2024数学中考专题复习
3.5 二次函数的应用
5年中考
考点1 抛物线与线段长、面积、角度
1.(2022天津,25,10分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a>0)的顶点为P,与x轴相交于点A(-1,0)和点B.
(1)若b=-2,c=-3,
①求点P的坐标;
②直线x=m(m是常数,1
2.(2020山西,23,13分)如图,抛物线y=x2-x-3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.直线l与抛物线交于A,D两点,与y轴交于点E,点D的坐标为(4,-3).
(1)请直接写出A,B两点的坐标及直线l的函数表达式;
(2)若点P是抛物线上的点,点P的横坐标为m(m≥0),过点P作PM⊥x轴,垂足为M,PM与直线l交于点N,当点N是线段PM的三等分点时,求点P的坐标;
(3)若点Q是y轴上的点,且∠ADQ=45°,求点Q的坐标.
3.(2023湖南衡阳,26,12分)如图,已知抛物线y=ax2-2ax+3与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C,连接AC,过B、C两点作直线.
(1)求a的值;
(2)将直线BC向下平移m(m>0)个单位长度,交抛物线于B'、C'两点,在直线B'C'上方的抛物线上是否存在定点D,无论m取何值时,都是点D到直线B'C'的距离最大 若存在,请求出点D的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)抛物线上是否存在点P,使∠PBC+∠ACO=45° 若存在,请求出直线BP的解析式,若不存在,请说明理由.
4.(2023湖北黄冈,24,13分)已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B(4,0)两点,与y轴交于点C(0,2).点P为第一象限抛物线上的点,连接CA,CB,PB,PC.
(1)直接写出结果: b= ,c= ,点A的坐标为 ,tan∠ABC= ;
(2)如图1,当∠PCB=2∠OCA时,求点P的坐标;
(3)如图2,点D在y轴负半轴上,OD=OB,点Q为抛物线上一点,∠QBD=90°.点E,F分别为△BDQ的边DQ,DB上的动点,且QE=DF,记BE+QF的最小值为m.
①求m的值;
②设△PCB的面积为S,若S=m2-k,请直接写出k的取值范围.
考点2 二次函数的实际应用
5.(2022陕西,25,8分)现要修建一条隧道,其截面为抛物线型,如图所示,线段OE表示水平的路面,以O为坐标原点,以OE所在直线为x轴,以过点O垂直于x轴的直线为y轴,建立平面直角坐标系.根据设计要求:OE=10 m,该抛物线的顶点P到OE的距离为9 m.
(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式;
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯,如图所示,即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯.已知点A、B到OE的距离均为6 m,求点A、B的坐标.
6.(2022湖北黄冈,22,10分)为增强民众生活幸福感,市政府大力推进老旧小区改造工程.和谐小区新建一小型活动广场,计划在360 m2的绿化带上种植甲、乙两种花卉.市场调查发现,甲种花卉种植费用y(元/m2)与种植面积x(m2)之间的函数关系如图所示,乙种花卉种植费用为15元/m2.
(1)当x≤100时,求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(2)当甲种花卉种植面积不少于30 m2,且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时,
①如何分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w(元)最少 最少是多少元
②受投入资金的限制,种植总费用不超过6 000元,请直接写出甲种花卉种植面积x的取值范围.
7.(2023湖北武汉,22,10分)某课外科技活动小组研制了一种航模飞机.通过实验,收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x(单位:m)、飞行高度y(单位:m)随飞行时间t(单位:s) 变化的数据如下表.
飞行时间t/s 0 2 4 6 8 …
飞行水平距离x/m 0 10 20 30 40 …
飞行高度y/m 0 22 40 54 64 …
探究发现 x与t,y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述.直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围).
问题解决 如图,活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机.根据上面的探究发现解决下列问题.
(1)若发射平台相对于安全线的高度为0 m,求飞机落到安全线时飞行的水平距离;
(2)在安全线上设置回收区域MN,AM=125 m,MN=5 m.若飞机落到MN内(不包括端点M,N),求发射平台相对于安全线的高度的变化范围.
8.(2023陕西,25,8分)某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门,并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48 m2,还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素.设计部门按要求给出了两个设计方案.现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中,如图所示:
方案一,抛物线型拱门的跨度ON=12 m,拱高PE=4 m.其中,点N在x轴上,PE⊥ON,OE=EN.
方案二,抛物线型拱门的跨度ON'=8 m,拱高P'E'=6 m.其中,点N'在x轴上,P'E'⊥ON',OE'=E'N'.
要在拱门中设置高为3 m的矩形框架,其面积越大越好(框架的粗细忽略不计).方案一中,矩形框架ABCD的面积记为S1,点A、D在抛物线上,边BC在ON上;方案二中,矩形框架A'B'C'D'的面积记为S2,点A'、D'在抛物线上,边B'C'在ON'上.
现知,小华已正确求出方案二中,当A'B'=3 m时,S2=12 m2.
请你根据以上提供的相关信息,解答下列问题:
(1)求方案一中抛物线的函数表达式;
(2)在方案一中,当AB=3 m时,求矩形框架ABCD的面积S1,并比较S1,S2的大小.
9.(2023四川南充,23,10分)某工厂计划从A,B两种产品中选择一种生产并销售,每日产销x件.已知A产品成本价为m元/件(m为常数,且4≤m≤6),售价为8元/件,每日最多产销500件,同时每日共支付专利费30元;B产品成本价为12元/件,售价为20元/件,每日最多产销300件,同时每日支付专利费y元,y(元)与每日产销x(件)满足关系式y=80+0.01x2.
(1)若产销A,B两种产品的日利润分别为w1元,w2元,请分别写出w1,w2与x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(2)分别求出产销A,B两种产品的最大日利润;(A产品的最大日利润用含m的代数式表示)
(3)为获得最大日利润,该工厂应该选择产销哪种产品 并说明理由.
【利润=(售价-成本)×产销数量-专利费】
10.(2022湖北武汉,22,10分)在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动,黑球在A处开始减速,此时白球在黑球前面70 cm处.
小聪测量黑球减速后的运动速度v(单位:cm/s)、运动距离y(单位:cm)随运动时间t(单位:s)变化的数据,整理得下表.
运动时间t(s) 0 1 2 3 4
运动速度v(cm/s) 10 9.5 9 8.5 8
运动距离y(cm) 0 9.75 19 27.75 36
小聪探究发现,黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系,运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系.
(1)直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围);
(2)当黑球减速后运动距离为64 cm时,求它此时的运动速度;
(3)若白球一直以2 cm/s的速度匀速运动,问黑球在运动过程中会不会碰到白球,请说明理由.
