专题1.3 生活中的立体图形（直通中考）
【要点回顾】
1、知识要点：常见的几何体及分类；棱柱的相关概念；几何图形的构成
2、知识链接：
一、单选题
（2022·北京·统考中考真题）
1．下面几何体中，是圆锥的为（ ）
A． B． C． D．
（2022·河北·统考中考真题）
2．①~④是由相同的小正方体粘在一起的几何体，若组合其中的两个，恰是由6个小正方体构成的长方体，则应选择（ ）
A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
（2022·四川自贡·统考中考真题）
3．如图，将矩形纸片绕边所在的直线旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A． B．
C． D．
（2022·广西柳州·统考中考真题）
4．如图，将矩形绕着它的一边所在的直线l旋转一周，可以得到的立体图形是（ ）
A． B． C． D．
（2023·北京平谷·统考二模）
5．下列几何体中，是圆锥的为（ ）
A． B．
C． D．
（2022·河北邢台·统考一模）
6．流星滑过天空留下一条痕迹，这种生活现象可以反映的数学原理是（ ）
A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对
（2023·河北保定·保定市第十七中学校考三模）
7．图中的长方体是由三个部分拼接而成的，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成的，那么其中第一部分所对应的几何体可能是（ ）
A． B． C．D．
（2022·黑龙江大庆·统考三模）
8．圆柱与圆锥的体积之比为2：3，底面圆的半径相同，那么它们的高之比为（ ）
A．2：3 B．4：5 C．2：1 D．2：9
（2022·台湾·统考模拟预测）
9．如图为一个长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的长度，求此长方体的体积为何？（ ）
A．144 B．224 C．264 D．300
（2020·内蒙古包头·统考二模）
10．如图，是直角三角形的高，将直角三角形按以下方式旋转一周可以得到右侧几何体的是（ ）．
A．绕着旋转 B．绕着旋转 C．绕着旋转 D．绕着旋转
二、填空题
（2013·山东枣庄·中考真题）
11．从棱长为2的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的表面积为 ．
（2022·江苏无锡·统考二模）
12．若一个常见几何体模型共有8条棱，则该几何体的名称是 ．
（2013·浙江杭州·中考真题）
13．四边形是直角梯形，，，且，，把梯形分别绕直线，旋转一周，所得几何体的表面积分别为，，则 （平方单位）
（2010·江苏扬州·中考真题）
14．一个圆锥的底面半径为，将侧面展开后所得扇形的半径为，那么这个圆锥的侧面积等于 （结果保留π）．
（2012·江西·中考真题）
15．如图，小明将一张正方形包装纸，剪成图1所示形状，用它包在一个棱长为的正方体的表面（不考虑接缝），如图2所示．小明所用正方形包装纸的边长至少为 dm
（2022·浙江杭州·杭州采荷实验学校校考模拟预测）
16．圆柱的侧面展开图是一个相邻的两边长分别为4，2π的长方形，则圆柱体的体积为 ．
（2023·山东青岛·校考一模）
17．如图，是由22个边长为1厘米的小正方体拼成的立体图形，该图中由两个小正方体组成的长方体的个数为 ．
（2018·江苏南京·校联考一模）
18．一个棱柱共有18个顶点，所有的侧棱长的和是72厘米，则每条侧棱长是 厘米．
（2011·云南楚雄·统考一模）
19．如图1是三个直立于水面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：厘米），将它们拼成如图2的新几何体，求该新几何体的体积（结果保留） ；
（2023·江苏镇江·镇江市外国语学校校考一模）
20．一只小蚂蚁从如图所示的正方体的顶点A沿着棱爬向有蜜糖的点B，它在爬行过程中只能经过三条棱，请你数一数，小蚂蚁有 种爬行路线．
三、解答题
（2010·四川眉山·中考真题）
21．作出下面立体图形的三视图．
（2020·山东枣庄·中考真题）
22．欧拉（Euler，1707年~1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flat surface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．
（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体
图形
顶点数V 4 6 8
棱数E 6 12
面数F 4 5 8
（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：____________________________．
（2010·江苏无锡·中考真题）
23．解答
如图1是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为的正三角形，三个侧面都是矩形．现将宽为的彩色矩形纸带裁剪成一个平行四边形（如图2），然后用这条平行四边形纸带按如图3的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满．
(1)请在图2中，计算裁剪的角度；
(2)计算按图3方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度．
（2018·四川凉山·统考中考真题）
24．观察下列多面体，并把下表补充完整.
