解】（Ⅰ）当时，，所以，
则，定义域为.
令，解得：.
所以的单调增区间为，单调减区间为；
则当时，有极大值，无极小值；
（Ⅱ）依题意对恒成立，等价于对恒成立.
令，则
令在上是增函数，
，
所以，使即
对，，，所以在上单调递增；
对，，，所以在上单调递减.
所以.
所以.
又，所以整数的最小值2
（Ⅲ）当时，由（2）知在上单调递增，在上单调递减且，时，；时，；
依题意存在使得
已知可得
要证成立
因为，是的零点，所以，
两式相减得：
即
只需证
又因为只需证
即证
令则，所以，
所以在增函数，所以即.
即成立.
所以原不等式得证.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.
（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题.
（4）利用导数证明不等式.