3年模拟
53·基础练
1.(2022江苏宿迁一模)某商场降价销售一批衬衫,已知所获利润y(元)与降价金额x(元)之间满足函数关系式y=-2x2+60x+800,则获利最多为( )
A.15元 B.400元
C.800元 D.1 250元
2.(2022河北邢台一模)如图,已知抛物线经过点B(-1,0),A(4,0),与y轴交于点C(0,2),P为AC上的一个动点,则有以下结论:①抛物线的对称轴为直线x=;②抛物线的最大值为;③∠ACB=90°;④OP的最小值为.则正确的结论为( )
A.①②④ B.①②
C.①②③ D.①③④
3.(2022江苏镇江模拟)一名男生推铅球,铅球行进高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的关系是y=-.则他将铅球推出的距离是 m.
4.(2023吉林长春一模)如图,点P是抛物线y=x2-x-4上一点,且点P在第四象限,过点P分别向x轴和y轴作垂线,垂足分别为A、B,则四边形OAPB周长的最大值为 .
5.(2023吉林长春一模)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A(2,-2)在抛物线y=-x2+k上,过点A作y轴的垂线,交抛物线于另一点B,点C、D在线段AB上,且C、D两点关于y轴对称,过点C作x轴的垂线交抛物线于点E.连接ED,若CE=2CD,则线段CD的长为 .
6.(2022浙江宁波一模)如图所示,已知二次函数y1=-x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3,0),另一个交点为B,与y轴的交点为C.
(1)求m的值;
(2)若经过点B的直线y2=kx+b平分△ABC的面积,求k、b的值.
7.(2022浙江嘉兴一模)已知抛物线y=2x2+bx+c.
(1)若b-c=3,抛物线与x轴交于A,B两点,当线段AB的长度最短时,求该抛物线的解析式;
(2)若b=-2,当0
(1)用含x的代数式表示下列各量:花卉A的种植面积是 m2,花卉B的种植面积是 m2,花卉C的种植面积是 m2;
(2)育苗区的边长为多少时,A,B两种花卉的总产值相等
(3)若花卉A与B的种植面积之和不超过560 m2,求A,B,C三种花卉的总产值之和的最大值.
9.(2022河北石家庄二模)某公司购进一批受环境影响较大的商品,需要在特定的环境中才能保存,已知该商品成本y(元/件)与保存的时间第x 天之间的关系满足y=x2-4x+100,该商品售价p(元/件)与保存时间第x 天之间满足一次函数关系,其对应数据如表:
x(天) … 5 7 …
p(元/件) … 248 264 …
(1)求商品的售价p(元/件)与保存时间第x 天之间的函数关系式;
(2)求保存到第几天时,该商品不赚也不亏;
(3)请你帮助该公司确定在哪一天卖出才能使每件商品获得最大利润,此时每件商品的售价是多少
53·提升练
10.(2022江苏徐州一模)北京冬奥会跳台滑雪项目比赛的标准台高度是90 m.运动员起跳后的飞行路线可以看作抛物线的一部分,运动员起跳后的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a≠0).下图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时,水平距离为( )
A.10 m B.15 m
C.20 m D.22.5 m
11.(2023吉林长春一模)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2-4x+1与y轴交于点A,过点A且平行于x轴的直线交抛物线y=x2于B、C两点,点P在抛物线y=-x2-4x+1上且在x轴的上方,连接PB、PC,则△PBC面积的最大值是( )
A.5 B.4.5 C.6 D.4
12.(2023河北秦皇岛一模)如图所示,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴的正半轴交于点C,顶点为D,则下列结论:
①2a+b=0;
②2c<3b;
③当△ABC是等腰三角形时,a的值有2个;
④当△BCD是直角三角形时,a的值有4个.
其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
13.(2022广东一模)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+3x-4的图象与x轴交于A、C两点,与y轴交于点B,若P是x轴上一动点,点Q(0,2)在y轴上,连接PQ,则PQ+PC的最小值是( )
A.6 B.2+
C.2+3
14.(2022江苏无锡一模)如图,抛物线y=ax2-x+4与直线y=x+b经过点A(2,0),且相交于另一点B,抛物线与y轴交于点C,与x轴交于另一点E,过点N的直线交抛物线于点M,且MN∥y轴,连接AM,BM,BC,AC,当点N在线段AB上移动时(不与A、B重合),下列结论正确的是( )
A.MN+BN
C.∠ACB-∠ANM=∠ABC
D.四边形ACBM的最大面积为13
15.(2022吉林长春模拟)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,2),点B的坐标为(4,2).若抛物线y=-(x-h)2+k(h、k为常数)与线段AB交于C、D两点,且CD=AB,则k的值为 .
16.(2023四川成都模拟)如图,抛物线y=x-2与x轴交于A,B两点,抛物线上点C的横坐标为5,D点坐标为(3,0),连接AC,CD,点M为平面内任意一点,将△ACD绕点M旋转180°得到对应的△A'C'D'(点A,C,D的对应点分别为A',C',D'),若△A'C'D'中恰有两个点落在抛物线上,则点C'的坐标为 (点C'不与点A重合).
17.()在“乡村振兴”行动中,某村办企业开发了一种有机产品,该产品的成本为每盒30元.市场调查发现:该产品每盒的售价是60元时,每天可以销售500盒,每涨价1元,每天少销售10盒.设每盒产品的售价是x元(x是整数),每天的利润是w元.
(1)求w关于x的函数解析式;
(2)当每盒售价定为多少元时,可使当天获得最大销售利润 最大销售利润是多少
(3)现在该企业打算回报社会,每销售1盒捐赠a元(a>5)给村级经济合作社,物价部门要求该产品销售定价不得超过每盒75元,该企业在严格执行物价部门的定价要求的前提下,欲使每天捐赠后的日销售利润随产品售价的增大而增大,求a的取值范围.
18.(2023山西朔州模拟)如图,抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A,B两点,且OA=2OB,与y轴交于点C,连接BC,抛物线的对称轴为直线x=,D为第一象限内抛物线上一动点,过点D作DE⊥OA于点E,与AC交于点F,设点D的横坐标为m.
(1)求抛物线的表达式;
(2)当线段DF的长度最大时,求D点的坐标;
(3)抛物线上是否存在点D,使得以点O,D,E为顶点的三角形与△BOC相似 若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
备用图
19.(2022湖北武汉模拟)抛物线y=x2-1交x轴于A,B两点(A在B的左边).
(1) ACDE的顶点C在y轴的正半轴上,顶点E在y轴右侧的抛物线上.
①如图1,若点C的坐标是(0,3),点E的横坐标是,直接写出点A,D的坐标;
②如图2,若点D在抛物线上,且 ACDE的面积是12,求点E的坐标;
(2)如图3,F是原点O关于抛物线顶点的对称点,不平行于y轴的直线l分别交线段AF,BF(不含端点)于G,H两点,若直线l与抛物线只有一个公共点,求证:FG+FH的值是定值.
图1 图2
图3
3.5 二次函数的应用
5年中考
考点1 抛物线与线段长、面积、角度
1.(2022天津,25,10分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a>0)的顶点为P,与x轴相交于点A(-1,0)和点B.