名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱
图形
顶点数 6 10 12
棱数 9 12
面数 5 8
观察上表中的结果，你能发现、、之间有什么关系吗？请写出关系式.
（2019·辽宁葫芦岛·校考一模）
25．（1）填空：如图，我们知道，一条线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做 ；一个矩形ABCD绕着它的边AB旋转一周所形成的图形叫做 ；
（2）如图，将一个直角三角形ABC（∠C=90°）绕着它的直角边AC旋转一周，也能形成一个几何图形．
（a）在图中画出这个旋转图形的草图，并说出它的名称．
（b）如果ΔABC中AC=20，BC=15，把这个旋转图形沿着ΔABC的中位线DE且垂直于AC的方向横截，得到一个什么样的图形？并请你计算所截图形的上半部分的全面积．
试卷第8页，共8页
试卷第7页，共8页
参考答案：
1．B
【分析】观察所给几何体，可以直接得出答案．
【详解】解：A选项为圆柱，不合题意；
B选项为圆锥，符合题意；
C选项为三棱锥，不合题意；
D选项为球，不合题意；
故选B．
【点睛】本题考查常见几何体的识别，熟练掌握常见几何体的特征是解题的关键．圆锥面和一个截它的平面，组成的空间几何图形叫圆锥．
2．D
【分析】观察图形可知，①~④的小正方体的个数分别为4，3，3，2，其中②③组合不能 构成长方体，①④组合符合题意
【详解】解：观察图形可知，①~④的小正方体的个数分别为4，3，3，2，其中②③组合不能构成长方体，①④组合符合题意
故选D
【点睛】本题考查了立体图形，应用空间想象能力是解题的关键．
3．A
【分析】根据矩形绕一边旋转一周得到圆柱体示来解答．
【详解】解：矩形纸片绕边所在的直线旋转一周，得到的立体图形是圆柱体．
故选：A．
【点睛】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握“面动成体”得到的几何体的形状是解题的关键．
4．B
【分析】根据面动成体：一个长方形绕着它的一条边所在的直线旋转一周后所得到的立体图形是圆柱，据此判断即可．
【详解】解：由题意可知：
一个长方形绕着它的一条边所在的直线旋转一周后所得到的立体图形是圆柱．
故选：B
【点睛】本题考查了圆柱的概念和面动成体，属于应知应会题型，熟练掌握基础知识是解题关键．
5．B
【分析】根据几何体的特点判断即可．
【详解】解：下列几何体中，是圆锥的为B，
故选：B．
【点睛】此题考查了几何体的识别，圆锥有两个面，一个曲面，一个平面，解题的关键是掌握圆锥的特征．
6．A
【分析】流星是点，光线是线，所以说明点动成线．
【详解】解：流星滑过天空留下一条痕迹，这种生活现象可以反映的数学原理是:点动成线．
故选：A
【点睛】此题主要考查了点、线、面、体，关键是掌握点动成线，线动成面，面动成体．
7．B
【分析】观察长方体，可知第一部分所对应的几何体在长方体中，上面有两个正方体，下面有两个正方体，再在B、C选项中根据图形作出判断．
【详解】解：由长方体和第一部分所对应的几何体可知，
第一部分所对应的几何体上面有两个正方体，下面有两个正方体，并且与选项B相符．
故选：B．
【点睛】本题考查了认识立体图形，找到长方体中第一部分所对应的几何体的形状是解题的关键．
8．D
【分析】利用圆柱、圆锥的体积公式，即可算出它们的高之比；
【详解】由题意可知，圆柱的体积=πh1，圆锥的体积=πh2，
∵圆柱与圆锥的体积之比为2：3，
∴，
∴=2：9．
故选：D．
【点睛】本题考查圆锥和圆柱的体积公式，熟练掌握圆锥和圆柱的体积公式计算是解决本题的关键．
9．B
【分析】根据展开图，可以求得原来长方体的底面的边长和高，然后根据长方体的体积公式计算即可．
【详解】解：设原长方体底面边长为，长方体高为，
，，
解得，，
长方体的体积为：，
故选：．
【点睛】本题考查几何体的展开图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．B
【分析】根据直角三角形的性质，只有绕斜边旋转一周，才可以得出组合体的圆锥，进而解答即可．
【详解】将直角三角形ABC绕斜边AB所在直线旋转一周得到的几何体是：
