2024数学中考专题复习
重难点一 观察与归纳
1.(2021山东济宁)按规律排列的一组数据:,□,,…,其中□内应填的数是( )
A.
2.(2023山东烟台)如图,在直角坐标系中,网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度,以点P为位似中心作正方形PA1A2A3,正方形PA4A5A6,……,按此规律作下去,所作正方形的顶点均在格点上,其中正方形PA1A2A3的顶点坐标分别为
P(-3,0),A1(-2,1),A2(-1,0),A3(-2,-1),则顶点A100的坐标为( )
A.(31,34) B.(31,-34)
C.(32,35) D.(32,0)
3.(2023山西)下图是一组有规律的图案,它由若干个大小相同的圆片组成.第1个图案中有4个白色圆片,第2个图案中有6个白色圆片,第3个图案中有8个白色圆片,第4个图案中有10个白色圆片,……依此规律,第n个图案中有 个白色圆片(用含n的代数式表示).
4.(2021黑龙江齐齐哈尔)如图,抛物线的解析式为y=x2,点A1的坐标为(1,1),连接OA1;过A1作A1B1⊥OA1,分别交y轴、抛物线于点P1、B1;过B1作B1A2⊥A1B1,分别交y轴、抛物线于点P2、A2;过A2作A2B2⊥B1A2,分别交y轴、抛物线于点P3,B2;……按照如此规律进行下去,则点Pn(n为正整数)的坐标是 .
5.(2022安徽)观察以下等式:
第1个等式:(2×1+1)2=(2×2+1)2-(2×2)2,
第2个等式:(2×2+1)2=(3×4+1)2-(3×4)2,
第3个等式:(2×3+1)2=(4×6+1)2-(4×6)2,
第4个等式:(2×4+1)2=(5×8+1)2-(5×8)2,
……
按照以上规律,解决下列问题:
(1)写出第5个等式: ;
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示),并证明.
重难一 观察与归纳
1.(2021山东济宁)按规律排列的一组数据:,□,,…,其中□内应填的数是( )
A.
答案 D 根据排列规律,第n个数的分母为(n2+1),分子为(2n-1),则第3个数为.
2.(2023山东烟台)如图,在直角坐标系中,网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度,以点P为位似中心作正方形PA1A2A3,正方形PA4A5A6,……,按此规律作下去,所作正方形的顶点均在格点上,其中正方形PA1A2A3的顶点坐标分别为
P(-3,0),A1(-2,1),A2(-1,0),A3(-2,-1),则顶点A100的坐标为( )
A.(31,34) B.(31,-34)
C.(32,35) D.(32,0)
答案 A 由题图可知点An所在的射线的位置三次一循环,∵100÷3=33……1,
∴点A100在射线PA1上.射线PA1上的点的坐标规律为A3n-2(n-3,n)(n≥1),
当3n-2=100时,n=34,故A100(31,34),故选A.
3.(2023山西)下图是一组有规律的图案,它由若干个大小相同的圆片组成.第1个图案中有4个白色圆片,第2个图案中有6个白色圆片,第3个图案中有8个白色圆片,第4个图案中有10个白色圆片,……依此规律,第n个图案中有 个白色圆片(用含n的代数式表示).
答案 (2n+2)
解析 第1个图案中的白色圆片个数为4=2×1+2,第2个图案中的白色圆片个数为6=2×2+2,第3个图案中的白色圆片个数为8=2×3+2,第4个图案中的白色圆片个数为10=2×4+2,……则第n个图案中有(2n+2)个白色圆片.
4.(2021黑龙江齐齐哈尔)如图,抛物线的解析式为y=x2,点A1的坐标为(1,1),连接OA1;过A1作A1B1⊥OA1,分别交y轴、抛物线于点P1、B1;过B1作B1A2⊥A1B1,分别交y轴、抛物线于点P2、A2;过A2作A2B2⊥B1A2,分别交y轴、抛物线于点P3,B2;……按照如此规律进行下去,则点Pn(n为正整数)的坐标是 .
答案 (0,n2+n)(形式可以不同,正确即得分)
解析 ∵点A1的坐标为(1,1),∴直线OA1的解析式为y=x.∵A1B1⊥OA1,∴设直线A1B1的解析式为y=-x+b,把A1(1,1)代入,解得b=2,∴直线A1B1的解析式为y=
-x+2,当x=0时,y=2,即P1(0,2).
令x2=-x+2,解得x1=-2,x2=1.
把x=-2代入y=x2中得y=4,∴B1(-2,4).
同理求得,直线B1A2的解析式为y=x+6,P2(0,6),A2(3,9).
直线A2B2的解析式为y=-x+12,P3(0,12),B2(-4,16),…….
∵点P1的纵坐标为2=1×2,点P2的纵坐标为6=2×3,点P3的纵坐标为12=3×4,……,
∴点Pn的纵坐标为n(n+1)=n2+n,
∴点Pn的坐标为(0,n2+n).
5.(2022安徽)观察以下等式:
第1个等式:(2×1+1)2=(2×2+1)2-(2×2)2,
第2个等式:(2×2+1)2=(3×4+1)2-(3×4)2,
第3个等式:(2×3+1)2=(4×6+1)2-(4×6)2,
第4个等式:(2×4+1)2=(5×8+1)2-(5×8)2,
……
按照以上规律,解决下列问题:
(1)写出第5个等式: ;
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示),并证明.
解析 (1)(2×5+1)2=(6×10+1)2-(6×10)2.
(2)第n个等式:(2n+1)2=[(n+1)·2n+1]2-[(n+1)·2n]2.
证明:左边=4n2+4n+1,
右边=[(n+1)·2n+1+(n+1)·2n]·[(n+1)·2n+1-(n+1)·2n]=(2n2+2n+1+2n2+2n)(2n2+2n+1-2n2-2n)=4n2+4n+1,
∴左边=右边,
∴(2n+1)2=[(n+1)·2n+1]2-[(n+1)·2n]2.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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