(1)若b=-2,c=-3,
①求点P的坐标;
②直线x=m(m是常数,1
解析 (1)①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A(-1,0),
∴a-b+c=0,又b=-2,c=-3,∴a=1.
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3.
∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴点P的坐标为(1,-4).
②当y=0时,x2-2x-3=0,
解得x1=-1,x2=3.
∴点B的坐标为(3,0).
设直线BP的解析式为y=kx+n,k≠0,
则有
∴直线BP的解析式为y=2x-6.
∵直线x=m(m是常数,1
∴MG=(2m-6)-(m2-2m-3)=-m2+4m-3=-(m-2)2+1.
∴当m=2时,MG有最大值1.
此时,点M的坐标为(2,-3),点G的坐标为(2,-2).
(2)由(1)知a-b+c=0,又3b=2c,
∴b=-2a,c=-3a,
∴抛物线的解析式为y=ax2-2ax-3a.
∵y=ax2-2ax-3a=a(x-1)2-4a,
∴顶点P的坐标为(1,-4a).
∵直线x=2与抛物线y=ax2-2ax-3a相交于点N,
∴点N的坐标为(2,-3a).
作点P关于y轴的对称点P',作点N关于x轴的对称点N',
得点P'的坐标为(-1,-4a),点N'的坐标为(2,3a).
当满足条件的点E,F落在直线P'N'上时,PF+FE+EN取得最小值,
此时,PF+FE+EN=P'N'=5,
∴P'N'==5,
解得a1=(舍).
∴点P'的坐标为,点N'的坐标为.
可得直线P'N'的解析式为y=.
∴点E和点F即为所求.
2.(2020山西,23,13分)如图,抛物线y=x2-x-3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.直线l与抛物线交于A,D两点,与y轴交于点E,点D的坐标为(4,-3).
(1)请直接写出A,B两点的坐标及直线l的函数表达式;
(2)若点P是抛物线上的点,点P的横坐标为m(m≥0),过点P作PM⊥x轴,垂足为M,PM与直线l交于点N,当点N是线段PM的三等分点时,求点P的坐标;
(3)若点Q是y轴上的点,且∠ADQ=45°,求点Q的坐标.
解析 (1)A(-2,0),B(6,0),直线l的函数表达式为y=-x-1.
详解:令x2-x-3=0,得x2-4x-12=(x+2)(x-6)=0,
∴x1=-2,x2=6.
∴A(-2,0),B(6,0).
设直线l的函数表达式为y=kx+b(k≠0),把A(-2,0),D(4,-3)代入得
解得
∴直线l的函数表达式为y=-x-1.
(2)根据题意可知,点P与点N的坐标分别为m,m2-m-3,.
PM=m+1.
∵点N是线段PM的三等分点,
①当PM=3MN时,得-.
解得m=0或m=-2(舍去).
当m=0时,m2-m-3=-3.
∴点P的坐标为(0,-3).
②当PM=MN时,得-.
解得m=3或m=-2(舍去).
当m=3时,.
∴点P的坐标为.
∴当点N是线段PM的三等分点时,点P的坐标为(0,-3)或.
(3)∵直线y=-x-1与y轴交于点E,∴点E的坐标为(0,-1).
分两种情况:①如图,当点Q在y轴正半轴上时,记为点Q1.
过点Q1作Q1H⊥直线l,垂足为H,则∠Q1HE=∠AOE=90°,
∵∠Q1EH=∠AEO,
∴△Q1HE∽△AOE.
∴,即.
∴Q1H=2HE.
又∵∠Q1DH=45°,∠Q1HD=90°,
∴∠HQ1D=∠Q1DH=45°.
∴DH=Q1H=2HE.∴HE=ED.
连接CD,∵点C的坐标为(0,-3),点D的坐标为(4,-3),
∴CD⊥y轴.∴ED=.
∴HE=2=10.
∴OQ1=Q1E-OE=10-1=9,
∴点Q1的坐标为(0,9).
②如图,当点Q在y轴负半轴上时,记为点Q2.
过点Q2作Q2G⊥直线l,垂足为G.则∠Q2GE=∠AOE=90°,
∵∠Q2EG=∠AEO,
∴△Q2GE∽△AOE.
∴.即.
∴Q2G=2EG.
又∵∠Q2DG=45°,∠Q2GD=90°,
∴∠DQ2G=∠Q2DG=45°.
∴DG=Q2G=2EG.
∴ED=EG+DG=3EG.
由①可知,ED=2.
∴3EG=2.
∴Q2G=.
∴OQ2=OE+EQ2=1+.
∴点Q2的坐标为.
∴点Q的坐标为(0,9)或.
3.(2023湖南衡阳,26,12分)如图,已知抛物线y=ax2-2ax+3与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C,连接AC,过B、C两点作直线.
(1)求a的值;
(2)将直线BC向下平移m(m>0)个单位长度,交抛物线于B'、C'两点,在直线B'C'上方的抛物线上是否存在定点D,无论m取何值时,都是点D到直线B'C'的距离最大 若存在,请求出点D的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)抛物线上是否存在点P,使∠PBC+∠ACO=45° 若存在,请求出直线BP的解析式,若不存在,请说明理由.
解析 (1)把A(-1,0)代入y=ax2-2ax+3得a+2a+3=0,解得a=-1.
(2)存在.
过点D作y轴的平行线交直线B'C'于点H,过点D作DG⊥B'C'于点G.
令y=-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3,令x=0,则y=3,∴点B坐标为(3,0),点C坐标为(0,3).
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),
把B(3,0),C(0,3)代入得
∴直线BC的解析式为y=-x+3,
∴直线B'C'的解析式为y=-x+3-m.
易知直线B'C'与y轴的夹角(锐角)为45°,
∴△DGH为等腰直角三角形.
设点D坐标为(n,-n2+2n+3),则点H坐标为(n,-n+3-m),
∴DH=-n2+2n+3-(-n+3-m)=-n2+3n+m,
∴DG=m,
∴当n=时,DG取最大值,此时点D坐标为,
即存在点D,无论m取何值时,都是点D到直线B'C'的距离最大.
(3)存在.
当点P在直线BC下方时,在y轴上取点H(0,1),连接BH,直线BH交抛物线于点P(异于点B),
∵OH=OA=1,OB=OC,∠BOH=∠COA=90°,
∴△BOH≌△COA,
∴∠OBH=∠ACO,∴∠PBC+∠ACO=∠PBC+∠OBH=∠OBC=45°,
设直线BP的解析式为y=k1x+b1(k1≠0),代入B(3,0),H(0,1)得所以直线BP的解析式为y=-x+1.
