2024数学中考专题复习
5.3 与圆有关的计算
5年中考
考点1 弧长、扇形面积的计算
1.(2022湖北黄冈,7,3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=8,以点C为圆心,CA的长为半径画弧,交AB于点D,则的长为( )
A.π B.π D.2π
2.(2023山西,9,3分)中国高铁的飞速发展,已成为中国现代化建设的重要标志.下图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线(即圆弧),高铁列车在转弯时的曲线起点为A,曲线终点为B,过点A,B的两条切线相交于点C,列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°.若圆曲线的半径OA=1.5 km,则这段圆曲线的长为( )
A. km B. km
C. km D. km
3.(2022江苏连云港,7,3分)如图,有一个半径为2的圆形时钟,其中每个刻度间的弧长均相等,过9点和11点的位置作一条线段,则钟面中阴影部分的面积为( )
A.
C.
4.(2023江苏连云港,8,3分)如图,矩形ABCD内接于☉O,分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆.若AB=4,BC=5,则阴影部分的面积是( )
A.π-20
C.20π D.20
5.(2022河北,10,3分)某款“不倒翁”(图1)的主视图是图2,PA,PB分别与所在圆相切于点A,B.若该圆半径是9 cm,∠P=40°,则的长是( )
图1 图2
A.11π cm B.π cm
C.7π cm D.π cm
6.(2023浙江温州,14,4分)若扇形的圆心角为40°,半径为18,则它的弧长为 .
7.(2023四川成都,21,4分)为传承非遗文化,讲好中国故事,某地准备在一个场馆进行川剧演出.该场馆底面为一个圆形,如图所示,其半径是10米,从A到B有一笔直的栏杆,圆心O到栏杆AB的距离是5米,观众在阴影区域里观看演出,如果每平方米可以坐3名观众,那么最多可容纳 名观众同时观看演出.(π≈3.14,≈1.73)
考点2 圆柱、圆锥的侧面展开图
8.(2023云南,16,2分)数学活动课上,某同学制作了一顶圆锥形纸帽.若圆锥的底面圆的半径为1分米,母线长为4分米,则该圆锥的高为 分米.
9.(2022云南,17,4分)某中学开展劳动实习,学生到教具加工厂制作圆锥.他们制作的圆锥,母线长为30 cm,底面圆的半径为10 cm,这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 .
10.(2023浙江宁波,14,5分)如图,圆锥形烟囱帽的底面半径为30 cm,母线长为50 cm,则烟囱帽的侧面积为 cm2.(结果保留π)
11.(2023江苏扬州,14,3分)用半径为24 cm,面积为120π cm2的扇形纸片,围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆的半径为 cm.
12.(2023江苏苏州,15,3分)如图,在 ABCD中,AB=+1,BC=2,AH⊥CD,垂足为H,AH=.以点A为圆心,AH长为半径画弧,与AB,AC,AD分别交于点E,F,G.若用扇形AEF围成一个圆锥的侧面,记这个圆锥底面圆的半径为r1;用扇形AHG围成另一个圆锥的侧面,记这个圆锥底面圆的半径为r2,则r1-r2= .(结果保留根号)
13.(2022内蒙古呼和浩特,13,3分)如图,从一个边长是a的正五边形纸片上剪出一个扇形,这个扇形的面积为 (用含π的代数式表示);如果将剪下来的扇形围成一个圆锥,圆锥的底面圆直径为 .
3年模拟
53·基础练
1.(2022山东枣庄模拟)若扇形的圆心角为75°,半径为12,则该扇形的弧长为( )
A.2π B.4π C.5π D.6π
2.(2022江苏无锡三模)若圆锥的侧面积为18π,底面半径为3.则该圆锥的母线长是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
3.(2022江苏无锡一模)如图,圆锥的轴截面是一个斜边长为1的等腰直角三角形,则这个圆锥的侧面积是( )
A.π
4.(2022浙江温州模拟)如图,圆形挂钟分针针尖到圆心的距离为10 cm,经过35分钟,分针针尖转过的弧长是( )
A.π cm B.π cm
C.π cm D.π cm
5.(2023山西晋中模拟)如图,在边长为4的正六边形ABCDEF中,先以点B为圆心,AB的长为半径作,再以点A为圆心,AB的长为半径作于点P,则图中阴影部分的面积为( )
A.4
C.4
6.(2023湖北孝感联考)数学课上,老师将如图所示的边长为2的正方形铁丝框变形成以A为圆心,AB长为半径的扇形(铁丝的粗细忽略不计),则所得扇形DAB的面积是 .
