天水市名校2023-2024学年高一上学期10月月考
数学试题
满分：150分 时间：120分钟
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．设p：或；q：或，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．不等式的解集为（ ）
A． B．或
C． D．或
6．设m，n为正数，且，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
7．若p是q的必要不充分条件，p是r的充分不必要条件，则q是r的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
8．设，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（每小题5分，共20分）
9．如图，已知矩形U表示全集，A、B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（ ）
A． B． C． D．
10．若a，b，且，则下列不等式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．命题p：，是假命题，则实数b的值可能是（ ）
A． B． C．2 D．
12．关于x的不等式的解集中恰有3个正整数解，则a的值可以为（ ）
A．-1 B． C． D．2
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．不等式的解集为______．
14．已知集合，，若，则实数a的取值范围是______．
15．不等式组的解集为______．
16．已知对任意，不等式恒成立，则实数a的最小值为______．
四、解答题（第17题10分，18-22题每小题12分，共70分）
17．已知二次函数满足图像关于直线轴对称，且过点．
（1）求函数的解析式；
（2）若，比较与的大小．
18．已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若，求实数a的取值范围．
19．已知关于x的不等式的解集为．
（1）求实数a，b的值；
（2）当，，且满足时，求的最小值．
20．已知命题p：，成立；命题q：，成立．
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题p真q假，求实数m的取值范围．
21．已知函数，．
（1）当时，求解关于x的不等式；
（2）若方程有两个正实数根，，求的最小值．
22．某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到x元．公司拟投入万元．作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．
数学参考答案
1．B 2．C 3．B 4．A 5．A 6．A 7．A 8．D 9．ACD 10．BD 11．AB 12．CD
12．【详解】不等式化简为的解集中恰有3个正整数，
当时，不等式化为，则解集中有无数个整数．
当时，不等式的解集中有无数个正整数，故A错误：
所以，，，所以所以不等式的解集为：，根据0一定属于此集合，则由不等式的解集中恰有3个正整数，
则这3个整数中一定为：1，2，3，则，解得．
故a可取和2，故C，D正确，AB错误；故选：CD．
13． 14． 15．或 16．
17．（1），
18．（1） （2）
【详解】（1）当时，，
∵，∴．
（2）若，故，∴，综上，实数a的取值范围为．
19．（1），．（2）24
（1）∵不等式的解集为，
∴，且-1，b为方程的两个根，故
解得或（舍去），
（2）当，时，由（1）得，
∴，
当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为24．
20．（1） （2）
所以在R上恒成立，则判别式，
即解得．所以实数m的取值范围为．
（2）由（1）知命题p为真命题时，m的取值范围为．
当命题q：，为真命题时，不等式有解．
则判别式即解得或．
则命题q为假命题时，即．故命题p真q假时，m满足．所以实数m的取值范围为．
21．（1）；（2）6
【详解】（1）当时，不等式即为，解得或，
故不等式解集为；
（2）方程有两个正实数根，，
即有两个正实数根，，，解得；
所以，令，则，
故，
当且仅当即，时取得等号，故的最小值为6．
22．（1）40元（2）10.2万件，该商品的每件定价为30元
【详解】（1）设每件定价为t元，依题意得，
整理得，解得．
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
（2）依题意知当时，不等式有解，
等价于时，有解，由于，当且仅当，即时等号成立，所以，
当该商品改革后销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