当点P在直线BC上方时,在x轴上取点I,使得OI=OA=1,连接CI,过点B作BP∥CI交抛物线于点P,
∴∠PBC=∠BCI,
∵OI=OA=1,OC=OC,∠COI=∠COA=90°,
∴△COI≌△COA,
∴∠OCI=∠ACO,∴∠PBC+∠ACO=∠BCI+∠OCI=∠OCB=45°,
设直线CI的解析式为y=k2x+b2(k2≠0),代入I(1,0),C(0,3)得所以直线CI的解析式为y=-3x+3,又BP∥CI,且过点B(3,0),所以直线BP的解析式为y=-3x+9.
综上所述,直线BP的解析式为y=-x+1或y=-3x+9.
4.(2023湖北黄冈,24,13分)已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B(4,0)两点,与y轴交于点C(0,2).点P为第一象限抛物线上的点,连接CA,CB,PB,PC.
(1)直接写出结果: b= ,c= ,点A的坐标为 ,tan∠ABC= ;
(2)如图1,当∠PCB=2∠OCA时,求点P的坐标;
(3)如图2,点D在y轴负半轴上,OD=OB,点Q为抛物线上一点,∠QBD=90°.点E,F分别为△BDQ的边DQ,DB上的动点,且QE=DF,记BE+QF的最小值为m.
①求m的值;
②设△PCB的面积为S,若S=m2-k,请直接写出k的取值范围.
解析 (1).
详解:把B(4,0),C(0,2)代入y=-x2+bx+c得
∴抛物线的解析式为y=-x+2.
令-x+2=0,解得x1=-1,x2=4,
∴点A的坐标为(-1,0),
tan∠ABC=.
(2)∵OA=1,OC=2,OB=4,
∴,∵∠AOC=∠BOC=90°,
∴△AOC∽△COB,∴∠OCA=∠OBC.
在y轴负半轴上取OC'=OC=2,连接BC',
∵∠COB=∠C'OB=90°,OB=OB,
∴△COB≌△C'OB,∴∠OBC=∠OBC',
∴∠CBC'=2∠OBC=2∠OCA,
∵∠PCB=2∠OCA,∴∠CBC'=∠PCB,
∴PC∥BC',
设直线BC'的解析式为y=k'x+b'(k'≠0),
把C'(0,-2),B(4,0)代入y=k'x+b'得
解得
∴直线BC'的解析式为y=x-2.
∵PC∥BC',C(0,2),
∴直线PC的解析式为y=x+2.
令x+2,解得x1=0,x2=2,
∴点P的坐标为(2,3).
(3)①过点D作QD的垂线,在垂线上点D的右侧截取DH=BQ,连接FH,QH.
∴∠BDQ+∠FDH=90°,∵∠QBD=90°,
∴∠BDQ+∠BQE=90°,∴∠FDH=∠BQE,
∵DH=BQ,QE=DF,∴△HDF≌△BQE(SAS),
∴FH=BE.
∵FH+QF≥QH,∴BE+QF≥QH,
∴当Q,F,H三点共线时,BE+QF取得最小值,其值为QH的长,∴QH=m,
∵OD=OB,点B的坐标为(4,0),∴点D的坐标为(0,-4),
易得直线BD的解析式为y=x-4,
∵∠QBD=90°,∴设直线BQ的解析式为y=-x+n,
把B(4,0)代入y=-x+n得n=4.
令-x+4=-x+2,解得x1=1,x2=4,
∴点Q的坐标为(1,3),
∴BQ=3,
在Rt△QDH中,∵QH2=QD2+DH2=(5)2,
∴QH=2,即m=2.
②13≤k<17.
详解:过点P作PM∥y轴,交BC于点M,
设点P的坐标为.
由C(0,2),B(4,0),
易得直线BC的解析式为y=-x+2.
则点M的坐标为.
∴PM=-x'2+2x',
则S△BCP=PM·OB=·4=-x'2+4x'=-(x'-2)2+4,
又S△BCP=)2-k=17-k,
∴17-k=-(x'-2)2+4,
∴k=(x'-2)2+13.
当x'=2时,k取得最小值,最小值为13,
∵0
考点2 二次函数的实际应用
5.(2022陕西,25,8分)现要修建一条隧道,其截面为抛物线型,如图所示,线段OE表示水平的路面,以O为坐标原点,以OE所在直线为x轴,以过点O垂直于x轴的直线为y轴,建立平面直角坐标系.根据设计要求:OE=10 m,该抛物线的顶点P到OE的距离为9 m.
(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式;
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯,如图所示,即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯.已知点A、B到OE的距离均为6 m,求点A、B的坐标.
解析 (1)依题意可知顶点P(5,9),设抛物线的函数表达式为y=a(x-5)2+9,
将(0,0)代入,得0=a(0-5)2+9,解得a=-.
∴抛物线的函数表达式为y=-(x-5)2+9.
(2)令y=6,得-(x-5)2+9=6,
解得x1=+5.
∴A.
6.(2022湖北黄冈,22,10分)为增强民众生活幸福感,市政府大力推进老旧小区改造工程.和谐小区新建一小型活动广场,计划在360 m2的绿化带上种植甲、乙两种花卉.市场调查发现,甲种花卉种植费用y(元/m2)与种植面积x(m2)之间的函数关系如图所示,乙种花卉种植费用为15元/m2.
(1)当x≤100时,求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(2)当甲种花卉种植面积不少于30 m2,且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时,
①如何分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w(元)最少 最少是多少元
②受投入资金的限制,种植总费用不超过6 000元,请直接写出甲种花卉种植面积x的取值范围.
解析 (1)当0
依题意,得x+40.
∴y=
(2)①由题意可知 360-x≥3x,解得x≤90.
又x≥30,∴30≤x≤90.
当30≤x<40时,w=30x+15(360-x)=15x+5 400,
∵15>0,∴w随x的增大而增大,
∴当x=30时,w最小值=15×30+5 400=5 850.
当40≤x≤90时,w=x2+25x+5 400=-(x-50)2+6 025.
∵-<0,对称轴为直线x=50,
∴当40≤x<50时,w随x的增大而增大,
∴当x=40时,w取得最小值,为6 000.
当x>50时,w随x的增大而减小,
∴当x=90时,w取得最小值,为5 625.
∵5 625<5 850<6 000,
∴w的最小值为5 625,
此时甲种花卉种植面积为90 m2,乙种花卉种植面积为360-90=270 m2.
答:甲种花卉种植面积为90 m2,乙种花卉种植面积为270 m2,总费用最少,最少是5 625元.
②30≤x≤40或60≤x≤90.
详解:当30≤x<40时,由①知w=15x+5 400,
∵种植总费用不超过6 000元,
∴15x+5 400≤6 000,∴x≤40,
故满足条件的x的取值范围为30≤x<40.
当40≤x≤90时,由①知w=-(x-50)2+6 025,
∵种植总费用不超过6 000元,
∴-(x-50)2+6 025≤6 000,
∴根据对应的二次函数图象可得,x≥60或x≤40,
故满足条件的x的取值范围为60≤x≤90或x=40.
综上,甲种花卉种植面积x的取值范围为30≤x≤40或60≤x≤90.