7.(2023安徽一模)如图,四边形ABCD内接于☉O,∠DAB=∠ABC=80°,∠AOB=90°,AB=4,则劣弧DC的长度为 .
8.(2022浙江绍兴一模)如图,点A是直线AM与☉O的公共点,点B在☉O上,BD⊥AM,垂足为D,BD与☉O交于点C,OC平分∠AOB,∠B=60°.
(1)求证:AM是☉O的切线;
(2)若DC=2,求图中阴影部分的面积.
9.(2023湖北武汉模拟)已知AB,CD是☉O的两条弦,∠AOB+∠COD=180°.
(1)在图1中,∠AOB=120°,CD=6,直接写出图中阴影部分的面积;
(2)在图2中,E是AB的中点,判断OE与CD的数量关系,并证明你的结论.
图1
图2
53·提升练
10.(2020山东日照)如图,AB是☉O的直径,CD为☉O的弦,AB⊥CD于点E,若CD=6,AE=9,则阴影部分的面积为( )
A.6π-
C.3π-
11.(2023河北石家庄质检)如图,点A,B是半径为2的☉O上的两点,且AB=2.则下列说法正确的是( )
A.圆心O到AB的距离为
B.在圆上取异于A,B的一点C,则△ABC面积的最大值为2
C.以AB为边向上作正方形,与☉O的公共部分的面积为3
12.(2022江苏南京二模)如图,沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平,得到一个扇形.若扇形的半径R=6 cm,扇形的圆心角θ=120°,则该圆锥的高为 cm.
13.(2022江苏无锡一模)如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,点C是的中点,过点C的切线交OB的延长线于点E,当BE=时,阴影部分的面积为 .
14.(2022江苏南通一模)如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠C=60°,以AB为直径作☉O交AC于点D,过点D的切线交BC于点E.
(1)求∠BED的度数;
(2)若AB=6,求图中阴影部分的面积.
5.3 与圆有关的计算
5年中考
考点1 弧长、扇形面积的计算
1.(2022湖北黄冈,7,3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=8,以点C为圆心,CA的长为半径画弧,交AB于点D,则的长为( )
A.π B.π D.2π
答案 B 连接CD,∵∠B=30°,∠C=90°,AB=8,∴∠A=60°,AC=4,∵CA=CD=4,∴△ACD是等边三角形,∴∠ACD=60°,∴所求弧长为,故选B.
2.(2023山西,9,3分)中国高铁的飞速发展,已成为中国现代化建设的重要标志.下图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线(即圆弧),高铁列车在转弯时的曲线起点为A,曲线终点为B,过点A,B的两条切线相交于点C,列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°.若圆曲线的半径OA=1.5 km,则这段圆曲线的长为( )
A. km B. km
C. km D. km
答案 B ∵过点A,B的两条切线相交于点C,
∴∠CAO=∠CBO=90°,
∴∠ACB+∠AOB=180°,又∠ACB+α=180°,
∴∠AOB=α=60°.
∴圆曲线 km,故选B.
3.(2022江苏连云港,7,3分)如图,有一个半径为2的圆形时钟,其中每个刻度间的弧长均相等,过9点和11点的位置作一条线段,则钟面中阴影部分的面积为( )
A.
C.
答案 B 如图,连接OA,OB,易得圆心角∠AOB=60°,
∴S阴影=S扇形OAB-S△AOB=×2×2sin∠AOB=,故选B.
