《因式分解》之培优竞赛篇
选择题
1.已知x2-3x+1=0,则x3-8x=( )
A.-13 B.-7 C.-3 D.3
2.下列说法正确的是（ ）
①若a2+b2+c2 -2(a+b+c)+3=0 则a=b=c;②a2+b2+c2 =-2(ab+bc+ac),则a+b+c=0;
③若x2+xy+y2=14,x+xy+y2=28,则x+y=6;④实数x、y、z满足x2+y2+z2=4,则（2x-y)2+(2y-z)2+(2z-x)2的最大值是20
① ② B. ① ③ ④ C. ① ② ③ D. ① ② ③④
已知m2+m=0,则m2023+m2022+m2021+......+m+1=( )
A.0 B.-1 C.1 D.1或0
小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x-1,a-b,5,x2+1,a,x+1分别对应下列几个字：封，爱，我，数，学，开。现将5a(x2-1)-5b(x2-1)因式分解，结果出现密码可能的信息是（ ）
我爱学 B.爱开封 C.我爱开封 D.开封数学
若x2+x=1,则x4+2x3-x2-2x+2024的值为（ ）
A.2021 B.2022 C.2023 D.2024
已知a,b,c分别表示 ABC三边长，且a2+2ab+b2=c2+24,a+b-c=4,则 ABC的周长是（ ）
A.3 B.6 C.8 D.12
224-1可以被60和70之间某两个数整除，则这两个数是( )
A.64,63 B.61,65 C.61,67 D.63,65
8.若a=2022x+2023,b=2022x+2024,c=2022x+2025，则多项式a2+b2+c2-ab-bc-ac的值为（ )
A.3 B.2 C.1 D.0
9.在Rt ABC中，斜边长为a，两直角边长分别为b,c，且x=(a+b-c),y=(a-b+c),则
则x2+y2=( )
a2-bc B. a2+bc C.a2-2bc D.a2+2bc
若三个实数x,y,z满足：2x ×4y ÷8z=,x2+4y2+9z2=44,则2xy-3xz-6yz的值为（ )
A.24 B.-20 C.-40 D.48
填空题
化简：a+1+a(a+1)+a(a+1)2+a(a+1)3+......+a(a+1)99=
已知：x2+3x+2=0,则5x2023+15x2022+10x2021=
若p3+8p2-5p+2k有一个因式p-3，则k=
两位同学将一个二次三项式进行因式分解时，一位同学因看错了一次项系数而分解成（x-1)(x-9);另一位同学因看错了常数项而分解成（x-2）（x-4),则原多项式因式分解正确的是
15.已知：若实数m满足，则 ．
16.对于一切实数x，等式x2-px+q=(x+1)(x-2),则p2-4q=
解答题
17.对于任意一个四位数m,将前两位所得两位数记为m1,后两位所得两位数记为m2,其中,这个四位数的千位数字与十位数字不能为0,记F(m)=,若F(m)能被4整除,称这样的四位数是“航天数”.
例如∵F(1248)==4,4能被4整除,∴1248是“航天数”.
又如∵F(5142)==1,1不能被4整除,∴5142不是“航天数”.
(1)判断2799,8062是否是“航天数” 并说明理由;
(2)若一个航天数m,千位数字与个位数字相同,百位数字与十位数字相同.将前两位所得两位数m1,中间插入数字c(1≤c≤9,c为整数),得新三位数n,则三位数n比m1大180,求满足条件的所有航天数.
18.给出如下规定：若实数a与b的差等于这两个数的积，则称实数对(a,b)为“关联数”．如实数对(-2,2)因为-2-2=-4，(-2）×2=4，所以实数对（-2,2）是关联数；又如实数对（0,0）是关联数．1.若实数对（a，b）为“关联数”，则a，b应满足的条件用含a，b的等式表示为 ．2.判断下列实数对是否是关联数？①(1,-)②(-,-3)3. 若实数对(,-5)是关联数，求x的值．4.是否存在非零实数m，n，使实数对(2m,3n)与（3m,2n)都是关联数？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．
19.若一个正整数N能表示成N=a2-b2(a,b是正整数）的形式，则称N为“和差数”，a、b为N的“原料数”，例如：5=32 22，则称5为“和差数”，3、2为5的“原料数”，再如：M=x2 2xy=x2 2xy+y2 y2=(x y)2 y2，则称M为“和差数”，x y、y为M的“原料数”(x、y是正整数，且x>y)．
(1)请你再写一个小于10的“和差数”．
(2)已知S=y2 3x2+2xy 12x+k为“和差数”，其中x，y是正整数，k是常数，求k的值，并说明理由．
(3)请求“和差数”168的“原料数”．
20.问题：已知多项式x4+mx3+nx-16含有因式x-1和x-2,分别求m ， n的值。
解答过程：∵多项式x4+mx3+nx-16含有因式x-1，
∴当x=1时，1+m+n-16=0，m+n=15①，
∵多项式x4+mx3+nx-16含有因式x-2，
∴当x=2时，16+8m+2n-16=0，4m+n=0②，
由①和②组成方程组，解得：m=-5，n=20
根据上面方法解决下列问题：（1）若多项式3x3+ax2-2含有因式x-1,求a.