7.(2023湖北武汉,22,10分)某课外科技活动小组研制了一种航模飞机.通过实验,收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x(单位:m)、飞行高度y(单位:m)随飞行时间t(单位:s) 变化的数据如下表.
飞行时间t/s 0 2 4 6 8 …
飞行水平距离x/m 0 10 20 30 40 …
飞行高度y/m 0 22 40 54 64 …
探究发现 x与t,y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述.直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围).
问题解决 如图,活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机.根据上面的探究发现解决下列问题.
(1)若发射平台相对于安全线的高度为0 m,求飞机落到安全线时飞行的水平距离;
(2)在安全线上设置回收区域MN,AM=125 m,MN=5 m.若飞机落到MN内(不包括端点M,N),求发射平台相对于安全线的高度的变化范围.
解析 探究发现 x=5t,y=-t2+12t.
问题解决 (1)依题意,得-t2+12t=0.
解得t1=0(舍),t2=24,
当t=24时,x=120.
答:飞机落到安全线时飞行的水平距离为120 m.
(2)设发射平台相对于安全线的高度为n m,则飞机相对于安全线的飞行高度y'=-t2+12t+n.
∵125
当t=26,y'=0时,n=26.
∴12.5
8.(2023陕西,25,8分)某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门,并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48 m2,还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素.设计部门按要求给出了两个设计方案.现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中,如图所示:
方案一,抛物线型拱门的跨度ON=12 m,拱高PE=4 m.其中,点N在x轴上,PE⊥ON,OE=EN.
方案二,抛物线型拱门的跨度ON'=8 m,拱高P'E'=6 m.其中,点N'在x轴上,P'E'⊥ON',OE'=E'N'.
要在拱门中设置高为3 m的矩形框架,其面积越大越好(框架的粗细忽略不计).方案一中,矩形框架ABCD的面积记为S1,点A、D在抛物线上,边BC在ON上;方案二中,矩形框架A'B'C'D'的面积记为S2,点A'、D'在抛物线上,边B'C'在ON'上.
现知,小华已正确求出方案二中,当A'B'=3 m时,S2=12 m2.
请你根据以上提供的相关信息,解答下列问题:
(1)求方案一中抛物线的函数表达式;
(2)在方案一中,当AB=3 m时,求矩形框架ABCD的面积S1,并比较S1,S2的大小.
解析 (1)由题意知,方案一中抛物线的顶点为P(6,4),设抛物线的函数表达式为y=a(x-6)2+4.(2分)
将(0,0)代入得a=-(x-6)2+4.(4分)
(2)令y=3,则-(x-6)2+4=3.
解得x1=3,x2=9,∴BC=6.(6分)
∴S1=AB·BC=3×6=18.(7分)
∵S2=12,而18>12,∴S1>S2.(8分)
9.(2023四川南充,23,10分)某工厂计划从A,B两种产品中选择一种生产并销售,每日产销x件.已知A产品成本价为m元/件(m为常数,且4≤m≤6),售价为8元/件,每日最多产销500件,同时每日共支付专利费30元;B产品成本价为12元/件,售价为20元/件,每日最多产销300件,同时每日支付专利费y元,y(元)与每日产销x(件)满足关系式y=80+0.01x2.
(1)若产销A,B两种产品的日利润分别为w1元,w2元,请分别写出w1,w2与x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(2)分别求出产销A,B两种产品的最大日利润;(A产品的最大日利润用含m的代数式表示)
(3)为获得最大日利润,该工厂应该选择产销哪种产品 并说明理由.
【利润=(售价-成本)×产销数量-专利费】
解析 (1)根据题意,得w1=(8-m)x-30,0≤x≤500.
w2=(20-12)x-(80+0.01x2)
=-0.01x2 +8x-80,0≤x≤300.
(2)∵8-m>0,∴w1随x的增大而增大,又0≤x≤500,
∴当x=500时,w1的值最大,w1最大值=-500m+3 970.
w2=-0.01x2+8x-80=-0.01(x-400)2+1 520.
∵-0.01<0,图象对称轴为直线x=400,∴当0≤x≤300时,w2随x的增大而增大,
∴当x=300时,w2最大值=-0.01×(300-400)2+1 520=1 420.
故A,B两种产品的最大日利润分别为(-500m+3 970)元,1 420元.
(3)①若w1最大值=w2最大值,则-500m+3 970=1 420,解得m=5.1;
②若w1最大值>w2最大值,则-500m+3 970>1 420,解得m<5.1;
③若w1最大值
又4≤m≤6,故为获得最大日利润:
当m=5.1时,选择A,B两种产品产销均可;
当4≤m<5.1时,选择A种产品产销;
当5.1
小聪测量黑球减速后的运动速度v(单位:cm/s)、运动距离y(单位:cm)随运动时间t(单位:s)变化的数据,整理得下表.
运动时间t(s) 0 1 2 3 4
运动速度v(cm/s) 10 9.5 9 8.5 8
运动距离y(cm) 0 9.75 19 27.75 36
小聪探究发现,黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系,运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系.
(1)直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围);
(2)当黑球减速后运动距离为64 cm时,求它此时的运动速度;
(3)若白球一直以2 cm/s的速度匀速运动,问黑球在运动过程中会不会碰到白球,请说明理由.
解析 (1)v=-t2+10t.
详解:∵v与t之间成一次函数关系,∴设v=mt+n.
∵当t=0时,v=10;当t=1时,v=9.5,∴
∴v=-t+10.
∵y与t之间成二次函数关系,
∴设y=at2+bt+c.
∵当t=0时,y=0;当t=1时,y=9.75;当t=2时,y=19,
∴
∴y=-t2+10t.
(2)依题意,得-t2+10t=64,
∴t2-40t+256=0,
解得t1=8,t2=32.
当t=8时,v=6;当t=32时,v=-6(舍去).
答:当黑球减速后运动距离为64 cm时,它的运动速度为6 cm/s.
(3)黑球不会碰到白球,理由如下:
解法一:设黑、白两球的距离为w cm.
w=70+2t-y=(t-16)2+6.
∵>0,∴当t=16时,w的值最小,为6,
∴黑、白两球的最小距离为6 cm,
∴黑球不会碰到白球.
解法二:由解法一知,黑、白两球的距离w=t2-8t+70,令t2-8t+70=0,得Δ=(-8)2-4××70=-6<0,
∴方程无解,∴黑球不会碰到白球.
解法三:如果当黑球的速度减小到2 cm/s时,黑球没有碰到白球,那么黑球速度低于白球速度时就不会碰到白球.令-t+10=2,解得t=16,则当黑球速度为2 cm/s时,其运动时间为16 s,此时黑球运动了-×162+10×16=96 cm,白球运动了16×2=32 cm,黑、白两球的运动距离之差为96-32=64(cm),小于70 cm,故黑球不会碰到白球.