4.(2023江苏连云港,8,3分)如图,矩形ABCD内接于☉O,分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆.若AB=4,BC=5,则阴影部分的面积是( )
A.π-20
C.20π D.20
答案 D 如图,连接BD,则BD过点O,在Rt△ABD中,AB=4,BC=AD=5,∴BD2=AB2+AD2=41.
S阴影=S以AD为直径的圆+S以AB为直径的圆+S矩形ABCD-S以BD为直径的圆=π× =20,故选D.
5.(2022河北,10,3分)某款“不倒翁”(图1)的主视图是图2,PA,PB分别与所在圆相切于点A,B.若该圆半径是9 cm,∠P=40°,则的长是( )
图1 图2
A.11π cm B.π cm
C.7π cm D.π cm
答案 A 设所在圆的圆心为点O,连接OA,OB,根据切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°.因为∠P=40°,所以∠AOB=140°,所以所对的圆心角为220°.则的长==11π cm,故选A.
6.(2023浙江温州,14,4分)若扇形的圆心角为40°,半径为18,则它的弧长为 .
答案 4π
7.(2023四川成都,21,4分)为传承非遗文化,讲好中国故事,某地准备在一个场馆进行川剧演出.该场馆底面为一个圆形,如图所示,其半径是10米,从A到B有一笔直的栏杆,圆心O到栏杆AB的距离是5米,观众在阴影区域里观看演出,如果每平方米可以坐3名观众,那么最多可容纳 名观众同时观看演出.(π≈3.14,≈1.73)
答案 184
解析 过点O作OD⊥AB,垂足为D,根据题意得OD=5米,根据勾股定理可得AD=(米).∵tan∠AOD=,
∴∠AOD=60°.根据垂径定理得AD=BD,∴AB=2AD=10米.根据等腰三角形的性质可得∠AOB=120°.
∴S阴影=S扇形OAB-≈61.42(平方米).则最多可容纳观众61.42×3≈184(名).
考点2 圆柱、圆锥的侧面展开图
8.(2023云南,16,2分)数学活动课上,某同学制作了一顶圆锥形纸帽.若圆锥的底面圆的半径为1分米,母线长为4分米,则该圆锥的高为 分米.
答案
9.(2022云南,17,4分)某中学开展劳动实习,学生到教具加工厂制作圆锥.他们制作的圆锥,母线长为30 cm,底面圆的半径为10 cm,这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 .
答案 120°
解析 设圆锥的母线长为R,底面圆半径为r,扇形弧长为l,则R=30 cm,r=10 cm,
则底面圆的周长为2πr=20π cm,即l=20π cm.
∴S侧=×20π×30=300π cm2.
设这种圆锥的侧面展开图的圆心角为n°,
则S侧= cm2.
∴300π=,∴n=120,
即这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是120°.
10.(2023浙江宁波,14,5分)如图,圆锥形烟囱帽的底面半径为30 cm,母线长为50 cm,则烟囱帽的侧面积为 cm2.(结果保留π)
答案 1 500π
11.(2023江苏扬州,14,3分)用半径为24 cm,面积为120π cm2的扇形纸片,围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆的半径为 cm.
答案 5
12.(2023江苏苏州,15,3分)如图,在 ABCD中,AB=+1,BC=2,AH⊥CD,垂足为H,AH=.以点A为圆心,AH长为半径画弧,与AB,AC,AD分别交于点E,F,G.若用扇形AEF围成一个圆锥的侧面,记这个圆锥底面圆的半径为r1;用扇形AHG围成另一个圆锥的侧面,记这个圆锥底面圆的半径为r2,则r1-r2= .(结果保留根号)
答案
解析 在Rt△AHD中,AD=BC=2,AH=,∴DH=1,则tan D=,∴∠D=60°,
∠HAD=30°.
∵CD=AB==AH,
∴∠CAH=∠ACH=45°,
∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ACH=45°.
由扇形AHG为圆锥的侧面,得2πr2=,解得r2=,由扇形AEF为圆锥的侧面,得2πr1=,解得r1=.
∴r1-r2=.
13.(2022内蒙古呼和浩特,13,3分)如图,从一个边长是a的正五边形纸片上剪出一个扇形,这个扇形的面积为 (用含π的代数式表示);如果将剪下来的扇形围成一个圆锥,圆锥的底面圆直径为 .