故选：B．
【点睛】本题考查了点、线、面、体，培养学生的空间想象能力及几何体的三视图．
11．24．
【详解】挖去一个棱长为1cm的小正方体，得到的图形与原图形表面积相等，则表面积是2×2×6=24．
12．四棱锥
【分析】根据四棱锥特点判断即可．
【详解】解：四棱锥有四条侧楞，底面有四条楞，一共8条楞．
故答案为：四棱锥．
【点睛】本题考查了认识立体图形，熟记常见几何体的特点是解题的关键．
13．
【分析】梯形分别绕直线，旋转一周所得的几何体的表面积的差就是和旋转一周形成的圆柱的侧面的差，据此求解即可．
【详解】解：梯形分别绕直线，旋转一周所得的几何体的表面积的差就是和旋转一周形成的圆柱的侧面的差，因此，绕直线旋转一周形成的圆柱的侧面的面积是：，绕直线旋转一周形成的圆柱的侧面的面积是：，则．
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形的旋转，理解梯形分别绕直线，旋转一周所得的几何体的表面积的差就是和旋转一周形成的圆柱的侧面的差是关键．
14．
【分析】侧面展开后所得扇形的半径即为圆锥的母线长，那么圆锥的侧面积底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：圆锥的侧面积．
故答案为：．
【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法，熟练掌握圆锥侧面积计算公式：圆锥的侧面积底面半径×母线长是解题的关键．
15．
【分析】所求正方形的边长即为的长，在等腰中，已知了、、的长均为，根据等腰直角三角形的性质，即可求得的长，由即可得解．
【详解】如图；连接，则必过C、D
中，；
则，；
同理可得；
中，，则；
所以．
故答案为．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解答此题的关键．
16．4π或8##8或4π
【分析】分两种情况：①以2π为底面周长，4为高；②以4为圆柱体的底面周长，2π为高；分别求解即可．
【详解】解：①以2π为底面周长，4为高，
此时圆柱体的底面半径为＝1，
∴圆柱体的体积为π×12×4＝4π，
②以4为圆柱体的底面周长，2π为高，
此时圆柱体的底面半径为，
∴圆柱体的体积为π×（）2×2π＝8，
故答案为：4π或8．
【点睛】本题考查圆柱体的展开与折叠，理解圆柱体表面展开图与圆柱体之间的关系是解决问题的关键．
17．40
【分析】在求由两个小正方体组成的长方体时，根据方向来推算，可分为上下位、左右位、前后位三种．
【详解】由两个小正方体组成的长方体，可分为上下位、左右位、前后位三种，其中上下位有13个，左右位有13个，前后位有14个，共有13+13+14=40（个）．
所以，由两个小正方体组成的长方体有40个．
故答案为：40．
【点睛】此题实际上是计数问题，在数数时，要注意恰当分类，并在每类数数时要做到不重不漏，这样才能得到正确结果．
18．8
【详解】分析：根据棱柱顶点的个数确定出是9棱柱，然后根据棱柱的每一条侧棱都相等列式求解即可．
详解：∵棱柱共有18个顶点，
∴该棱柱是9棱柱，
∵所有的侧棱长的和是72厘米，
∴每条侧棱长为72÷9=8（厘米）．
故答案为8．
点睛：本题考查了认识立体图形，主要利用了棱柱顶点的个数与棱数的关系，比较简单．
19．60π立方厘米．
【分析】根据图示可得两个图1中的图组成一个圆柱，因此图2中的图形体积=个底面半径是2cm，高为10cm的圆柱体积．
【详解】解：π×22×10+（π×22×10）=40π+20π=60π（立方厘米）．
故答案为为60π立方厘米．
【点睛】本题考查认识立体图形，解题关键是找出图2中图形的体积计算方法．
20．6
【分析】先确定从A出发的棱有几条，再确定分支棱有几条即可得答案
【详解】第一步：由A出发的棱有3条．第二步：这3条棱各自有2个分支棱．则3×2=6（条）第三步：分支棱到点B各只有一条分支棱：所以6×1=6（条）．
故答案为：6
【点睛】此题主要考查了立体图形的认识，通过正方体考查了路线问题，注意按顺序依次寻找，不要遗漏和重复．
21．见解析