3年模拟
53·基础练
1.(2022江苏宿迁一模)某商场降价销售一批衬衫,已知所获利润y(元)与降价金额x(元)之间满足函数关系式y=-2x2+60x+800,则获利最多为( )
A.15元 B.400元
C.800元 D.1 250元
答案 D y=-2x2+60x+800=-2(x-15)2+1 250,
∵a=-2<0,∴当x=15时,y有最大值,最大值为1 250.故选D.
2.(2022河北邢台一模)如图,已知抛物线经过点B(-1,0),A(4,0),与y轴交于点C(0,2),P为AC上的一个动点,则有以下结论:①抛物线的对称轴为直线x=;②抛物线的最大值为;③∠ACB=90°;④OP的最小值为.则正确的结论为( )
A.①②④ B.①②
C.①②③ D.①③④
答案 D ∵抛物线经过点B(-1,0),A(4,0),C(0,2),
∴抛物线的解析式为y=-.
∴抛物线的对称轴为直线x=,最大值为,①正确,②错误;
∵BC=,AB=5,
∴AC2+BC2=AB2,∴∠ACB=90°,③正确;
当OP⊥AC时,OP取得最小值.
此时S△AOC=OA·OC=AC·OP,
∴·OP,解得OP=,④正确,故选D.
3.(2022江苏镇江模拟)一名男生推铅球,铅球行进高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的关系是y=-.则他将铅球推出的距离是 m.
答案 10
解析 当y=0时,-=0,解得x1=10,x2=-2(不合题意,舍去),
所以推铅球的距离是10 m.
4.(2023吉林长春一模)如图,点P是抛物线y=x2-x-4上一点,且点P在第四象限,过点P分别向x轴和y轴作垂线,垂足分别为A、B,则四边形OAPB周长的最大值为 .
答案 10
解析 设P(m,m2-m-4),易知OA=BP,PA=OB,则四边形OAPB的周长=2PA+2OA=-2(m2-m-4)+2m=-2m2+4m+8=-2(m-1)2+10,
∴当m=1时,四边形OAPB的周长有最大值,最大值为10.
5.(2023吉林长春一模)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A(2,-2)在抛物线y=-x2+k上,过点A作y轴的垂线,交抛物线于另一点B,点C、D在线段AB上,且C、D两点关于y轴对称,过点C作x轴的垂线交抛物线于点E.连接ED,若CE=2CD,则线段CD的长为 .
答案 4-4
解析 ∵点A(2,-2)在抛物线y=-x2+k上,∴-2=-22+k,解得k=2.
∴抛物线的解析式为y=-x2+2,
∵AB⊥y轴,∴C点的纵坐标为-2,
设C(m,-2),∵C、D两点关于y轴对称,∴D(-m,-2),∴CD=2m,
∵CE=2CD,∴CE=4m,
∴E(m,-2+4m),
∵点E在抛物线y=-x2+2上,
∴-2+4m=-m2+2,则m2+4m-4=0,
解得m=2-2或m=-2-2(舍去).∴CD=2m=4-4.
6.(2022浙江宁波一模)如图所示,已知二次函数y1=-x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3,0),另一个交点为B,与y轴的交点为C.
(1)求m的值;
(2)若经过点B的直线y2=kx+b平分△ABC的面积,求k、b的值.
解析 (1)∵二次函数y1=-x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3,0),∴0=-9+6+m,∴m=3.
(2)由直线y2=kx+b平分△ABC的面积且经过点B知,直线y2=kx+b平分线段AC,
∴直线y2=kx+b经过AC的中点,设AC的中点为E.
当x=0时,y=m=3,
∴点C的坐标为(0,3),
∴点E的坐标为.
易知方程-x2+2x+3=0的解为x1=-1,x2=3,
∴点B的坐标为(-1,0).
∵直线y2=kx+b经过点B和点E,
∴
7.(2022浙江嘉兴一模)已知抛物线y=2x2+bx+c.
(1)若b-c=3,抛物线与x轴交于A,B两点,当线段AB的长度最短时,求该抛物线的解析式;
(2)若b=-2,当0
∵b-c=3,∴b=c+3,
∴Δ=b2-8c=(c+3)2-8c=c2-2c+9.
解得x1=,
∴AB=|x1-x2|=,
∴当c=1时,线段AB的长度最短.此时b=4,∴抛物线的解析式为y=2x2+4x+1.
(2)由题意得y=2x2-2x+c,
∴抛物线的对称轴为直线x=<2.
①当Δ=0时,4-8c=0,c=,此时抛物线与x轴的公共点的横坐标为,符合题意;
②当Δ>0时,设抛物线与x轴的两个公共点为(x3,0),(x4,0),且x3
∴-4
(1)用含x的代数式表示下列各量:花卉A的种植面积是 m2,花卉B的种植面积是 m2,花卉C的种植面积是 m2;
(2)育苗区的边长为多少时,A,B两种花卉的总产值相等
(3)若花卉A与B的种植面积之和不超过560 m2,求A,B,C三种花卉的总产值之和的最大值.
解析 (1)(40-x)(20-x);x(30-x);x(20-x).
(2)依题意,得300x(30-x)=200(40-x)(20-x).∴x2-42x+320=0.
解得x1=10,x2=32(舍去).
答:当育苗区的边长为10 m时,A,B两种花卉的总产值相等.
(3)由题意得(40-x)(20-x)+x(30-x)≤560,且20-x>0.
∴8≤x<20.
设A、B、C三种花卉的总产值之和为w元,则w=200(40-x)(20-x)+300x(30-x)+400x(20-x)=-500(x-5)2+172 500.
∵-500<0,对称轴为直线x=5,
∴当8≤x<20时,w随x的增大而减小.
∴当x=8时,w取得最大值,为168 000.
答:A、B、C三种花卉的总产值之和的最大值是16.8万元.
9.(2022河北石家庄二模)某公司购进一批受环境影响较大的商品,需要在特定的环境中才能保存,已知该商品成本y(元/件)与保存的时间第x 天之间的关系满足y=x2-4x+100,该商品售价p(元/件)与保存时间第x 天之间满足一次函数关系,其对应数据如表:
x(天) … 5 7 …
p(元/件) … 248 264 …
(1)求商品的售价p(元/件)与保存时间第x 天之间的函数关系式;
(2)求保存到第几天时,该商品不赚也不亏;
(3)请你帮助该公司确定在哪一天卖出才能使每件商品获得最大利润,此时每件商品的售价是多少
解析 (1)设p=kx+b,将x=5,p=248和x=7,p=264分别代入,
得
∴p=8x+208.
(2)依题意得8x+208=x2-4x+100.
整理得x2-12x-108=0.解得x1=18,x2=-6(不合题意,舍去).
答:该商品保存到第18天时,不赚也不亏.
(3)设每件商品所获利润为w元,依题意,得w=8x+208-(x2-4x+100)=-x2+12x+108=-(x-6)2+144,
∵a=-1<0,∴当x=6时,w最大=144.