答案 a
解析 根据题意得∠C=180°-=108°,则这个扇形的面积为a2.设该圆锥底面圆直径为d,则πd=,所以d=a.
3年模拟
53·基础练
1.(2022山东枣庄模拟)若扇形的圆心角为75°,半径为12,则该扇形的弧长为( )
A.2π B.4π C.5π D.6π
答案 C 根据弧长公式l=,可得扇形的弧长为=5π.故选C.
2.(2022江苏无锡三模)若圆锥的侧面积为18π,底面半径为3.则该圆锥的母线长是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 D 设该圆锥的母线长是l,
由S=πrl可得18π=3πl.
解得l=6,故选D.
3.(2022江苏无锡一模)如图,圆锥的轴截面是一个斜边长为1的等腰直角三角形,则这个圆锥的侧面积是( )
A.π
答案 A 因为圆锥的轴截面是一个斜边长为1的等腰直角三角形,所以底面圆半径为,母线长为,所以圆锥的侧面积=π×.故选A.
4.(2022浙江温州模拟)如图,圆形挂钟分针针尖到圆心的距离为10 cm,经过35分钟,分针针尖转过的弧长是( )
A.π cm B.π cm
C.π cm D.π cm
答案 D 经过35分钟,分针的旋转角为360°÷60×35=210°,所以分针针尖转过的弧长为(cm).
5.(2023山西晋中模拟)如图,在边长为4的正六边形ABCDEF中,先以点B为圆心,AB的长为半径作,再以点A为圆心,AB的长为半径作于点P,则图中阴影部分的面积为( )
A.4
C.4
答案 B
6.(2023湖北孝感联考)数学课上,老师将如图所示的边长为2的正方形铁丝框变形成以A为圆心,AB长为半径的扇形(铁丝的粗细忽略不计),则所得扇形DAB的面积是 .
答案 4
7.(2023安徽一模)如图,四边形ABCD内接于☉O,∠DAB=∠ABC=80°,∠AOB=90°,AB=4,则劣弧DC的长度为 .
答案 π
解析 连接OD,OC,
∵OA=OB,∠AOB=90°,
∴∠OAB=∠OBA=45°,又AB=4,∴OA=OB=2,
∵∠DAB=∠ABC=80°,∴∠OBC=∠OCB=∠OAD=∠ODA=80°-45°=35°,
∴∠BOC=∠AOD=110°,∴∠DOC=360°-2×110°-90°=50°,
∴劣弧DC的长度为π.
8.(2022浙江绍兴一模)如图,点A是直线AM与☉O的公共点,点B在☉O上,BD⊥AM,垂足为D,BD与☉O交于点C,OC平分∠AOB,∠B=60°.
(1)求证:AM是☉O的切线;
(2)若DC=2,求图中阴影部分的面积.
解析 (1)证明:∵OB=OC,∠B=60°,∴△BOC是等边三角形,
∴∠1=∠2=60°.
∵OC平分∠AOB,
∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,
∴OA∥BD.∵BD⊥AM,
∴∠BDM=90°,∴∠OAM=90°,
∴OA⊥AM,又OA是半径,
∴AM是☉O的切线.
(2)连接AC.∵∠3=60°,OA=OC,
∴△AOC是等边三角形,
∴∠OAC=60°,
∵∠OAM=90°,∴∠CAD=30°,
∵CD=2,∴AC=2CD=4,AD=2,∴OA=4.
∴S阴影=S梯形OADC-S扇形OAC=.
9.(2023湖北武汉模拟)已知AB,CD是☉O的两条弦,∠AOB+∠COD=180°.
(1)在图1中,∠AOB=120°,CD=6,直接写出图中阴影部分的面积;
(2)在图2中,E是AB的中点,判断OE与CD的数量关系,并证明你的结论.
图1
图2
解析 (1)12π-9.
(2)OE=CD.