若多项式2x2+mxy+ny2-4x+2y含有因式x+y-2，求实数m、n
若一个多项式与某非负数的差含有某个一次因式，则称这个非负数是这个多项式除以该一次因式的余数，请求出x2020+2x1010+3除以一次因式x+1的余数。
21.在学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数—“三牛数”．
定义1：对于四位自然数n，若千位数字为6，各个数位数字均不为0，能被6整除，且数n的各个数位数字之和也恰好能被6整除，则称这个自然数n为“三牛数”．
例如：6336是“三牛数”，因为6336÷6＝1056，且（6+3+3+6）÷6＝3；6216不是“三牛数”，因为6216÷6＝1036，但6+2+1+6＝15不能被6整除．
定义2：将任意一个“三牛数”n的前两位数字与后两位数字交换，交换后得到一个新的四位数n′，规定：T（n）＝．
(1)判断6426，6726是否为“三牛数”，并说明理由；
(2)若n是一个“三牛数”，它的百位数字比十位数字的2倍小2，求T（n）的最大值．
答案：
选择题
C
A
D
C
C
B
D
A
A
B
填空题
（a+1)100
0
-42
(x-3)2
-1012
9
17.解:(1)2799是“航天数”,8062不是“航天数”,理由:
∵F(2799)==8,8能被4整除,
∴2799是“航天数”;
∵F(8062)==2,2不能被4整除,
∴8062不是“航天数”.
(2)设这个航天数m的千位数字与个位数字为a,百位数字与十位数字为b,
则m=1000a+100b+10b++c.
∴F(m)===|a﹣b|能被4整除.
∴|a﹣b|=4或|a﹣b|=8.
∵m1=10a+b,
∴n=100a+10c+b.
∵三位数n比m1大180,
∴100a+10c+b﹣(10a+b)=180.
∴9a+c=18.
∵1≤c≤9,c为整数,1≤a≤9,a为整数,
∴a=1,c=9.
∵1≤b≤9,b为整数,
∴b=5或9.
∴满足条件的航天数为:1551或1991.
18.解：1. a-b=ab
2. ①不是，②是
3. x=-
4.存在
理由：2m-3n=6mn,且3m-2n=6mn，解之得m=-,n=
解：1. 7是和差数。∵42-32=7，∴7是和差数。
∵S=y2 3x2+2xy 12x+k和差数，∴S=(y+x)2-(2x+3)2,∴k=-9
设168=a2-b2=(a_b)(a-b),
∵168=2×2×2×3×7=2×84=4×42=6×28=12×14
∴ , , ,
∴ , , ,
∴168的“原料数”是43,41或23,19或17,11或13,1
20.解;(1）设3x3+ax2-2=M(x-1），
取x=1,3+a-2=0,∴a=-1
设2x2+mxy+ny2-4x+2y=N(x+y-2)
取x=0,y=2得4n+4=0, n=-1
设这个非负数为a,另一个因式为Q
则有x2020+2x1010+3-a=Q(x+1)
取x=-1,得1+2+3-a=0, a=6
故余数为6
21.解：（1）6342不是；6738是
（2）设百位数字为a，十位数字为b,个位数字为c
则有n=6000+100a+10b+c, n/=1000b=100c+60+a
∴T(n)==60+a-10b-c
要使T(n)最大，则b尽可能小
当b=1时，依题意得a=2b-2=0,
∴n=6000+10+c能被6整除，∴c=5,但6015不被6整除
当b=2时，a=2b-2=2，n=6000+200+20+c能被6整除，∴c=2
故T(n)最大值为62-22=40
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