【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，画出图形即可．
【详解】解：所画三视图如图所示：
【点睛】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图定义是解答本题的关键，注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．
22．（1）表格详见解析；（2）
【分析】（1）通过认真观察图象，即可一一判断；
（2）从特殊到一般探究规律即可．
【详解】解：（1）填表如下：
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体
图形
顶点数V 4 6 8 6
棱数E 6 9 12 12
面数F 4 5 6 8
（2）据上表中的数据规律发现，多面体的顶点数V、棱数E、面数F之间存在关系式：．
【点睛】本题考查规律型问题，欧拉公式等知识，解题的关键是学会从特殊到一般探究规律的方法，属于中考常考题型．
23．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意先求得，取的中点，连接，由纸带的宽为，可得是等边三角形，进而可得；
（2）在图3中，将三棱柱沿过点的侧棱剪开，得到如图甲的侧面展开图，将图甲中的向左平移，向右平移，拼成如图乙中的，此平行四边形即为图2中的，由三棱柱的侧面展开图求出和的长，即是所需的矩形纸带的长度．
【详解】（1）解：由图2的包贴方法知：的长等于三棱柱的底边周长，
，
取的中点，连接，
纸带宽为，
∴
∴是等边三角形，
∴，
．
（2）在图3中，将三棱柱沿过点的侧棱剪开，得到如图甲的侧面展开图，
将图甲中的向左平移，向右平移，拼成如图乙中的，此平行四边形即为图2中的，
在图乙中，由题意得，知：，，则，
∴图2中的图乙中的，
图2中，所需矩形纸带的长为．
【点睛】本题考查了棱柱的侧面展开图，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，利用空间想象的能力了解展开图的特征是解答本题的关键．
24．8，15，18，6，7；
【详解】分析：结合三棱柱、四棱柱和五棱柱的特点，即可填表，根据已知的面、顶点和棱与n棱柱的关系，可知n棱柱一定有（n+2）个面，2n个顶点和3n条棱，进而得出答案，
利用前面的规律得出a，b，c之间的关系．
详解：填表如下：
名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱
图形
顶点数a 6 8 10 12
棱数b 9 12 15 18
面数c 5 6 7 8
根据上表中的规律判断，若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有n个侧面，共有n+2个面，共有2n个顶点，共有3n条棱；
故a，b，c之间的关系：a+c-b=2．
点睛：此题通过研究几个棱柱中顶点数、棱数、面数的关系探索出n棱柱中顶点数、棱数、面数之间的关系（即欧拉公式），掌握常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n棱柱有（n+2）个面，2n个顶点和3n条棱是解题关键．
25．（1）圆，圆柱 ；（2）（a）圆锥体；（b）150π.
【分析】（1）线段绕一端点旋转一周形成圆，矩形旋转一周形成圆柱，
（2）（a）见详解；（b）一个直角三角形绕着它的直角边AC旋转一周形成圆锥，截取后为圆台，圆台的面积等于侧面积加上两底面积.
【详解】（1）一条线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆；一个矩形ABCD绕着它的边AB旋转一周所形成的图形叫做圆柱；
（2）（a）直角三角形绕着它的直角边AC旋转一周形成圆锥
（b）将圆锥截取上班部分，形成圆台，
∵AC=20，BC=15，
∴AB=25，
∵DE是中位线，
∴DE=7.5，AE=12.5
所截图形的上半部分的全面积=
【点睛】此题主要考查点、线、面、体的定义及圆锥的计算，解题的关键是根据题意作出图形，再进行求解.
答案第10页，共10页
答案第9页，共10页