证明:延长AO交圆O于点F,连接BF,如图,
∵∠AOB+∠COD=180°,∠AOB+∠BOF=180°,
∴∠COD=∠BOF,
∴CD=BF.易得OE是△ABF的中位线,∴OE=CD.
53·提升练
10.(2020山东日照)如图,AB是☉O的直径,CD为☉O的弦,AB⊥CD于点E,若CD=6,AE=9,则阴影部分的面积为( )
A.6π-
C.3π-
答案 A ∵AB是☉O的直径,CD为☉O的弦,AB⊥CD于点E,
∴CE=DE=.
设☉O的半径为r,
在直角△OED中,OD2=OE2+DE2,即r2=(9-r)2+(3)2,解得r=6.
∴OE=3,
∴cos∠BOD=,
∴∠EOD=60°,
∴S扇形OBD==6π,SRt△OED=,
∴S阴影=6π-.
11.(2023河北石家庄质检)如图,点A,B是半径为2的☉O上的两点,且AB=2.则下列说法正确的是( )
A.圆心O到AB的距离为
B.在圆上取异于A,B的一点C,则△ABC面积的最大值为2
C.以AB为边向上作正方形,与☉O的公共部分的面积为3
D.取AB的中点G,当AB绕点O旋转一周时,点G运动的路线长为π
答案 C 如图1,过点O作OM⊥AB于点M,连接OA,则AM=,
由勾股定理得OM==1,
所以圆心O到AB的距离为1,故选项A说法错误.
如图1,延长MO交☉O于点C,此时△ABC的面积最大.
图1
∵CM=CO+OM=2+1=3,AB=2,∴△ABC的面积=·AB·CM=,故△ABC面积的最大值为3,故选项B说法错误.
如图2,连接BQ,AP,PQ,易得BQ、AP是直径,∠AOB=120°,∠OAB=∠OBA=30°,四边形ABPQ是矩形,
图2
∴∠OBP=60°,又OB=OP,
∴△OBP是等边三角形,
∴BP=OB=2,∵∠AOB=120°,
∴∠POQ=120°,
∴S阴影=S矩形ABPQ+S扇形POQ-S△POQ=2π,故选项C说法正确.
如图3,点G的运动轨迹是以O为圆心,OG长为半径的圆,连接OG.
图3
由选项A的分析知OG=1.
所以点G运动的路线长为2×1×π=2π,故选项D说法错误.故选C.
12.(2022江苏南京二模)如图,沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平,得到一个扇形.若扇形的半径R=6 cm,扇形的圆心角θ=120°,则该圆锥的高为 cm.
答案 4
解析 设圆锥的底面圆半径为r cm,
根据题意得 2πr=,
解得r=2,所以该圆锥的高为 cm.
13.(2022江苏无锡一模)如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,点C是的中点,过点C的切线交OB的延长线于点E,当BE=时,阴影部分的面积为 .
答案
解析 ∵∠AOB=90°,点C是的中点,∴∠COE=45°,
∵过点C的切线交OB的延长线于点E,∴OC⊥CE,
∴△OCE为等腰直角三角形.
设OC=CE=x,
则OB=x,OE=x,
∵OE-OB=BE,BE=,
∴,解得x=.
∴阴影部分的面积=S△OCE-S扇形OCB=.
14.(2022江苏南通一模)如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠C=60°,以AB为直径作☉O交AC于点D,过点D的切线交BC于点E.
(1)求∠BED的度数;
(2)若AB=6,求图中阴影部分的面积.
解析 (1)连接OD.
∵DE与☉O相切于点D,
∴∠ODE=90°.
在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠C=60°,∴∠A=30°.
∵,
∴∠DOB=2∠A=60°.
∵∠ODE=∠ABC=90°,
∴∠BED=360°-∠DOB-∠ODE-∠ABC=120°.
(2)过点D作DF⊥AB,垂足为F.
∵AB=6,∴OA=OD=AB=3.
∵∠DOB=60°,∴∠AOD=120°.
在Rt△OFD中,sin∠DOF=,∴DF=OD·sin∠DOF=3×,
∴S阴影=S扇形OAD-S△OAD=
=3π-.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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