2024数学中考专题复习
专题一 乘法公式的几何背景
1.如图,从边长为(a+1)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a-1)cm的正方形(a>1),剩余部分沿虚线剪拼成一个长方形(不重叠、无缝隙).则该长方形的面积为( )
A.2 cm2 B.2a cm2
C.4a cm2 D.(a2-1)cm2
2.图1是一个长为2a,宽为2b(a>b)的长方形.用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图2的方式拼成一个正方形.则中间空的部分的面积是( )
图1 图2
A.ab B.(a+b)2
C.(a-b)2 D.a2-b2
3.有3张边长为a的正方形纸片,4张边长分别为a,b的长方形纸片,5张边长为b的正方形纸片.从中取出若干张纸片,每种纸片至少取一张,把取出的这些纸片拼成一个正方形(无空隙、无重叠地拼接).则拼成的正方形的边长最长可以为( )
A.a+b B.2a+b C.3a+b D.a+2b
4.一个大正方形和四个全等的小正方形按图1、图2两种方式摆放,则图2的大正方形中未被小正方形覆盖的部分的面积是 (用含a,b的代数式表示).
图1 图2
5.初中数学里的公式,很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行推导和验证.
图1 图2
(1)如图1,在一个边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形,试利用阴影部分的面积验证平方差公式,请写出推导过程;
(2)如图2,在边长为a的大正方形中的一角剪去一个边长为(a-b)的小正方形,试利用阴影部分的面积验证完全平方公式,请写出推导过程.
微专题一 乘法公式的几何背景
1.如图,从边长为(a+1)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a-1)cm的正方形(a>1),剩余部分沿虚线剪拼成一个长方形(不重叠、无缝隙).则该长方形的面积为( )
A.2 cm2 B.2a cm2
C.4a cm2 D.(a2-1)cm2
答案 C 由题图可知,拼成的长方形的面积是(a+1)2-(a-1)2=4a(cm2),故选C.
2.图1是一个长为2a,宽为2b(a>b)的长方形.用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图2的方式拼成一个正方形.则中间空的部分的面积是( )
图1 图2
A.ab B.(a+b)2
C.(a-b)2 D.a2-b2
答案 C 依题意得原长方形的面积为4ab,拼成的正方形的面积为(a+b)2,所以中间空的部分的面积为(a+b)2-4ab=a2-2ab+b2=(a-b)2,故选C.
3.有3张边长为a的正方形纸片,4张边长分别为a,b的长方形纸片,5张边长为b的正方形纸片.从中取出若干张纸片,每种纸片至少取一张,把取出的这些纸片拼成一个正方形(无空隙、无重叠地拼接).则拼成的正方形的边长最长可以为( )
A.a+b B.2a+b C.3a+b D.a+2b
答案 D 边长为a的正方形纸片的面积为a2,边长分别为a,b的长方形纸片的面积为ab,边长为b的正方形纸片的面积为b2.由于正方形由三种纸片拼成,故其面积是由a2,ab,b2组成的完全平方式.结合题设要求可推得,a2的系数只能为1,b2的系数最多只能为4.因此,应取1张边长为a的正方形纸片,4张边长分别为a,b的长方形纸片,4张边长为b的正方形纸片.拼成的正方形的面积为a2+4ab+4b2,其边长为a+2b,故选D.
4.一个大正方形和四个全等的小正方形按图1、图2两种方式摆放,则图2的大正方形中未被小正方形覆盖的部分的面积是 (用含a,b的代数式表示).
图1 图2
答案 ab
解析 设大正方形的边长为x,小正方形的边长为y,由题图可列出方程组解得x=.故题图2的大正方形中未被小正方形覆盖的部分的面积为=ab.
5.初中数学里的公式,很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行推导和验证.
图1 图2
(1)如图1,在一个边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形,试利用阴影部分的面积验证平方差公式,请写出推导过程;
(2)如图2,在边长为a的大正方形中的一角剪去一个边长为(a-b)的小正方形,试利用阴影部分的面积验证完全平方公式,请写出推导过程.
解析 (1)阴影部分面积可以看成是大正方形的面积-小正方形的面积,即a2-b2,
也可以看成是两个梯形的面积和,即2××(a+b)(a-b)=(a+b)(a-b),∴(a+b)(a-b)=a2-b2.
(2)阴影部分面积可以看成是小正方形的面积,即(a-b)2,
也可以看成是大正方形的面积-小正方形的面积-2×长方形的面积,即a2-b2-2(a-b)b=a2-2ab+b2,
∴(a-b)2=a2-2ab+b2.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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