∴p=8×6+208=256.
答:该商品在第6天卖出时,每件商品能获得最大利润,此时每件商品的售价为256元.
53·提升练
10.(2022江苏徐州一模)北京冬奥会跳台滑雪项目比赛的标准台高度是90 m.运动员起跳后的飞行路线可以看作抛物线的一部分,运动员起跳后的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a≠0).下图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时,水平距离为( )
A.10 m B.15 m
C.20 m D.22.5 m
答案 B 根据题意知,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(0,90.0)、(20,93.9)、(40,82.2),
则
解得
所以x=-=15.故选B.
11.(2023吉林长春一模)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2-4x+1与y轴交于点A,过点A且平行于x轴的直线交抛物线y=x2于B、C两点,点P在抛物线y=-x2-4x+1上且在x轴的上方,连接PB、PC,则△PBC面积的最大值是( )
A.5 B.4.5 C.6 D.4
答案 D 当x=0时,y=-x2-4x+1=1,则A(0,1),
当y=1时,x2=1,解得x1=1,x2=-1,则B(-1,1),C(1,1),∴BC=2.
设P(m,-m2-4m+1),则S△PBC=×2×(-m2-4m+1-1)=-m2-4m=-(m+2)2+4,
∴当m=-2时,△PBC的面积取得最大值,为4.故选D.
12.(2023河北秦皇岛一模)如图所示,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴的正半轴交于点C,顶点为D,则下列结论:
①2a+b=0;
②2c<3b;
③当△ABC是等腰三角形时,a的值有2个;
④当△BCD是直角三角形时,a的值有4个.
其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案 B ∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,
∴对称轴为直线x=-=1,∴b=-2a,∴2a+b=0,①正确.
当x=-1时,0=a-b+c,∴a+2a+c=0,∴c=-3a,∴2c=3b,②错误.
由①②知y=ax2-2ax-3a(a<0),∴点C(0,-3a),
∴BC=,
当AB=BC时,4=,解得a=-或a=(舍);
当BA=AC时,4=,解得a=-或a=(舍).
∴当△ABC是等腰三角形时,a的值有2个,③正确.
∵y=ax2-2ax-3a=a(x-1)2-4a,∴顶点D(1,-4a),
∴BD2=4+16a2,BC2=9+9a2,CD2=1+a2,
若∠BDC=90°,则BC2=BD2+CD2,∴9+9a2=4+16a2+1+a2,解得a=-或a=(舍);
若∠DCB=90°,则BD2=CD2+BC2,∴4+16a2=1+a2+9+9a2,解得a=-1或a=1(舍).
∴当△BCD是直角三角形时,a=-1或-,∴a的值有2个,④错误.故选B.
13.(2022广东一模)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+3x-4的图象与x轴交于A、C两点,与y轴交于点B,若P是x轴上一动点,点Q(0,2)在y轴上,连接PQ,则PQ+PC的最小值是( )
A.6 B.2+
C.2+3
答案 D 如图,连接BC,过点P作PD⊥BC于D,过点Q作QH⊥BC于H.
由y=x2+3x-4,令y=0,则x2+3x-4=0,解得x1=-4,x2=1,
∴C(-4,0),A(1,0),
令x=0,得y=-4,∴B(0,-4),
∴OB=OC=4,
∵∠BOC=90°,∴∠OCB=∠OBC=45°,∴PC=PC=PQ+PD≥QH,
当P为QH与x轴交点时,PQ+PC最小,最小值为QH的长,
∵Q(0,2),B(0,-4),∴BQ=6,
设QH=x,则BH=x,
∵QH2+BH2=BQ2,∴x2+x2=62,
∴x=3,即QH=3,
则PQ+PC的最小值是3.故选D.
14.(2022江苏无锡一模)如图,抛物线y=ax2-x+4与直线y=x+b经过点A(2,0),且相交于另一点B,抛物线与y轴交于点C,与x轴交于另一点E,过点N的直线交抛物线于点M,且MN∥y轴,连接AM,BM,BC,AC,当点N在线段AB上移动时(不与A、B重合),下列结论正确的是( )
A.MN+BN
C.∠ACB-∠ANM=∠ABC
D.四边形ACBM的最大面积为13
答案 C 将点A(2,0)代入抛物线y=ax2-x+4与直线y=x+b,
解得a=,
设M,
则N,
易得B(5,4)、C(0,4),
则AB=BC=5,则∠CAB=∠ACB,
∴△ABC是等腰三角形.
对于A,当MN为抛物线对称轴时,点M、N的坐标分别为,
由勾股定理得BN=,而MN=,此时BN+MN=5=AB,故本选项错误.
对于B,∵BC∥x轴(B、C两点纵坐标相同),∴∠BAE=∠CBA,而△ABC是等腰三角形不是等边三角形,∠CBA≠∠BAC,∴∠BAC=∠BAE不成立,故本选项错误.
对于C,过点A作AD⊥BC于点D,过点B作BF⊥AC于点F,
∵AB=BC,
∴BF是∠ABC的平分线,
易证∠CAD=∠ABF=∠ABC,
而∠ACB-∠ANM=∠BAC-∠DAN=∠CAD=∠ABC,故本选项正确.
对于D,S四边形ACBM=S△ABC+S△ABM,
S△ABC=AD·BC=10,
S△ABM=MN·(xB-xA)=×m-4×3=-m2+7m-10=-,其最大值为,
故S四边形ACBM的最大值为10+=12.25,故本选项错误.故选C.
15.(2022吉林长春模拟)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,2),点B的坐标为(4,2).若抛物线y=-(x-h)2+k(h、k为常数)与线段AB交于C、D两点,且CD=AB,则k的值为 .
答案
解析 ∵点A的坐标为(0,2),点B的坐标为(4,2),
∴AB=4,
∵抛物线y=-(x-h)2+k(h、k为常数)与线段AB交于C、D两点,且CD=AB=2,
∵点C、D关于对称轴x=h对称,∴点C的坐标为(h-1,2),
将(h-1,2)代入解析式得-(h-1-h)2+k=2,
解得k=.
16.(2023四川成都模拟)如图,抛物线y=x-2与x轴交于A,B两点,抛物线上点C的横坐标为5,D点坐标为(3,0),连接AC,CD,点M为平面内任意一点,将△ACD绕点M旋转180°得到对应的△A'C'D'(点A,C,D的对应点分别为A',C',D'),若△A'C'D'中恰有两个点落在抛物线上,则点C'的坐标为 (点C'不与点A重合).
答案 或(2,-3)
解析 令y=0,得x-2=0,解得x1=-1,x2=4,∴A(-1,0),B(4,0),
∵点C的横坐标为5,∴y=×5-2=3,即C(5,3).
设M(m,n),由题意得A'(2m+1,2n),C'(2m-5,2n-3),D'(2m-3,2n),
①当点A',C'在抛物线y=x-2上时,
将点A'、C'代入y=x-2,
解得
∴点C'的坐标为(-1,0),此时点C'与点A重合,不符合题意,舍去;
②当点A',D'在抛物线y=x-2上时,
将点A'、D'代入y=x-2,
解得
∴点C'的坐标为;
③当点C',D'在抛物线y=x-2上时,
当点C'、D'代入y=x-2,
解得
∴点C'的坐标为(2,-3).
综上所述,点C'的坐标为或(2,-3).
17.()在“乡村振兴”行动中,某村办企业开发了一种有机产品,该产品的成本为每盒30元.市场调查发现:该产品每盒的售价是60元时,每天可以销售500盒,每涨价1元,每天少销售10盒.设每盒产品的售价是x元(x是整数),每天的利润是w元.
(1)求w关于x的函数解析式;
(2)当每盒售价定为多少元时,可使当天获得最大销售利润 最大销售利润是多少
(3)现在该企业打算回报社会,每销售1盒捐赠a元(a>5)给村级经济合作社,物价部门要求该产品销售定价不得超过每盒75元,该企业在严格执行物价部门的定价要求的前提下,欲使每天捐赠后的日销售利润随产品售价的增大而增大,求a的取值范围.
解析 (1)根据题意得w=(x-30)·[500-10(x-60)]=-10x2+1 400x-33 000.
(2)w=-10x2+1 400x-33 000
=-10(x-70)2+16 000.
由500-10(x-60)>0,得x<110.
∵-10<0,
∴当x=70时,w取最大值,最大值为16 000.
答:当每盒售价定为70元时,可使当天获得最大销售利润,最大销售利润是16 000元.
(3)设每天捐赠后的利润为w'元,
则w'=(x-30-a)(1 100-10x)=-10x2+(1 400+10a)x-(33 000+1 100a),∴函数图象的对称轴为直线x=-a.
∵60≤x≤75,每天捐赠后的日销售利润随产品售价的增大而增大,
∴70+a≥75,解得a≥10.
∵x-30-a>0,∴a
18.(2023山西朔州模拟)如图,抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A,B两点,且OA=2OB,与y轴交于点C,连接BC,抛物线的对称轴为直线x=,D为第一象限内抛物线上一动点,过点D作DE⊥OA于点E,与AC交于点F,设点D的横坐标为m.
(1)求抛物线的表达式;
(2)当线段DF的长度最大时,求D点的坐标;
(3)抛物线上是否存在点D,使得以点O,D,E为顶点的三角形与△BOC相似 若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
备用图
解析 (1)设点A的坐标为(t,0),
∵OA=2OB,
∴点B的坐标为,
∵抛物线的对称轴为直线x=,
∴,解得t=2,∴-t=-1,
∴A点的坐标为(2,0),B点的坐标为(-1,0).
将A,B两点的坐标代入y=ax2+bx+2,得
解得
∴抛物线的表达式为y=-x2+x+2.
(2)∵抛物线的表达式为y=-x2+x+2,∴点C的坐标为(0,2).
设直线AC的解析式为y=kx+n(k≠0),将C(0,2),A(2,0)代入,
得
∴直线AC的解析式为y=-x+2.
∵D(m,-m2+m+2),
∴F(m,-m+2),
∴DF=-m2+m+2-(-m+2)=-(m-1)2+1,
∵-1<0,
∴当m=1时,DF的长度最大,
∴点D的坐标为(1,2).
(3)存在,m的值为1或.
∵DE⊥OA于点E,∠BOC=90°,
∴要使△OBC与△ODE相似,只需有一个锐角相等.
当∠CBO=∠DOE时,BC∥OD,
∵B(-1,0),C(0,2),
∴易得直线BC的解析式为y=2x+2,
∴直线OD的解析式为y=2x.
联立得
∵D是第一象限内抛物线上一动点,
∴点D的坐标为(1,2),∴m=1.
当∠CBO=∠ODE时,
∵tan∠CBO=,tan∠ODE=,
∴.
∵OB=1,OC=2,OE=m,DE=-m2+m+2,
∴,
解得m=(舍去)或m=.
综上所述,m的值为1或.
19.(2022湖北武汉模拟)抛物线y=x2-1交x轴于A,B两点(A在B的左边).
(1) ACDE的顶点C在y轴的正半轴上,顶点E在y轴右侧的抛物线上.
①如图1,若点C的坐标是(0,3),点E的横坐标是,直接写出点A,D的坐标;
②如图2,若点D在抛物线上,且 ACDE的面积是12,求点E的坐标;
(2)如图3,F是原点O关于抛物线顶点的对称点,不平行于y轴的直线l分别交线段AF,BF(不含端点)于G,H两点,若直线l与抛物线只有一个公共点,求证:FG+FH的值是定值.
图1 图2
图3
解析 (1)①A(-1,0),D.
详解:令x2-1=0,得x1=-1,x2=1,∵点A在点B的左边,
∴A(-1,0).
将点E的横坐标代入解析式,可求得E.
∵ ACDE中对角线互相平分,∴解得xD=,即D.
②设点C的坐标为(0,s),点E的坐标为(r,r2-1) .
∵四边形ACDE是平行四边形,
∴将AC沿AE平移可与ED重合,点D的坐标为(r+1,r2-1+s).∵点D在抛物线上,∴r2-1+s=(r+1)2-1.
解得s=2r+1,∴C(0,2r+1).
连接CE,过点E作x轴的垂线,垂足为M,过点C作CN⊥EM,垂足为N.
则S△ACE=S梯形AMNC-S△AME-S△CNE.
∵S ACDE=12,A(-1,0),
∴6=r[2r+1-(r2-1)],
∴r2+3r-10=0,
解得r1=2,r2=-5(不合题意,舍去).∴点E的坐标是(2,3).
(2)证法一:依题意,得B(1,0),F(0,-2).
设直线BF的解析式为y=kx+b(k≠0),
则
∴直线BF的解析式为y=2x-2.
同理可得直线AF的解析式为y=-2x-2.
设直线l的解析式为y=tx+n(t≠0),
联立得消去y,得x2-tx-n-1=0.
∵直线l与抛物线只有一个公共点,
∴Δ=(-t)2-4(-n-1)=0,
∴n=--1.
联立得且 t≠2,解得xH=.
同理得xG=.
∵A,B两点关于y轴对称,
∴∠AFO=∠BFO.
∴FG+FH=
.
∴FG+FH的值是定值,为.
证法二:同证法一得直线BF的解析式为y=2x-2.
设直线l的解析式为y=px+q(p≠0),直线l与抛物线唯一的公共点为(m,m2-1).
联立得消去y,得x2-px-q-1=0.
∴
∴直线l的解析式为y=2mx-m2-1.
联立得且m≠1,解得
∴点H的坐标为.
同理可得点G坐标为,-m-1.
∴FG+FH=
+.
∵-1
∴FG+FH的值是定值,为.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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